2022-2023學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題之第三單元尋找不變量問(wèn)題專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)

20222023學(xué)年六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列之第三單元：尋找不變量問(wèn)題專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)（解析版）1．某班一次聚會(huì)，請(qǐng)假人數(shù)和出席人數(shù)的比是1∶9，中途又有1人請(qǐng)假離開(kāi)，這時(shí)請(qǐng)假人數(shù)和出席人數(shù)的比是3∶22，這個(gè)班共有多少人？【答案】50人【分析】根據(jù)題意，這個(gè)班總?cè)藬?shù)不變，原來(lái)請(qǐng)假人數(shù)占總?cè)藬?shù)的：；中途又有1人請(qǐng)假離開(kāi)，這時(shí)請(qǐng)假人數(shù)占總?cè)藬?shù)；中途請(qǐng)假的1人占全班人數(shù)的－；再用1除以（－），求出全班人數(shù)?！驹斀狻?÷（－）＝1÷（－）＝1÷（－）＝1÷＝1×50＝50（人）答：這個(gè)班人數(shù)有50人?！军c(diǎn)睛】應(yīng)用分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算，抓住全班人數(shù)不發(fā)生改變，所以將其看做單位“1”。2．甲、乙兩個(gè)車(chē)間原有人數(shù)比4∶3，從甲車(chē)間調(diào)48人到乙車(chē)間，甲、乙兩個(gè)車(chē)間現(xiàn)有人數(shù)比2∶3，甲、乙兩個(gè)車(chē)間原有人數(shù)各多少人？【答案】甲車(chē)間160人；乙車(chē)間120人【分析】從甲車(chē)間調(diào)48人到乙車(chē)間，甲乙兩車(chē)間的總?cè)藬?shù)不變，原來(lái)甲占兩車(chē)間總?cè)藬?shù)的，現(xiàn)在甲占兩車(chē)間總?cè)藬?shù)的，兩個(gè)分率之差對(duì)應(yīng)從甲車(chē)間調(diào)去乙車(chē)間的人數(shù)，根據(jù)“量÷對(duì)應(yīng)的分率”求出兩個(gè)車(chē)間的總?cè)藬?shù)，再根據(jù)比的應(yīng)用求出甲、乙兩車(chē)間原有的人數(shù)，據(jù)此解答?！驹斀狻?8÷（－）＝48÷（－）＝48÷＝280（人）甲：280×＝160（人）乙：280×＝120（人）答：甲車(chē)間原有160人，乙車(chē)間原有120人?！军c(diǎn)睛】抓住題中的不變量，并利用分?jǐn)?shù)除法求出兩個(gè)車(chē)間的總?cè)藬?shù)是解答題目的關(guān)鍵。3．未未和萊拉原有圖書(shū)數(shù)量的比是2∶3，未未又買(mǎi)來(lái)24本書(shū)后，未未和萊拉現(xiàn)在圖書(shū)數(shù)量的比是6∶7，則原來(lái)未未有多少本書(shū)？萊拉有多少本書(shū)？【答案】84本；126本【分析】設(shè)原來(lái)共有x本書(shū)，未未又買(mǎi)來(lái)24本書(shū)后，現(xiàn)在共有（x＋24）本，萊拉的圖書(shū)數(shù)量沒(méi)變，根據(jù)原來(lái)總本數(shù)÷原來(lái)總份數(shù)×原來(lái)萊拉對(duì)應(yīng)份數(shù)＝現(xiàn)在總本數(shù)÷現(xiàn)在總份數(shù)×現(xiàn)在萊拉對(duì)應(yīng)份數(shù)，列出方程，求出x的值是原來(lái)總本數(shù)，原來(lái)總本數(shù)÷原來(lái)總份數(shù)，求出一份數(shù)，一份數(shù)分別乘原來(lái)未未和萊拉的對(duì)應(yīng)份數(shù)即可求出他們?cè)瓉?lái)的本數(shù)?！