2024屆安徽省合肥某中學(xué)高三二檢模擬考試數(shù)學(xué)試題

2024屆安徽省合肥一中高三二檢模擬考試數(shù)學(xué)試題

注意事項

1.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0.5亳米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的，=3,則輸出的，=()

A.9B.31C.15D.63

2.已知拋物線C:/=4x和點0(2,0),直線x=與拋物線C交于不同兩點A,B,直線笈。與拋物線。交于

另一點E.給出以下判斷：

①直線OB與直線OE的斜率乘枳為-2；

②AE//y軸;

③以航為直徑的圓與拋物線準線相切.

其中，所有正確判斷的序號是（）

A.①?@B.①?C.①③D.②③

3.若復(fù)數(shù)z滿足（l+i）z=i（i是虛數(shù)單位），則z的虛部為（）

111.1.

A.-B.一一C.-ID.一一I

2222

4.圓錐底面半徑為石，高為2,SA是一條母線，2點是底面圓周上一點，則2點到SA所在直線的距離的最大值是

（）

A.—B.拽C.3D.4

33

5.已知函數(shù)/（X）=（2?T2）lnx+23215.設(shè)"-1,若對任意不相等的正數(shù)』，飛,恒有-"芍）-8,

A1T2

則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（-3,-1）B.（-2,-1）

C.D.（-<x>,-2］

/

6.將函數(shù)），=sin2x的圖像向左平移0（。>0）個單位得到函數(shù)》二4112x+f

的圖像，則9的最小值為（）

16

Tl?7T-11江，、兀

A.-B.—C.------D.—

612126

7.已知函數(shù)/（x）=Acos（s+。）（A>0,。>0,|初<］）,將函數(shù)/*）的圖象向左平移吊個單位長度，得到

函數(shù)g（R）的部分圖象如圖所示，則/。）=g是K（］+專）=等的（

)

B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.關(guān)于圓周率不，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐實驗和查理斯實驗,受其啟發(fā)，某同學(xué)通

過下面的隨機模擬方法來估計〃的值：先用計算機產(chǎn)生2000個數(shù)對（乂），），具中工，）’都是區(qū)間（0,1）上的均勻隨機

數(shù)，再統(tǒng)計X,能與1構(gòu)成銳角三角形三邊長的數(shù)對（X,.y）的個數(shù)〃7;最后根據(jù)統(tǒng)計數(shù)〃?來估計開的值,若"7=435,

則不的估計值為（）

A.3.12B.3.13C.3.14D.3.15

9.臺球是一項國際上廣泛流行的高雅室內(nèi)體育運動，也叫桌球（中國粵港澳地區(qū)的叫法）、撞球（中國臺灣地區(qū)的叫

法）控制撞球點、球的旋轉(zhuǎn)等控制母球走位是擊球的一項重要技術(shù)，一次臺球技術(shù)表演節(jié)目中，在臺球桌上，畫出如

圖正方形在點耳尸處各放一個目標球，表演者先將母球放在點A處，通過擊打母球，使其依次撞擊點E,F

處的目標球，最后停在點C處，若AE=50cm.EF=4Qcm,FC=30cm,/4￡尸=/。/￡=60。，則該正方形的邊長為（）

A.50cmB.40叵cmC.50cwD.20^6cm

10.一場考試需要2小時，在這場考試中鐘表的時針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為（）

11.已知盒中有3個紅球，3個黃球，3個白球，旦每種顏色的三個球均按4,B,。編號，現(xiàn)從中摸出3個球（除

顏色與編號外球沒有區(qū)別），則恰好不同時包含字母A,A,C的概率為（）

12.已知；B是球。的球面上兩點2底勰?二松也。為該球面上的動點.若三棱錐0-.15。體積的最大值為36,則球。

的表面積為（）

A.367rB.64兀C.144兀D.256兀

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)〃%）=粵，^（x）=—,若函數(shù)/?（x）=g（〃x））+”?有3個不同的零點XI,X2,X3（X1<X2<X3）,則

2/（5）+/（￡）+/（為）的取值范圍是.

14.（x+j）（2x—j）5的展開式中x3）#的系數(shù)為.

15.Q一十）的展開式中與的系數(shù)為.

