133空間圖形的表面積和體積

13.3空間圖形的表面積和體積【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一棱柱、棱錐、棱臺的表面積圖形表面積多面體多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和，也就是展開圖的面積考點(diǎn)二棱柱、棱錐、棱臺的體積幾何體體積說明棱柱V棱柱＝ShS為棱柱的底面積，h為棱柱的高棱錐V棱錐＝eq\f(1,3)ShS為棱錐的底面積，h為棱錐的高棱臺V棱臺＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)hS′，S分別為棱臺的上、下底面面積，h為棱臺的高考點(diǎn)三圓柱、圓錐、圓臺的表面積圖形表面積公式旋轉(zhuǎn)體圓柱底面積：S底＝2πr2側(cè)面積：S側(cè)＝2πrl表面積：S＝2πr(r＋l)圓錐底面積：S底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝πrl表面積：S＝πr(r＋l)圓臺上底面面積：S上底＝πr′2下底面面積：S下底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝π(r′l＋rl)表面積：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)考點(diǎn)四圓柱、圓錐、圓臺的體積幾何體體積說明圓柱V圓柱＝Sh＝πr2h圓柱底面圓的半徑為r，面積為S，高為h圓錐V圓錐＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h圓錐底面圓的半徑為r，面積為S，高為h圓臺V圓臺＝eq\f(1,3)(S＋eq\r(SS′)＋eq\r(S′))h＝eq\f(1,3)π(r2＋rr′＋r′2)h圓臺上底面圓的半徑為r′，面積為S′，下底面圓的半徑為r，面積為S，高為h知識點(diǎn)五球的表面積和體積公式1.球的表面積公式S＝4πR2(R為球的半徑).2.球的體積公式V＝eq\f(4,3)πR3.【題型歸納】題型一：棱柱側(cè)面積和表面積1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若正三棱錐的底面邊長等于，三條側(cè)棱兩兩垂直，則它的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意求出側(cè)棱長再計算三角形面積可得答案.【詳解】因為正三棱錐的底面邊長等于，三條側(cè)棱兩兩垂直，所以三棱錐的側(cè)棱長為，則它的側(cè)面積為.故選：A.2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為，沿圖1中對角面將它分割成兩個部分，拼成如圖2的四棱柱，則該四棱柱的全面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】拼成的幾何體比原正方體的表面增加了兩個截面，減少了原來兩個正方形面，據(jù)此變化，進(jìn)行求解.【詳解】由題意，拼成的幾何體比原正方體的表面增加了兩個截面，減少了原來兩個正方形面，由于截面為矩形，長為，寬為，所以面積為，所以拼成的幾何體的表面積為.故選：C.3．（2021春·安徽·高一校聯(lián)考期中）長方體相交于一個頂點(diǎn)的三條棱長的比是，體對角線長為，則這個長方體的表面積為（

）A．12 B．22 C．32 D．44【答案】B【分析】設(shè)棱長為，然后根據(jù)對角線長為可求出，然后可得答案.【詳解】因為長方體相交于一個頂點(diǎn)的三條棱長的比是所以可設(shè)棱長為所以其體對角線長為，解得所以這個長方體的表面積為故選：B題型二：棱錐的側(cè)面積和表面積4．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在三棱錐中，，且，，則該三棱錐的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，，求出為等邊三角形，，由余弦定理得到，從而由勾股定理逆定理得到，，結(jié)合三角形面積公式得到，，作出輔助線，得到，從而求出該三棱錐的表面積.【詳解】因為，，，所以為等邊三角形，，在中，利用余弦定理得：，解得：，同理可得：，因為，由勾股定理逆定理可得，，所以，，取的中點(diǎn)，連接，則，因為，所以，由勾股定理得：，故，所以四棱錐的表面積.故選：A5．（2022春·廣西北?！じ咭唤y(tǒng)考期末）已知正四面體的外接球體積為，則正四面體的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將正四面體補(bǔ)成正方體，設(shè)正方體的棱長為，計算出正四面體的外接球半徑，可求得的值，即可求得正四面體的表面積.【詳解】將正四面體補(bǔ)成正方體，設(shè)正方體的棱長為，則正四面體的棱長為，正四面體的外接球半徑為，由題意可得，解得，所以，正四面體的棱長為，因此，正四面體的表面積為.故選：C.6．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知三棱錐的三條側(cè)棱長均為2，側(cè)面有兩個是等腰直角三角形，底面等腰三角形底上的高為，則這個三棱錐的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】依次計算4個三角形的面積，相加即可.【詳解】結(jié)合題目邊長關(guān)系，三棱錐如圖所示，，由題意是等腰直角三角形,則,，則表面積為.故選：C.題型三：棱臺的側(cè)面積和表面積7．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知四棱臺的上、下底面分別是邊長為和的正方形，側(cè)面均為腰長為的等腰梯形，則該四棱臺的表面積為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】計算出四棱臺側(cè)面的高，再利用梯形和正方形的面積公式可求得該四棱臺的表面積.【詳解】設(shè)在正四棱臺中，取側(cè)面，則，，，如下圖所示：分別過點(diǎn)、在側(cè)面內(nèi)作，，垂足分別為、，因為，，，所以，，，因為，，，故四邊形為矩形，故，所以，，，因此，該四棱臺的表面積為.故選：C.8．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知一個正棱臺的上、下底面是邊長分別為2、8的正方形，側(cè)棱長為5，則該棱臺的表面積為（

