專題04概率與統(tǒng)計(jì)（理）（原卷版）

專題04概率與統(tǒng)計(jì)（理）概率統(tǒng)計(jì)理科題型，在大題17,18,19,20，21題型位置都出現(xiàn)過，大多數(shù)是常規(guī)門檻基礎(chǔ)題，也曾經(jīng)在2019年成為全國高考壓軸大題之一。19年以后全國甲乙卷中概率統(tǒng)計(jì)題在難度上逐漸降溫，回歸到基礎(chǔ)大題位置。概率統(tǒng)計(jì)題，是實(shí)際生活問題為背景，基礎(chǔ)問多考察抽樣方法，總體估計(jì)等統(tǒng)計(jì)問題或概率計(jì)算、條件概率，正態(tài)分布等概率問題，以及回歸分析或獨(dú)立性檢驗(yàn)等。在重點(diǎn)考察處多為隨機(jī)變量分布列及其期望計(jì)算，還涉及到數(shù)列遞推與最值求解，難點(diǎn)在于閱讀并能準(zhǔn)確的把試題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)數(shù)學(xué)知識，并與數(shù)列等知識結(jié)合。常考題型：回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)，下棋、設(shè)計(jì)、投籃、摸球等模型分布列，藥物實(shí)驗(yàn)等選擇最優(yōu)化模型，正態(tài)分布型，數(shù)列遞推型分布列，求最值型分布列一、回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)例題、下表為2015—2021年中國數(shù)字經(jīng)濟(jì)規(guī)模（單位：萬億元）及2022—2024年中國數(shù)字經(jīng)濟(jì)規(guī)模預(yù)測統(tǒng)計(jì)表，記2015—2024年對應(yīng)的代碼分別為1~10．年份2015年2016年2017年2018年2019年2020年2021年2022年2023年2024年年份代碼12345678910中國數(shù)字經(jīng)濟(jì)規(guī)模/萬億元18.622.627.231.335.839.245.554.360.668.3(1)根據(jù)2015—2021年的數(shù)據(jù)知可用線性回歸模型擬合中國數(shù)字經(jīng)濟(jì)規(guī)模y與年份代碼x之間的關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；(2)對于未來n年的變化，通過兩種不同模型預(yù)測得到兩組數(shù)據(jù)，，…，與，，，，記M為數(shù)據(jù)，，…，，，，…，中的最大值，若，則稱這兩組數(shù)據(jù)相吻合，利用（1）中求得的線性回歸方程對2022—2024年的中國數(shù)字經(jīng)濟(jì)規(guī)模進(jìn)行預(yù)測，判斷所得預(yù)測數(shù)據(jù)與表中預(yù)測數(shù)據(jù)是否吻合．參考數(shù)據(jù)：，．參考公式：線性回歸方程中，斜率與截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．經(jīng)驗(yàn)回歸方程：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的成對樣本數(shù)據(jù)，由最小二乘法得，．將稱為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線．這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估計(jì)．（2）觀測值：對于響應(yīng)變量Y，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值．（3）預(yù)測值：通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的稱為預(yù)測值．（4）殘差：觀測值減去_預(yù)估值稱為殘差．（5）的計(jì)算公式為．在表達(dá)式中，與經(jīng)驗(yàn)回歸方程無關(guān)，殘差平方和與經(jīng)驗(yàn)回歸方程有關(guān)．因此越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果約好；越小，表示殘差平方和越大，即模型的擬合效果_越差，越接近1，擬合效果越好．（湖北省十七所重點(diǎn)中學(xué)2023屆高三下學(xué)期2月第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）為調(diào)查某地區(qū)植被覆蓋面積x（單位：公頃）和野生動物數(shù)量y的關(guān)系，某研究小組將該地區(qū)等面積劃分為200個區(qū)塊，從中隨機(jī)抽取20個區(qū)塊，得到樣本數(shù)據(jù)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：x…2.73.63.2…y…57.864.762.6…經(jīng)計(jì)算得：．(1)利用最小二乘估計(jì)建立y關(guān)于x的線性回歸方程；(2)該小組又利用這組數(shù)據(jù)建立了x關(guān)于y的線性回歸方程，并把這兩條擬合直線畫在同一坐標(biāo)系下，橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的意義與植被覆蓋面積x和野生動物數(shù)量y一致，（?。┍容^前者與后者的斜率大小，并證明；（ⅱ）求這兩條直線的公共點(diǎn)坐標(biāo)．附：y關(guān)于x的回歸方程中，斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：．1.（安徽省合肥市2023屆高三下學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）研究表明，溫度的突然變化會引起機(jī)體產(chǎn)生呼吸道上皮組織的生理不良反應(yīng)，從而導(dǎo)致呼吸系統(tǒng)疾病的發(fā)生或惡化．