第23講拐點偏移問題

第23講拐點偏移問題【典型例題】例1．（Ⅰ）證明：，，；（Ⅱ）若在，上恒成立，求的取值范圍；（Ⅲ）已知函數(shù)，若正實數(shù)，滿足，證明：當時，恒有．【解析】解：（1）令，當，時，，故在區(qū)間，上單調(diào)遞增，從而，由于為偶函數(shù)，所以當，時，，故，，．（2）結(jié)合（1）可知，所以，易證，故為原不等式成立的必要條件，下面證明充分性，當時，，令，易知為偶函數(shù)．設(shè)，，則，令，則，故在，上單調(diào)遞減，即，故在，上單調(diào)遞減，，故當時，原不等式在，上恒成立，綜上，的取值范圍為，．（3）當時，，在（2）中令，，則有，下面證明即可，即證，解法一：，即，，，易知在處取得最小值1，則，又，所以．綜上，當時，恒有．解法二：不妨令，在上，，則在上單調(diào)遞增，又（1），所以要使，則需，要證，即證，即證，又，所以即證，設(shè)，，，則，故在，上單調(diào)遞增，（1）（1），令，可得，所以，即，所以．綜上，當時，恒有．例2．已知函數(shù)．（1）求曲線在點，（1）處的切線方程；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值；（3）若正實數(shù)，滿足，證明：．【解析】解：（1），（1），（1），切線方程是：，即；（2）令，，時，，，在遞增，（1），關(guān)于的不等式不能恒成立，時，，令，得，時，，，時，，故函數(shù)在遞增，在，遞減，故函數(shù)的最大值是，令（a），則（a）在遞減，（1），（2），時，（a），故整數(shù)的最小值是2；（3）證明：由，得，從而，令，則由，得，可知在區(qū)間遞減，在遞增，故（1），，又，故成立．例3．已知函數(shù)，且為定義域上的增函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且的最小值小于等于0．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，且，求證：．【解析】（Ⅰ）解：，由為增函數(shù)可得，恒成立，即，得，設(shè)，則，由，得，由，得．在上減，在上增，在1處取得極小值即最小值，（1），則，即，當時，易知，當時，則，這與矛盾，從而不能使得恒成立，；由可得，，即，由之前討論可知，，當時，恒成立，當時，由，得，綜上；（Ⅱ）證明：，，，，即，則，令，，則，在上增，在上減，（1），，整理得，解得或（舍，．例4．已知函數(shù)，其定義域為．（其中常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)）（1）求函數(shù)的遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)為定義域上的增函數(shù)，且，證明：．【解析】解：（1）易知，①若，由，解得：，故函數(shù)在遞增，②若，令，解得：，或，令，解得：，故在遞增，在，遞減，在遞增，③若，則，故函數(shù)在遞增，④若，令，解得：或，令，解得：，故在遞增，在遞減，在，遞增，綜上，若，在遞增，若，在，遞增，若，在遞增，若，在，，遞增；（2）函數(shù)在遞增，，即，注意到（1），故（1），即證，即證，令，，只需證明（1），故，下面證明，即證，由熟知的不等式可知，當時，即，故，易知當時，，故，故，故，即遞增，即（1），從而．例5．已知函數(shù)．（1）若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，若實數(shù)，滿足，求證．【解析】解：（1）已知函數(shù)．所以，由在上單調(diào)遞增，故當時，恒成立，即恒成立，設(shè)，，因為，所以，，所以，即，故在上單調(diào)遞增，所以，故；（2）當時，，，故在上單調(diào)遞增，又因為且，故，要證，只需證，因為在上單調(diào)遞增，故只需證，即只需證，即只需證，令，，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，故在上單調(diào)遞減，故，故原不等式成立．得證．例6．已知函數(shù)．（1）若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；（2）當時，若實數(shù)，滿足，求證：．【解析】解：（1）由在上單調(diào)遞增，故當時，恒成立即設(shè)，，，，，即在上單調(diào)遞增，故，．（2）證明：當時，，在上單調(diào)遞增，又且，故要證，只需證即證，只需證即證令，令，，在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞減，（1）．故原不等式成立．例7．設(shè)函數(shù)，．（Ⅰ）若對恒成立，求的取值范圍；（Ⅱ）若，當時，求證：．【解析】（Ⅰ）解：，當時，，令得：，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．，由，得：，當時，，則對恒成立，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，所以不符合．故：的取值范圍為．（Ⅱ）證明：，，得：，若或，則結(jié)論顯然成立．當時，證：證：，令：，，，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，則，證：證：，而，所以等價于證：，即證：，，令：，，得：在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，，因為，所以，所以，故：得證．例8．設(shè)函數(shù)，．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）時，若，，求證：．【解析】解：（Ⅰ），令，，當時，，函數(shù)單調(diào)性遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)性遞增，，當時，即時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，易知當時，，當時，，由零點存在性定理知，存在，，不妨設(shè)，使得，當，，，，當，，，函數(shù)在，，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．（Ⅱ）證明：構(gòu)造函數(shù)，，，，，當時取等號，在，上單調(diào)遞增，則，在，上單調(diào)遞增，，不妨設(shè)，要證，只需證，由（Ⅰ）知時，在上單調(diào)遞增，則有，由，有，只需證，即證，由在，上單調(diào)遞增，且時，有，故，問題得以證明．例9．已知函數(shù)為常數(shù)）在處的切線方程為．（1）求的值，并討論的單調(diào)性；（2）若，求證：．【解析】解：（1），由題意可得，（1），解可得，此時，令，則，易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故（1）恒成立，故在上單調(diào)遞增，（2）設(shè)，則，易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，取得最大值（1），故，即，令，則設(shè)，則，故單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，且（1），故當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以（1），即，當時等號成立，所以，又，所以即，由在上單調(diào)遞增，所以，即．例10．已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）證明當時，關(guān)于的不等式恒成立；（Ⅲ）若正實數(shù)，滿足，證明：．【解析】解：（Ⅰ），由，得，又，所以．所以的單調(diào)減區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間是．（Ⅱ）令，所以．因為，所以．令，得．所以當，；當時，．因此函數(shù)在是增函數(shù)，在，是減函數(shù)．故函數(shù)的最大值為．令，因為，又因為（a）在是減函數(shù)．所以當時，（a），即對于任意正數(shù)總有．所以關(guān)于的不等式恒成立．（Ⅲ）由，即，從而．令，則由得，．可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以（1），所以，又，因此成立．【同步練習(xí)】1．已知函數(shù)，.(1)討論f（x）的單調(diào)性；(2)若時，都有，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若有不相等的兩個正實數(shù)，滿足，證明：.【解析】（1）因為，定義域為，.①當時，令，解得即當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減；②當時，在單調(diào)遞增；③當時令，解得，即當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增；綜上：當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；當時，在單調(diào)遞增；當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）若時，都有，即，恒成立.令，則，，令，所以，當時，，單調(diào)遞增，，所以，在單調(diào)遞減，所以=，所以（3）原式可整理為，令，原式為，由（1）知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則為兩根，其中，不妨令，要證，即證，，只需證，令，，，令，則，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減.又，故，所以恒成立，即成立，所以，原式得證.2．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【解析】(1)函數(shù)的定義域為，又，當時，，當時，，故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為(2)因為，故，即，故，設(shè)，則，不妨設(shè)，由（1）可知原命題等價于：已知，證明：.