）A．148 B．168 C．193 D．88【答案】A【分析】先計算棱臺的側(cè)面的高，再計算側(cè)面積和底面積，即可求解.【詳解】棱臺的側(cè)面是等腰梯形，高，所以一個側(cè)面積，所以該棱臺的表面積.故選：A9．（2021春·全國·高一專題練習(xí)）《九章算術(shù)·商功》：“今有塹堵，下廣二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五盡……”，所謂“塹堵”，就是兩底面為直角三角形的棱柱，如圖所示的幾何體是一個“塹堵”，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝4，AA1＝5，M是A1C1的中點(diǎn)，過點(diǎn)B，C，M的平面把該“塹堵”分為兩個幾何體，其中一個為三棱臺，則該三棱臺的表面積為（

）A．40 B．50C．25＋15＋3 D．30＋20【答案】C【分析】根據(jù)平面性質(zhì)做出平面在幾何體中的截面，找到三棱臺，由面積公式計算表面積.【詳解】如圖所示，記A1B1的中點(diǎn)為N，連接MN，則MN∥BC，所以過點(diǎn)B，C，M的平面為平面BNMC，三棱臺為A1MN-ACB，其中，，，所以其表面積S＝×4×4＋×2×2＋×(4＋2)×5＋×(4＋2)×5＋×(4＋2)×＝25＋15＋3.故選：C題型四：圓柱的表面積10．（2023春·河南開封·高一?？计谥校┠耻囬g需要對一個圓柱形工件進(jìn)行加工，該工件底面半徑15cm，高10cm，加工方法為在底面中心處打一個半徑為rcm且和原工件有相同軸的圓柱形通孔.若要求工件加工后的表面積最大，則r的值應(yīng)設(shè)計為（