X3

16.若（K-2）"展開式的二項式系數(shù)之和為64,則展開式各項系數(shù)和為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）為了解廣大學(xué)生家長對校園食品安全的認識，某市食品安全檢測部門對該市家長進行了一次校園食品安

全網(wǎng)絡(luò)知識問卷調(diào)查，每一位學(xué)生家長僅有一次參加機會，現(xiàn)對有效問卷進行整理，并隨機抽取出了200份答卷，統(tǒng)

計這些答卷的得分（滿分：100分）制出的頻率分布直方圖如圖所示，由頻率分布直方圖可以認為，此次問卷調(diào)查的

得分Z服從正態(tài)分布N（〃,210）,其中A近似為這200人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表）.

（1）請利用正態(tài)分布的知識求夕（3679.5）；

（2）該市食品安全檢測部門為此次參加問卷調(diào)查的學(xué)生家長制定如下獎勵方案：

①得分不低于〃的可以獲贈2次隨機話費，得分低于〃的可以獲贈1次隨機話費:

②每次獲贈的隨機話費和對應(yīng)的概率為:

獲贈的隨機話費（單位：元）1020

2￡

概率

33

市食品安全檢測部門預(yù)計參加此次活動的家長約5000人，請依據(jù)以上數(shù)據(jù)估計此次活動可能贈送出多少話費？

附:①標土14.5;②若X~N（〃,『）』!|P（4—b<X<〃+b）=0.6827,<X<//+2<T）=0.9545,

P(//-3c-<X<//+3cr)=0.9973.

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=lnx+x2-2ax,〃￡R

（1）討論/（力的單調(diào)性；

（2）若/（X）在定義域內(nèi)是增函數(shù)，且存在不相等的正實數(shù)和修，使得/（玉）+/（毛）=-3,證明：X,+X2>2.

19.（12分）已知動點M到定點（1,0）的距離比到y(tǒng)軸的距離多1?

（1）求動點例的軌跡C的方程；

（2）設(shè)A,區(qū)是軌跡C在（X20）上異于原點。的兩個不同點，直線。4和。8的傾斜角分別為。河夕，當(dāng)a,僅變

化且。+分=（時，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.

20.（12分）已知A43C的面積為且，且A3.AC=-1.

2

（1）求角A的大小及長的最小值；

（2）設(shè)歷為的中點，且N8AC的平分線交于點N,求線段MN的長.

2

21.（12分）已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且滿足S“=2%-1（〃eN*）.

（I）求數(shù)列｛仆｝的通項公式；

（n）證明r：XS~1<74-

Jt=iak3

22.（10分）某省新課改后某校為預(yù)測202。屆高三畢業(yè)班的本科上線情況，從該校上一屆高三（1）班到高三（5）班

隨機抽取50人，得到各班抽取的人數(shù)和其中本科上線人數(shù)，并將抽取數(shù)據(jù)制成下面的條形統(tǒng)計圖.

（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖，估計本屆高三學(xué)生本科上線率.

（2）已知該省甲市2020屆高考考生人數(shù)為4萬，假設(shè)以（1）中的本科上線率作為甲市每個考生本科上線的概率.

（i）若從甲市隨機抽取10名高三學(xué)生，求恰有8名學(xué)生達到本科線的概率（結(jié)果精確到0?01）；

（ii）已知該省乙市2020屆高考考生人數(shù)為3.6萬，假設(shè)該市每個考生本科上線率均為〃（0<〃<1）,若2020屆高考

本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市，求？的取值范圍.

可能用到的參考數(shù)據(jù)：取0.36,=0.0168,0.I64=0.0007.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.B

【解題分析】

根據(jù)程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)的運算，直至滿足條件退出循環(huán)體，即可得出結(jié)果.

【題目詳解】

執(zhí)行程序框r=3,i=O；，=8,i=，=23,j=3；

/=68,/=7；t=203,/=15；/=6O8,i=31,

滿足，＞606,退出循環(huán)，因此輸出i=31,

故選:R.

