2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(知識梳理+真題自測+考點(diǎn)突破+分層檢測)專題56用樣本估計總體(新高考專用)(原卷版+解析)

專題56用樣本估計總體（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點(diǎn)突破】 5【考點(diǎn)1】百分位數(shù)的估計 5【考點(diǎn)2】總體集中趨勢的估計 7【考點(diǎn)3】總體離散程度的估計 9【分層檢測】 11【基礎(chǔ)篇】 11【能力篇】 15考試要求：1.會用統(tǒng)計圖表對總體進(jìn)行估計，會求n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù).2.會用數(shù)字特征估計總體集中趨勢和總體離散程度.知識梳理知識梳理1.總體百分位數(shù)的估計(1)第p百分位數(shù)的定義一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.(2)計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).第2步，計算i＝n×p%.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第(i＋1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).2.樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).(2)中位數(shù)：把n個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).(3)平均數(shù)：把eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)稱為a1，a2，…，an這n個數(shù)的平均數(shù).(4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是s＝eq\r(\f(1,n)[（x1－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up6(－))）2])，s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2].1.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關(guān)系(1)最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù).(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.2.平均數(shù)、方差的公式推廣(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\o(x,\s\up6(－))＋a.(2)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2，那么①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.真題自測真題自測一、單選題1．（2024·全國·高考真題）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表畝產(chǎn)量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1050，1100）[1100，1150）[1150，1200）頻數(shù)61218302410根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB．100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間2．（2022·全國·高考真題）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：則（

）A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于C．講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差二、多選題3．（2023·全國·高考真題）有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（

）A．的平均數(shù)等于的平均數(shù)B．的中位數(shù)等于的中位數(shù)C．的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差D．的極差不大于的極差三、解答題4．（2024·上?！じ呖颊骖}）水果分為一級果和二級果，共136箱，其中一級果102箱，二級果34箱．(1)隨機(jī)挑選兩箱水果，求恰好一級果和二級果各一箱的概率；(2)進(jìn)行分層抽樣，共抽8箱水果，求一級果和二級果各幾箱；(3)抽取若干箱水果，其中一級果共120個，單果質(zhì)量平均數(shù)為303.45克，方差為603.46；二級果48個，單果質(zhì)量平均數(shù)為240.41克，方差為648.21；求168個水果的方差和平均數(shù)，并預(yù)估果園中單果的質(zhì)量．5．（2022·全國·高考真題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】百分位數(shù)的估計一、單選題1．（2025·黑龍江大慶·一模）法國當(dāng)?shù)貢r間2024年7月26日晚，第三十三屆夏季奧林匹克運(yùn)動會在巴黎舉行開幕式.“奧林匹克之父”顧拜旦曾經(jīng)說過，奧運(yùn)會最重要的不是勝利，而是參與；對人生而言，重要的不是凱旋，而是拼搏.為弘揚(yáng)奧運(yùn)精神，某學(xué)校組織高一年級學(xué)生進(jìn)行奧運(yùn)專題的答題活動.為了調(diào)查男生和女生對奧運(yùn)會的關(guān)注程度，在高一年級隨機(jī)抽取10名男生和10名女生的競賽成績（滿分100分），按從低到高的順序排列，得到下表中的樣本數(shù)據(jù)：男生82858687889090929496女生82848587878788889092則下列說法錯誤的是（

）A．男生樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)是86B．男生樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)小于男生樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)C．女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變D．女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的方差不變2．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知某學(xué)校參加學(xué)科節(jié)數(shù)學(xué)競賽決賽的8人的成績（單位：分）為：72，78，80，81，83，86，88，90，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（

）A．86 B．87 C．88 D．90二、多選題3．（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測）某學(xué)校共有2000名男生，為了解這部分學(xué)生的身體發(fā)育情況，學(xué)校抽查了100名男生體重情況．根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則（

）

A．樣本的眾數(shù)為67.5 B．樣本的分位數(shù)為72.5C．樣本的平均值為66 D．該校男生中體重低于的學(xué)生大約為150人4．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）某企業(yè)是一所大學(xué)的社會實踐基地，實踐結(jié)束后學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行考核評分，其得分的頻率分布直方圖如圖所示，該學(xué)校規(guī)定，把成績位于后的學(xué)生劃定為不及格，把成績位于前的學(xué)生劃定為優(yōu)秀，則下列結(jié)論正確的是（

）A．本次測試及格分?jǐn)?shù)線的估計值為60分 B．本次測試優(yōu)秀分?jǐn)?shù)線的估計值為75分C．本次測試分?jǐn)?shù)中位數(shù)的估計值為70分 D．本次測試分?jǐn)?shù)的平均數(shù)小于中位數(shù)三、填空題5．（2024·上?！つM預(yù)測）某同學(xué)高三以來成績依次為110，93，92，93，88，86，則這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為．6．（2024·云南曲靖·二模）抽樣統(tǒng)計得到某班8名女生的身高分別為，則這8名女生身高的第75百分位數(shù)是.反思提升：計算一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟【考點(diǎn)2】總體集中趨勢的估計一、單選題1．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測）為了普及環(huán)保知識，增強(qiáng)環(huán)保意識，某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識測試，得分如圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為，眾數(shù)為，平均值為，則（）

A． B．C． D．2．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）某教育機(jī)構(gòu)為調(diào)查中小學(xué)生每日完成作業(yè)的時間，收集了某位學(xué)生100天每天完成作業(yè)的時間，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每個區(qū)間均為左閉右開），根據(jù)此直方圖得出了下列結(jié)論，其中正確的是（