）A． B． C．4 D．5【答案】D【分析】表示出表面積后，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得.【詳解】大圓柱表面積為小圓柱側(cè)面積為，上下底面積為所以加工后物件的表面積為，當(dāng)時表面積最大.故選：D11．（2023·全國·高一專題練習(xí)）早在一萬多年前的新石器時代，生活在金麗衢地區(qū)古人就開始制作各種石器，今天在浦江上山遺址、水康湖西遺址、義烏橋頭遺址等還可以見到各種當(dāng)時的石器，現(xiàn)在農(nóng)村還在使用的石磨就是從古代的石器演變而來的.如果一個石磨近似看作兩個圓柱體拼合而成，每個圓柱體的底面直徑是80cm，每個圓柱體的高為30cm，那么這兩個圓柱體的表面積之和為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出一個石磨的表面積，即求得兩個石磨的表面積.【詳解】解：由題意可得一個石磨底面積為：底=，側(cè)=所以一個石磨的表面積為：，所以兩個石磨的表面積為：.故選：D12．（2022春·廣東汕頭·高一統(tǒng)考期末）已知圓柱的高為2，它的兩個底面的圓周在直徑為的同一個球的球面上，則圓柱的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意及圓柱、球的對稱，可求得圓柱底面圓半徑，根據(jù)圓柱表面積的求法，即可得答案.【詳解】由題意得球的半徑為，設(shè)圓柱底面圓半徑為r，根據(jù)圓柱和球的對稱性可得，所以圓柱的表面積.故選：D題型五：圓錐的表面積13．（2023春·河北邯鄲·高一?？茧A段練習(xí)）等腰直角三角形的直角邊長為1，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積為（）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】分2種情況，一種是繞直角邊，一種是繞斜邊，分別求形成幾何體的表面積.【詳解】如果是繞直角邊旋轉(zhuǎn)，形成圓錐，圓錐底面半徑為，高為，母線就是直角三角形的斜邊，故所形成的幾何體的表面積；如果繞斜邊旋轉(zhuǎn)，形成的是上下兩個圓錐，圓錐的半徑是直角三角形斜邊的高，兩個圓錐的母線都是直角三角形的直角邊，即母線長是，故所形成的幾何體的表面積，綜上所述，所形成幾何體的表面積是或.故選：B.14．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的著作《幾何原本》中，把軸截面為等腰直角三角形的圓錐稱為直角圓錐.在直角圓錐中，點(diǎn)與底面圓都在同一個球面上，若球的表面積為，則圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由直徑所對的圓周角為直角，可得圓錐底面半徑為球的半徑，利用球的表面積即可求解.【詳解】圓錐的軸截面為等腰直角三角形，如圖所示：在直角圓錐中，點(diǎn)與底面圓都在同一個球面上，由，所以為球的直徑，若球的表面積為，由，球的半徑，則圓錐底面半徑，圓錐母線長，所以圓錐的側(cè)面積為.故選：A15．（2022春·重慶巴南·高一重慶市實(shí)驗中學(xué)?？计谀┰谶呴L為2的菱形中，，垂足為點(diǎn)E，以所在的直線為軸，其余四邊旋轉(zhuǎn)半周形成的面圍成一個幾何體，則該幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題設(shè)得到旋轉(zhuǎn)體為底面直徑、母線為2的半圓錐和上下底面直徑分別為2、4，母線為2的半圓臺，畫出幾何體，利用圓錐、圓臺的表面積公式求幾何體的表面積.【詳解】由題設(shè)，，如下圖示：繞所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)半周，則與重合，所得旋轉(zhuǎn)體為底面直徑、母線為2的半圓錐和上下底面直徑分別為2、4，母線為2的半圓臺組合而成，如下圖示：所以圓錐表面積為，圓臺表面積為，則幾何體的表面積.故選：C題型六：圓臺的表面積16．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知一個圓臺的上、下底面半徑分別為2，4，它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為90°，則圓臺的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】計算母線長為，再利用圓臺的表面積公式計算得到答案.【詳解】圓臺母線長為，圓臺的表面積.故選：B17．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）已知圓臺的上、下底面的半徑分別為，，若，高，則該圓臺的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造三角形求出母線長，再代入可得結(jié)果.【詳解】如圖所示，過A作AC垂直于于點(diǎn)C，則，∴在直角△ACB中，∴故選：C.18．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）亭是我國古典園林中最具特色的建筑形式，它是逗留賞景的場所，也是園林風(fēng)景的重要點(diǎn)綴．重檐圓亭（圖1）是常見的一類亭，其頂層部分可以看作是一個圓錐以及一個圓臺（圖2）的組合體．已知某重檐涼亭的圓臺部分的軸截面如圖3所示，則該圓臺部分的側(cè)面積為（）A．m2 B．3.6m2 C．7.2m2 D．11.34m2【答案】A【分析】由圓臺的截面圖，計算出圓臺的母線長，再求得圓臺的側(cè)面積.【詳解】由圓臺的軸截面圖，母線，所以該圓臺側(cè)面積.故選：A.題型七：柱體的體積和錐體的體積19．（2023春·河南開封·高一河南省杞縣高中?？计谥校┮阎比庵囊粋€側(cè)面的面積為10，該側(cè)面與其相對側(cè)棱的距離為3，則此斜三棱柱的體積為（