【題目點撥】

本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果，模擬程序運行是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

2.B

【解題分析】

由題意，可設(shè)直線。石的方程為1=〃9+2,利用韋達定理判斷第一個結(jié)論；將工="-2代入拋物線C的方程可得，

y.y=8,從而，一%，進而判斷第二個結(jié)論；設(shè)尸為拋物線C的焦點，以線段隨為直徑的圓為則圓心M

為線段房的中點.設(shè)4,E到準線的距離分別為4,d2t0M的半徑為R,點/到準線的距離為"，顯然4,E,

產(chǎn)三點不共線，進而判斷第三個結(jié)論.

【題目詳解】

解：由題意，可設(shè)直線。石的方程為犬=〃少+2,

代入拋物線。的方程，有丁一4〃少一8二0.

設(shè)點8,E的坐標分別為(小,)，(王,必)，

則乂+%=4川,y^2=-8.

所xw=+2)(/wy2+2)=irry^y.+2m(y+%)+4=4.

則直線03與直線OE的斜率乘積為之為二-2.所以①正確.

中2

將x=/)，-2代入拋物線C的方程可得，力力=8,從而，以二一月，

根據(jù)拋物線的對稱性可知，A,￡兩點關(guān)于*軸對稱，

所以直線AE//＞軸.所以②正確.

如圖，設(shè)廠為拋物線。的焦點，以線段的為直徑的圓為

則圓心M為線段座的中點.設(shè)8,E到準線的距離分別為4，0加的半徑為R，點M到準線的距離為d,

顯然3,E,廠三點不共線，

c/+d,|8F|十|E尸|\BE\,,也

則d=—=——―1——■>L—^=R.所以③不正確.

222

故選：B.

【題目點撥】

本題主要考查拋物線的定義與幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、推理論證能力和

創(chuàng)新意識，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.

3.A

【解題分析】

由(1+i)z=，得z=一一，然后分子分母同時乘以分母的共扼復(fù)數(shù)可得復(fù)數(shù)z，從而可得z的虛部.

【題目詳解】

因為(l+i)z=i,

2

gerIi/(1-0i-ii+111.

1+/(1+z)(l-z)I-/21+122

所以復(fù)數(shù)z的虛部為!.

2

故選A.

【題目點撥】

本題考杳了復(fù)數(shù)的除法運算和復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.復(fù)數(shù)除法運算的方法是分子分母同時乘以分母的共軻復(fù)數(shù)，轉(zhuǎn)化

為乘法運算.

4.C

【解題分析】

分析；作出圖形，判斷軸截面的三角形的形狀，然后轉(zhuǎn)化求解〃的位置，推出結(jié)果即可.

詳解：圓錐底面半徑為石，高為2,SA是一條母線，2點是底面圓周上一點，?在底面的射影為。；5工="口=3,

OA>SOt過S4的軸截面如圖：

ZASQ>90°,過。作Q7_LSA于丁，則QTvQS,在底面圓周，選擇使得NPSA=90。，則尸到SA的距離

的最大值為3,故選：C

點睛：本題考查空間點線面距離的求法.考查空間想象能力以及計算能力，解題的關(guān)鍵是作出軸截而圖形，屬中檔題.

5.D

【解題分析】

求解/（目的導(dǎo)函數(shù)，研究其單調(diào)性，對任意不相等的正數(shù)構(gòu)造新函數(shù)，討論其單調(diào)性即可求解.

【題目詳解】

/（x）的定義域為（0,+"）,f（x）=空匚+4爾=2（2加+Q+1）,

XX

當(dāng)4V-1時，r（x）<0,故/（X）在（0,+8）單調(diào)遞減；

不妨設(shè)當(dāng)<々，而知/（x）在（0,+8）單調(diào)遞減，

從而對任意用、X,G（O,+00）,恒有28,

xr

即|/（%）-/（元2）|28人一引，

/（5）-〃吃）之8（wf）,〃與）-8內(nèi)之〃々）+8%，

令g（x）=/（x）+8x,貝?/（工）=也吧+4改+8,原不等式等價于g（x）在（0,+8）單調(diào)遞減，即

—+26/X+4<0,

從而二上上一2,因為=1匚一22-2，

2X2+12X2+12X2+1

所以實數(shù)a的取值范圍是（-8,-2]

故選：D.

【題目點撥】

此題考查含參函數(shù)研究單調(diào)性問題，根據(jù)參數(shù)范圍化簡后構(gòu)造新函數(shù)轉(zhuǎn)換為含參恒成立問題，屬于一般性題目.