）

A．估計該學(xué)生每日完成作業(yè)的時間在2小時至2.5小時的有50天B．估計該學(xué)生每日完成作業(yè)時間超過3小時的概率為0.3C．估計該學(xué)生每日完成作業(yè)時間的中位數(shù)為2.625小時D．估計該學(xué)生每日完成作業(yè)時間的眾數(shù)為2.3小時二、多選題3．（2025·廣東·一模）現(xiàn)有十個點(diǎn)的坐標(biāo)為，它們分別與關(guān)于點(diǎn)對稱.已知的平均數(shù)為，中位數(shù)為，方差為，極差為，則這組數(shù)滿足（

）A．平均數(shù)為 B．中位數(shù)為C．方差為 D．極差為4．（23-24高一下·全國·期末）如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的分布形態(tài).圖（1）形成對稱形態(tài)，圖（2）形成“右拖尾”形態(tài)，圖（3）形成“左拖尾”形態(tài)，根據(jù)所給圖作出以下判斷，正確的是（）A．圖（1）的平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)B．圖（2）的平均數(shù)<眾數(shù)<中位數(shù)C．圖（2）的眾數(shù)中位數(shù)<平均數(shù)D．圖（3）的平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)三、填空題5．（2022·北京·模擬預(yù)測）某班在一次考試后分析學(xué)生在語文?數(shù)學(xué)?英語三個學(xué)科的表現(xiàn)，繪制了各科年級排名的散點(diǎn)圖（如下圖所示）．關(guān)于該班級學(xué)生這三個學(xué)科本次考試的情況，給出下列四個結(jié)論：①三科中，數(shù)學(xué)年級排名的平均數(shù)及方差均最??；②語文、數(shù)學(xué)、英語年級排名均在150名以外的學(xué)生為1人；③本次考試該班語文第一名、數(shù)學(xué)第一名、英語第一名可能為三名不同的同學(xué)；④從該班學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若其語文排名大于200，則其英語和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)的概率為．其中所有正確結(jié)論的序號是．6．（2014高三·全國·專題練習(xí)）為了解本書居民的生活成本，甲、乙、丙三名同學(xué)利用假期分別對三個社區(qū)進(jìn)行了“家庭每月日常消費(fèi)額”的調(diào)查.他們將調(diào)查所得的數(shù)據(jù)分別繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），記甲、乙、丙所調(diào)查數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為，，，則它們的大小關(guān)系為.（用“<”連接）反思提升：(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用要點(diǎn)中位數(shù)、眾數(shù)分別反映了一組數(shù)據(jù)的“中等水平”“多數(shù)水平”，平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的平均水平，我們需根據(jù)實際需要選擇使用.(2)頻率分布直方圖的數(shù)字特征①眾數(shù)：眾數(shù)一般用頻率分布表中頻率最高的一組的組中值來表示，即在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，最高小長方形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；②中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等；③平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布表中等于組中值與對應(yīng)頻率之積的和.【考點(diǎn)3】總體離散程度的估計一、單選題1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知有4個數(shù)據(jù)的平均值為5，方差為4，現(xiàn)加入數(shù)據(jù)6和10，則這6個數(shù)據(jù)的新方差為（

）A． B． C．6 D．102．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知一組樣本數(shù)據(jù)的方差為10，且，則樣本數(shù)據(jù)的方差為（

）A．9.2 B．10.8 C．9.75 D．10.25二、多選題3．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）下列結(jié)論正確的是（

）A．回歸直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)中的一個點(diǎn)B．已知命題，，則命題的否定為，C．若為取有限個值的離散型隨機(jī)變量，則D．若一組樣本數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為10，另一組樣本數(shù)據(jù)、、、的方差為8，則兩組樣本數(shù)據(jù)合并為一組樣本數(shù)據(jù)后的平均數(shù)和方差分別為17和544．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）下列說法中，正確的是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為32B．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，；則C．已知兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為；若，，，則D．若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為4三、填空題5．（2023·吉林·一模）吉林市一中學(xué)有男生900人，女生600人．在“書香校園”活動中，為了解全校學(xué)生的讀書時間，按性別比例分層隨機(jī)抽樣的方法抽取100名學(xué)生，其中男生、女生每天讀書時間的平均值分別為60分鐘和80分鐘，方差分別為10和15．結(jié)合上述數(shù)據(jù)估計該校學(xué)生每天讀書時間的平均值為分鐘，方差為．6．（2022·北京·模擬預(yù)測）某班在一次考試后分析學(xué)生在語文?數(shù)學(xué)?英語三個學(xué)科的表現(xiàn)，繪制了各科年級排名的散點(diǎn)圖（如下圖所示）．關(guān)于該班級學(xué)生這三個學(xué)科本次考試的情況，給出下列四個結(jié)論：①三科中，數(shù)學(xué)年級排名的平均數(shù)及方差均最?。虎谡Z文、數(shù)學(xué)、英語年級排名均在150名以外的學(xué)生為1人；③本次考試該班語文第一名、數(shù)學(xué)第一名、英語第一名可能為三名不同的同學(xué)；④從該班學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若其語文排名大于200，則其英語和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)的概率為．其中所有正確結(jié)論的序號是．反思提升：標(biāo)準(zhǔn)差(方差)反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動與穩(wěn)定的程度.標(biāo)準(zhǔn)差(方差)較大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差(方差)較小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）某高校為宣揚(yáng)中華文化，舉辦了“論語吟唱”的比賽，在比賽中，由A，B兩個評委小組（各9人）給參賽選手打分.根據(jù)兩個評委小組對同一名選手的打分繪制成如圖所示折線圖，則下列說法正確的是（

