第13講橢圓及其標準方程5種基礎(chǔ)?？碱}型（原卷版）

第13講橢圓及其標準方程5種基礎(chǔ)常考題型考點分析考點一：橢圓的定義平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù)()，這個動點的軌跡叫橢圓．這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距．注意：①若，則動點的軌跡為線段；②若，則動點的軌跡無圖形．考點二：橢圓的標準方程與幾何性質(zhì)標準方程圖形性質(zhì)焦點，，焦距范圍，，對稱性關(guān)于軸、軸和原點對稱頂點，，軸長軸長，短軸長離心率（注：離心率越小越圓，越大越扁）考點三：橢圓的通徑過橢圓的焦點與橢圓的長軸垂直的直線被橢圓所截得的線段稱為橢圓的通徑，其長為．考點四：橢圓上一點的有關(guān)最值①橢圓上到中心距離最小的點是短軸的兩個端點，到中心距離最大的點是長軸的兩個端點．②橢圓上到焦點距離最大和最小的點是長軸的兩個端點．距離的最大值為，距離的最小值為．題型目錄題型一：橢圓的定義題型二：利用橢圓定義的解題題型三：利用橢圓定義求范圍題型四：橢圓中有關(guān)三角形周長、面積問題題型五：橢圓的標準方程典型例題題型一：橢圓的定義【例1】如果點在運動過程中，總滿足關(guān)系式，則點的軌跡是（）．A．不存在 B．橢圓 C．線段 D．雙曲線【例2】設(shè)為定點，，動點M滿足，則動點M的軌跡是（

）A．橢圓 B．直線 C．圓 D．線段【例3】已知△ABC的周長為20，且頂點B（0，﹣4），C（0，4），則頂點A的軌跡方程是（）A．（x≠0） B．（x≠0）C．（x≠0） D．（x≠0）【題型專練】1．已知動點滿足(為大于零的常數(shù))﹐則動點的軌跡是A．線段 B．圓 C．橢圓 D．直線2.已知點，動點P滿足，則點P的軌跡為（）A．橢圓 B．直線 C．圓 D．線段3.（多選）在平面直角坐標系中，下列方程表示的曲線是橢圓的有（）A．B．C．D．4.已知△ABC的周長為10，且頂點，，則頂點的軌跡方程是（）A． B．C． D．題型二：利用橢圓定義的解題在處理橢圓問題的時候，要優(yōu)先思考定義，俗稱定義優(yōu)先原則，而非上來就直接設(shè)直線和橢圓聯(lián)立．所以在解題的時候如果看到點在橢圓上，要時刻思考橢圓定義，將該點和焦點連線，用上定義分析問題．【例1】已知橢圓的左、右焦點分別為，，過點的直線交橢圓于，兩點，若，則等于（）A．8 B．6 C．4 D．2【例2】橢圓滿足這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)射光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點．現(xiàn)在設(shè)有一個水平放置的橢圓形臺球盤，滿足方程：，點、是它的兩個焦點，當靜止的小球放在點處，從點沿直線出發(fā)，經(jīng)橢圓壁（非橢圓長軸端點）反彈后，回到點時，小球經(jīng)過的最短路程是（）A．20 B．18 C．16 D．以上均有可能【例3】（2021新高考1卷）已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為（）A.13 B.12 C.9 D.6【例4】（2023重慶市松樹橋中學(xué)校高二月考）設(shè)，分別為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，且，則（）A． B． C． D．【例5】（2023吉林高三其他模擬）已知橢圓的焦點為，，其中，的長軸長為，過的直線與交于，兩點.若，，則（）A． B． C． D．【例6】設(shè)，為橢圓的兩個焦點，點P在橢圓上，若線段的中點在y軸上，則的值為（

）A． B． C． D．【例7】已知橢圓的左焦點為，點在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是（

）A． B． C． D．【例8】（2023福建省泰寧第一中學(xué)月考）、是橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，，過作的角平分線的垂線，垂足為，則的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【題型專練】1.（2023武邑月考）橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，如果的中點在軸上，那么是的（）A．7倍 B．6倍 C．5倍 D．4倍2.（2023深圳期中）已知橢圓，點與的焦點不重合，若關(guān)于的焦點的對稱點分別為，，線段的中點在上，則（）A．10 B．15 C．20 D．253.（2023重慶市第十一中學(xué)校高三月考）已知橢圓，焦點，.過作傾斜角為的直線L交上半橢圓于點A，以(O為坐標原點)為鄰邊作平行四邊形，點B恰好也在橢圓上，則A． B． C． D．124.已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，若，則（