6.B

【解題分析】

根據(jù)三角函數(shù)的平移求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.

【題目詳解】

將函數(shù)y=sin2A-的圖象向左平移（p（（p>0）個單位，

得到y(tǒng)=sin2（x+（p）=sin（2x+2（p],

TT

此時與函數(shù)y=sin（2x+-）的圖象重合，

6

貝！]2夕=2%乃+1,即e=&萬+芻，keZf

612

.,?當(dāng)女=0時，。取得最小值為0

故選：B.

【題目點撥】

本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的平移關(guān)系求出解析式是解決本題的關(guān)鍵.

7.B

【解題分析】

先根據(jù)圖象求出函數(shù)g（x）的解析式，再由平移知識得到/（五）的解析式然后分別找出

X71

/。)=4和8——的等價條件，即可根據(jù)充分條件，必要條件的定義求出.

212

【題目詳解】

設(shè)g（x）=Asin（3x+〃）,根據(jù)圖象可知,

A=\-T=-=>T=7T=>(0=2

y469

=sin2x+〃=1,取〃==

再由gT2;

?,.g(x)=sin2x--.

<3)

將函數(shù)出）的圖象向右平移手個單位長度，得到函數(shù)/U）的圖象,

“⑴TT卜忖弓一小呼冶）

=烏

I6)3

令。=工一多，則sin夕==cos2。=1-Zsin?。,顯然,cos10=—sin0-

63333

:.fM=；是8（±+工）=且的必要不充分條件.

31212y3

故選：B.

【題目點撥】

本題主要考查利用圖象求正（余）弦型函數(shù)的解析式三角函數(shù)的圖形變換，二倍角公式的應(yīng)用，充分條件,必要條件的定

義的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

8.B

【解題分析】

先利用幾何概型的概率計算公式算出X,）'能與1構(gòu)成銳角三角形三邊長的概率，然后再利用隨機模擬方法得到X,）'

能與1構(gòu)成銳角三角形三邊長的概率，二者概率相等即可估計出汗.

【題目詳解】

因為刀，都是區(qū)間（0,1）上的均勻隨機數(shù)，所以有Ovxvl,0<3'<1,若x,丁能與1構(gòu)成銳角三角形三邊長,

x+y>\1x1--

則,由幾何概型的概率計算公式知「二一￡=|上=絲二色，

x-+y">\

1x14n2000

435

所以乃=4x(1—一—)=3.13.

2000

故選：B.

【題目點撥】

本題考杳幾何概型的概率計算公式及運用隨機數(shù)模擬法估計概率，考查學(xué)生的基本計算能力，是一個中檔題.

9.D

【解題分析】

過點￡,尸做正方形邊的垂線，如圖，設(shè)NAE"=o,利用直線二角形中的邊角關(guān)系，將用a表示出來，根

據(jù)A8=3C,列方程求出。，進而可得正方形的邊長.

【題目詳解】

過點已夕做正方形邊的垂線，如圖，

設(shè)ZA￡M=a,則NC/Q=a,ZMEF=ZQFE=60

貝（]八8=八〃IMNINB=AEsinaI￡Tsin（60a）IFCsina

=50sintz+40sin（60-a）+30sina=40—sina+—^cosa,

XJ

CB=BP+PC=AEcosa+FCcosa-EFcos（60-?）

（3y/3}

=50cosa+30cosa-Wcos（60-a）=40—cosa------sina

[47

3.G"lJ3G.）

因為A8=C8,則40-sina+——cosa=40—cosa------sina,

?-227\22/

sina-

整理化簡得-----=2-x/3,Xsin2（2+cos2a=1>

cosa

得sina=———，cosa=——^=-

2V22V2

J3.V3〕可5、2夜+2X29卜2。心

../4ADfi=40—sm<7+——cosa=，

122J

即該正方形的邊長為20面

故選：D.

【題目點撥】

本題考杳直角三角形中的邊角關(guān)系，關(guān)鍵是要構(gòu)造直角三角形，是中檔題.

10.B

【解題分析】

因為時針經(jīng)過2小時相當(dāng)于轉(zhuǎn)了一圈的,，且按順時針轉(zhuǎn)所形成的角為負角，綜合以上即可得到本題答案.