某中學(xué)數(shù)學(xué)建模社團(tuán)成員欲研究晝夜溫差大小與該校高三學(xué)生患感冒人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們記錄了某周連續(xù)六天的溫差，并到校醫(yī)務(wù)室查閱了這六天中每天高三學(xué)生新增患感冒而就診的人數(shù)，得到資料如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天晝夜溫差x（℃）47891412新增就診人數(shù)y（位）參考數(shù)據(jù)：，．(1)已知第一天新增患感冒而就診的學(xué)生中有7位女生，從第一天新增的患感冒而就診的學(xué)生中隨機(jī)抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率為，求的值；(2)已知兩個變量x與y之間的樣本相關(guān)系數(shù)，請用最小二乘法求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，據(jù)此估計(jì)晝夜溫差為15℃時，該校新增患感冒的學(xué)生數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）．參考公式：，．2.（河南省普高聯(lián)考20222023學(xué)年高三下學(xué)期測評（四）理科數(shù)學(xué)試題）某公司為了解年?duì)I銷費(fèi)用x（單位：萬元）對年銷售量y（單位：萬件）的影響，統(tǒng)計(jì)了近5年的年?duì)I銷費(fèi)用和年銷售量，得到的散點(diǎn)圖如圖所示，對數(shù)據(jù)進(jìn)行初步處理后，得到一些統(tǒng)計(jì)量的值如下表所示．表中，，，．已知可以作為年銷售量y關(guān)于年?duì)I銷費(fèi)用x的回歸方程．(1)求y關(guān)于x的回歸方程；(2)若公司每件產(chǎn)品的銷售利潤為4元，固定成本為每年120萬元，用所求的回歸方程估計(jì)該公司每年投入多少營銷費(fèi)用，才能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到最大？（收益銷售利潤營銷費(fèi)用固定成本）參考數(shù)據(jù)：，．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，．1.（2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)III卷））某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間（單位：min）繪制了如下莖葉圖：（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；（2）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過和不超過的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過不超過第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：，2.（2017年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（新課標(biāo)1卷精編版））為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每隔從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個零件，并測量其尺寸（單位：）．下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16個零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9．9510．129．969．9610．019．929．9810．04抽取次序910111213141516零件尺寸10．269．9110．1310．029．2210．0410．059．95經(jīng)計(jì)算得，，，其中為抽取的第個零件的尺寸，．（1）求的相關(guān)系數(shù)，并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變?。ㄈ?，則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小）．（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．（?。倪@一天抽檢的結(jié)果看，是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？（ⅱ）在之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計(jì)這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差．（精確到）附：樣本的相關(guān)系數(shù)，．二、下棋、射擊、投籃、摸球等模型分布列例題1、口袋中共有7個質(zhì)地和大小均相同的小球，其中4個是黑球，現(xiàn)采用不放回抽取方式每次從口袋中隨機(jī)抽取一個小球，直到將4個黑球全部取出時停止.(1)記總的抽取次數(shù)為X，求E（X）；(2)現(xiàn)對方案進(jìn)行調(diào)整：將這7個球分裝在甲乙兩個口袋中，甲袋裝3個小球，其中2個是黑球；乙袋裝4個小球，其中2個是黑球.采用不放回抽取方式先從甲袋每次隨機(jī)抽取一個小球，當(dāng)甲袋的2個黑球被全部取出后再用同樣方式在乙袋中進(jìn)行抽取，直到將乙袋的2個黑球也全部取出后停止.記這種方案的總抽取次數(shù)為Y，求E（Y）并從實(shí)際意義解釋E（Y）與（1）中的E（X）的大小關(guān)系.例題2、（河南省鄭州市2023屆高三第一次質(zhì)量預(yù)測理科數(shù)學(xué)試題）世界杯足球賽淘汰賽階段的比賽規(guī)則為：90分鐘內(nèi)進(jìn)球多的球隊(duì)取勝，如果參賽雙方在90分鐘內(nèi)無法決出勝負(fù)（踢成平局），將進(jìn)行30分鐘的加時賽，若加時賽階段兩隊(duì)仍未分出勝負(fù)，則進(jìn)入“點(diǎn)球大戰(zhàn)”．