驹斀狻?＋3＝5（份）6＋7＝13（份）解：設(shè)原來(lái)共有x本書(shū)。x÷5×3＝（x＋24）÷13×7x＝（x＋24）x＝x＋x－x＝x＋－xx×＝×x＝210210÷（2＋3）＝210÷5＝42（本）42×2＝84（本）42×3＝126（本）答：原來(lái)未未有84本書(shū)，萊拉有126本書(shū)?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵是理解比的意義，用方程解決問(wèn)題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系。4．大寶和小寶一起喝湯圓，本來(lái)大寶碗里的和小寶碗里的個(gè)數(shù)之比為2∶3，后來(lái)大寶想要減肥，又夾了4個(gè)湯圓到小寶碗里，此時(shí)大小寶碗里湯圓之比為1∶2，求兩人一共有多少個(gè)湯圓？【答案】60個(gè)【分析】?jī)扇说臏珗A總數(shù)不變，開(kāi)始時(shí)總數(shù)為5份，當(dāng)大寶想要減肥，又夾了4個(gè)湯圓到小寶碗里，此時(shí)大小寶碗里湯圓之比為1∶2，總數(shù)為3份，進(jìn)行份數(shù)統(tǒng)一，找3和5的最小公倍數(shù)15，則假設(shè)湯圓總數(shù)為15份，則原來(lái)兩人湯圓數(shù)量之比為，現(xiàn)在兩人湯圓數(shù)量之比為，大寶湯圓數(shù)量由原來(lái)的6份變?yōu)?份，減少1份，這一份是4個(gè)湯圓，據(jù)此解答即可?！驹斀狻看髮殰珗A數(shù)量由原來(lái)的6份變?yōu)?份，減少1份，這1份是4個(gè)湯圓一共有：（個(gè)）答：兩人一共有60個(gè)湯圓?！军c(diǎn)睛】本題考查按比分配，解答本題的關(guān)鍵是掌握兩人湯圓總量不變。5．北京時(shí)間2021年12月9日下午，“太空教師”翟志剛、王亞平、葉光富在中國(guó)空間站開(kāi)設(shè)了一場(chǎng)精彩的太空科普課。六（1）班少先隊(duì)大隊(duì)委集中觀看了直播。其中參與的男隊(duì)員與女隊(duì)員的人數(shù)比是3∶2，后來(lái)又來(lái)了6名女隊(duì)員參與觀看，這時(shí)男隊(duì)員與女隊(duì)員的人數(shù)比是5∶4。原來(lái)參與觀看直播的男、女隊(duì)員各有多少名？【答案】男隊(duì)員45人，女隊(duì)員30人【分析】先前參與的男隊(duì)員與女隊(duì)員的人數(shù)比是3∶2＝15∶10，后來(lái)男隊(duì)員與女隊(duì)員的人數(shù)比是5∶4＝15∶12，把隊(duì)員的人數(shù)比看作份數(shù)，前后比較，男生份數(shù)沒(méi)變，女生由先前的10份，增長(zhǎng)到12份，增加了2份，對(duì)應(yīng)的是6名女隊(duì)員加入，所以一份人數(shù)是3人，乘先前男生和女生各自的份數(shù)，得到最終的答案?！驹斀狻?∶2＝3×5∶2×5＝15∶10，5∶4＝5×3∶4×3＝15∶12（名）男隊(duì)員：（名），女隊(duì)員：（名）答：原來(lái)參與觀看直播的男隊(duì)員45名，女隊(duì)員有30名?！军c(diǎn)睛】解決此題的關(guān)鍵是抓住男隊(duì)員人數(shù)不變，把男女隊(duì)員的人數(shù)看作份數(shù)，求出一份的數(shù)量，再去求部分的量。