2024-2025學年新教材高中數(shù)學第七章隨機變量及其分布十三二項分布課時素養(yǎng)評價含解析新人教A版選擇性必修第三冊

PAGE十三二項分布(25分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.某人進行投籃訓練100次,每次命中的概率為0.8(相互獨立),則命中次數(shù)的標準差等于()A.20 B.80 C.16 D.4【解析】選D.命中次數(shù)聽從ξ～B(100,0.8);所以命中次數(shù)的標準差等于QUOTE=4.2.(2024·哈爾濱高二檢測)已知某同學每次射箭射中的概率為p,且每次射箭是否射中相互獨立,該同學射箭3次射中多于1次的概率為0.784,則p=()A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8【解析】選C.某同學每次射箭射中的概率為p,且每次射箭是否射中相互獨立,該同學射箭3次射中多于1次的概率為0.784,則1-QUOTE=0.784,解得p=0.7.3.(2024·德州高二檢測)甲、乙兩隊進行友情賽,實行三局兩勝制,每局都要分出輸贏,依據(jù)以往閱歷,單局競賽中甲隊獲勝的概率為QUOTE,設各局競賽相互間沒有影響,則甲隊戰(zhàn)勝乙隊的概率為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.甲、乙兩隊進行友情賽,實行三局兩勝制,每局都要分出輸贏,依據(jù)以往閱歷,單局競賽中甲隊獲勝的概率為QUOTE,設各局競賽相互間沒有影響,甲隊戰(zhàn)勝乙隊包含兩種狀況:①甲連勝2局,概率為p1=QUOTE=QUOTE,②前兩局甲隊一勝一負,第三局甲隊勝,概率為p2=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,則甲隊戰(zhàn)勝乙隊的概率為p=p1+p2=QUOTE+QUOTE=QUOTE.4.(多選題)(2024·遼陽高二檢測)若X～B(20,0.3),則()A.E(X)=3 B.P(X≥1)=1-0.320C.D(X)=4.2 D.P(X=10)=QUOTE×0.2110【解析】選CD.由X～B(20,0.3),所以E(X)=20×0.3=6,所以A錯誤;計算P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.720,所以B錯誤;又D(X)=20×0.3×0.7=4.2,所以C正確;計算P(X=10)=QUOTE×0.310×0.710=QUOTE×0.2110,所以D正確.二、填空題(每小題5分,共10分)5.袋中裝有2個紅球,3個黃球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,則3次中恰有2次抽到黃球的概率是________.

【解析】袋中裝有2個紅球,3個黃球,有放回地抽取3次,每次抽取1球,每次取到黃球的概率均為QUOTE,所以3次中恰有2次抽到黃球的概率為:P=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.某大廈的一部電梯從底層動身后只能在第18,19,20層停靠.若該電梯在底層載有5位乘客,且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率均為QUOTE,用ξ表示這5位乘客在第20層下電梯的人數(shù),則P(ξ=4)=________.