）A．B組打分的方差小于A組打分的方差B．B組打分的中位數(shù)為75C．A組的意見相對一致D．A組打分的眾數(shù)為502．（2024·四川·一模）一家水果店為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了過去天的日銷售量（單位：kg），將全部數(shù)據(jù)按區(qū)間50,60，60,70，…，90,100分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖：根據(jù)圖中信息判斷，下列說法中不恰當(dāng)?shù)囊豁検牵?/p>

）A．圖中的值為B．這天中有天的日銷售量不低于kgC．這天銷售量的中位數(shù)的估計值為kgD．店長希望每天的蘋果盡量新鮮，又能地滿足顧客的需要（在天中，大約有天可以滿足顧客的需求），則每天的蘋果進(jìn)貨量應(yīng)為kg3．（2024·廣東珠?！つM預(yù)測）下列說法正確的是（

）A．一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0，則這組數(shù)據(jù)中的數(shù)均相等B．兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差相等，則這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等C．若兩個變量的相關(guān)系數(shù)越接近于0，則這兩個變量的相關(guān)性越強(qiáng)D．已知變量，由它們的樣本數(shù)據(jù)計算得到的觀測值的部分臨界值如下表：0.10.050.0250.012.7063.8415.0246.635則在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為變量沒有關(guān)系4．（2024·四川資陽·二模）某產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量是50克/袋，抽取8袋該產(chǎn)品，稱出各袋的質(zhì)量（單位：克）如下：48，49，50，50，50，50，51，52.這8袋產(chǎn)品中，質(zhì)量在以平均數(shù)為中心，1倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的有（

）A．4袋 B．6袋 C．7袋 D．8袋二、多選題5．（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測）下列說法正確的是（

）A．樣本數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)是17B．在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，若第一層的樣本量為10，平均值為9，第二層的樣本量為20，平均值為12，則所抽樣本的平均值為11C．若隨機(jī)變量，則D．若隨機(jī)變量，若，則6．（2024·湖北·模擬預(yù)測）某公司為保證產(chǎn)品生產(chǎn)質(zhì)量，連續(xù)10天監(jiān)測某種新產(chǎn)品生產(chǎn)線的次品件數(shù)，得到關(guān)于每天出現(xiàn)的次品的件數(shù)的一組樣本數(shù)據(jù)：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，則關(guān)于這組數(shù)據(jù)的結(jié)論正確的是（

）A．極差是4 B．眾數(shù)小于平均數(shù)C．方差是1.8 D．?dāng)?shù)據(jù)的80%分位數(shù)為47．（24-25高三上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）某地農(nóng)研所為研究新的大豆品種，在面積相等的80塊豆田上種植一種新型的大豆，得到各塊豆田的畝產(chǎn)量（單位：kg），將所得數(shù)據(jù)按，，，，，分成六組，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

則下列結(jié)論正確的是（

）A．這80塊豆田的畝產(chǎn)量的中位數(shù)低于180kgB．這80塊豆田的畝產(chǎn)量的極差不高于60kgC．在這80塊豆田中，畝產(chǎn)量不低于190kg的豆田所占比例為D．這80塊豆田的畝產(chǎn)量的第75百分位數(shù)高于三、填空題8．（2024·廣東珠?！ひ荒＃┘?、乙兩班參加了同一學(xué)科的考試，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成績?yōu)?2分，方差為90分；乙班的平均成績?yōu)?0分，方差為60分．那么甲、乙兩班全部90名學(xué)生的平均成績是分，方差是分．9．（2024·上?！つM預(yù)測）已知樣本的平均數(shù)為2，方差為2023，則的平均數(shù)為.10．（2024·江西·模擬預(yù)測）某新能源汽車店五月份的前8天汽車銷量（單位：輛）分別為：，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為．四、解答題11．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）2024年，全國政協(xié)十四屆二次會議于3月4日下午3時在人民大會堂開幕，3月10日上午閉幕；十四屆全國人大二次會議于3月5日上午開幕，11日上午閉幕.為調(diào)查居民對兩會相關(guān)知識的了解情況，某小區(qū)開展了兩會知識問答活動，現(xiàn)將該小區(qū)參與該活動的240位居民的得分（滿分100分）進(jìn)行了統(tǒng)計，得到如下的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計全體居民得分的方差（各組以區(qū)間中點(diǎn)值作代表）；(2)為鼓勵小區(qū)居民學(xué)習(xí)兩會精神，移動公司計劃為參與本次活動的居民進(jìn)行獎勵，獎勵分為以下兩種方案：方案一：參與兩會知識問答的所有居民每人獎勵20元話費(fèi)充值卡；方案二：問答活動得分低于平均分的居民獎勵15元話費(fèi)充值卡，得分不低于平均分的居民獎勵25元話費(fèi)充值卡.你認(rèn)為哪種方案，小區(qū)居民所得的獎勵更多，請說明理由.12．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）某機(jī)構(gòu)為了解2023年當(dāng)?shù)鼐用窬W(wǎng)購消費(fèi)情況，隨機(jī)抽取了100人，對其2023年全年網(wǎng)購消費(fèi)金額（單位：千元）進(jìn)行了統(tǒng)計，所統(tǒng)計的金額均在區(qū)間內(nèi)，并按，，分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求圖中的值，并估計居民網(wǎng)購消費(fèi)金額的中位數(shù)；(2)若將全年網(wǎng)購消費(fèi)金額在20千元及以上者稱為網(wǎng)購迷，結(jié)合圖表數(shù)據(jù)，補(bǔ)全列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)中網(wǎng)購迷與性別有關(guān)系？說明理由．男女合計網(wǎng)購迷20非網(wǎng)購迷47合計下面的臨界值表僅供參考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式：，其中【能力篇】一、單選題1．（2024·陜西西安·二模）有一組樣本數(shù)據(jù)：，，，其平均數(shù)為2，由這組樣本數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)：，，，2，那么這兩組樣本數(shù)據(jù)一定有相同的（

