數(shù)學(xué)-廣東省九校2025屆高三上學(xué)期9月聯(lián)合教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2024—2025學(xué)年上學(xué)期9月聯(lián)合教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高三數(shù)學(xué)本試卷4頁滿分150分，考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得集合或，，結(jié)合交集與補(bǔ)集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由集合或，所以，可得.故選：.2.已知平面向量滿足：，且在上的投影向量為，則向量與向量的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由投影向量的定義可得，再由向量的夾角公式，代入計(jì)算，即可求解.【詳解】因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，即，所以，又，，所以，且，則.故選：C3.已知相互嚙合的兩個(gè)齒輪，大輪有45齒，小輪有30齒.如果大輪的轉(zhuǎn)速為180（轉(zhuǎn)/分），小輪的半徑為10cm，那么小輪周上一點(diǎn)每1s轉(zhuǎn)過的弧長是（）cm.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通過大輪的速，得到小輪的轉(zhuǎn)速，從而求出小輪上每一點(diǎn)的轉(zhuǎn)速，再根據(jù)弧長公式計(jì)算可得.【詳解】大輪有45齒，小輪有30齒，…當(dāng)大輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)小輪轉(zhuǎn)動(dòng)周，當(dāng)大輪的轉(zhuǎn)速為180時(shí)，小輪轉(zhuǎn)速為，小輪周上一點(diǎn)每1s轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為：.又小輪的半徑為10cm，所以小輪周上一點(diǎn)每1s轉(zhuǎn)過的弧長為：.故選：B4.為了協(xié)調(diào)城鄉(xiāng)教育資源的平衡，政府決定派甲、乙、丙等六名教師去往包括希望中學(xué)在內(nèi)的三所學(xué)校支教（每所學(xué)校至少安排一名教師）.受某些因素影響，甲乙教師不被安排在同一所學(xué)校，丙教師不去往希望中學(xué)，則不同的分配方法有（）種.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】采用分類與分步計(jì)數(shù)原理，先排丙共有種分法，再分為甲、丙在同一所學(xué)校和甲、丙不在同一所學(xué)校兩類，每類分別討論，最后相加得到結(jié)果.【詳解】先將丙安排在一所學(xué)校，有種分法；若甲、丙在同一所學(xué)校，那么乙就有種選法，剩下3名教師可能分別有3、2、1人在最后一所學(xué)校（記為X校），分別對(duì)應(yīng)有1（3人均在X校）、（2人在X校，另1人隨便排）、（1人在X校，另2人分在同一所學(xué)校或不在同一所學(xué)校），共種排法；若甲、丙不在同一所學(xué)校，則甲有種選法，若乙與丙在同一所學(xué)校，則剩下3名教師按上面方法有19種排法；若乙與丙不在同一所學(xué)校，則有剩下3人可分別分1、2、3組，分別有、、種排法，故共有：種排法.故選：B.5.已知數(shù)列滿足，且，則的通項(xiàng)公式為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】給兩邊同時(shí)加一個(gè)數(shù)，構(gòu)造成等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解的通項(xiàng)公式即可.【詳解】設(shè)，即，所以，解得，所以，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以．故選：C.6.如圖所示，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，則等于（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可得到答案.【詳解】因?yàn)闉榕c的交點(diǎn)，所以.故選：D.7.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，數(shù)列的首項(xiàng)，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理可知，再根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得，再根據(jù)遞推公式可得，利用分組求和的方法可得解.【詳解】由已知，則，則，再根據(jù)二項(xiàng)式的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知，則，又，可得，且，則，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則.故選：A.8.已知函數(shù)，若不等式的解集中恰有兩個(gè)不同的正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】不等式可化為，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，作函數(shù)，的圖象，由條件結(jié)合圖象列不等式求的取值范圍.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，不等式化為：．令，，，故函?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)時(shí)，gx>0，當(dāng)時(shí)，gx當(dāng)時(shí)，gx<0當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，且時(shí)，，畫出及?x的大致圖象如下，因?yàn)椴坏仁降慕饧星∮袃蓚€(gè)不同的正整數(shù)解，故正整數(shù)解為．故，即．故.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.歐拉是科學(xué)史上最多才的一位杰出的數(shù)學(xué)家，他發(fā)明的公式為，i虛數(shù)單位，將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，這個(gè)公式也被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，i為虛數(shù)單位），依據(jù)上述公式，則下列結(jié)論中正確的是（）A.復(fù)數(shù)為純虛數(shù) B.復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為 D.