6

【題目詳解】

因為時針旋轉(zhuǎn)一周為12小時，轉(zhuǎn)過的角度為24，按順時針轉(zhuǎn)所形成的角為負角，所以經(jīng)過2小時，時針所轉(zhuǎn)過的弧

度數(shù)為一9、2%=一：乃,

63

故選：B

【題目點撥】

本題主要考查正負角的定義以及弧度制，屬于基礎(chǔ)題.

11.B

【解題分析】

首先求出基本事件總數(shù)，則事件“恰好不同時包含字母A,B,C”的對立事件為“取出的3個球的編號恰好為字母4,

R.C”，記事件“恰好不同時包含字母人，R,?！睘椤?利用對立事件的概率公式計算可得：

【題目詳解】

解：從9個球中摸出3個球，則基本事件總數(shù)為C；=84(個)，

則事件“恰好不同時包含字母A,B,C”的對立事件為“取出的3個球的編號恰好為字母A,B,C”

3319

記事件“恰好不同時包含字母A,B,C”為E,貝iJP(E)=l-*=二.

C928

故選：B

【題目點撥】

本題考查了古典概型及其概率計算公式，考查了排列組合的知識，解答的關(guān)鍵在于正確理解題意，屬于基礎(chǔ)題.

12.C

【解題分析】

如圖所示，當(dāng)點C位于垂直于面AO4的直徑端點時，三棱錐O-A3C的體枳最大，設(shè)球。的半徑為A,此時

Vo-ABC=^c-AOB=^-x-J-/e2x/?=^-/?3=36,故A=6，則球。的表面積為S=4/r7?2=144不，故選C.

326

考點：外接球表面積和椎體的體積.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.(T0)」(0，g)

【解題分析】

先根據(jù)題意，求出〃(力=g(/(R))+〃?的解得"x)=￡,或/")二一〃?，然后求出f(x)的導(dǎo)函數(shù)，求其單調(diào)性以及

最值，在根據(jù)題意求出函數(shù)〃(X)=g(“X))+〃?有3個不同的零點心,X2,X3(X|<X2<X3),分情況討論求出

2/(5)+/(々)+/(玉)的取值范圍.

【題目詳解】

解：令t=f(x),函數(shù)/?(x)=g(/(x))I有3個不同的零點，

即g(/)=，」+m=O有兩個不同的解，解之得。=-^=-m

t-m2

即=g或/(戈)=一機

因為/(x)=g”的導(dǎo)函數(shù)

尸(力一(1一一)*>0),令/'(力<0,解得XX,/”3>0,解得ovx?,

2人

可得f(X)在(0,e)遞增，在(仇田，)遞減；

f(x)的最大值為/(e)=g,且x->0J(x)fT?;x->xoja)->0

且f(D=O；

要使函數(shù)〃("=g(/(x))+m有3個不同的零點，

(1)/(力二￡,有兩個不同的解，此時“X)=T%有一個解；

(2)〃同=一小有兩個不同的解，此時/")=￡,有一個解

當(dāng)/("二￡,有兩個不同的解，此時/(A-)=-m有一個解，

此時一加=!，〃?=一3,不符合題意；

24

或是一〃?=0,帆=0不符合題意;

-tn<0

所以只能是解得0<<1

22

/（%）=-加，/（%）="巧）=￡，

此時2/（芭）+/伍）+/伍）=皿

此時-1<-m<0

=有兩個不同的解，此時/"）=*有一個解

此時多=_L,〃z=i,不符合題意；

22

或是二=0,〃2=0不符合題意；

2

m八

—<0

21

所以只能是一解得一5<〃7<()

0<-m<-2

2

/（%）=￡，/（￡）=/（￡）=-機

此時—m,

2/UI）+/（A2）+/（X?）=

八1

0<-m<—

2

綜上：2/（內(nèi)）+/（工2）+）（七）的取值范圍是（一1，。）=［。，：

故答案為（-l，0）u（0，g

【題目點撥】

本題主要考查了函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的綜合，考查到了函數(shù)的零點，導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，以及數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想,

屬于綜合性極強的題目，屬于難題.

14.40

【解題分析】

先求出（2人-），）5的展開式的通項，再求出刀,人即得解.