點(diǎn)球大戰(zhàn)的規(guī)則如下：①兩隊(duì)各派5名隊(duì)員，雙方輪流踢點(diǎn)球，累計(jì)進(jìn)球個數(shù)多者勝；②如果在踢滿5球前，一隊(duì)進(jìn)球數(shù)已多于另一隊(duì)踢5球可能踢中的球數(shù)，則該隊(duì)勝出，譬如：第4輪結(jié)束時，雙方進(jìn)球數(shù)比，則不需踢第5輪了；③若前5輪點(diǎn)球大戰(zhàn)中雙方進(jìn)球數(shù)持平，則采用“突然死亡法”決出勝負(fù)，即從第6輪起，雙方每輪各派1人踢點(diǎn)球，若均進(jìn)球或均不進(jìn)球，則繼續(xù)下一輪．直到出現(xiàn)一方進(jìn)球另一方不進(jìn)球的情況，進(jìn)球方勝．現(xiàn)有甲乙兩隊(duì)在淘汰賽中相遇，雙方勢均力敵，120分鐘（含加時賽）仍未分出勝負(fù)，須采用“點(diǎn)球大戰(zhàn)”決定勝負(fù)．設(shè)甲隊(duì)每名球員射進(jìn)的概率為，乙隊(duì)每名球員射進(jìn)的概率為．每輪點(diǎn)球結(jié)果互不影響．(1)設(shè)甲隊(duì)踢了5球，為射進(jìn)點(diǎn)球的個數(shù)，求的分布列與期望；(2)若每輪點(diǎn)球都由甲隊(duì)先踢，求在第四輪點(diǎn)球結(jié)束時，乙隊(duì)進(jìn)了4個球并剛好勝出的概率．下棋，投籃，設(shè)計(jì)，摸球，以及商場推銷游戲等等，這類模型，體現(xiàn)在“對戰(zhàn)”與“擇優(yōu)”，閱讀量大，題意理解要求高，分清楚“游戲規(guī)則”，需要多種情況討論，在轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型時，可以借助圖表，畫出“時間線”，標(biāo)記符號來達(dá)到分類討論不偏不漏。（湖南省四大名校名師團(tuán)隊(duì)2023屆高三普通高校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)模擬沖刺卷（一））黨的二十大勝利召開，某單位組織舉辦“百年黨史”知識對抗賽，組委會將參賽人員隨機(jī)分為若干組，每組均為兩名選手，每組對抗賽開始時，組委會隨機(jī)從百年黨史題庫抽取道搶答試題，每位選手搶到每道試題的機(jī)會相等比賽細(xì)則為：選手搶到試題且回答正確得分，對方選手得分選手搶到試題但回答錯誤或沒有回答得分，對方選手得分道題目搶答完畢后得分多者獲勝已知甲、乙兩名選手被分在同一組進(jìn)行對抗賽，每道試題甲回答正確的概率為，乙回答正確的概率為，兩名選手每道試題回答是否正確相互獨(dú)立．(1)求乙同學(xué)得分的概率(2)記為甲同學(xué)的累計(jì)得分，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．1.（廣東省茂名市2023屆高三一模數(shù)學(xué)試題）學(xué)校舉辦學(xué)生與智能機(jī)器人的圍棋比賽，現(xiàn)有來自兩個班的學(xué)生報(bào)名表，分別裝入兩袋，第一袋有5名男生和4名女生的報(bào)名表，第二袋有6名男生和5名女生的報(bào)名表，現(xiàn)隨機(jī)選擇一袋，然后從中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，讓他們參加比賽.(1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；(2)比賽記分規(guī)則如下：在一輪比賽中，兩人同時贏積2分，一贏一輸積0分，兩人同時輸積分.現(xiàn)抽中甲、乙兩位同學(xué)，每輪比賽甲贏概率為，乙贏概率為，比賽共進(jìn)行二輪.（i）在一輪比賽中，求這兩名學(xué)生得分的分布列；（ii）在兩輪比賽中，求這兩名學(xué)生得分的分布列和均值.2.（遼寧省名校聯(lián)盟20222023學(xué)年高三下學(xué)期質(zhì)量檢測考試數(shù)學(xué)試題）口袋中有5個球，其中白球2個，黑球3個，每次從口袋中取一個球，若取出的是白球，則不放回，若取出的是黑球，則放回袋中.(1)求在第2次取出的是黑球的條件下，第1次取出的是白球的概率；(2)求取了3次后，取出的白球的個數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.1.（2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）甲、乙兩個學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個項(xiàng)目，每個項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，沒有平局．三個項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；(2)用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望．2.（2022年新高考北京數(shù)學(xué)高考真題）在校運(yùn)動會上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎．為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立．(1)估計(jì)甲在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的概率；(2)設(shè)X是甲、乙、丙在校運(yùn)動會鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望E（X）；(3)在校運(yùn)動會鉛球比賽中，甲、乙、丙誰獲得冠軍的概率估計(jì)值最大？（結(jié)論不要求證明）三、藥物實(shí)驗(yàn)等選擇最優(yōu)化模型例題、為了解新研制的抗病毒藥物的療效，某生物科技進(jìn)行動物試驗(yàn).先對所有白鼠服藥，然后對每只白鼠的血液進(jìn)行抽樣化驗(yàn)，若檢測樣本結(jié)果呈陽性，則白鼠感染病毒;若檢測樣本結(jié)果呈陰性，則白鼠未感染病毒.