）A．30 B．15 C．10 D．60【答案】B【分析】通過補(bǔ)體，兩個斜三棱柱組成一個四棱柱，求四棱柱的體積，斜三棱柱的體積是四棱柱的體積的一半.【詳解】如圖，兩個斜三棱柱組成一個四棱柱，以斜三棱柱的一個側(cè)面為四棱柱的底面，面積為，高，四棱柱的體積，則此斜三棱柱的體積為.故選：B.20．（2023春·河北保定·高一?？茧A段練習(xí)）在《九章算術(shù)》中記載，塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱，陽馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，鱉臑為四個面都為直角三角形的三棱錐，如圖，在塹堵中，，鱉臑的外接球的體積為，則陽馬體積的最大值為（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】設(shè)的外接球半徑為r，根據(jù)鱉臑的外接球的體積即可求得r，再根據(jù)的外接球的半徑與三棱柱的外接球的半徑相同可得到x，y的關(guān)系式，再根據(jù)四棱錐的體積公式結(jié)合基本不等式即可求解．【詳解】設(shè)的外接球半徑為r，則的外接球的體積為．．又陽馬的體積為，所以陽馬體積的最大值為．故選：B．21．（2023·全國·高一專題練習(xí)）陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，也稱陀羅.圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一個圓錐和一個圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中分別是上?下底面圓的圓心，且，底面圓的半徑為2，則該陀螺的體積是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓錐與圓柱的體積公式，可得答案.【詳解】已知底面圓的半徑，由，則，故該陀螺的體積.故選：D.題型八：臺體的體積22．（2023·全國·高一期中）圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10的球面上，其上、下底面的半徑分別為4和5，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求得圓臺的高，然后根據(jù)圓臺的體積公式求得正確答案.【詳解】求得直徑為，半徑為，圓臺的下底面半徑為，所以圓臺的高為，所以圓臺的體積為.故選：A23．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在九章算術(shù)商功中將正四面形棱臺體棱臺的上、下底面均為正方形稱為方亭在方亭中，，方亭的體積為，則側(cè)面的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由棱臺的體積求出棱臺的高，過作，垂足為，連接，，過作，垂足為，易知四邊形為等腰梯形，且，，,，求出，再求出，利用梯形的面積公式，即可求出結(jié)果．【詳解】設(shè)方亭的高為，因為，方亭的體積為，所以，解得，如圖，過作，垂足為，連接，，過作，垂足為，易知四邊形為等腰梯形，且，，則，，因為側(cè)面為等腰梯形，所以，所以側(cè)面的面積為．故選:A．24．（2023·高一課時練習(xí)）折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖1）.圖2是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧DE，AC所在圓的半徑分別是3和6，且，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意求出圓臺上下底面半徑，圓臺的高，代入圓臺的體積計算公式即可求解.【詳解】設(shè)圓臺上下底面的半徑分別為，由題意可知，解得，，解得：，作出圓臺的軸截面，如圖所示：圖中，，過點(diǎn)向作垂線，垂足為，則，所以圓臺的高，則上底面面積，，由圓臺的體積計算公式可得：，故選：.題型九：多面體和球體內(nèi)外切問題25．（2023春·陜西西安·高一西安市鐵一中學(xué)?？计谥校┮阎拿骟w的外接球表面積為，則正四面體的棱長為（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】先求出外接球的半徑，然后設(shè)正四面體的邊長為，然后求出四面體的高，進(jìn)行計算即可．【詳解】解：正四面體的外接球表面積為，，解得（負(fù)值舍去），設(shè)四面體的棱長為，取的中點(diǎn)，連接，設(shè)頂點(diǎn)在底面的射影為，則是底面的重心，連接，則外接球的球心在上，設(shè)為，連接，則，，則，所以，在直角中，，即，即，得，得（舍或.