）A．眾數(shù) B．中位數(shù)C．方差 D．極差二、多選題2．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測）某次數(shù)學(xué)考試后，為分析學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，某校從某年級中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．為進(jìn)一步分析高分學(xué)生的成績分布情況，計算得到這100名學(xué)生中，成績位于內(nèi)的學(xué)生成績方差為12，成績位于內(nèi)的同學(xué)成績方差為10．則（

）A．B．估計該年級學(xué)生成績的中位數(shù)約為77.14C．估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的平均數(shù)為87.50D．估計該年級成績在80分及以上的學(xué)生成績的方差為30.25三、填空題3．（2024·安徽·模擬預(yù)測）某小學(xué)對四年級的某個班進(jìn)行數(shù)學(xué)測試，男生的平均分和方差分別為91和11，女生的平均分和方差分別為86和8，已知該班男生有30人，女生有20人，則該班本次數(shù)學(xué)測試的總體方差為．四、解答題4．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）四月的武漢被百萬株薔薇花覆蓋，形成了全城的花海景觀。薔薇花一般扦插繁殖，園林局為了更好的了解扦插枝條的長度對繁殖狀況的影響，選擇甲乙兩區(qū)按比例分層抽樣來抽取樣本．已知甲區(qū)的樣本容量，樣本平均數(shù)，樣本方差；乙區(qū)的樣本容量，樣本平均數(shù)，樣本方差．(1)求由兩區(qū)樣本組成的總樣本的平均數(shù)及其方差；（結(jié)果保留一位小數(shù)）(2)為了營造“花在風(fēng)中笑，人在畫中游”的美景，甲乙兩區(qū)決定在各自最大的薔薇花海公園進(jìn)行一次書畫比賽，兩區(qū)各派一支代表隊參加，經(jīng)抽簽確定第一場在甲區(qū)舉行．比賽規(guī)則如下：每場比賽分出勝負(fù)，沒有平局，勝方得1分，負(fù)方得0分，下一場在負(fù)方舉行，先得2分的代表隊獲勝，比賽結(jié)束．當(dāng)比賽在甲區(qū)舉行時，甲區(qū)代表隊獲勝的概率為，當(dāng)比賽在乙區(qū)舉行時，甲區(qū)代表隊獲勝的概率為．假設(shè)每場比賽結(jié)果相互獨(dú)立.甲區(qū)代表隊的最終得分記為X，求X的分布列及的值．參考數(shù)據(jù)：成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動更新永不過期專題56用樣本估計總體（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點(diǎn)突破】 8【考點(diǎn)1】百分位數(shù)的估計 8【考點(diǎn)2】總體集中趨勢的估計 12【考點(diǎn)3】總體離散程度的估計 17【分層檢測】 21【基礎(chǔ)篇】 21【能力篇】 30考試要求：1.會用統(tǒng)計圖表對總體進(jìn)行估計，會求n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù).2.會用數(shù)字特征估計總體集中趨勢和總體離散程度.知識梳理知識梳理1.總體百分位數(shù)的估計(1)第p百分位數(shù)的定義一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有(100－p)%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.(2)計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).第2步，計算i＝n×p%.第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第(i＋1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).2.樣本的數(shù)字特征(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).(2)中位數(shù)：把n個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).(3)平均數(shù)：把eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)稱為a1，a2，…，an這n個數(shù)的平均數(shù).(4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是s＝eq\r(\f(1,n)[（x1－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up6(－))）2])，s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2].1.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的關(guān)系(1)最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù).(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.2.平均數(shù)、方差的公式推廣(1)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\o(x,\s\up6(－))＋a.(2)若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2，那么①數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也為s2；②數(shù)據(jù)ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.真題自測真題自測一、單選題1．（2024·全國·高考真題）某農(nóng)業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表畝產(chǎn)量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1050，1100）[1100，1150）[1150，1200）頻數(shù)61218302410根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB．100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過80%C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間2．（2022·全國·高考真題）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：則（

）A．講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于B．講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于C．講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差二、多選題3．（2023·全國·高考真題）有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（

