湖北省武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三第一次聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：2024年11月11日下午14:00-16:00試卷滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知為虛數(shù)單位，若，則（）A. B. C. D.3.已知向量，滿足，，則向量在向量方向上的投影向量為（）A. B. C. D.4.已知角，滿足，，則（）A. B. C. D.5.已知函數(shù)在區(qū)間上有極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.6.將正奇數(shù)按照如圖排列，我們將3，7，13，21，31……，都稱為“拐角數(shù)”，則下面是拐角數(shù)的為（）A.55 B.77 C.91 D.1137.已知等腰梯形的上底長(zhǎng)為1，腰長(zhǎng)為1，若以等腰梯形的上底所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)幾何體，則該幾何體表面積的最大值為（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，的定義域均為，是奇函數(shù)，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A.為奇函數(shù) B.為奇函數(shù)C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的可能取值為（）A.8 B.9 C.10 D.1110.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，.過(guò)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn).的內(nèi)心為，的內(nèi)心為，則下列說(shuō)法正確的有（）A.雙曲線的離心率為2B.直線的斜率的取值范圍為C.的取值范圍為D.11.在正三棱錐中，，，三棱錐的內(nèi)切球球心為，頂點(diǎn)在底面的射影為，且中點(diǎn)為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.三棱錐的體積為3B.二面角的余弦值為C.球的表面積為D.若在此三棱錐中再放入一個(gè)球，使其與三個(gè)側(cè)面及內(nèi)切球均相切，則球的半徑為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知點(diǎn)在拋物線上，為拋物線的焦點(diǎn)，直線與準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度為_____.13.已知直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)的值為_____.14.某人有兩把雨傘用于上下班，如果一天上班時(shí)他在家而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把去辦公室，如果一天下班時(shí)他在辦公室而且天下雨，只要有雨傘可取，他將拿一把回家.如果天不下雨，那么他不帶雨傘.假設(shè)每天上班和下班時(shí)下雨的概率均為，不下雨的概率均為，且與過(guò)去情況相互獨(dú)立.現(xiàn)在兩把雨傘均在家里，那么連續(xù)上班兩天，他至少有一天淋雨的概率為_____.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（13分）已知數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列滿足，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.16.（15分）如圖，在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若，，將沿折成直二面角，求直線與平面所成角的正弦值.17.（15分）為倡導(dǎo)節(jié)能環(huán)保，實(shí)現(xiàn)廢舊資源再利用，小明與小亮兩位小朋友打算將自己家中的閑置玩具進(jìn)行交換，其中小明家有2臺(tái)不同的玩具車和2個(gè)不同的玩偶，小亮家也有與小明家不同的2臺(tái)玩具車和2個(gè)玩偶，他們每次等可能的各取一件玩具進(jìn)行交換.（1）兩人進(jìn)行一次交換后，求小明仍有2臺(tái)玩具車和2個(gè)玩偶的概率；（2）兩人進(jìn)行兩次交換后，記為“小明手中玩偶的個(gè)數(shù)”，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.18.（17分）已知橢圓的離心率為，其左頂點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，不過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的，兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，且，直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時(shí)，求的面積.19.（17分）2022年7月，在重慶巴蜀中學(xué)讀高一的瞿霄宇，奪得第63屆國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）滿分金牌.同年9月26日，入選2022年阿里巴巴全球數(shù)學(xué)競(jìng)賽獲獎(jiǎng)名單，同時(shí)成為了本屆獲獎(jiǎng)?wù)咧心挲g最小的選手.次年9月16日，他再接再厲，在2023阿里巴巴全球數(shù)學(xué)競(jìng)賽中獲金獎(jiǎng).他的事跡激勵(lì)著廣大數(shù)學(xué)愛(ài)好者勇攀數(shù)學(xué)高峰，挖掘數(shù)學(xué)新質(zhì)生產(chǎn)力.翔宇中學(xué)高二學(xué)生小剛結(jié)合自己“強(qiáng)基計(jì)劃”的升學(xué)規(guī)劃，自學(xué)了高等數(shù)學(xué)的羅爾中值定理：如果上的函數(shù)滿足條件：①在閉區(qū)間上連續(xù)；②在開區(qū)間可導(dǎo)；③.則至少存在一個(gè)，使得.據(jù)此定理，請(qǐng)你嘗試解決以下問(wèn)題：（1）證明方程：在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根，其中，，，；（2）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求的取值范圍.

湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)2025屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)選擇題：1234567891011CAADBCADCDABDACD填空題：12.13.14.解答題：15.（13分）解：（1）因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，即，化簡(jiǎn)得.因?yàn)?，?因此，易知為等比數(shù)列；（2）由（1）知，.，16.（15分）解：（1），，化簡(jiǎn)得.由余弦定理得，，故；（2）設(shè)，，在中，由得，解得.①在中，.②由①、②得.，，從而.二面角為直二面角，，平面平面，平面，平面建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易知，，，，，，.設(shè)平面的法向量，則有，即令，解得.，故直線與平面所成角的正弦值為.17.（15分）解：（1）若兩人交換的是玩具車，則概率為，若兩人交換的是玩偶，則概率也為，故兩人進(jìn)行一次交換后，小明仍有2臺(tái)玩具車和2個(gè)玩偶的概率為.（5分）（2）可取的值為0、1、2、3、4，一次交換后，小明有1個(gè)玩偶和3臺(tái)玩具車的概率為，有3個(gè)玩偶和1臺(tái)玩具車的概率也為，經(jīng)過(guò)兩次交換后，，，故隨機(jī)變量的分布列為：01234.18.（17分）解：（1）設(shè)橢圓左頂點(diǎn)為，則坐標(biāo)為.由，解得.因?yàn)闄E圓的離心率為，得，.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）設(shè)坐標(biāo)為，坐標(biāo)為，由于和為橢圓上兩點(diǎn)，兩式相減，得，整理得.（*）設(shè)坐標(biāo)為，由得為線段的中點(diǎn)，，.由在線段所在直線上，且坐標(biāo)為，則有，即.由（*）得，故.設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得，整理得.由，得且.因?yàn)橹本€與橢圓相交于和兩點(diǎn)，所以，.，點(diǎn)到直線的距離為，，且.記，.由，及且得即當(dāng)時(shí)，取最大值.此時(shí)直線方程為，與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為，.19.（17分）證明：（1）設(shè)，，則，在上連續(xù)，在上可導(dǎo).又，由羅爾中值定理知：至少存在一個(gè)，使得成立，.故方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.（2），在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，不妨設(shè)該零點(diǎn)為，則，.由于，易知在和上連續(xù)，且在和上可導(dǎo).又，由羅爾中值定理可得，至少存在一個(gè)，使；至少存在一個(gè)，使得.方程在上至少有兩個(gè)不等實(shí)根和.設(shè)