證明如下：若，恒成立；若，即時，要證：，即證，而，即證，即證：，其中設(shè)，，則，因為，故，故，所以，故在為增函數(shù)，所以，故，即成立，所以成立，綜上，成立.3．已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，且，若，求證：.【解析】(1)，令，則，∴在單調(diào)遞增，注意到∴當時，，此時，單調(diào)遞減，當時，，此時，單調(diào)遞增∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增(2)等價于，等式兩邊同除以得：，即由（1）知：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增∴，一正一負，不妨設(shè)構(gòu)造新函數(shù)，則∴令，則當時，顯然恒成立，所以又對恒成立，所以在時，，即單調(diào)遞減∵∴，即∵∴其中，，且在單調(diào)遞減∴，即4．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【解析】(1)的定義域為．由得，，當時，；當時；當時，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，(2)[方法一]：等價轉(zhuǎn)化由得，即．由，得．由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，①令，則，當時，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當時，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．令．則上式變?yōu)?，于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．令，則有，不妨設(shè)．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．再證．因為，所以需證．令，所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．所以．故，即．綜合可知．[方法三]：比值代換證明同證法2．以下證明．不妨設(shè)，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對數(shù)得，即，即證．記，則.記，則，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由得，所以，即．[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法由已知得，令，不妨設(shè)，所以．由（Ⅰ）知，，只需證．證明同證法2．再證明．令．令，則．所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因為，所以，即又因為，所以，即．因為，所以，即．綜上，有結(jié)論得證．【整體點評】(2)方法一：等價轉(zhuǎn)化是處理導(dǎo)數(shù)問題的常見方法，其中利用的對稱差函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)的思想，這些都是導(dǎo)數(shù)問題必備的知識和技能.方法二：等價轉(zhuǎn)化是常見的數(shù)學(xué)思想，構(gòu)造對稱差函數(shù)是最基本的極值點偏移問題的處理策略.方法三：比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，然后構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明題中的不等式即可.方法四：構(gòu)造函數(shù)之后想辦法出現(xiàn)關(guān)于的式子，這是本方法證明不等式的關(guān)鍵思想所在.5．已知函數(shù)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若，且，證明:.【解析】（1）