）A．的平均數(shù)等于的平均數(shù)B．的中位數(shù)等于的中位數(shù)C．的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差D．的極差不大于的極差三、解答題4．（2024·上?！じ呖颊骖}）水果分為一級果和二級果，共136箱，其中一級果102箱，二級果34箱．(1)隨機(jī)挑選兩箱水果，求恰好一級果和二級果各一箱的概率；(2)進(jìn)行分層抽樣，共抽8箱水果，求一級果和二級果各幾箱；(3)抽取若干箱水果，其中一級果共120個，單果質(zhì)量平均數(shù)為303.45克，方差為603.46；二級果48個，單果質(zhì)量平均數(shù)為240.41克，方差為648.21；求168個水果的方差和平均數(shù)，并預(yù)估果園中單果的質(zhì)量．5．（2022·全國·高考真題）在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為，該地區(qū)年齡位于區(qū)間的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，求此人患這種疾病的概率．（以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001）.參考答案：題號123答案CBBD1．C【分析】計算出前三段頻數(shù)即可判斷A；計算出低于1100kg的頻數(shù)，再計算比例即可判斷B；根據(jù)極差計算方法即可判斷C；根據(jù)平均值計算公式即可判斷D.【詳解】對于A,根據(jù)頻數(shù)分布表可知,,所以畝產(chǎn)量的中位數(shù)不小于,故A錯誤；對于B，畝產(chǎn)量不低于的頻數(shù)為，所以低于的稻田占比為，故B錯誤；對于C，稻田畝產(chǎn)量的極差最大為，最小為，故C正確；對于D，由頻數(shù)分布表可得，平均值為，故D錯誤.故選；C.2．B【分析】由圖表信息，結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的概念，逐項判斷即可得解.【詳解】講座前中位數(shù)為,所以錯；講座后問卷答題的正確率只有一個是個,剩下全部大于等于,所以講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于,所以B對；講座前問卷答題的正確率更加分散,所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差,所以C錯；講座后問卷答題的正確率的極差為，講座前問卷答題的正確率的極差為,所以錯.故選:B.3．BD【分析】根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及極差的概念逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：設(shè)的平均數(shù)為，的平均數(shù)為，則，因為沒有確定的大小關(guān)系，所以無法判斷的大小，例如：，可得；例如，可得；例如，可得；故A錯誤；對于選項B：不妨設(shè)，可知的中位數(shù)等于的中位數(shù)均為，故B正確；對于選項C：因為是最小值，是最大值，則的波動性不大于的波動性，即的標(biāo)準(zhǔn)差不大于的標(biāo)準(zhǔn)差，例如：，則平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，，則平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差，顯然，即；故C錯誤；對于選項D：不妨設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確；故選：BD.4．(1)(2)一級果抽取6箱，二級果抽取2箱(3)方差克，平均數(shù)克，預(yù)估平均質(zhì)量為克【分析】（1）利用組合知識和超幾何分布求概率公式求出答案；（2）利用分層抽樣的定義進(jìn)行求解；（3）根據(jù)公式計算出總體樣本平均質(zhì)量和方差，并預(yù)估平均質(zhì)量.【詳解】（1）設(shè)A事件為恰好選到一級果和二級果各一箱，樣本空間的樣本點(diǎn)的個數(shù)，A事件的樣本點(diǎn)的公式，所以；（2）因為一級果箱數(shù)：二級果箱數(shù)，所以8箱水果中有一級果抽取箱，二級果抽取箱；（3）設(shè)一級果平均質(zhì)量為，方差為，二級果質(zhì)量為，方差為，總體樣本平均質(zhì)量為，方差為，因為，，，，所以克，克．預(yù)估平均質(zhì)量為克．5．(1)歲；(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)平均值等于各矩形的面積乘以對應(yīng)區(qū)間的中點(diǎn)值的和即可求出；（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，根據(jù)對立事件的概率公式即可解出；（3）根據(jù)條件概率公式即可求出．【詳解】（1）平均年齡

（歲）．（2）設(shè){一人患這種疾病的年齡在區(qū)間}，所以．（3）設(shè)“任選一人年齡位于區(qū)間[40,50)”，“從該地區(qū)中任選一人患這種疾病”，則由已知得：,則由條件概率公式可得從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間，此人患這種疾病的概率為．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】百分位數(shù)的估計一、單選題1．（2025·黑龍江大慶·一模）法國當(dāng)?shù)貢r間2024年7月26日晚，第三十三屆夏季奧林匹克運(yùn)動會在巴黎舉行開幕式.“奧林匹克之父”顧拜旦曾經(jīng)說過，奧運(yùn)會最重要的不是勝利，而是參與；對人生而言，重要的不是凱旋，而是拼搏.為弘揚(yáng)奧運(yùn)精神，某學(xué)校組織高一年級學(xué)生進(jìn)行奧運(yùn)專題的答題活動.為了調(diào)查男生和女生對奧運(yùn)會的關(guān)注程度，在高一年級隨機(jī)抽取10名男生和10名女生的競賽成績（滿分100分），按從低到高的順序排列，得到下表中的樣本數(shù)據(jù)：男生82858687889090929496女生82848587878788889092則下列說法錯誤的是（

）A．男生樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)是86B．男生樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)小于男生樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)C．女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變D．女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的方差不變2．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）已知某學(xué)校參加學(xué)科節(jié)數(shù)學(xué)競賽決賽的8人的成績（單位：分）為：72，78，80，81，83，86，88，90，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（

）A．86 B．87 C．88 D．90二、多選題3．（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測）某學(xué)校共有2000名男生，為了解這部分學(xué)生的身體發(fā)育情況，學(xué)校抽查了100名男生體重情況．根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率分布直方圖如圖所示，則（

）

A．樣本的眾數(shù)為67.5 B．樣本的分位數(shù)為72.5C．樣本的平均值為66 D．該校男生中體重低于的學(xué)生大約為150人4．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）某企業(yè)是一所大學(xué)的社會實踐基地，實踐結(jié)束后學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行考核評分，其得分的頻率分布直方圖如圖所示，該學(xué)校規(guī)定，把成績位于后的學(xué)生劃定為不及格，把成績位于前的學(xué)生劃定為優(yōu)秀，則下列結(jié)論正確的是（