故選：D26．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知A，B，C，D在球O的表面上，為等邊三角形且邊長為3，平面ABC，，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】球心在平面的投影為的中心，設(shè)為，連接，計算，，根據(jù)勾股定理得到，計算表面積得到答案.【詳解】球心在平面的投影為的中心，設(shè)為，連接，是中點(diǎn)，連接，如圖所示：，，則，四邊形為矩形，，，故，.故選：C27．（2023春·湖南長沙·高一長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐，該四棱錐的體積為，則該半球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)半球的半徑為，連接交于點(diǎn)，連接，利用四棱錐的體積公式求出半徑，再代入球的體積公式即可求解.【詳解】依題意，設(shè)半球的半徑為，連接交于點(diǎn)，連接，如圖所示：則有，易得，所以正四棱錐的體積為：，解得：，所以半球的體積為：.故選：C.【雙基達(dá)標(biāo)】單選題28．（2023春·河南漯河·高一校考期中）已知一個圓錐的底面半徑為1，母線長為2，則其側(cè)面展開得到的扇形的圓心角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】圓錐的底面周長即側(cè)面展開得到的扇形的弧長,再應(yīng)用弧長公式求圓心角即可.【詳解】由條件知底面周長為，即側(cè)面展開得到的扇形的弧長為，故,圓心角為.故選:.29．（2023春·山東濱州·高一?？茧A段練習(xí)）已知一個圓臺的上底面圓的半徑為2，下底面圓的半徑為4，體積為56，則該圓臺的高為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】根據(jù)圓臺的體積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)該圓臺的高為，上?下底面圓的半徑分別為.由圓臺的體積公式，得，解得.故選：D30．（2023春·陜西西安·高一交大附中?？茧A段練習(xí)）正四面體的棱長為，則它的內(nèi)切球與外接球的表面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)特征，求出內(nèi)切球半徑與外接球半徑即可作答.【詳解】依題意，正四面體的內(nèi)切球與外接球球心重合，記為，令正的中心為，連接，顯然點(diǎn)在上，令正四面體的內(nèi)切球與外接球半徑分別為，即，而，則，在中，，解得，，所以它的內(nèi)切球與外接球的表面積之比為.故選：D31．（2023春·安徽宿州·高一統(tǒng)考期中）蕭縣皇藏峪國家森林公園位于蕭縣城區(qū)東南30公里，是中國歷史文化遺產(chǎn)?中國最大古樹群落?國家AAAA級旅游景區(qū)?國家森林公園.皇藏峪有“天然氧吧”之稱.皇藏峪，原名黃桑峪.漢高祖劉邦稱帝前，曾因避秦兵追捕而藏身于此，故改名皇藏峪.景區(qū)內(nèi)古樹繁多，曲徑通幽，庭院錯落有致.一庭院頂部可以看成一個正四棱錐，其底面四邊形的對角線長是側(cè)棱長的倍，則該正四棱錐的一個側(cè)面與底面的面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知條件和正四棱錐的定義，以及面積公式即可求解.【詳解】如圖所示，將庭院頂部可以看成一個正四棱錐,是正四棱錐的高，設(shè)底面邊長為，則底面四邊形的對角線長為，側(cè)棱長為，則底面面積為，側(cè)面是正三角形，其面積，.故選：B.32．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知圓臺的上底面半徑為2，下底面半徑為6，若該圓臺的體積為，則其母線長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓臺的體積公式先求高，再利用勾股定理可求母線長.【詳解】依題意，圓臺的體積，解得，故圓臺的母線長，故選：B.33．（2023春·河南漯河·高一校考期中）如圖所示，在正六棱錐中，O為底面中心，，．(1)求該正六棱錐的體積和側(cè)面積；(2)若該正六棱錐的頂點(diǎn)都在球M的表面上，求球M的表面積和體積．【答案】(1)，(2)表面積為，體積為【分析】(1)正六棱錐的幾何特征，再應(yīng)用體積和側(cè)面積公式求解即可;(2)正六棱錐的幾何特征，根據(jù)球的表面積和體積求解即得.【詳解】（1）由條件可知正六邊形ABCDEF的邊長為4，所以底面積為，