復(fù)數(shù)的模長為1【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定的公式，結(jié)合復(fù)數(shù)的相關(guān)概念逐項(xiàng)分析判斷即得.【詳解】A選項(xiàng)：是純虛數(shù)，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)：而，即，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：D選項(xiàng)正確；故選：ABD.10.已知，為正實(shí)數(shù)，且，，，則（）A.的最大值為4 B.的最小值為C.的最小值為2 D.的最小值為【答案】BC【解析】【分析】對(duì)A：利用基本不等式判斷；對(duì)B：利用基本不等式結(jié)合“1”的代換判斷；對(duì)C：利用因式分解結(jié)合基本不等式判斷；對(duì)D：利用基本不等式結(jié)合“1”的代換判斷.【詳解】由，，，即有；對(duì)A：，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為4，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：由，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；對(duì)C：由，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；對(duì)D：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤.故選：BC11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，直線經(jīng)過且與交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，線段的中點(diǎn)在軸上的射影為點(diǎn).若，則（）A.的斜率為B.是銳角三角形C.四邊形的面積是D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意分析可知為等邊三角形，即可得直線的傾斜角和斜率，進(jìn)而判斷A；可知直線的方程，聯(lián)立方程求點(diǎn)的坐標(biāo)，求相應(yīng)長度，結(jié)合長度判斷BD；根據(jù)面積關(guān)系判斷C.【詳解】由題意可知：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，即，設(shè)，則，可得，因?yàn)椋矗芍獮榈冗吶切?，即，且∥x軸，可知直線的傾斜角為，斜率為，故A正確；則直線，聯(lián)立方程，解得或，即，，則，可得，在中，，且，可知為最大角，且為銳角，所以是銳角三角形，故B正確；四邊形的面積為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故D正確；故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：有關(guān)圓錐曲線弦長、面積問題求解方法（1）涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求計(jì)算弦長；涉及垂直關(guān)系時(shí)也往往利用根與系數(shù)的關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運(yùn)算；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解；（2）面積問題常采用底高，其中底往往是弦長，而高用點(diǎn)到直線距離求解即可，選擇底很重要，選擇容易坐標(biāo)化的弦長為底．有時(shí)根據(jù)所研究三角形的位置，靈活選擇其面積表達(dá)形式，若求多邊形的面積問題，常轉(zhuǎn)化為三角形的面積后進(jìn)行求解；（3）在求解有關(guān)直線與圓錐曲線的問題時(shí)，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知數(shù)列的首項(xiàng)為，，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和為________________.【答案】【解析】【分析】結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)分奇偶討論可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法求和即可得解.【詳解】化簡知，，當(dāng)，時(shí)，，，∴，，即為奇數(shù)時(shí)，數(shù)列是常數(shù)列，，∴當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；又∵當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，，∴，綜上所述，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，即有，兩式相減可得，則，故.故答案為：13.已知直線l與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，且弦AB的中點(diǎn)為，則直線l的方程為________．【答案】【解析】【分析】設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，然后利用點(diǎn)差法得到直線l的斜率即可求解直線方程．【詳解】設(shè)Ax1,則，，又，

，兩式相減，得，即，整理得，直線l的斜率為，直線l的方程為，化簡得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.故答案為：.14.一段路上有100個(gè)路燈一開始它們都是關(guān)著的，有100名行人先后經(jīng)過這段路，對(duì)每個(gè)，當(dāng)?shù)诿腥私?jīng)過時(shí)，他將所有下標(biāo)為的倍數(shù)的路燈的開關(guān)狀態(tài)改變.問當(dāng)?shù)?00名行人經(jīng)過后，有______個(gè)路燈處于開著的狀態(tài).【答案】10【解析】【分析】將最終“燈開”轉(zhuǎn)化為“當(dāng)且僅當(dāng)?shù)恼s數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)”，由此求得開啟的路燈數(shù)量.【詳解】固定每個(gè)，考察路燈.根據(jù)題意，被第名行人改變開關(guān)狀態(tài)，當(dāng)且僅當(dāng)為的正約數(shù)（注意的正約數(shù)都不超過100，故每個(gè)正約數(shù)均可對(duì)應(yīng)到某一名行人）.所以最終為開，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)恼s數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù).以下證明這等價(jià)于為平方數(shù).