）A．本次測試及格分?jǐn)?shù)線的估計值為60分 B．本次測試優(yōu)秀分?jǐn)?shù)線的估計值為75分C．本次測試分?jǐn)?shù)中位數(shù)的估計值為70分 D．本次測試分?jǐn)?shù)的平均數(shù)小于中位數(shù)三、填空題5．（2024·上?！つM預(yù)測）某同學(xué)高三以來成績依次為110，93，92，93，88，86，則這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為．6．（2024·云南曲靖·二模）抽樣統(tǒng)計得到某班8名女生的身高分別為，則這8名女生身高的第75百分位數(shù)是.參考答案：題號1234答案DBABCD1．D【分析】根據(jù)百分位數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差的定義一一判斷即可.【詳解】對于A：，所以男生樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)是，故A正確；對于B：男生樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，男生樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，故B正確；對于C：女生樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故C正確；對于D：女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個最高分和一個最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變，但是極差變小，所以方差變小，故D錯誤.故選：D2．B【分析】根據(jù)樣本數(shù)據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序得，因為，所以第75百分位數(shù)是．故選：B．3．AB【分析】由頻率分布直方圖的眾數(shù)、百分位數(shù)、平均數(shù)以及頻數(shù)的計算公式對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】對于A：樣本的眾數(shù)為67.5，故A正確；對于B：設(shè)樣本的分位數(shù)為，因為，則，解得：，故B正確；對于C：設(shè)樣本的平均值為，則，故C不正確；對于D：該校男生中低于的學(xué)生所占的頻率為：，該校男生中低于的學(xué)生大約為人，故D不正確.故選：AB.4．CD【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義可判斷AB，根據(jù)中位數(shù)的定義可判斷，根據(jù)頻率分布直方圖左拖尾可判斷D．【詳解】A．由頻率分布直方圖可知，分?jǐn)?shù)小于60分的概率為，分?jǐn)?shù)小于50分的概率為，所以分?jǐn)?shù)的分位數(shù)在區(qū)間內(nèi)，故A錯誤；B．由頻率分布直方圖可知，分?jǐn)?shù)大于80分的概率為0.2，分?jǐn)?shù)大于70分的概率為0.5，所以優(yōu)秀分?jǐn)?shù)線的估計值在區(qū)間內(nèi)，設(shè)其為，則，解得，故B錯誤；C．因為分?jǐn)?shù)大于70分的概率為0.5，所以本次測試分?jǐn)?shù)中位數(shù)的估計值為70分，故C正確；D．因為頻率分布直方圖左拖尾，所以平均數(shù)小于中位數(shù)，故D正確．故選：CD．5．【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列，根據(jù)百分?jǐn)?shù)的定義進(jìn)行求解.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排列，，，故從小到大，選擇第3個數(shù)作為這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)，即.故答案為：926．159【分析】利用百分位數(shù)的估計公式計算可得.【詳解】將數(shù)據(jù)由小到大排列為：，由，得第75百分位數(shù)是.故答案為：159反思提升：計算一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟【考點(diǎn)2】總體集中趨勢的估計一、單選題1．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測）為了普及環(huán)保知識，增強(qiáng)環(huán)保意識，某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識測試，得分如圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為，眾數(shù)為，平均值為，則（）

A． B．C． D．2．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）某教育機(jī)構(gòu)為調(diào)查中小學(xué)生每日完成作業(yè)的時間，收集了某位學(xué)生100天每天完成作業(yè)的時間，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每個區(qū)間均為左閉右開），根據(jù)此直方圖得出了下列結(jié)論，其中正確的是（

）

A．估計該學(xué)生每日完成作業(yè)的時間在2小時至2.5小時的有50天B．估計該學(xué)生每日完成作業(yè)時間超過3小時的概率為0.3C．估計該學(xué)生每日完成作業(yè)時間的中位數(shù)為2.625小時D．估計該學(xué)生每日完成作業(yè)時間的眾數(shù)為2.3小時二、多選題3．（2025·廣東·一模）現(xiàn)有十個點(diǎn)的坐標(biāo)為，它們分別與關(guān)于點(diǎn)對稱.已知的平均數(shù)為，中位數(shù)為，方差為，極差為，則這組數(shù)滿足（