該正六棱錐的體積為．

正六棱錐的側(cè)棱長為，

側(cè)面等腰三角形的面積為，

故該正六棱錐的側(cè)面積為．（2）球心M一定在直線SO上，設(shè)球M的半徑為R，則，又，所以，解得．

所以球M的表面積為，

體積為34．（2023春·浙江·高一校聯(lián)考期中）已知正三棱錐的高為4，底面邊長為.(1)求該正三棱錐的表面積；(2)用平行底面的平面去截該三棱錐，所得截面三角形的邊長為，已知點(diǎn)都在同一球面上，求該球的體積.【答案】(1)(2)【分析】（1）分別求出各邊的長，進(jìn)而求出其表面積；（2）根據(jù)條件可得球心在直線上，利用關(guān)系建立勾股定理求出球的半徑，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】（1）記高為，垂足為，則為的中心且正三棱錐側(cè)面的斜高正三棱錐的表面積所以該正三棱錐的表面積為.（2）因為為正三棱臺，所以球心在直線上，設(shè)球心為，設(shè)記與的交點(diǎn)為，則為的中心則，且或，則，即，外接球的半徑，球的體積.【高分突破】一、單選題35．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知四邊形ABCD為圓柱的軸截面，F(xiàn)為的中點(diǎn)，E為母線BC的中點(diǎn)，異面直線AC與EF所成角的余弦值為，，則該圓柱的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】運(yùn)用平行線尋找異面直線所成角，再運(yùn)用線面垂直判定定理及線面垂直性質(zhì)定理證得，進(jìn)而求得半徑r，代入圓柱體積公式計算即可.【詳解】如圖所示，取AB的中點(diǎn)O，連接OE、OF，因為E為母線BC的中點(diǎn)，所以，所以為異面直線、所成的角或其補(bǔ)角，則，設(shè)圓柱的底面圓半徑為r，則，又因為F為的中點(diǎn)，所以，，又因為，，面，所以面，又因為面，所以，在中，，所以在中，，解得：.所以圓柱的體積為.故選：B.36．（2023·全國·高一專題練習(xí)）平行于圓錐底面的截面將圓錐分為體積相等的兩部分，則圓錐側(cè)面被截面分成上、下兩部分的面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別表示出原來圓錐與截后的小圓錐的體積，根據(jù)被截成的兩部分體積相等可以得到，即可求出上下兩部分的面積之比.【詳解】設(shè)原來的圓錐體積為V，底面半徑為R，高為H，側(cè)面積為S，母線長為L，被截面分截后，上面小圓錐的體積為，底面半徑為r，高為h，側(cè)面積為，母線長為l，因為,即有,又因為,所以,即有,且,而，故圓錐側(cè)面被截面分成上、下兩部分的面積之比為，故選：D37．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形.把該圓錐截成圓臺，已知圓臺的下底面與該圓錐的底面重合，圓臺的上底面半徑為，則圓臺的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得出圓錐的母線，進(jìn)而根據(jù)圓錐、圓臺的軸截面，即可得出答案.【詳解】假設(shè)圓錐半徑，母線為，則.設(shè)圓臺上底面為，母線為，則.由已知可得，，所以.如圖，作出圓錐、圓臺的軸截面則有，所以.所以圓臺的側(cè)面積為.故選：C.38．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若一個圓柱和一個圓錐的底面積相等，圓柱的體積是圓錐體積的2倍，則圓柱的高是圓錐高的（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可圓柱的底面積乘以圓柱的高=圓柱的底面積乘以圓錐的高，由此解答.【詳解】圓柱的體積=圓錐的體積×2，即圓柱底面積×圓柱的高=圓錐的底面積×圓錐的高÷3×2，由此推出：圓柱的底面積×圓柱的高=圓柱的底面積×圓錐的高，整理得，圓柱的高=圓錐的高，圓柱的高÷圓錐的高=，所以，圓柱的高是圓錐高的.故選：C.39．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，青銅器的上半部分可以近似看作圓柱體，下半部分可以近似看作兩個圓臺的組合體，已知，則該青銅器的表面積為（

）（假設(shè)上、下底面圓是封閉的）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓柱和圓臺的側(cè)面積公式分別求解側(cè)面積，再加上底面積，即可得該青銅器的表面積【詳解】解：因為，，所以該青銅器的表面積.故選：A.二、多選題40．（2023春·山東青島·高一山東省青島第十九中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑相等，下列結(jié)論正確的是（

）A．圓柱的側(cè)面積為B．圓錐的側(cè)面積為C．圓柱的側(cè)面積與球面面積相等D．圓錐的表面積最小【答案】BCD【分析】根據(jù)球、圓錐、圓柱的表面積公式一一計算可得；【詳解】解：依題意球的表面積為，圓柱的側(cè)面積為，所以A不正確，C選項正確．圓錐的側(cè)面積為，所以B選項正確．圓錐的表面積為，圓柱的表面積為，所以D選項正確．故選：BCD.41．（2023春·浙江寧波·高一余姚中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某班級到一工廠參加社會實(shí)踐勞動，加工出如圖所示的圓臺，在軸截面中，，且，下列說法正確的有（

