第28講正弦定理和余弦定理

第28講正弦定理和余弦定理1.正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理余弦定理正弦定理公式a2＝b2＋c2－2bccos__A；b2＝c2＋a2－2cacos__B；c2＝a2＋b2－2abcos__Ceq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R常見(jiàn)變形cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)(1)a＝2RsinA，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA2.在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解無(wú)解3.三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示a邊上的高).(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(abc,4R).(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r為內(nèi)切圓半徑).1.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).2.三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.3.在△ABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB.考點(diǎn)1利用正、余弦定理解三角形[名師點(diǎn)睛](1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過(guò)解方程求得未知元素.(2)正弦定理、余弦定理的另一個(gè)作用是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化，解題時(shí)可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系，也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系.[典例]1.(2021·新高考Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知b2＝ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC＝asinC.(1)證明：BD＝b.(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.(1)證明因?yàn)锽Dsin∠ABC＝asinC，所以由正弦定理得，BD·b＝ac，又b2＝ac，所以BD·b＝b2，又b>0，所以BD＝b.(2)解法一如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AB于E，因?yàn)锳D＝2DC，所以eq\f(AE,EB)＝eq\f(AD,DC)＝2，eq\f(DE,BC)＝eq\f(2,3)，所以BE＝eq\f(c,3)，DE＝eq\f(2,3)a.在△BDE中，cos∠BED＝eq\f(BE2＋DE2－BD2,2BE·DE)＝eq\f(\f(c2,9)＋\f(4a2,9)－b2,2·\f(c,3)·\f(2a,3))＝eq\f(c2＋4a2－9b2,4ac)＝eq\f(c2＋4a2－9ac,4ac).在△ABC中，cos∠ABC＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)＝eq\f(c2＋a2－ac,2ac).因?yàn)椤螧ED＝π－∠ABC，所以cos∠BED＝－cos∠ABC，所以eq\f(c2＋4a2－9ac,4ac)＝－eq\f(c2＋a2－ac,2ac)，化簡(jiǎn)得3c2＋6a2－11ac＝0，方程兩邊同時(shí)除以a2，得3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))eq\s\up12(2)－11eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))＋6＝0，解得eq\f(c,a)＝eq\f(2,3)或eq\f(c,a)＝3.當(dāng)eq\f(c,a)＝eq\f(2,3)，即c＝eq\f(2,3)a時(shí)，cos∠ABC＝eq\f(c2＋a2－ac,2ac)＝eq\f(\f(4,9)a2＋a2－\f(2,3)a2,\f(4,3)a2)＝eq\f(7,12)；當(dāng)eq\f(c,a)＝3，即c＝3a時(shí)，cos∠ABC＝eq\f(c2＋a2－ac,2ac)＝eq\f(9a2＋a2－3a2,6a2)＝eq\f(7,6)>1(舍).綜上，cos∠ABC＝eq\f(7,12).法二因?yàn)閑q\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BA,\s\up6(→))，所以eq\o(BD,\s\up6(→))2＝eq\f(4,9)eq\o(BC,\s\up6(→))2＋eq\f(4,9)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,9)eq\o(BA,\s\up6(→))2.因?yàn)锽D＝b，所以b2＝eq\f(4,9)a2＋eq\f(4,9)accos∠ABC＋eq\f(1,9)c2，所以9b2＝4a2＋4accos∠ABC＋c2.①又b2＝ac＝a2＋c2－2accos∠ABC，②所以①－②，得8ac＝3a2＋6accos∠ABC，所以cos∠ABC＝eq\f(8ac－3a2,6ac)＝eq\f(4,3)－eq\f(a,2c).由①②知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9＝4×\f(a,c)＋4cos∠ABC＋\f(c,a)，,1＝\f(a,c)＋\f(c,a)－2cos∠ABC，))所以11＝eq\f(6a,c)＋eq\f(3c,a)，所以6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))eq\s\up12(2)－11×eq\f(a,c)＋3＝0，解得eq\f(a,c)＝eq\f(3,2)或eq\f(a,c)＝eq\f(1,3).當(dāng)eq\f(a,c)＝eq\f(3,2)時(shí)，cos∠ABC＝eq\f(4,3)－eq\f(3,4)＝eq\f(7,12)；當(dāng)eq\f(a,c)＝eq\f(1,3)時(shí)，cos∠ABC＝eq\f(4,3)－eq\f(1,6)＝eq\f(7,6)(不合題意，舍去).所以cos∠ABC＝eq\f(7,12).2．（2022·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【解】（1）因?yàn)?，即，而，所以；?）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．[舉一反三]1．（2022·上海·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，已知，D是邊上的一點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，由余弦定理得：，因?yàn)椋?，在中，由正弦定理得：，即，解得：故選：D2．（2022·山東·濟(jì)南市歷城第二中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足，若，則的取值范圍是__________．【答案】【分析】因?yàn)?，由正弦定理得，由余弦定理得，?所以，因?yàn)椋烧叶ɡ碇?，所以，因?yàn)樵阡J角中，有，，得，所以，此時(shí)，則，故答案為：3．（2022·山東日照·三模）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，且成等比數(shù)列，則________．【答案】【分析】解：由成等比數(shù)列，得，又所以，所以.故答案為：4．（2022·江蘇江蘇·一模）在中，角的對(duì)邊分別為.若，則的最小值是___________.【答案】【分析】解：由余弦定理得，又，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，所以的最小值是，故答案為：.5．（2022·全國(guó)·高考真題（理））記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長(zhǎng)．【解】(1)證明：因?yàn)?，所以，所以，即，所以?2)解：因?yàn)?，由?）得，由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長(zhǎng)為.考點(diǎn)2判斷三角形的形狀[名師點(diǎn)睛]1.判定三角形形狀的途徑：(1)化邊為角，通過(guò)三角變換找出角之間的關(guān)系；(2)化角為邊，通過(guò)代數(shù)變形找出邊之間的關(guān)系，正(余)弦定理是轉(zhuǎn)化的橋梁.2.無(wú)論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項(xiàng)提取公因式，否則會(huì)有漏掉一種形狀的可能.注意挖掘隱含條件，重視角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的限制.[典例]1．（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，則的形狀一定是（