現(xiàn)隨機(jī)抽取只白鼠的血液樣本進(jìn)行檢驗(yàn)，有如下兩種方案:方案一:逐只檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)次;方案二:混合檢驗(yàn)，將只白鼠的血液樣本混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則只白鼠未感染病毒;若檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，則對這只白鼠的血液樣本逐個檢驗(yàn)，此時共需要檢驗(yàn)次.(1)若，且只有兩只白鼠感染病毒，采用方案一，求恰好檢驗(yàn)3次就能確定兩只感染病毒白鼠的概率;(2)已知每只白鼠感染病毒的概率為.①采用方案二，記檢驗(yàn)次數(shù)為，求檢驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望;②若，每次檢驗(yàn)的費(fèi)用相同，判斷哪種方案檢驗(yàn)的費(fèi)用更少?并說明理由.藥物實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，多是兩種方案的計(jì)算，分析，比較，選擇。要注意區(qū)分兩種方案的區(qū)別與練習(xí)，特別要注意兩種方案之間是否是完全無關(guān)，還是存在兩種方案的“銜接與轉(zhuǎn)換”。某種疾病可分為Ⅰ?II兩種類型.為了解該疾病類型與性別是否有關(guān)，在某地區(qū)隨機(jī)抽取了男女患者各200名，每位患者患Ⅰ型或II型病中的一種，得到下面的列聯(lián)表：Ⅰ型病II型病男15050女12575(1)根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為所患疾病類型與性別有關(guān).(2)某藥品公司欲研發(fā)此疾病的治療藥物，現(xiàn)有兩種試驗(yàn)方案，每種方案至多安排2個接種周期，且該藥物每次接種后出現(xiàn)抗體的概率為p（0<p<1），每人每次接種的費(fèi)用為m元（m為大于零的常數(shù)）.方案一：每個周期必須接種3次，若在第一個周期內(nèi)3次出現(xiàn)抗體，則終止試驗(yàn)；否則進(jìn)入第二個接種周期.方案二：每個周期至多接種3次，若第一個周期前兩次接種后均出現(xiàn)抗體，則終止本周期的接種，進(jìn)入第二個接種周期，否則需依次接種完3次，再進(jìn)入第二個接種周期；若第二個接種周期第1次接種后出現(xiàn)抗體，且連同第一個接種周期共3次出現(xiàn)抗體，則終止試驗(yàn)，否則需依次接種完3次.假設(shè)每次接種后出現(xiàn)抗體與否相互獨(dú)立.用隨機(jī)變量X和Y分別表示按方案一和方案二進(jìn)行一次試驗(yàn)的費(fèi)用.①求和；②從平均費(fèi)用的角度考慮，哪種方案較好？參考公式：，其中n=a+b+c+d.參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0250.0100.0050.001x02.7063.8415.0246.6357.87910.8281.（重慶市秀山高級中學(xué)2023屆高三上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)試題）在某地暴發(fā)的新型病毒分為?兩種類型，為了解感染此種病毒的類型與年齡的關(guān)系，該地疾控中心隨機(jī)抽取了部分新型病毒感染者進(jìn)行調(diào)查.據(jù)統(tǒng)計(jì)，型病毒感染者人數(shù)是型病毒感染者人數(shù)的2倍，在型病毒感染者中60歲以上的人數(shù)是其他人數(shù)的5倍，在B型病毒感染者中60歲以上的人數(shù)是其他人數(shù)的一半.（1）若根據(jù)卡方檢驗(yàn)，有超過99.5%的把握認(rèn)為“感染新型病毒的類型與年齡有關(guān)”，則抽取的型病毒感染者至少有多少人？（2）醫(yī)療機(jī)構(gòu)研發(fā)了針對這種新型病毒的兩種治療藥物甲和乙，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)室試驗(yàn)知乙種藥物治療新型病毒有效的概率是甲種藥物的2倍.某地欲引進(jìn)甲?乙兩種藥物對患者進(jìn)行治療，按規(guī)定，需要對兩種藥物進(jìn)行臨床試驗(yàn).甲種藥物共進(jìn)行兩輪試驗(yàn)，每輪試驗(yàn)中若連續(xù)2次有效或試驗(yàn)3次時，本輪試驗(yàn)結(jié)束；乙種藥物先進(jìn)行3次試驗(yàn)，若至少2次有效，則試驗(yàn)結(jié)束，否則再進(jìn)行3次試驗(yàn)后方可結(jié)束.假定兩種藥物每次試驗(yàn)是否有效均互相獨(dú)立，且兩種藥物的每次試驗(yàn)費(fèi)用相同.請結(jié)合以上針對兩種藥物的臨床試驗(yàn)方案，估計(jì)哪種藥物的試驗(yàn)費(fèi)用較低？附：(其中)()0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.8282.（陜西省西安市長安區(qū)2023屆高三下學(xué)期一模理科數(shù)學(xué)試題）某學(xué)校組織知識競答比賽，設(shè)計(jì)了兩種答題方案：方案一：先回答一道多選題，從第二道開始都回答單選題；方案二：全部回答單選題.其中每道單選題答對得2分，答錯得0分；多選題全部選對得3分，選對但不全得1分，有錯誤選項(xiàng)得0分.每名參與競答的同學(xué)至多答題3道.在答題過程中得到4分或4分以上立刻停止答題.統(tǒng)計(jì)參與競答的500名同學(xué)，所得結(jié)果如下表所示：男生女生選擇方案一10080選擇方案二200120(1)能否有的把握認(rèn)為方案的選擇與性別有關(guān)?(2)小明回答每道單選題的正確率為0.8；多選題完全選對的概率為0.3，選對且不全的概率為0.3.①若小明選擇方案一，記小明的得分為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；②如果你是小明，為了獲取更好的得分你會選擇哪個方案?請通過計(jì)算說明理由.附：，.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8281.