）A．該圓臺軸截面面積為B．該圓臺的體積為C．該圓臺的側(cè)面積為D．沿著該圓臺表面，從點(diǎn)到中點(diǎn)的最短距離為【答案】ACD【分析】求出圓臺的高，由梯形的面積公式可判斷選項A；由臺體的體積公式可判斷選項B；由臺體的側(cè)面積公式可判斷選項C；將圓臺補(bǔ)成圓錐，側(cè)面展開，取的中點(diǎn)為，連接，可判斷選項D.【詳解】對于，由，且，可得，高，則圓臺軸截面的面積為，故A正確；對于B，圓臺的體積為，故B錯誤；對于C，圓臺的體積為，故C正確；對于，由圓臺補(bǔ)成圓錐，可得大圓錐的母線長為，底面半徑為，側(cè)面展開圖的圓心角．設(shè)的中點(diǎn)為，連接，可得，則．所以沿著該圓臺表面，從點(diǎn)到中點(diǎn)的最短距離為，故正確．故選：ACD．42．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，四邊形是矩形，，平面，直線與所成的角的余弦值為，則下列說法正確的是（

）A．平面 B．C．三棱錐的外接球的體積為 D．三棱錐的外接球的表面積為【答案】AC【分析】根據(jù)線面垂直性質(zhì)定理可得，，再利用線面垂直的判定定理即可證明A正確；即可得三條線兩兩垂直，由異面直線夾角可得，即B錯誤；通過構(gòu)造長方體計算可得三棱錐的外接球半徑為，即可得出體積和表面積，可判斷C正確，D錯誤.【詳解】根據(jù)題意，因為平面，，平面，所以，，又四邊形是矩形，所以，平面，平面，且，所以平面.即A正確；可得平面，，ABC兩兩垂直，所以三棱錐外接球的直徑等于，又，所以直線與所成的角等于直線與BC所成的角或其補(bǔ)角，所以，由可得，所以B錯誤；設(shè)三棱錐的外接球的半徑為，則滿足，所以；所以三棱錐的外接球的體積為,表面積為.所以C正確，D錯誤.故選：AC.43．（2023·高一單元測試）在棱長為2的正方體中，與交于點(diǎn)，則（

）A．平面B．平面C．與平面所成的角為D．三棱錐的體積為【答案】ABD【分析】根據(jù)線面平行判定定理判斷A，利用線面垂直判定定理判斷B，利用線面夾角的定義判斷C，根據(jù)等體積法判斷D.【詳解】∵平面平面平面，A對；因為又平面，平面，所以平面平面，B對；因為平面與平面所成角為因為，C錯；因為，D對.故選：.44．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長為1，P是線段上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．四面體的體積為定值B．的最小值為C．平面D．當(dāng)直線與AC所成的角最大時，四面體的外接球的體積為【答案】ACD【分析】對于A，利用平面平面可得到到平面的距離相等，即可判斷，對于B，舉反例即可判斷；對于C，連接，，證明平面平面即可判斷；對于D，當(dāng)與重合時，直線與AC所成的角最大，則求出外接球半徑即可【詳解】對于A，由正方體可得平面平面，且平面，所以到平面的距離等于到平面的距離，所以四面體的體積為，所以四面體的體積為定值，故A正確；對于B，當(dāng)與重合時，，所以的最小值不為，故B錯誤；對于C，連接，由正方體可得，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，同理可得平面因為，平面，所以平面平面，因為平面，所以平面，故C正確；對于D，因為，所以（或其補(bǔ)角）為直線與AC所成的角，由圖可得當(dāng)與重合時，此時最大，故此時直線與AC所成的角最大，所以四面體即四面體的外接球即為正方體的外接球，所以外接球的直徑為，即，所以四面體的外接球的體積為，故D正確；故選：ACD三、填空題45．（2023春·浙江寧波·高一寧波中學(xué)校聯(lián)考期中）長方體的所有頂點(diǎn)都在一個球面上，長、寬、高分別為3，2，1，則該球的表面積是__________.【答案】【分析】先通過長方體的體對角線求出外接球的半徑，再用球的表面積公式求解即可.【詳解】由已知可得長方體的外接球半徑為，則該球的表面積是.故答案為：.46．（2023春·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為，弧長為的扇形，則該圓錐的體積為__________________.【答案】/【分析】根據(jù)側(cè)面展開圖扇形弧長可求得底面半徑，并利用勾股定理求得圓錐的高，代入圓錐體積公式即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，則，解得：，圓錐的高，圓錐的體積.故答案為：.47．（2023春·河北邢臺·高一河北南宮中學(xué)校考階段練習(xí)）