6．甲、乙兩瓶藥液質(zhì)量的比是4∶1，如果從甲瓶中取出13g倒入乙瓶后，甲乙兩瓶藥液質(zhì)量的比變成了7∶5，甲、乙兩瓶藥液原來(lái)各有多少克？【答案】甲液原來(lái)有48克、乙藥液原來(lái)有12克?！痉治觥考滓覂善克幰旱馁|(zhì)量之和沒(méi)有發(fā)生變化，則原先甲乙兩瓶藥液的質(zhì)量之和看做5份，現(xiàn)在甲乙兩瓶藥液的質(zhì)量之和看做12份，統(tǒng)一成60份后，甲藥液由原來(lái)的48份，變成現(xiàn)在的35份，少了13份，每一份是1克，據(jù)此求出甲、乙兩瓶藥液原來(lái)各有多少克即可?！驹斀狻?∶1＝（4×12）∶（1×12）＝48∶127∶5＝（7×5）∶（5×5）＝35∶2513÷（48－35）＝13÷13＝1（克）甲：1×48＝48（克）乙：1×12＝12（克）答：甲液原來(lái)有48克、乙藥液原來(lái)有12克?！军c(diǎn)睛】本題考查按比分配，解答本題的關(guān)鍵是掌握按比分配解決問(wèn)題的方法。7．一個(gè)書(shū)架上層和下層的本數(shù)比4∶5，如果把上層拿120本到下層，這樣下層剛好是上層的2倍，這個(gè)書(shū)架原來(lái)上層有多少本？【答案】480本【分析】根據(jù)“這樣下層剛好是上層的2倍”可知，后來(lái)上層與下層的本數(shù)比為1∶2；原來(lái)上層本數(shù)是總本數(shù)的，后來(lái)上層本數(shù)是總本數(shù)的，據(jù)此可知，上層拿出的120本占總本數(shù)的－，根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義求出總本數(shù)，再乘原來(lái)上層本數(shù)占總本數(shù)的分率即可?！驹斀狻亢髞?lái)上層與下層的本數(shù)比為1∶2；120÷（－）×＝120÷×＝480（本）；答：這個(gè)書(shū)架原來(lái)上層有480本。【點(diǎn)睛】先求出后來(lái)上層與下層的本數(shù)比是解答本題的關(guān)鍵，進(jìn)而求出上層拿出的120本占總本數(shù)的分率，再根據(jù)分?jǐn)?shù)乘除法的意義解答。8．某學(xué)校六年級(jí)加入公益活動(dòng)和沒(méi)加入公益活動(dòng)的人數(shù)之比是8∶5，后來(lái)又有20名學(xué)生參與進(jìn)來(lái)，這時(shí)參與公益活動(dòng)與沒(méi)參與的人數(shù)之比是10∶3，這個(gè)年級(jí)有多少名學(xué)生？【答案】130名【分析】總?cè)藬?shù)沒(méi)變，即單位“1”沒(méi)變，用20名學(xué)生÷對(duì)應(yīng)分率＝總?cè)藬?shù)，據(jù)此列式解答?！驹斀狻?0÷（－）＝20÷（－）＝20÷＝130（名）答：這個(gè)年級(jí)有130名學(xué)生。【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是確定單位“1”，理解分?jǐn)?shù)除法和比的意義。9．現(xiàn)有200毫升的糖水，是由糖和水按3∶22的比配制成的。再加上多少毫升水后，糖與水的比是1∶9？【答案】40毫升【分析】糖和水按3∶22的比配制成200毫升的糖水，糖占糖水的，根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義可求出糖的量，加水后糖的量不變，糖與水的比是1∶9，糖占糖水的，糖的量除以加水后糖占糖水的分率即為加水后糖水的量，用加水后糖水的量減去原糖水的量即為加水的量?！驹斀狻?00×÷＝200×÷＝24÷＝240（毫升）240－200＝40（毫升）答：再加上40毫升水后，糖與水的比是1∶9?！