【題目詳解】

設(shè)（2x-y）s的展開式的通項為（產(chǎn)C；（2x尸（_y）「=（T）>2Aq尸兒

令r=3,則T4=YC江2)戶二_dof),3,

令r=2,則7；=8或1),2=80./),2,

所以展開式中含xy的項為X-(-40?/)+)，-(80?/)=40ry.

所以xy的系數(shù)為40.

故答案為：40

【題目點撥】

本題主要考查二項式定理求指定項的系數(shù)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.

15.80.

【解題分析】

只需找到(2-x2)5展開式中的/項的系數(shù)即可.

【題目詳解】

(2-3，展開式的通項為&|二0；25?'(—馬，=(_1)，0；2沙/，令r=2,

則7；=(-1)2C；23X4=8(墳，故(2一手)的展開式中x的系數(shù)為80.

x2

故答案為：80.

【題目點撥】

本題考查二項式定理的應(yīng)用，涉及到展開式中的特殊項系數(shù)，考查學(xué)生的計算能力，是一道容易題.

16.1

【解題分析】

由題意得展開式的二項式系數(shù)之和求出〃的值，然后再計算展開式各項系數(shù)的和.

【題目詳解】

由題意。-2)"展開式的二項式系數(shù)之和為64,即2”=64,故〃=6,令x=l,則展開式各項系數(shù)的和為(1一=1.

故答案為：1

【題目點撥】

本題考查了二項展開式的二項式系數(shù)和項的系數(shù)和問題，需要運用定義加以區(qū)分，并能夠運用公式和賦值法求解結(jié)果,

需要掌握解題方法.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)0.8186：(2)估計此次活動可能贈送出100000元話卷

【解題分析】

(1)根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可求?(36<Z$79.5)的值.

(2)設(shè)某家長參加活動可獲贈話費為X元，利用題設(shè)條件求出其分布列，再利用公式求出其期望后可得計此次活動

可能贈送出的話費數(shù)額.

【題目詳解】

(1)根據(jù)題中所給的統(tǒng)計表，結(jié)合題中所給的條件，可以求得

〃=35x0.025+45x().15+55x0.2+65x().25+75x().225+85x0.1+95x0.05

=0.875+6.75+11+16.25+16.875+8.5+4.75=65

又36a65-2同79.5?65+V210,

所以尸(36vZW79.5)

=-x0.9545+-x0.6827

22

=0.81X6：

(2)根據(jù)題意，某家長參加活動可獲贈話費的可能值X有10,20,30,40元，且每位家長獲得贈送1次、2次話費

的概率都為

2

得10元的情況為低于平均值，概率P=

233

得20元的情況有兩種，得分低于平均值，一次性獲20元話費；得分不低于平均值，2次均獲贈10元話費，概率

?111227

y——x—+-x-x—=—

2323318

1212

得30元的情況為：得分不低于平均值，一次獲贈10元話費，另一次獲贈20元話費，其概率為Pn二xCx二、二二:，

2339

得40元的其情況得分不低于平均值，兩次機會均獲20元話費，概率為。=1x:x!二」.

23318

所以變量X的分布列為:

X10203040

721

P

3Ts9

1721

某家長獲贈話費的期望為E(X)=10x§+20x而+30x§+40x而=20.

所以估計此次活動可能贈送出100000元話費.

【題目點撥】

本題考查正態(tài)分布、離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，注意與正態(tài)分布有關(guān)的計算要利用該分布的密度函數(shù)圖象

的對稱性來進行，本題屬于中檔題.

18.(1)當(dāng)時，/("在(0,1)上遞增，在(1,+8)上遞減;

當(dāng)時，/(“在(0,1)上遞增，在卜,不二］上遞減，在

,+8上遞增;

2\2a—1)

當(dāng)4=1時，/(可在(0,+。)上遞增；

八)在。,貴上遞胤在貴，?上遞減，在(M)上遞增;

當(dāng)時,

(2)證明見解析

【解題分析】

(1)對“X)求導(dǎo)，分。=1進行討論，可得了(力的單調(diào)性；

(2)/(X)在定義域內(nèi)是是增函數(shù)，由⑴可知a=l,/(x)=ln.i+gx2—2x,設(shè)可得

/(%)+/(蒼)=一3=2/⑴，則0"<1<工2,設(shè)g(x)=/(2-x)+/(x)+3,x?0,l),對g(%)求導(dǎo),利用其單

調(diào)性可證明玉+%>2.