（2021年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計(jì)得分，求的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.2.（普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（理）試題（大綱卷Ⅰ））已知5只動物中有1只患有某種疾病,需要通過化驗(yàn)血液來確定患病的動物.血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的即為患病動物,呈陰性的即沒患病.下面是兩種化驗(yàn)方案:方案甲:逐個化驗(yàn),直到能確定患病動物為止.方案乙:先任取3只,將它們的血液混在一起化驗(yàn).若結(jié)果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只,然后再逐個化驗(yàn),直到能確定患病動物為止;若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(yàn).(1)求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率;(2)表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù),求的期望.四、正態(tài)分布模型例題、年卡塔爾世界杯采用的“半自動越位定位技術(shù)”成為本屆比賽的一大技術(shù)亮點(diǎn)，該項(xiàng)技術(shù)的工作原理是將若干個傳感器芯片內(nèi)置于足球中，每個傳感芯片都可以高頻率定位持球球員，以此判斷該球員是否越位．為了研究該技術(shù)的可靠性，現(xiàn)從生產(chǎn)的傳感芯片中隨機(jī)抽取個，將抽取到的傳感芯片的最高頻率（單位：）統(tǒng)計(jì)后，得到的頻率分布直方圖如圖所示：(1)求這批芯片的最高頻率的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）和方差；(2)根據(jù)頻率分布直方圖，可以近似認(rèn)為這批傳感芯片的最高頻率服從正態(tài)分布．用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，試估計(jì)，從這批傳感芯片中任取一個，其最高頻率大于的概率；(3)若傳感芯片的最高頻率大于，則該傳感志片是可精確定位的，現(xiàn)給每個足球內(nèi)置個傳感芯片，若每個足球中可精確定位的芯片數(shù)不少于一半，則該足球可以滿足賽事要求，能夠精確判定球員是否越位，否則就需要增加裁判數(shù)量，通過助理裁判指證、慢動作回放等方式進(jìn)行裁定．已知每個傳感芯片的生產(chǎn)和維護(hù)費(fèi)用約為萬元/場，因足球不可精確定位而產(chǎn)生的一次性人力成本為萬元/場，從單場比賽的成本考慮，每個足球內(nèi)置多少個芯片，可以讓比賽的總成本最低？附：，，．正態(tài)分布是一種重要的分布，尤其是正態(tài)分布的原則，審清題意，細(xì)心計(jì)算。（1）若是正態(tài)隨機(jī)變量，其概率密度曲線的函數(shù)表達(dá)式為，（其中是參數(shù)，且，）。其圖像如圖137所示，有以下性質(zhì)：=1\*GB3①曲線在軸上方，并且關(guān)于直線對稱；=2\*GB3②曲線在處處于最高點(diǎn)，并且此處向左右兩邊延伸時，逐漸降低，呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的形狀；=3\*GB3③曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”，越小，曲線越“高瘦”；=4\*GB3④圖像與軸之間的面積為1.（2）=，=，記作.當(dāng)時，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作.（3），則在，，上取值的概率分別為68.3%，95.4%，99.7%，這叫做正態(tài)分布的原則。為檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，某藥物研究所科研人員隨機(jī)選取100只小白鼠，并將該疫苗首次注射到這些小白鼠體內(nèi)．獨(dú)立環(huán)境下試驗(yàn)一段時間后檢測這些小白鼠的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)值并制成如下的頻率分布直方圖（以小白鼠醫(yī)學(xué)指標(biāo)值在各個區(qū)間上的頻率代替其概率）：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)100只小白鼠該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示）；（2）若認(rèn)為小白鼠的該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)值服從正態(tài)分布，且首次注射疫苗的小白鼠該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)值不低于14.77時，則認(rèn)定其體內(nèi)已經(jīng)產(chǎn)生抗體；進(jìn)一步研究還發(fā)現(xiàn)，對第一次注射疫苗的100只小白鼠中沒有產(chǎn)生抗體的那一部分群體進(jìn)行第二次注射疫苗，約有10只小白鼠又產(chǎn)生了抗體．這里近似為小白鼠醫(yī)學(xué)指標(biāo)平均值，近似為樣本方差．經(jīng)計(jì)算得，假設(shè)兩次注射疫苗相互獨(dú)立，求一只小白鼠注射疫苗后產(chǎn)生抗體的概率（精確到0.01）．附：參考數(shù)據(jù)與公式，若，則①；②；③．1.（河北省衡水市第二中學(xué)2023屆高三上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題）某工廠生產(chǎn)一批零件，其直徑X滿足正態(tài)分布（單位：）.(1)現(xiàn)隨機(jī)抽取15個零件進(jìn)行檢測，認(rèn)為直徑在之內(nèi)的產(chǎn)品為合格品，若樣品中有次品則可以認(rèn)定生產(chǎn)過程中存在問題.