军c(diǎn)睛】本題考查比的應(yīng)用，關(guān)鍵要明確加水后糖水的量減去原來(lái)糖水的量即為加水的量。10．在新農(nóng)村的建設(shè)中，小強(qiáng)到修路現(xiàn)場(chǎng)做調(diào)查。他問(wèn)工人叔叔要修的路有多長(zhǎng)，工人叔叔說(shuō)：“已經(jīng)修好的和還沒(méi)修的長(zhǎng)度的比是2∶5，再修450米，已經(jīng)修好的和還沒(méi)修的長(zhǎng)度的比是1∶2”，要修的路總長(zhǎng)多少米？【答案】9450米【分析】根據(jù)兩個(gè)已經(jīng)修好的和還沒(méi)修的長(zhǎng)度的比，再修450米前，修好的占總長(zhǎng)度的，再修450米后，修好的占總長(zhǎng)度的，前后相差－，相差450米，用450米÷對(duì)應(yīng)分率＝路的總長(zhǎng)?！驹斀狻?50÷（－）＝450÷（－）＝450÷＝9450（米）答：要修的路總長(zhǎng)9450米?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵是理解比的意義，通過(guò)兩個(gè)比確定對(duì)應(yīng)分率，部分?jǐn)?shù)量÷對(duì)應(yīng)分率＝總體數(shù)量。11．甲、乙兩袋糖果的質(zhì)量之比是3∶2，如果從甲袋糖果中拿出5千克放入乙袋，這時(shí)甲、乙兩袋糖果的質(zhì)量之比是1∶1。兩袋糖果一共重多少千克？【答案】50千克【分析】甲、乙兩袋糖果的質(zhì)量之比是3∶2，甲袋比乙袋多3－2份，甲袋拿出多出份數(shù)的一半放入乙袋，兩袋質(zhì)量相等，據(jù)此求出一份數(shù)，用一份數(shù)×總份數(shù)即可?！驹斀狻?÷[（3－2）÷2]＝5÷（1÷2）＝5÷0.5＝10（千克）10×（3＋2）＝10×5＝50（千克）答：兩袋糖果一共重50千克?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵是確定甲袋放入乙袋的質(zhì)量的對(duì)應(yīng)的份數(shù)，求出一份數(shù)。12．加工一批零件，已完成個(gè)數(shù)與零件總個(gè)數(shù)的比是1∶5，如果再加工15個(gè)，那么完成個(gè)數(shù)與剩下的個(gè)數(shù)同樣多，這批零件共有多少個(gè)？【答案】50個(gè)【分析】設(shè)這批零件共有x個(gè)，根據(jù)已完成個(gè)數(shù)與零件總個(gè)數(shù)的比是1∶5，可知完成的占總個(gè)數(shù)的，沒(méi)完成的占1－，完成了x個(gè)，沒(méi)完成（1－）x個(gè)，根據(jù)完成的個(gè)數(shù)＋15＝?jīng)]完成的個(gè)數(shù)－15，列出方程解答即可?！驹斀狻拷猓涸O(shè)這批零件共有x個(gè)。x＋15＝（1－）x－15x＋15＝x－15x＝30x＝50答：這批零件共有50個(gè)。【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是通過(guò)比確定完成和沒(méi)完成的對(duì)應(yīng)分率，找到等量關(guān)系，從而列出方程進(jìn)行解答。13．甲、乙兩箱粉筆盒數(shù)的比是5∶1，如果從甲箱里取出12盒放入乙箱后，甲、乙兩箱粉筆盒數(shù)的比是7∶5。甲箱原來(lái)有多少盒粉筆？【答案】40盒【分析】先將前后兩個(gè)比的總份數(shù)進(jìn)行統(tǒng)一，再求出前后兩個(gè)比的份數(shù)差，通過(guò)兩個(gè)比份數(shù)差的變化，求出從甲箱取走的份數(shù)，求出一份數(shù)，用一份數(shù)×原來(lái)甲的份數(shù)即可?！