【題目詳解】

解：/(力的定義域為(0,+少),

因為/(x)=lnx+(〃-g)

x2-2ax,

(2d-l)x2—2ar+l(x-l)x-1]

所以,廣⑴=，+(2〃-1)工-2〃==9

Xx

當(dāng)公1產(chǎn)令告r(x))>o,Afr(x)<o

，得0<x<l,令，得x>l；

x>()x>0

當(dāng)■!■<〃<1時，則一!—>i,令，雷>°,得0<x<l,或一擊

22a-\

:(“<0

令，得

x>02a

當(dāng)。=1時,r(x)之0,

貝|JO<J—<1,令<,『，得

當(dāng)4>］時,

2a-lx>02a

當(dāng)QW；時，/(x)在(0,1)上遞增，在(I,+8)上遞減;

綜上所述,

乙

當(dāng)時，“X)在(0,1)上遞增，在上遞減，在［五+8)上遞增；

當(dāng)4=1時，〃X)在(0,+8)上遞增；

當(dāng)4>1時，“X)在［0,上遞墻在(J；1］上遞減，在。，”)上遞增；

\2a)12。一1J

(2)/(X)在定義域內(nèi)是是增函數(shù)，由(1)可知4=1,

此時/(工)=lnx+：f-2］，設(shè)內(nèi)<工2，

又因為/(內(nèi))+/(%)=-3=2/(1),貝

設(shè)g(M=/(2-X)+/(X)+3,X￡(0,1),則

g'(x)=_/'(2_x)+/'(x)=_°_')+(犬—。=2，1一力>()對于任意xe(0,l)成立,

2-xxx(2-x)

所以g")在(0,1)上是增函數(shù)，

所以對于Vxe(O,l),有g(shù)(x)<g⑴=2/(1)+3=0,

RPVXG(0,1),有〃2-力+〃力+2<0,

因為0<玉<1,所以〃2_玉)+/(玉)+3<0,

即/⑸>/(2-百),又/(x)在(0,+“)遞增，

所以即為+々>2.

【題目點撥】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性及導(dǎo)數(shù)在極值點偏移中的應(yīng)用，考查學(xué)生分類討論與轉(zhuǎn)化的思想，綜合

性大，屬于難題.

19.(1))2=4x或y=0(/<0)；(2)證明見解析，定點一4,生乎)

【解題分析】

(D設(shè)歷(x,y),由題意可知Ja-l『+y2=|劃+1,對X的正負分情況討論，從而求得動點M的軌跡。的方程;

444\/3

(2)設(shè)其方程為)，=質(zhì)+"與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理得到tan二71二丁一萬，所以"+4Z,

3b-4k63

所以直線A3的方程可表示為V=履+迪+4%,即y=&（x+4）+速,所以直線A8恒過定點（-4,竽）.

33

【題目詳解】

（1）設(shè)M（x,y）,

動點M到定點（1,0）的距離比到）'軸的距離多1,

/.1）2+y2=|x|+1>x?0時，解得y2=4X,

x<0時，解得y=0.

???動點M的軌跡C的方程為y2=4x或），=0（x<0）

（2）證明：如圖，設(shè)A（x，x）,8（辱以），

由題意得凡工々（否則a+/=乃）且凡%工0，

所以直線A8的斜率存在，設(shè)其方程為了=履+〃，

將,=依+人與V=4x聯(lián)立消去x,得b，2_4y+4b=0,

44b

由韋達定理知y+%=三，）'1）’2=~7，①

KK

22

顯然引二千，/二?,

?S「,「.tanJan（"上圖3!12=3切,

j

331-tanatan/j,y2-16

TT4

將①式代入上式整理化簡可得：tan二二二一六，

3b-4k

44G

所以〃=,+44=上+4攵，

&3

此時，直線A3的方程可表示為），=履+遞+43

3

即y=Z(x+4)+,

3T

所以直線A8恒過定點

【題目點撥】

本題主要考查了動點軌跡，考查了直線與拋物線的綜合，是中檔題.

27rFl

20.(