【解析】考查一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗,這是5次獨立重復試驗,故ξ～BQUOTE.即有P(ξ=k)=QUOTE×QUOTE,k=0,1,2,3,4,5,所以P(ξ=4)=QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)7.設甲、乙兩位同學上學期間,每天7:30之前到校的概率均為QUOTE.假定甲、乙兩位同學到校狀況互不影響,且任一同學每天到校狀況相互獨立.(1)用X表示甲同學上學期間的三天中7:30之前到校的天數(shù),求隨機變量X的期望;(2)設M為事務“上學期間的三天中,甲同學在7:30之前到校的天數(shù)比乙同學在7:30之前到校的天數(shù)恰好多2”,求事務M發(fā)生的概率.【解析】(1)甲上學期間的三天中到校狀況相互獨立,且每天7:30之前到校的概率均為QUOTE,故X～BQUOTE.P(X=0)=QUOTE=QUOTE,P(X=1)=QUOTE=QUOTE,P(X=2)=QUOTE=QUOTE,P(X=3)=QUOTE=QUOTE.故X的分布列為X0123PX的數(shù)學期望為E(X)=3×QUOTE=2.(2)設乙同學上學期間的三天中7:30到校的天數(shù)為Y,則Y～BQUOTE,由題意,M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0},由事務的獨立性和互斥性,得P(M)=P{X=3,Y=1}+P{X=2,Y=0}=P{X=3}P{Y=1}+P{X=2}P{Y=0}=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.【加練·固】現(xiàn)有10道題,其中6道甲類題,4道乙類題,張同學從中任取3道題解答.已知所取的3道題中有2道甲類題,1道乙類題,設張同學答對每道甲類題的概率都是QUOTE,答對每道乙類題的概率都是QUOTE,且各題答對與否相互獨立.用X表示張同學答對題的個數(shù),求X的分布列.【解析】隨機變量X的全部可能取值為0,1,2,3.P(X=0)=QUOTE·QUOTE·QUOTE·QUOTE=QUOTE,P(X=1)=QUOTE·QUOTE·QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE·QUOTE·QUOTE=QUOTE,P(X=2)=QUOTE·QUOTE·QUOTE·QUOTE+QUOTE·QUOTE·QUOTE·QUOTE=QUOTE,P(X=3)=QUOTE·QUOTE·QUOTE·QUOTE=QUOTE.所以X的分布列為X0123P8.某公司是否對某一項目投資,由甲、乙、丙三位決策人投票確定,他們三人都有“同意”“中立”“反對”三類票各一張,投票時,每人必需且只能投一張,每人投三類票中的任何一類的概率都是QUOTE,他們的投票相互沒有影響,規(guī)定:若投票結果中至少有兩張“同意”票,則確定對該項目投資;否則,放棄對該項目的投資.(1)求該公司確定對該項目投資的概率;(2)求該公司放棄對該項目投資且投票結果中最多有一張“中立”票的概率.【解析】(1)該公司確定對該項目投資的概率為P=QUOTE+QUOTE=QUOTE.(2)該公司放棄對該項目投資且投票結果中最多有一張“中立”票,有以下四種情形:“同意”票張數(shù)“中立”票張數(shù)“反對”票張數(shù)事務A003事務B102事務C111事務D012P(A)=QUOTE=QUOTE,P(B)=QUOTE=QUOTE,P(C)=QUOTE=QUOTE,P(D)=QUOTE=QUOTE.因為A,B,C,D互斥,所以P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=QUOTE.(15分鐘·30分)1.(5分)設隨機變量ξ～B(2,p),η～B(4,p),若P(ξ≥1)=QUOTE,則P(η≥2)的值為()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】選B.因為隨機變量ξ～B(2,p),η～B(4,p),又P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-(1-p)2=QUOTE,解得p=QUOTE,所以η～BQUOTE,則P(η≥2)=1-P(η=0)-P(η=1)=1-QUOTE-QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.2.(5分)(2024·聊城高二檢測)在2024年女排世界杯競賽中,中國隊以十一連勝的驕人成果奪得了冠軍,勝利衛(wèi)冕,收到習近平總書記的賀電,團結協(xié)作、堅韌拼搏是中國女排精神,為學習女排精神,A,B兩校排球隊進行排球友情賽,實行五局三勝制,每局都要分出輸贏,依據(jù)以往閱歷,單局競賽中A校排球隊勝B校排球隊的概率為QUOTE,設各局競賽相互間沒有影響,則在此次競賽中,四局結束競賽的概率為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.為學習女排精神,A,B兩校排球隊進行排球友情賽,實行五局三勝制,每局都要分出輸贏,依據(jù)以往閱歷,單局競賽中A校排球隊勝B校排球隊的概率為QUOTE,設各局競賽相互間沒有影響,在此次競賽中,四局結束競賽包含兩種狀況:①前3局A兩勝一負,第四局A勝;②前3局A一勝兩負,第四局A負.則在此次競賽中,四局結束競賽的概率為P=QUOTE+QUOTE=QUOTE.【加練·固】(2024·珠海高二檢測)已知某人每次投籃投中的概率均為QUOTE,安排投中3次則結束投籃,則此人恰好在第5次結束投籃的概率是________.

【解析】依題意,恰好在第5次結束投籃,則前4次有2次投中,且第5次投中,所以概率為:P=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE3.(5分)位于直角坐標原點的一個質點P按下列規(guī)則移動:質點每次移動一個單位,移動的方向向左或向右,并且向左移動的概率為QUOTE,向右移動的概率為QUOTE,則質點P移動五次后位于點(1,0)的概率是________.

【解析】依題意得,質點P移動五次后位于點(1,0),則這五次移動中必有某兩次向左移動,另三次向右移動,因此所求的概率等于QUOTE·QUOTE·QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE4.(5分)在4次獨立重復的試驗中,隨機事務A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生兩次的概率,則事務A在一次試驗中發(fā)生的概率p的取值范圍是________.

【解析】由題知QUOTEp(1-p)3≤QUOTEp2(1-p)2,即4(1-p)≤6p,所以p≥0.4,又0<p<1,所以0.4≤p<1.答案:0.4≤p<15.(10分)如圖是高爾頓板的改造裝置示意圖,小球從入口處自由下落,已知在下落過程中,小球遇到黑色障礙物時,向左、右兩邊下落的概率都是QUOTE.(1)求小球落入A袋的概率P(A);(2)在入口處依次放入4個小球,設落入A袋中的小球個數(shù)為ξ,求ξ的分布列.【解析】(1)記“小球落入A袋中”為事務A,記“小球落入B袋中”為事務B,則事務A的對立事務為B,而小球落入B袋中當且僅當小球始終向左落下或始終向右落下,故P(B)=QUOTE+QUOTE=QUOTE,從而P(A)=1-P(B)=QUOTE.(2)ξ可能的取值為0,1,2,3,4.P(ξ=0)=QUOTE·QUOTE=QUOTE;P(ξ=1)=QUOTE·QUOTE=QUOTE;P(ξ=2)=QUOTE·QUOTE=QUOTE;P(ξ=3)=QUOTE·QUOTE=QUOTE;P(ξ=4)=QUOTE·QUOTE=QUOTE.所以ξ的分布列為:ξ01234P(2024·宣城高二檢測)口袋里放有大小相等的2個紅球和1個白球,有放回地每次摸取一個球,定義數(shù)列{an},an