數(shù)學(xué)達標訓(xùn)練：第二講五與圓有關(guān)的比例線段

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精更上一層樓基礎(chǔ)·鞏固1點C在⊙O的弦AB上，P為⊙O上一點，且OC⊥CP，則(）A.OC2=CA·CBB.OC2=PA·PBC。PC2=PA·PBD。PC2=CA·CB思路解析：根據(jù)OC⊥CP，可知C為中點,再由相交弦定理即有PC2=CA·CB。答案：D2如圖2—圖2A。1B。C.-1D。思路解析：過點B作BB′⊥MN，交O于點B′，連結(jié)AB′交MN于點P,此時點P使AP＋BP最小。易知B與B′點關(guān)于MN對稱,依題意∠AON=60°,則∠B′ON=∠BON=30°,所以∠AOB′=90°,AB′=。故PA＋PB的最小值為2。答案：D3如圖2-5-圖2思路分析：簡單型的比例線段問題，主要是證兩個三角形相似。這樣，如何證得兩個三角形相似，就成為關(guān)鍵問題，可以利用兩角對應(yīng)相等，也可以利用一角相等，夾邊對應(yīng)成比例。證明:連結(jié)AC。∵AB是直徑，∴∠ACB=90°.又BD⊥MN,∴∠BDC=90°?！唷螦CB=∠CDB.又MN切⊙O于C，∴∠DCB=∠A.∴△ACB∽△CDB?！郃B∶CB=CB∶BD。則BC2=BD·AB。4如圖2—5—圖2思路分析:由于本題要證的成比例的四條線段在同一條直線上,因此不存在相似三角形，所以必須轉(zhuǎn)移其中一條或兩條，以構(gòu)成兩個能夠相似的三角形，注意到同圓半徑相等的性質(zhì),所以將AD換成AB，通過等線段代換，可以達到目的.證明:分別連結(jié)、、BF?！逜B=AC，∴AB=AC.∴∠ABC=∠F.又∠BAF公共，∴△ABE∽△BFA?！郃B2=AE·AF.∵AB=AD,∴AD2=AE·AF。5如圖2-5—圖2求證：（1)PA=PD;（2）BP2=AD·DE。思路分析:（1)中因為PA與PD在同一個三角形中，所以可以通過說明兩角相等解決問題;（2)中則運用切割線定理轉(zhuǎn)換線段。證明：(1)連結(jié)AB，證明△BED∽△AEB得∠DBE=∠DAB.又可證∠PAD=∠ADP，∴PA=PD。(2)PA2=PB·PC且PD=CD=PC，PA=PD，∴PD=2PB=PB＋BD.∴PB=BD=PD。又BD·CD=AD·DE，∴可證得結(jié)論，且PD=CD。6如圖2—圖2思路分析:圖形中有兩條切線，故運用切割線定理得線段和角的關(guān)系，在Rt△OPB中運用射影定理，有OB2=OP·OM，代換其中的OB為OC，可得三角形相似，即得角的相等關(guān)系。證明：連結(jié)OB，由切線長定理,得PA=PB,PM⊥AB，PO平分∠APB.又PB⊥OB,在Rt△OPB中,OB2=OP·OM，∵OB=OC，∴OC2=OP·OM，即?！唷鱋CP∽△OMC。∴∠OPC=∠OCM。綜合·應(yīng)用7如圖2-圖2思路分析：求PD，可使用割線定理PC·PB=PD·PE，顯然PA切⊙O，∴PA2=PC·PB.可求得PB，但PE=PD＋DE,DE為⊙O直徑,所以求⊙O的直徑成為解題的關(guān)鍵。解:∵PA切⊙O,∴PA2=PC·PB.又PB=PC＋BC，∴BC=11。連結(jié)AO，并延長與⊙O交于K，與CB交于G,則GA=PAtan∠GPA=PAtan30°=2。又Rt△GPA中，∠GPA=30°，∴PG=2GA=4.∴CG=3，GB=8。由相交弦定理GC·GB=AG·GK,可得GK=12，∴直徑為14?！嘤筛罹€定理有PC·PB=PD·PE,得PD=-7.8如圖2—圖2思路分析：由切割線定理PA2=PB·PC，由已知條件可得BC長,又通過△ACE∽△ADB,得AD·AE=CA·BA,從而求CA、BA的長即可.解：連結(jié)CE，∵PA2=PB·PC，PA=10，PB=5，∴PC=20?！郆C=15.又PA切⊙O，∴∠PAB=∠ACP?！螾公共，∴△PAB∽△PCA.∴=?！連C為⊙O直徑，∴∠CAB=90°.∴AC2＋AB2=BC2=225.∴可解得AC=，AB=。但AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠EAB,∠ABC=∠E?！唷鰽CE∽△ADB?！??！郃D·AE=AB·AC=×=90。9如圖2—圖2思路分析：可通過勾股定理、直角三角形斜邊上的中線定理、切線的性質(zhì)定理以及弦切角定理、切割線定理來寫結(jié)論。解:如：OD=AB，CD⊥OD，∠CDB=∠BAD，CD2=CB·CA或OD2＋CD2=CO2等.10在直徑為AB的半圓形區(qū)域內(nèi)，劃出一個三角形區(qū)域，使三角形的一邊為AB，頂點C在半圓上，其他兩邊分別為6米和8米。先要建造一個內(nèi)接于△ABC的矩形水池DEFN，其中，DE在AB上，圖2-5-20的設(shè)計方案是使AC=圖2（1）求△ABC的邊AB上的高h。（2）設(shè)DN=x,當(dāng)x取何值時，水池DEFN的面積最大？(3）實際施工時，發(fā)現(xiàn)在AB上距B點1.85米的M處有一棵大樹，問：這棵大樹是否位于最大矩形水池的邊上？如果為保護大樹,請設(shè)計出另外的方案，使內(nèi)接于滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開大樹。思路分析:（1）利用三角形的面積，即斜邊×斜邊上的高=兩直角邊的積；（2）求最值問題時，利用三角形相似得到比例式，轉(zhuǎn)變成二次函數(shù)即可.解:(1)∵直徑AB為△ABC的斜邊，∴AB==10米.∴h==4。8米.（