求上述事件發(fā)生的概率，并說明這一標(biāo)準(zhǔn)的合理性.（已知：）(2)若在上述檢測中發(fā)現(xiàn)了問題，另抽取100個零件進(jìn)一步檢測，則這100個零件中的次品數(shù)最可能是多少？2．（安徽省淮南市2023屆高三上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題）年月日時分，搭載空間站夢天實(shí)驗(yàn)艙成功發(fā)射，并進(jìn)入預(yù)定軌道，夢天艙的重要結(jié)構(gòu)件導(dǎo)軌支架采用了打印的薄壁蒙皮點(diǎn)陣結(jié)構(gòu).打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù).隨著技術(shù)不斷成熟，打印在精密儀器制作應(yīng)用越來越多.某企業(yè)向一家科技公司租用一臺打印設(shè)備，用于打印一批對內(nèi)徑有較高精度要求的零件.已知這臺打印設(shè)備打印出品的零件內(nèi)徑（單位：）服從正態(tài)分布.(1)若該臺打印了件這種零件，記表示這件零件中內(nèi)徑指標(biāo)值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù)，求；(2)該科技公司到企業(yè)安裝調(diào)試這臺打印設(shè)備后，試打了個零件.度量其內(nèi)徑分別為（單位：）：、、、、，試問此打印設(shè)備是否需要進(jìn)一步調(diào)試，為什么？參考數(shù)據(jù)：，，，1.（全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)1卷精編版））為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：cm）.根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布.（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及X的數(shù)學(xué)期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.（ⅰ）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；（ⅱ）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得，，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，.用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ（精確到0.01）.附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，則，，.2.（年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)（新課標(biāo)Ⅰ））從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下圖頻率分布直方圖：（I）求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均值和樣本方差（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（II）由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.（i）利用該正態(tài)分布，求；（ii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù).利用（i）的結(jié)果，求.附：若則，．五、數(shù)列遞推型分布列例題1、某中學(xué)舉辦了詩詞大會選拔賽，共有兩輪比賽，第一輪是詩詞接龍，第二輪是飛花令．第一輪給每位選手提供5個詩詞接龍的題目，選手從中抽取2個題目，主持人說出詩詞的上句，若選手在10秒內(nèi)正確回答出下句可得10分，若不能在10秒內(nèi)正確回答出下句得0分．(1)已知某位選手會5個詩詞接龍題目中的3個，求該選手在第一輪得分的數(shù)學(xué)期望；(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四個團(tuán)隊(duì)參加飛花令環(huán)節(jié)的比賽，每一次由四個團(tuán)隊(duì)中的一個回答問題，無論答題對錯，該團(tuán)隊(duì)回答后由其他團(tuán)隊(duì)搶答下一問題，且其他團(tuán)隊(duì)有相同的機(jī)會搶答下一問題．記第n次回答的是甲的概率為，若．①求P2，P3；②證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并比較第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大?。}2、冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征和嚴(yán)重急性呼吸綜合征等較嚴(yán)重疾?。衲瓿醭霈F(xiàn)并在全球蔓延的新型冠狀病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株．人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等．在較嚴(yán)重病例中感染可導(dǎo)致肺炎、嚴(yán)重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡．某藥物研究所為篩查該種病毒，需要檢驗(yàn)血液是否為陽性，現(xiàn)有（，且）份血液樣本，每個樣本取到的可能性相等，有以下兩種檢驗(yàn)方式：方式一：逐份檢驗(yàn)則需要檢驗(yàn)次；方式二：混合檢驗(yàn)，將份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了；如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這份再逐份檢驗(yàn)，此時這份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次．