當時，，，所以單調(diào)遞增；，，所以單調(diào)遞減；當時，，所以單調(diào)遞減；，所以單調(diào)遞增；（2）證明：，∴，即當時，由（1）可知，此時是的極大值點，因此不妨令要證，即證：①當時，成立；②當時先證此時

要證，即證：，即，即即：①令，∴∴在區(qū)間上單調(diào)遞增∴，∴①式得證.∴∵，∴

∴

∴6．已知函數(shù).(1)求的極大值；(2)設(shè)、是兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【解析】(1)因為的定義域為，，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，函數(shù)的極大值為.(2)證明：因為，則，即，由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為、是兩個不相等的正數(shù)，且滿足，不妨設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，則，令，則.當時，，則，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，則，此時函數(shù)單調(diào)遞減，又因為函數(shù)在上連續(xù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，即，故函數(shù)在上為增函數(shù)，故，所以，，且，函數(shù)在上為減函數(shù)，故，則.7．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性和最值；(2)若關(guān)于的方程有兩個不等的實數(shù)根，求證：.【解析】（1），其中若，則在上恒成立，故在上為減函數(shù)，故無最值.若，當時，；當時，；故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故，無最小值.（2）方程即為，故，因為為上的增函數(shù)，所以所以關(guān)于的方程有兩個不等的實數(shù)根即為：有兩個不同的實數(shù)根.所以，所以，不妨設(shè)，，故，要證：即證，即證，即證，即證，設(shè)，則，故，所以在上為增函數(shù)，故，所以在上為增函數(shù)，所以，故成立.8．已知．(1)當、時，求在上的最大值；(2)若對任意，均有兩個極值點、．①求實數(shù)的取值范圍；②當e時，證明：e．（注：e為自然對數(shù)的底數(shù)）【解析】（1）當、時，e,其定義域為，e，令g(x)=e，，則e則在上單調(diào)遞增，∴e，即，即在上單調(diào)遞減，∴當時，取最大值為e；（2）∵e的定義域為，e，①對任意，e有兩個不同零點，令e，∴e，令，解得，當時，，則在內(nèi)單調(diào)遞增，當時，，則在內(nèi)單調(diào)遞減，∴當時，取極小值也是最小值為，又當時，當時，∴只需，即，構(gòu)造新函數(shù)，其定義域為，，令，解得，當時，，則在內(nèi)單調(diào)遞增，當時，，則在內(nèi)單調(diào)遞增，∴當時，取極大值也是最大值為，∴；②當e時，eexb，由①得，令，∴∴，∴，∴、，∵由①得在上單調(diào)遞增，、，∴，∴，∵由①得在上單調(diào)遞減，∴，令，∴，令，則，∴，∵，∴，即．9．已知函數(shù)，，當時，恒成立．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)若正實數(shù)、滿足，證明：．【解析】（1）根據(jù)題意，可知的定義域為，而，當時，，，為單調(diào)遞增函數(shù)，當時，成立；當時，存在大于1的實數(shù)，使得，當時，成立，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，；不可能成立，所以，即的取值范圍為.（2）證明：不妨設(shè)，正實數(shù)、滿足，有（1）可知，，又為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，又，所以只要證明：，設(shè)，則，可得，當時，成立，在區(qū)間上單調(diào)增函數(shù)，又，當時，成立，即，所以不等式成立，所以.10．有同學(xué)在研究指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖像時，發(fā)現(xiàn)它們在第一象限有兩個交點和．通過進一步研究，該同學(xué)提出了如下兩個猜想：請你證明或反駁該同學(xué)的猜想．(1)函數(shù)與函數(shù)的圖像在第一象限有且只有一個公共點；(2)設(shè)，，且，若，則．其中為自然對數(shù)的底，【解析】（1）設(shè)(x>0)，求導(dǎo)得：，則當時，，當時，，即在上遞增，在上遞減，因此，當時，，當且僅當x=e時取“=”，于是得方程有唯一的零點，即方程有唯一的零點，所以，函數(shù)與函數(shù)的圖像在第一象限有且只有一個公共點，猜想（1）正確.（2），由（1）知