）A． B． C． D．5.在平面直角坐標系中，若△ABC的頂點和，頂點B在橢圓上，則的值是（

）A． B．2 C． D．46.已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上且在軸的下方，若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．7.設(shè)是橢圓：上一點，，分別是的左、右焦點，則A．5 B． C．4 D．8.橢圓上一點到焦點的距離為2，是的中點，則等于（）A．2 B．4 C．6 D．1.59.已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為（）A．13 B．12 C．9 D．610．平面內(nèi)有兩個定點和一動點，設(shè)命題甲：是定值，命題乙：點的軌跡是橢圓，則命題甲是命題乙的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．已知A為橢圓上一點，F(xiàn)為橢圓一焦點，的中點為，為坐標原點，若則（）A． B． C． D．題型三：利用橢圓定義求范圍若表示橢圓，則若表示焦點在軸上的橢圓，則若表示焦點在軸上的橢圓，則【例1】方程x2＋ky2＝2表示焦點在x軸上的橢圓的一個充分但不必要條件是（）A． B． C． D．【例2】“”是“方程表示的曲線為橢圓”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【例3】方程表示橢圓的一個必要不充分條件是（）A．m＞0 B．m＞4 C．m＞0且m≠4 D．m＜0【例4】（多選題）已知曲線A．若，則是橢圓，其焦點在軸上B．若，則是橢圓，其焦點在軸上C．若，則是圓，其半徑為D．若，，則是兩條直線【題型專練】1.已知方程表示橢圓，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B．C． D．2.若橢圓：的一個焦點坐標為，則的長軸長為（）A． B．2 C． D．3.是方程表示橢圓的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件4．已知p：方程表示橢圓，q：.則p是q的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件題型四：橢圓中有關(guān)三角形周長、面積問題【例1】已知△的頂點?在橢圓上，頂點是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在邊上，則△的周長為（）A．B．C．D．【例2】（2023廣西欽州一中高三開學(xué)考試（理））設(shè)橢圓C：(a>0，b>0)的左?右焦點分別為，，離心率為.P是C上一點，且⊥.若的面積為4，則a=（）A．1 B．2 C．4 D．8【例3】橢圓的焦點為、，點在橢圓上，若，則的面積為A．24 B．28C．40 D．48【題型專練】1.（2014安徽）設(shè),分別是橢圓：的左、右焦點，過點的直線交橢圓于兩點，（Ⅰ）若的周長為16，求；2.點，為橢圓：的兩個焦點，點為橢圓內(nèi)部的動點，則周長的取值范圍為（）A． B．C． D．3.已知橢圓C：的左右焦點分別是，過的直線與橢圓C交于A，B兩點，且，則（）A．4 B．6 C．8 D．104.（黃梅國際育才高級中學(xué)高二月考）設(shè)是橢圓上一點，分別是橢圓的左、右焦點，若，則的大小_____.5.（2020·正定縣弘文中學(xué)月考）焦點在x軸上的橢圓焦距為8，兩個焦點為，弦AB過點，則的周長為（）A．20 B．28 C． D．題型五：橢圓的標準方程【例1】橢圓的焦點坐標為(﹣5，0)和(5，0），橢圓上一點與兩焦點的距離和是26，則橢圓的方程為（）A．＝1 B．+＝1 C．+＝1 D．+＝1【例2】已知橢圓：和橢圓：的離心率相同，則A． B．C． D．【例3】橢圓：的焦點在軸上，其離心率為，則A．橢圓的短軸長為 B．橢圓的長軸長為4C．橢圓的焦距為4 D．【例4】橢圓的右焦點到直線的距離是A． B．C．1 D．【例5】求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1），，焦點在y軸上；（2）與橢圓有相同的焦點，且經(jīng)過點（3）經(jīng)過兩點【例6】（2020·四川青羊.樹德中學(xué)高三月考（文））已知橢圓的焦點為，．過點的直線與交于，兩點．若的周長為8，則橢圓的標準方程為（）．A． B． C． D．【例7】（2019全國1文12）已知橢圓C的焦點為，過F2的直線與C交于A，B兩點.若，，則C的方程為A． B． C． D．【例8】橢圓（>>0）的左、右焦點分別為,，且過的直線交橢圓于兩點，且．（Ⅰ）若|，|，求橢圓的標準方程；【例9】已知點，橢圓：的離心率為，是橢圓的右焦點，直線的斜率為，為坐標原點．（Ⅰ)求的方程；【題型專練】1．到點和的距離之和為的點的軌跡方程為（）A． B． C． D．2.（鎮(zhèn)遠縣文德民族中學(xué)校高二月考）求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）焦點在軸上，中心為坐標原點，經(jīng)過點，.（2）以點，為焦點，經(jīng)過點.3.（多選）已知橢圓C：，則下列結(jié)論正確的是A．長軸長為 B．焦距為C．焦點坐標為 D．離心率為4.已知橢圓的長軸在y軸上，若焦距為4，則m等于A．3 B．5C．7 D．85.已知橢圓的左右焦點分別為，離心率為，過的直線l交C與A，B兩點，若△的周長為，則C的方程為（

）A． B． C． D．6.（2019·山西高三開學(xué)