假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為．（1）假設(shè)有6份血液樣本，其中只有2份樣本為陽性，從中任取3份樣本進(jìn)行醫(yī)學(xué)研究，求至少有1份為陽性樣本的概率；（2）假設(shè)將（且）份血液樣本進(jìn)行檢驗(yàn)，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為；①運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識，若，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；②若與干擾素計(jì)量相關(guān)，其中數(shù)列滿足，當(dāng)時，試討論采用何種檢驗(yàn)方式更好？參考數(shù)據(jù)：．?dāng)?shù)列分布列的求解，分析和利用題中條件，轉(zhuǎn)化為數(shù)列遞推公式，利用遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列、累加法等方法求解數(shù)列通項(xiàng)公式和數(shù)列中的項(xiàng)的問題.這類題型綜合性較強(qiáng)，要求學(xué)生能夠熟練掌握數(shù)列通項(xiàng)求解、概率求解的相關(guān)知識，對學(xué)生分析和解決問題能力要求較高.近兩年因?yàn)橐咔榈脑颍€上教學(xué)越來越普遍了．為了提升同學(xué)們的聽課效率，授課教師可以選擇在授課過程中進(jìn)行專注度監(jiān)測，即要求同學(xué)們在10秒鐘內(nèi)在軟件平臺上按鈕簽到，若同學(xué)們能夠在10秒鐘內(nèi)完成簽到，則說明該同學(xué)在認(rèn)真聽課，否則就可以認(rèn)為該同學(xué)目前走神了．經(jīng)過一個月對全體同學(xué)上課情況的觀察統(tǒng)計(jì)，平均每次專注度監(jiān)測有的同學(xué)能夠正常完成簽到．為了能夠進(jìn)一步研究同學(xué)們上課的專注度情況，我們做如下兩個約定：①假設(shè)每名同學(xué)在專注度監(jiān)測中出現(xiàn)走神情況的概率均相等；②約定每次專注度監(jiān)測中，每名同學(xué)完成簽到加2分，未完成簽到加1分．請回答如下兩個問題：(1)若一節(jié)課老師會進(jìn)行3次專注度監(jiān)測，那么某班同學(xué)在3次專注度監(jiān)測中的總得分的數(shù)學(xué)期望是多少？(2)記某位同學(xué)在數(shù)次專注度監(jiān)測中累計(jì)得分恰為分的概率為（比如：表示累計(jì)得分為分的概率，表示累計(jì)得分為的概率），求：①的通項(xiàng)公式；②的通項(xiàng)公式．1.（2023屆福建省福州第一中學(xué)高三下學(xué)期教學(xué)反饋檢測數(shù)學(xué)（理）試題）在全球關(guān)注的抗擊“新冠肺炎”中，某跨國科研中心的一個團(tuán)隊(duì)，研制了甲、乙兩種治療“新冠肺炎”新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗(yàn)，試驗(yàn)方案如下：第一種：選取共10只患病白鼠，服用甲藥后某項(xiàng)指標(biāo)分別為：；第二種：選取共10只患病白鼠，服用乙藥后某項(xiàng)指標(biāo)分別為：；該團(tuán)隊(duì)判定患病白鼠服藥后這項(xiàng)指標(biāo)不低于85的確認(rèn)為藥物有效，否則確認(rèn)為藥物無效.（1）已知第一種試驗(yàn)方案的10個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為89，求這組數(shù)據(jù)的方差；（2）現(xiàn)需要從已服用乙藥的10只白鼠中隨機(jī)抽取7只，記其中服藥有效的只數(shù)為，求的分布列與期望；（3）該團(tuán)隊(duì)的另一實(shí)驗(yàn)室有1000只白鼠，其中900只為正常白鼠，100只為患病白鼠，每用新研制的甲藥給所有患病白鼠服用一次，患病白鼠中有變?yōu)檎０资?，但正常白鼠仍有變?yōu)榛疾“资?，假設(shè)實(shí)驗(yàn)室的所有白鼠都活著且數(shù)量不變，且記服用次甲藥后此實(shí)驗(yàn)室正常白鼠的只數(shù)為.（i）求并寫出與的關(guān)系式；（ii）要使服用甲藥兩次后，該實(shí)驗(yàn)室正常白鼠至少有950只，求最大的正整數(shù)的值.2.（江西省余干縣新時代學(xué)校20222023學(xué)年高二階段測試（二）數(shù)學(xué)（理）試題）在全球關(guān)注的抗擊“新冠肺炎”中，某跨國科研中心的一個團(tuán)隊(duì)，研制了甲、乙兩種治療“新冠肺炎”新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗(yàn)，試驗(yàn)方案如下：第一種：選取，，，，，，，，，共10只患病白鼠，服用甲藥后某項(xiàng)指標(biāo)分別為：84，87，89，91，92，92，86，89，90，90；第二種：選取，，，，，，，，，共10只患病白鼠，服用乙藥后某項(xiàng)指標(biāo)分別為：81，87，83，82，80，90，86，89，84，79；該團(tuán)隊(duì)判定患病白鼠服藥后這項(xiàng)指標(biāo)不低于85的確認(rèn)為藥物有效，否則確認(rèn)為藥物無效.（1）已知第一種試驗(yàn)方案的10個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為89，求這組數(shù)據(jù)的方差；（2）現(xiàn)需要從已服用乙藥的10只白鼠中隨機(jī)抽取7只，求其中服藥有效的只數(shù)不超過2只的概率；（3）該團(tuán)隊(duì)的另一實(shí)驗(yàn)室有1000只白鼠，其中900只為正常白鼠，100只為患病白鼠，每用新研制的甲藥給所有患病白鼠服用一次，患病白鼠中有90%變?yōu)檎０资螅０资笕杂凶優(yōu)榛疾“资?