山西省太原市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中學(xué)業(yè)診斷數(shù)學(xué)試題

2024~2025學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)期中學(xué)業(yè)診斷數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：上午7：30-9：00）說(shuō)明：本試卷為閉卷筆答，答題時(shí)間90分鐘，滿分100分.題號(hào)一二三四總分得分一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題3分，共24分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.圓的圓心坐標(biāo)為（）A. B. C. D.3.過(guò)點(diǎn)和的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.4.已知，，且，則（）A. B. C. D.5.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且平行于直線，則直線的方程為（）A. B. C. D.6.已知直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則的最小值是（）A.1 B.2 C. D.7.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，若橢圓上存在點(diǎn)使得，則橢圓離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.8.在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，正方形框ABEF的邊長(zhǎng)是2，矩形框ABCD中，它們所在的平面互相垂直.活動(dòng)彈子，分別在線段AC和BF上移動(dòng)，則MN的長(zhǎng)的最小值為（）A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知橢圓，則下列說(shuō)法正確的是（）A.是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn) B.是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)C.橢圓的離心率 D.橢圓的短軸長(zhǎng)為10.已知正四棱錐中，，是PB的中點(diǎn)，是底面ABCD的中心，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.直線DE與AP所成角的余弦值為C.直線DE與平面ABCD所成角的余弦值為D.點(diǎn)到直線DE的距離為11.已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小值為B.的最小值為C.的最大值為D.的最大值為三、填空題（本題共3小題，每小題3分，共9分）12.直線在軸上的截距為______.13.已知圓經(jīng)過(guò)直線與圓的公共點(diǎn)和點(diǎn)，則圓的一般方程為______.14.已知點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，，則的最小值是______.四、解答題（本題共5小題，共49分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.（本小題滿分8分）已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，.（1）求邊AB上的中線所在直線的一般式方程；（2）求邊AB上的高所在直線的斜截式方程.16.（本小題滿分8分）如圖，四面體OABC各棱的棱長(zhǎng)都是，是的中點(diǎn)，在上，且，記，，.（1）用向量，，表示向量；（2）求OE的長(zhǎng).17.（本小題滿分10分）已知圓與圓.（1）若圓與圓相內(nèi)切，求的值；（2）在（1）的條件下，直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，求實(shí)數(shù)的值.18.（本小題滿分10分）如圖、四棱錐的底面ABCD是菱形，，.（1）求證：平面平面ABCD；（2）求平面PAB與平面PCD的夾角的余弦值.19.（本小題滿分13分）橢圓規(guī)是畫橢圓的一種工具，如圖1所示，在十字形滑槽上各有一個(gè)活動(dòng)滑標(biāo)，，有一根旋桿將兩個(gè)滑標(biāo)連成一體，為旋桿上的一點(diǎn)且在，兩點(diǎn)之間.當(dāng)滑標(biāo)在滑槽內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，滑標(biāo)在滑槽GH內(nèi)隨之運(yùn)動(dòng)，放置于處的筆尖便可畫出橢圓，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓.如圖2所示.設(shè)EF與GH交于點(diǎn)，以EF所在的直線為軸，以GH所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，記，.（1）若，，求橢圓的方程；（2）證明：動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓；（3）若，過(guò)作兩條互相垂直的射線分別交橢圓于點(diǎn)、，求證：點(diǎn)到直線PQ距離為定值.

2024～2025學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)期中學(xué)業(yè)診斷數(shù)學(xué)試題參考答案及評(píng)分建議一.單項(xiàng)選擇題：D A B C A D B C二.多項(xiàng)選擇題：9.B C D 10.A C D 11.A B D三.填空題：12.1 13. 14.四.解答題：15.解：（1）設(shè)是邊AB的中點(diǎn)，則，…2分邊AB上的中線CD的一般式方程為；……4分（2），，，邊AB上的高所在直線的斜率，…6分 邊AB上的高所在直線的斜截式方程為.……8分16.（1）解：連接OD，則；……4分（2）由（1）得，，.……8分17.解：（1），，，……2分，，，，……4分圓與圓相內(nèi)切，，，；……5分（2）由（1）得，圓的方程為，，，……7分故圓心到直線的距離，.……10分18.（1）證明：設(shè)是AD的中點(diǎn)，連結(jié)OP，OB，四邊形ABCD是菱形，，，，，，平面ABCD，平面平面ABCD；（2）由（1）得，，，以為原點(diǎn)，OA，OB，OP所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)是平面PAB的一個(gè)法向量，則令，則，……6分設(shè)是平面PCD的一個(gè)法向量，則令，則，……8分，平面PAB與平面PCD的夾角的余弦值為.……10分19.解：（1）由題意可設(shè)橢圓的方程，則，，橢圓的方程為；…3分（2）解法一：設(shè)，，，由題意得，，，，，整理得，當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為半長(zhǎng)軸長(zhǎng)、為半短軸長(zhǎng)的橢圓；當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為半長(zhǎng)軸長(zhǎng)、為半短軸長(zhǎng)的橢圓.……8分解法二：設(shè)，，由題意得，，則，即，當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為半長(zhǎng)軸長(zhǎng)、為半短軸長(zhǎng)的橢圓；當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為半長(zhǎng)軸長(zhǎng)、為半短軸長(zhǎng)的橢圓.……8分（3）由