驹斀狻?∶1＝10∶210－2＝8（份）7－5＝2（份）（8－2）÷2＝6÷2＝3（份）12÷3×10＝40（盒）答：甲箱原來(lái)有40盒粉筆?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵是理解比的意義，將兩個(gè)比的總份數(shù)進(jìn)行統(tǒng)一。14．一個(gè)養(yǎng)殖場(chǎng)有雞和鴨共2400只，其中雞與鴨的只數(shù)比是9∶3，賣(mài)掉一些雞后，雞與鴨的只數(shù)比是2∶1，賣(mài)掉了多少只雞？【答案】600只【分析】根據(jù)開(kāi)始雞與鴨的數(shù)量比，可知雞與鴨共9＋3份，據(jù)此求出一份數(shù)，用一份數(shù)分別乘雞和鴨的對(duì)應(yīng)份數(shù)，求出雞和鴨的數(shù)量，賣(mài)掉一些雞，鴨的數(shù)量不變，通過(guò)賣(mài)掉一些雞后，雞與鴨的只數(shù)比，用鴨÷對(duì)應(yīng)份數(shù)×雞的對(duì)應(yīng)份數(shù)，求出還剩下的雞，用原來(lái)雞的數(shù)量－現(xiàn)在雞的數(shù)量即可?！驹斀狻?400÷（9＋3）＝2400÷12＝200（只）200×9＝1800（只）200×3＝600（只）600÷1×2＝1200（只）1800－1200＝600（只）答：賣(mài)掉了600只雞?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵是理解比的意義，明白份數(shù)變，鴨的數(shù)量不變。15．近年來(lái)網(wǎng)球運(yùn)動(dòng)越來(lái)越受歡迎，甲、乙兩校網(wǎng)球俱樂(lè)部原來(lái)的球迷人數(shù)之比是2∶5。后來(lái)甲校球迷人數(shù)增加36人，乙校球迷人數(shù)不變，現(xiàn)在甲、乙兩校球迷的人數(shù)比為5∶8。現(xiàn)在甲、乙兩校各有網(wǎng)球球迷多少人？【答案】甲校100人；乙校160人【分析】因?yàn)橐倚Ｇ蛎匀藬?shù)不變，將前后兩個(gè)比統(tǒng)一成后項(xiàng)相同的比，即每一份的多少相同，甲校增加36人，增加了25－16份，先求出一份數(shù)，再用份數(shù)分別乘現(xiàn)在兩校的份數(shù)即可?！驹斀狻?∶5＝16∶40；5∶8＝25∶4036÷（25－16）＝36÷9＝4（人）4×25＝100（人）4×40＝160（人）答：甲校有網(wǎng)球球迷100人，乙校有網(wǎng)球球迷160人?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵是將兩個(gè)比進(jìn)行統(tǒng)一，再按比例進(jìn)行分配。16．兩個(gè)盒子里裝著質(zhì)量相同的水果糖和奶糖。一個(gè)盒子里水果糖和奶糖的質(zhì)量比是3∶2，另一個(gè)盒子里水果糖和奶糖的質(zhì)量比是1∶5，若把兩個(gè)盒子里的糖混合在一起，則水果糖和奶糖的質(zhì)量之比是多少？【答案】【分析】一個(gè)盒子里水果糖和奶糖的質(zhì)量比是3∶2，水果糖的質(zhì)量占總質(zhì)量的，奶糖的質(zhì)量占總質(zhì)量的；另一個(gè)盒子里水果糖和奶糖的質(zhì)量比是1∶5，水果糖的質(zhì)量占總質(zhì)量的，奶糖的質(zhì)量占總質(zhì)量的，據(jù)此解答即可?！驹斀狻?jī)蓚€(gè)盒子里的糖混合在一起，水果糖是總質(zhì)量：奶糖的質(zhì)量占總質(zhì)量的：則水果糖和奶糖的質(zhì)量之比是：答：水果糖和奶糖的質(zhì)量之比是23∶37?！军c(diǎn)睛】本題考查按比例分配問(wèn)題、比的化簡(jiǎn)，解答本題的關(guān)鍵是掌握比化簡(jiǎn)的方法。