事實(shí)上，的每個(gè)正約數(shù)均可對(duì)應(yīng)到正約數(shù)，其中，對(duì)應(yīng)到自身當(dāng)且僅當(dāng)，即，這意味著，的正約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)是的正約數(shù)，即為平方數(shù).因此，當(dāng)所有人都經(jīng)過后，恰好那些下標(biāo)為平方數(shù)1，4，9，…，100的路燈是開著的，所以共有10個(gè)路燈處于開著狀態(tài).故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：將路燈最終是開著的，轉(zhuǎn)化為“的正約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)”；重視“舉例”，利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用題意.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若，，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用正弦定理得到，再利用余弦定理，即可求解；（2）根據(jù)條件，利用輔助角公式得到，進(jìn)而得到，從而有，再利用正弦定理，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】在中，由正弦定理得.因?yàn)?，所以?化簡得.在中，由余弦定理得.又因?yàn)?，所?【小問2詳解】由，可得，又B∈0,π，所以，得到，即，所以，，又，由正弦定理得，得到，解得，，故的周長為.16.足球比賽積分規(guī)則為：球隊(duì)勝一場積分，平一場積分，負(fù)一場積分．常州龍城足球隊(duì)年月將迎來主場與隊(duì)和客場與隊(duì)的兩場比賽．根據(jù)前期比賽成績，常州龍城隊(duì)主場與隊(duì)比賽：勝的概率為，平的概率為，負(fù)的概率為；客場與隊(duì)比賽：勝的概率為，平的概率為，負(fù)的概率為，且兩場比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求常州龍城隊(duì)月主場與隊(duì)比賽獲得積分超過客場與隊(duì)比賽獲得積分的概率；（2）用表示常州龍城隊(duì)月與隊(duì)和隊(duì)比賽獲得積分之和，求的分布列與期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為【解析】【分析】（1）找出所有符合題意的情況及其對(duì)應(yīng)概率后求和即可得；（2）得到的所有可能取值及其對(duì)應(yīng)概率后即可得其分布列，利用分布列即可得其期望.【小問1詳解】設(shè)事件“常州龍城隊(duì)主場與隊(duì)比賽獲得積分為分”，事件“常州龍城隊(duì)主場與隊(duì)比賽獲得積分為分”，事件“常州龍城隊(duì)主場與隊(duì)比賽獲得積分為分”，事件“常州龍城隊(duì)客場與隊(duì)比賽獲得積分為分”，事件“常州龍城隊(duì)客場與隊(duì)比賽獲得積分為分”，事件“常州龍城隊(duì)客場與隊(duì)比賽獲得積分為分”，事件“常州龍城隊(duì)七月主場與隊(duì)比賽獲得積分超過客場與隊(duì)比賽獲得積分”，，，，則，∴常州龍城隊(duì)七月主場與隊(duì)比賽獲得積分超過客場與隊(duì)比賽獲得積分的概率為；【小問2詳解】由題意可知的所有可能取值為，，，，，，，∴的分布列為：∴17.如圖，平面，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的正弦值；（3）若為線段上的點(diǎn)，且直線與平面所成的角為，求到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）（3）【解析】【分析】（1）連接，證得，利用用線面判定定理，即可得到平面.（2）以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系.求得平面和平面法向量，利用向量的夾角公式，即可求解．（3）設(shè)，則，從而，由（2）知平面的法向量為，利用向量的夾角公式，得到關(guān)于的方程，即可求解．【小問1詳解】連接，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以為平行四邊?由點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn)，可得且，因?yàn)闉镃D的中點(diǎn)，所以且，可得且，即四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】因?yàn)槠矫?，，可以建立以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系.依題意可得，.，設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得，設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得，.，于是.所以，二面角的正弦值為.【小問3詳解】設(shè)，即，則.從而.由（2）知平面的法向量為，由題意，，即，整理得，解得或，因?yàn)樗裕?則N到平面的距離為.【點(diǎn)睛】18.已知點(diǎn)在拋物線上，按照如下方法依次構(gòu)造點(diǎn)，過點(diǎn)作斜率為的直線與拋物線交于另一點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為．（1）求的值；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求；（3）求的面積．【答案】（1）1（2）證明見解析；，（3）16【解析】【分析】（1）由點(diǎn)在拋物線上，代入即可求解；（2）方法一：求得過，且斜率為的直線方程，，聯(lián)立方程組，求得方程的兩根，得到，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可得證；方法二：由點(diǎn)在拋物線上，得到方程組，兩式相減，結(jié)合向量公式，得到，即可得證；（3）由（2）得到，結(jié)合梯形和的面積，求得的面積，即可求解.【小問1詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，可得，解得．【小問2詳解】證明：由（1）知：，即，方法一：因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，則，且，過，且斜率為的直線，聯(lián)立方程組，可得，解得或，所以，可得，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列，所以，．方法二：因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，兩式相減得：．所以：可得，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列，所以，．【小問3詳解】解：由（2）知：，可得梯形的面積為：即，同理可得，又由梯形的面積為：，