，假設(shè)實(shí)驗(yàn)室的所有白鼠都活著且數(shù)量不變，且記服用次甲藥后此實(shí)驗(yàn)室正常白鼠的只數(shù)為.（?。┣蟛懗雠c的關(guān)系式；（ⅱ）要使服用甲藥兩次后，該實(shí)驗(yàn)室正常白鼠至少有950只，求最大的正整數(shù)的值.1.（2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)試題）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，．（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個最小正實(shí)根，求證：當(dāng)時，，當(dāng)時，；（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實(shí)際含義．2.（2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅰ））為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗(yàn)．試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗(yàn)．對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn)．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X．（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計(jì)得分為時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設(shè)，．(i)證明：為等比數(shù)列；(ii)求，并根據(jù)的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性．求最值型分布列例題1.超級細(xì)菌是一種耐藥性細(xì)菌，產(chǎn)生超級細(xì)菌的主要原因是用于抵抗細(xì)菌侵蝕的藥物越來越多，但是由于濫用抗生素的現(xiàn)象不斷的發(fā)生，很多致病菌也對相應(yīng)的抗生素產(chǎn)生了耐藥性，更可怕的是，抗生素藥物對它起不到什么作用，病人會因?yàn)楦腥径鹂膳碌难装Y，高燒，痙攣，昏迷，甚至死亡.某藥物研究所為篩查某種超級細(xì)菌，需要檢驗(yàn)血液是否為陽性，現(xiàn)有份血液樣本，每個樣本取到的可能性相等，有以下兩種檢驗(yàn)方式：（1）逐份檢驗(yàn)，則需要檢驗(yàn)次；（2）混合檢驗(yàn)，將其中（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，則這份的血液全為陰性，因而這份血液樣本只要檢驗(yàn)一次就夠了；如果檢驗(yàn)結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗(yàn)，此時這k份血液的檢驗(yàn)次數(shù)總共為次.假設(shè)在接受檢驗(yàn)的血液樣本中，每份樣本的檢驗(yàn)結(jié)果是陽性還是陰性都是獨(dú)立的，且每份樣本是陽性結(jié)果的概率為現(xiàn)取其中（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為，采用混合檢驗(yàn)方式，樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)為（1）運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的知識，若，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）若與抗生素計(jì)量相關(guān)，其中是不同的正實(shí)數(shù)，滿足，對任意的，都有（i）證明：為等比數(shù)列；（ii）當(dāng)時，采用混合檢驗(yàn)方式可以使得樣本需要檢驗(yàn)的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗(yàn)的總次數(shù)期望值更少，求的最大值.參考數(shù)據(jù)：，，，，，例題2、北京2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”一亮相，好評不斷，這是一次中國文化與奧林匹克精神的完美結(jié)合，是一次現(xiàn)代設(shè)計(jì)理念的傳承與突破．為了宣傳2022年北京冬奧會和冬殘奧會，合肥一中決定安排5名志愿者將兩個吉祥物安裝在合一廣場，活動共分3批次進(jìn)行每次活動需要同時派送2名志愿者，且每次派送人員均從5人中隨機(jī)抽選．已知這5名志愿者中，2人有安裝經(jīng)驗(yàn)，3人沒有安裝經(jīng)驗(yàn)．(1)求5名志愿者中的“小明”，在這3批次安裝活動中有且只有一次被抽選到的概率；(2)求第二次抽選時，選到?jīng)]有安裝經(jīng)驗(yàn)志愿者的人數(shù)最有可能是幾人？請說明理由；(3)現(xiàn)在需要2名志愿者完成某項(xiàng)特殊教學(xué)任務(wù)，每次只能派一個人，且每個人只派一次，如果前一位志愿者一定時間內(nèi)不能完成教學(xué)任務(wù)，則再派另一位志愿者．若有A、B兩個志愿者可派，他們各自完成任務(wù)的概率分別為，，假設(shè)，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨(dú)立．若按某種指定順序派人，這兩個人各自能完成任務(wù)的概率依次為，，其中，是、的一個排列，試分析以怎樣的順序派出志愿者，可使所需派出志愿者的人員數(shù)目的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最?。植剂凶钪敌停婕暗綐?gòu)造函數(shù)，分類討論，構(gòu)造數(shù)列，均值不等式，放縮法等等綜合性求最值。結(jié)合題意，轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的函數(shù)，或者數(shù)列等等，進(jìn)行最值求