）A．等腰三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】A【分析】由正弦定理，得，又在中，，所以，所以，即，故的形狀一定是等腰三角形，故選：A．2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、若，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．不確定【答案】C【分析】在中，原等式化為：，由正弦定理得，，即，由余弦定理得：，整理得，則有，于是有或，是等腰三角形或直角三角形，所以的形狀是等腰三角形或直角三角形.故選：C[舉一反三]1．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）小強(qiáng)計(jì)劃制作一個(gè)三角形，使得它的三條邊中線的長(zhǎng)度分別為1，，，則（

）A．能制作一個(gè)銳角三角形 B．能制作一個(gè)直角三角形C．能制作一個(gè)鈍角三角形 D．不能制作這樣的三角形【答案】C【分析】由向量關(guān)系與余弦定理列方程求解三條邊長(zhǎng)后判斷【詳解】設(shè)三角形的三條邊為a，b，c，設(shè)中點(diǎn)為D，，則，∴同理，∴，∴，，∴可以構(gòu)成三角形，∴，∴為鈍角三角形，故選：C2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在中，角所對(duì)的邊分別是，且，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】A【分析】首先利用正弦定理邊化角公式得到，即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，即，整理得到，因?yàn)椋?，所以，即，，為等腰三角?故選：A3．（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）若滿(mǎn)足，且，則的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．銳角三角形或直角三角形【答案】B【分析】由正弦定理可得，結(jié)合，可得，即，分析即得解【詳解】由正弦定理，以及，可得代入，可得故故為直角三角形故選：B4．（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，面積為.若，，則的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．正三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】由三角形的內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式、正弦定理以及二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)已知條件，可求角，由三角形的面積公式和平面向量數(shù)量積的定義可求角，再由三角形的內(nèi)角和求角，即可判斷的形狀，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，即，由正弦定理可得：，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，可得，所以，解得，因?yàn)?，所以，即，所以，可得，所以，所以的形狀是正三角形，故選：C.5．（2022·湖南·長(zhǎng)沙一中高三開(kāi)學(xué)考試）中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知.(1)求內(nèi)角B的大小；(2)已知的面積為，，請(qǐng)判定的形狀，并說(shuō)明理由.解：（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，又由，可得，因?yàn)?，可得，所以，即，又因?yàn)?，可?（2）因?yàn)榈拿娣e為，所以，所以，因?yàn)椋裕?，所以，故為直角三角?考點(diǎn)3和三角形面積有關(guān)的問(wèn)題[名師點(diǎn)睛]與三角形面積有關(guān)問(wèn)題的解題策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關(guān)邊、角之后，直接求三角形的面積；(2)把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結(jié)合求出三角形的其他量.[典例]1．（2022·全國(guó)·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長(zhǎng)的三個(gè)正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．解：（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，.2．（2022·福建·三明一中模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)求角A；(2)若M為的中點(diǎn)，，求面積的最大值．解：(1)解法一：因?yàn)?，由正弦定理得：，所以，因?yàn)?，所以，為，所以．解法二：因?yàn)?，由余弦定理得：，整理得，即，又由余弦定理得所以，因?yàn)?，所以?2)解法一：因?yàn)镸為的中點(diǎn)，所以，所以，即，即，而，所以即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立所以的面積為．即的面積的最大值為．解法二：設(shè)，在中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得，②因?yàn)?，所以所以?②式得．③在中，由余弦定理得，而，所以，④聯(lián)立③④得：，即，而，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以的面積為．即的面積的最大值為．[舉一反三]1．（2022·江蘇·南京市第五高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）在中，，為的中點(diǎn)，，則面積的最大值為_(kāi)_____.【答案】【分析】首先利用余弦定理得到邊長(zhǎng)的關(guān)系式，然后結(jié)合勾股定理和基本不等式即可求得面積的最大值．【