17．甲、乙兩小學(xué)原有圖書(shū)本數(shù)之比是7：5，如果甲校贈(zèng)給乙校750本，乙校又回贈(zèng)給甲校100本，那么，甲、乙兩校的圖書(shū)本數(shù)之比變?yōu)?：4.問(wèn)甲、乙兩校原有圖書(shū)各多少本？【答案】甲校原有圖書(shū)2450本，乙校原有圖書(shū)1750本。【分析】根據(jù)題意可知：甲校原有的圖書(shū)本數(shù)占總數(shù)的，現(xiàn)有的圖書(shū)本數(shù)占總數(shù)的，由于是在兩個(gè)學(xué)校之間的贈(zèng)與，所以?xún)尚５膱D書(shū)總本數(shù)不變，可以把總本數(shù)看作“1”；由甲贈(zèng)給乙750本，乙又回贈(zèng)甲100本，相當(dāng)于甲贈(zèng)給了乙650本；那么650本就占總數(shù)的（），用除法計(jì)算求得單位“1”的量；再用按比例分配的方法分別求出甲、乙兩校原有圖書(shū)的本數(shù)；列式計(jì)算即可解決。【詳解】甲校原有圖書(shū)本數(shù)占總數(shù)的：7÷（7＋5）＝，甲校現(xiàn)有圖書(shū)本數(shù)占總數(shù)的：3÷（3＋4）＝，圖書(shū)總本數(shù)：（750﹣100）÷（），＝650÷，＝4200（本）；甲原有：4200×＝2450（本），乙原有：4200×＝1750（本）；答：甲校原有圖書(shū)2450本，乙校原有圖書(shū)1750本?！军c(diǎn)睛】解決此題關(guān)鍵是理解甲贈(zèng)給乙750本，乙又回贈(zèng)甲100本，相當(dāng)于甲贈(zèng)給了乙650本，進(jìn)而求出650本對(duì)應(yīng)的分率，求得圖書(shū)總本數(shù)，再用按比例分配的方法分別求出甲、乙兩校原有圖書(shū)的本數(shù)。18．兩個(gè)水池內(nèi)有金魚(yú)若干條，數(shù)目相同。亮亮和紅紅進(jìn)行撈魚(yú)比賽，第一個(gè)水池內(nèi)的金魚(yú)被撈完時(shí)，亮亮和紅紅所撈到的金魚(yú)數(shù)目比是3∶4；撈完第二個(gè)水池內(nèi)的金魚(yú)時(shí)，亮亮比第一次多撈33條，與紅紅撈到的金魚(yú)數(shù)目比是5∶3。那么每個(gè)水池內(nèi)有金魚(yú)多少條？【答案】168條【分析】撈完第二個(gè)水池內(nèi)的金魚(yú)時(shí)，亮亮與紅紅撈到的金魚(yú)數(shù)目比是5∶3，亮亮撈到的金魚(yú)數(shù)目占兩人的，第一個(gè)水池內(nèi)的金魚(yú)被撈完時(shí)，亮亮和紅紅所撈到的金魚(yú)數(shù)目比是3∶4，亮亮撈到的金魚(yú)數(shù)目占兩人的，多了－，多了33條，用多出來(lái)的條數(shù)÷對(duì)應(yīng)分率即可?！驹斀狻?3÷（－）＝33÷＝168（條）答：每個(gè)水池內(nèi)有金魚(yú)168條?！军c(diǎn)睛】將每個(gè)水池內(nèi)的金魚(yú)條數(shù)看作單位“1”，關(guān)鍵是找到33條金魚(yú)的對(duì)應(yīng)分率。19．、兩種商品的價(jià)格比是，如果商品降價(jià)70元，那么它們的價(jià)格比就是，這兩種商品原來(lái)的價(jià)格各是多少元？【答案】商品A：280元，商品B：120元?！痉治觥堪焉唐稡看作單位“1”，商品A降價(jià)前，是商品B價(jià)格的，商品A降價(jià)后是商品B價(jià)格的，已知商品A降價(jià)70元，根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義，可求出商品B的價(jià)格，再根據(jù)按比例分配原理求出商品A的價(jià)