）A．平均數(shù)為 B．中位數(shù)為C．方差為 D．極差為4．（23-24高一下·全國·期末）如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的分布形態(tài).圖（1）形成對稱形態(tài)，圖（2）形成“右拖尾”形態(tài)，圖（3）形成“左拖尾”形態(tài)，根據(jù)所給圖作出以下判斷，正確的是（）A．圖（1）的平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)B．圖（2）的平均數(shù)<眾數(shù)<中位數(shù)C．圖（2）的眾數(shù)中位數(shù)<平均數(shù)D．圖（3）的平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)三、填空題5．（2022·北京·模擬預(yù)測）某班在一次考試后分析學(xué)生在語文?數(shù)學(xué)?英語三個學(xué)科的表現(xiàn)，繪制了各科年級排名的散點(diǎn)圖（如下圖所示）．關(guān)于該班級學(xué)生這三個學(xué)科本次考試的情況，給出下列四個結(jié)論：①三科中，數(shù)學(xué)年級排名的平均數(shù)及方差均最??；②語文、數(shù)學(xué)、英語年級排名均在150名以外的學(xué)生為1人；③本次考試該班語文第一名、數(shù)學(xué)第一名、英語第一名可能為三名不同的同學(xué)；④從該班學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若其語文排名大于200，則其英語和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)的概率為．其中所有正確結(jié)論的序號是．6．（2014高三·全國·專題練習(xí)）為了解本書居民的生活成本，甲、乙、丙三名同學(xué)利用假期分別對三個社區(qū)進(jìn)行了“家庭每月日常消費(fèi)額”的調(diào)查.他們將調(diào)查所得的數(shù)據(jù)分別繪制成頻率分布直方圖（如圖所示），記甲、乙、丙所調(diào)查數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差分別為，，，則它們的大小關(guān)系為.（用“<”連接）參考答案：題號1234答案DCABCDACD1．D【分析】根據(jù)題意求中位數(shù)、眾數(shù)和平均數(shù)，對比即可得結(jié)果.【詳解】30個數(shù)中第15個數(shù)是5，第16個數(shù)是6，所以中位數(shù)，由題意可知：眾數(shù)，平均值＝.所以.故選：D.2．C【分析】利用頻率分別直方圖、頻數(shù)、頻率、中位數(shù)、眾數(shù)直接求解.【詳解】對于A，該學(xué)生每日完成作業(yè)的時間在2小時至2.5小時的天數(shù)為：天，故A錯誤；對于B，估計該學(xué)生每日完成作業(yè)時間超過3小時的概率為，故B錯誤；對于C，的頻率為，的頻率為，則該學(xué)生每日完成作業(yè)時間的中位數(shù)為，故C正確；對于D，估計該學(xué)生每日完成作業(yè)時間的眾數(shù)為，故D錯誤；故選：C3．ABCD【分析】根據(jù)對稱知識可得，結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差的性質(zhì)，即可判斷出答案.【詳解】由于，它們分別與關(guān)于點(diǎn)對稱，則有，即有.則由平均數(shù)的性質(zhì)可得這組數(shù)的平均數(shù)為，結(jié)合中位數(shù)性質(zhì)可知中位數(shù)為，結(jié)合方差性質(zhì)可得方差為，極差非負(fù)，所以極差為.故選：ABCD4．ACD【詳解】根據(jù)平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)的概念結(jié)合圖形分析判斷.【分析】圖（1）的分布直方圖是對稱的，所以平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)，故A正確；圖（2）眾數(shù)最小，右拖尾平均數(shù)大于中位數(shù)，故B錯誤，C正確；圖（3）左拖尾眾數(shù)最大，平均數(shù)小于中位數(shù)，故D正確.故選：ACD.5．①②④【分析】依據(jù)平均數(shù)和方差的定義判斷①；求得語文、數(shù)學(xué)、英語年級排名均在150名以外的學(xué)生人數(shù)判斷②；求得語文第一名、數(shù)學(xué)第一名、英語第一名的同學(xué)判斷③；求得從該班學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若其語文排名大于200，則其英語和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)的概率判斷④.【詳解】①：三科中，數(shù)學(xué)對應(yīng)的點(diǎn)比英語對應(yīng)的點(diǎn)到橫軸的距離近且較為密集，數(shù)學(xué)對應(yīng)的點(diǎn)到橫軸的距離比語文對應(yīng)的點(diǎn)到縱軸距離近且較為密集，所以數(shù)學(xué)年級排名的平均數(shù)及方差均最小.判斷正確；②：語文、數(shù)學(xué)、英語年級排名均在150名以外的學(xué)生為1人.判斷正確；③：本次考試該班語文第一名、數(shù)學(xué)第一名、英語第一名為同一名同學(xué).判斷錯誤；④：由圖表可知語文排名大于200的有3位同學(xué)，語文排名大于200且英語和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)的同學(xué)僅有1位同學(xué).故從該班學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若其語文排名大于200，則其英語和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)的概率為．判斷正確.故答案為①②④6．【分析】根據(jù)平均數(shù)公式及方差公式分別計算、、，即可判斷；【詳解】由圖甲：平均值為，，，，，，則標(biāo)準(zhǔn)差，故答案為：.反思提升：(1)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的應(yīng)用要點(diǎn)中位數(shù)、眾數(shù)分別反映了一組數(shù)據(jù)的“中等水平”“多數(shù)水平”，平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)的平均水平，我們需根據(jù)實際需要選擇使用.(2)頻率分布直方圖的數(shù)字特征①眾數(shù)：眾數(shù)一般用頻率分布表中頻率最高的一組的組中值來表示，即在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，最高小長方形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)；②中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等；③平均數(shù)：平均數(shù)在頻率分布表中等于組中值與對應(yīng)頻率之積的和.【考點(diǎn)3】總體離散程度的估計一、單選題1．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知有4個數(shù)據(jù)的平均值為5，方差為4，現(xiàn)加入數(shù)據(jù)6和10，則這6個數(shù)據(jù)的新方差為（

）A． B． C．6 D．102．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知一組樣本數(shù)據(jù)的方差為10，且，則樣本數(shù)據(jù)的方差為（

）A．9.2 B．10.8 C．9.75 D．10.25二、多選題3．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）下列結(jié)論正確的是（

）A．回歸直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)中的一個點(diǎn)B．已知命題，，則命題的否定為，C．若為取有限個值的離散型隨機(jī)變量，則D．若一組樣本數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為10，另一組樣本數(shù)據(jù)、、、的方差為8，則兩組樣本數(shù)據(jù)合并為一組樣本數(shù)據(jù)后的平均數(shù)和方差分別為17和544．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）下列說法中，正確的是（

