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重積分的應(yīng)用9.4.1求立體的體積9.4.2曲面的面積9.4.3求物體的質(zhì)量9.4.4質(zhì)心9.4.5轉(zhuǎn)動(dòng)慣量9.4.1求立體的體積
曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為
占有空間有界域
的立體的體積為例9.4.1
求兩個(gè)底圓半徑為R的直交圓柱面所圍立體體積.解:
設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為利用對(duì)稱性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為解:則立體體積例9.4.2求由曲面與立體的體積.投影區(qū)域所圍成的二、曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積A可看成曲面上各點(diǎn)處小切平面的面積dA無限積累而成.設(shè)它在D
上的投影為d
,(稱為面積元素)則故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即若光滑曲面方程為則有例9.4.3求曲面解:曲面在xoy面上的投影為因?yàn)閯t所求面積為介于平面之間部分的面積.設(shè)物體占有空間域
,有連續(xù)密度函數(shù)則該物體的質(zhì)量9.4.3求物體的質(zhì)量若平面薄片占有區(qū)域D
,面密度則該平面薄片的質(zhì)量例9.4.4求一平面薄片占有xoy平面上的閉區(qū)域且在任一點(diǎn)解:
由題意，該薄片的面密度則平面薄片的質(zhì)量處的面密度等于該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，求該薄片的質(zhì)量.設(shè)物體占有空間域
,有連續(xù)密度函數(shù)則質(zhì)心公式為9.4.4質(zhì)心則得若物體為占有xOy面上區(qū)域D的平面薄片,(A
為D
的面積)得則它的質(zhì)心坐標(biāo)為其面密度例9.4.5求位于兩圓和薄片的質(zhì)心.
解:
利用對(duì)稱性可知而之間均勻9.4.5物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域
,有連續(xù)的密度函數(shù)則物體對(duì)z
軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:對(duì)x
軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)y
軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量如果物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式是二重積分.例9.4.6求半徑為a的均勻半圓薄片對(duì)其直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解:建立坐標(biāo)系如圖,半圓薄片的質(zhì)量1.能用重積分解決的實(shí)際問題的特點(diǎn):所求量是對(duì)區(qū)域具有可加性——
用微元分析法(元素法)建立積分式分布在有界閉域上的整體量3.解題要
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