專(zhuān)題06三角形中的最值問(wèn)題（第一篇）（原卷版）

備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第一篇三角函數(shù)與解三角形專(zhuān)題06三角形中的最值問(wèn)題類(lèi)型對(duì)應(yīng)典例求三角形中角相關(guān)的最值問(wèn)題典例1求三角形中邊相關(guān)的最值問(wèn)題典例2求三角形中面積相關(guān)的最值問(wèn)題典例3求三角形中周長(zhǎng)相關(guān)的最值問(wèn)題典例4平面圖形中三角形面積的最值問(wèn)題典例5求三角形中相關(guān)的混合型的最值問(wèn)題典例6求三角形中線段的最值問(wèn)題典例7【典例1】【湖南省益陽(yáng)市、湘潭市2020屆高三9月調(diào)研考試】已知銳角三角形中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且（1）求角的大小．（2）求函數(shù)的值域．【思路引導(dǎo)】（1）由利用正弦定理得，根據(jù)兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式可得，可求出的值；（2）對(duì)函數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行恒等變換，利用兩角和與差的正弦公式及輔助角公式把函數(shù)的關(guān)系式變形成同一個(gè)角正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用定義域求出函數(shù)的值域.【典例2】【2020屆海南省高三第二次聯(lián)合考試】在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，且.(1)求的值；(2)若，求的取值范圍.【思路引導(dǎo)】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差正弦公式可整理求得，進(jìn)而求得和，代入求得結(jié)果；（2）利用正弦定理可將表示為，利用兩角和差正弦公式、輔助角公式將其整理為，根據(jù)正弦型函數(shù)值域的求解方法，結(jié)合的范圍可求得結(jié)果.【典例3】【山西省平遙中學(xué)2020屆高三上學(xué)期11月質(zhì)檢】已知△ABC的內(nèi)角A，B，C滿足．（1）求角A；（2）若△ABC的外接圓半徑為1，求△ABC的面積S的最大值．【思路引導(dǎo)】（1）利用正弦定理將角化為邊可得，再由余弦定理即可得；（2）由正弦定理，可得，由基本不等式利用余弦定理可得，從而由可得解.【典例4】【2020屆河北省保定市高三上學(xué)期期末】已知的三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，設(shè)，.（1）若，求與的夾角；（2）若，求周長(zhǎng)的最大值.【思路引導(dǎo)】（1）將代入可求得.根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得,由數(shù)量積的定義即可求得,進(jìn)而得夾角.（2）根據(jù)及向量模的坐標(biāo)表示,可求得.再由余弦定理可得.結(jié)合基本不等式即可求得的最大值,即可求得周長(zhǎng)的最大值;或由正弦定理,用角表示出,結(jié)合輔助角公式及角的取值范圍,即可求得的取值范圍,進(jìn)而求得周長(zhǎng)的最大值.【典例5】【2020屆吉林省長(zhǎng)春市東北師大附中等六校高三聯(lián)合模擬】如圖，在矩形中，，，點(diǎn)、分別在邊、上，，..（1）求，（用表示）；（2）求的面積的最小值.【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)，，分別在和中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出和即可；（2）由條件知，然后根據(jù)的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出的最小值.【典例6】【2020屆重慶市康德卷高考模擬調(diào)研卷理科數(shù)學(xué)（一)】已知中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求B；（2）設(shè)，的面積為S，求的最大值.【思路引導(dǎo)】（1）用正弦定理化角為邊后，再用余弦定理可求得角；（2）用正弦定理把邊用角表示，即，，這樣，又，就表示為的三角函數(shù)，由三角函數(shù)恒等變換化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可得最大值．【典例7】【福建省寧德市20192020學(xué)年高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢查（期末)】的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且，．（1）求；（2）若為銳角三角形，為中點(diǎn)，求的取值范圍．【思路引導(dǎo)】（1）由正弦定理，將式子中的邊化成角得到，從而求得的值；（2）由（1）知，可得的范圍，再將表示成關(guān)于的函數(shù)，從而求得的取值范圍.【針對(duì)訓(xùn)練】1.【陜西省2019年高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】在中，、、分別是角、、的對(duì)邊，且.（1）求角的值；（2）若，且為銳角三角形，求的取值范圍.2.【遼寧省葫蘆島市六校協(xié)作體20192020學(xué)年高三上學(xué)期11月月考】分別為的內(nèi)角的對(duì)邊.已知.（1）若，求；（2）已知，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí)，求的周長(zhǎng).3.【2019年云南省師范大學(xué)附屬中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考】在中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，且滿足.（1）求角的大??；（2）若為的中點(diǎn)，且，求的最大值.4.【2020屆湖南省常德市高三上學(xué)期期末】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求；（2）若，求的最大值.5.【2020屆江西省吉安市高三上學(xué)期期末】在中，，，分別是角，，的對(duì)邊，已知向量，，且.（1）求角的大??；（2）若，求的周長(zhǎng)的取值范圍.6.【2020屆重慶市康德卷高考模擬調(diào)研卷理科數(shù)學(xué)（二)】如圖，在四邊形ABCD中，A為銳角，.（1）求；（2）設(shè)、的外接圓半徑分別為，若恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值.7.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知2(tanA＋tanB)＝.(1)證明：a＋b＝2c；(2)求cosC的最小值．8.【重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)校2019屆高三上學(xué)期第三次月考】在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求角；(2)若，求的最小值．9.【吉林省吉林市普通中學(xué)20192020學(xué)年度高三第二次調(diào)研測(cè)】已知中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，，且滿足.（1）求的面積；（2）若，求的最大值.10.【湖南省長(zhǎng)沙市瀏陽(yáng)市第一中學(xué)20192020學(xué)年高三上學(xué)期第六次月考】已知△ABC的內(nèi)角