）A．?dāng)?shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為32B．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，；則C．已知兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為；若，，，則D．若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為4三、填空題5．（2023·吉林·一模）吉林市一中學(xué)有男生900人，女生600人．在“書香校園”活動中，為了解全校學(xué)生的讀書時間，按性別比例分層隨機(jī)抽樣的方法抽取100名學(xué)生，其中男生、女生每天讀書時間的平均值分別為60分鐘和80分鐘，方差分別為10和15．結(jié)合上述數(shù)據(jù)估計該校學(xué)生每天讀書時間的平均值為分鐘，方差為．6．（2022·北京·模擬預(yù)測）某班在一次考試后分析學(xué)生在語文?數(shù)學(xué)?英語三個學(xué)科的表現(xiàn)，繪制了各科年級排名的散點(diǎn)圖（如下圖所示）．關(guān)于該班級學(xué)生這三個學(xué)科本次考試的情況，給出下列四個結(jié)論：①三科中，數(shù)學(xué)年級排名的平均數(shù)及方差均最??；②語文、數(shù)學(xué)、英語年級排名均在150名以外的學(xué)生為1人；③本次考試該班語文第一名、數(shù)學(xué)第一名、英語第一名可能為三名不同的同學(xué)；④從該班學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若其語文排名大于200，則其英語和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)的概率為．其中所有正確結(jié)論的序號是．參考答案：題號1234答案CBBDBC1．C【分析】設(shè)原來的4個數(shù)依次為,,,,再利用平均數(shù)和方差的計算公式結(jié)合整體法即可.【詳解】設(shè)原來的4個數(shù)依次為，，，，原來4個數(shù)據(jù)的平均值為5，方差為4，，，，，現(xiàn)加入數(shù)據(jù)6和10，則這6個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則這6個數(shù)據(jù)的方差為:.故選：C.2．B【分析】根據(jù)條件中的方差和，代入新數(shù)據(jù)的方差公式，即可求解.【詳解】設(shè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則，且樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)也為，故：故選：B3．BD【分析】對于選項A，回歸直線一定過樣本中心點(diǎn)，回歸直線可能不過任何一個點(diǎn)；對于選項B，全稱量詞命題的否定的方法是改量詞，否結(jié)論；對于選項C，由即可判斷正誤；對于選項D，計算出、的值，再利用平均數(shù)和方差公式可求得合并后的新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差.【詳解】對于選項A，回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，但不一定經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)中的點(diǎn)，故A錯誤；對于選項B，命題的否定為“”，故B正確；對于選項C，為取有限個值的離散型隨機(jī)變量，，則，故C錯誤；對于選項D，由題意可知，數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為，則，則，所以，數(shù)據(jù)、、、，平均數(shù)為，，方差為，即方差為，所以.將兩組數(shù)據(jù)合并后，新數(shù)據(jù)、、、、、、、，平均數(shù)為，方差為，即方差為.故D正確.故選：BD.4．BC【分析】根據(jù)第50百分位數(shù)為中位數(shù)判斷A，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)判斷B，根據(jù)回歸直線方程的性質(zhì)判斷C，根據(jù)方差的性質(zhì)判斷D.【詳解】對數(shù)據(jù)排列：，因為第50百分位數(shù)為中位數(shù)，所以50百分位數(shù)為，故A錯誤；因為隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，所以，所以，所以，所以，故B正確；因為，，，則，故C正確；因為樣本數(shù)據(jù)的方差為2，所以數(shù)據(jù)的方差為，故D錯誤.故選：BC.5．68108【分析】利用分層抽樣的平均值與方差公式計算即可.【詳解】由題意可知男生女生抽取比例分別為：，故抽取樣本的平均值為：，方差為：.以此估計該校學(xué)生每天讀書時間的平均值為68；方差為108.故答案為：68；108.6．①②④【分析】依據(jù)平均數(shù)和方差的定義判斷①；求得語文、數(shù)學(xué)、英語年級排名均在150名以外的學(xué)生人數(shù)判斷②；求得語文第一名、數(shù)學(xué)第一名、英語第一名的同學(xué)判斷③；求得從該班學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若其語文排名大于200，則其英語和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)的概率判斷④.【詳解】①：三科中，數(shù)學(xué)對應(yīng)的點(diǎn)比英語對應(yīng)的點(diǎn)到橫軸的距離近且較為密集，數(shù)學(xué)對應(yīng)的點(diǎn)到橫軸的距離比語文對應(yīng)的點(diǎn)到縱軸距離近且較為密集，所以數(shù)學(xué)年級排名的平均數(shù)及方差均最小.判斷正確；②：語文、數(shù)學(xué)、英語年級排名均在150名以外的學(xué)生為1人.判斷正確；③：本次考試該班語文第一名、數(shù)學(xué)第一名、英語第一名為同一名同學(xué).判斷錯誤；④：由圖表可知語文排名大于200的有3位同學(xué)，語文排名大于200且英語和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)的同學(xué)僅有1位同學(xué).故從該班學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若其語文排名大于200，則其英語和數(shù)學(xué)排名均在150以內(nèi)的概率為．判斷正確.故答案為①②④反思提升：標(biāo)準(zhǔn)差(方差)反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動與穩(wěn)定的程度.標(biāo)準(zhǔn)差(方差)較大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差(方差)較小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）某高校為宣揚(yáng)中華文化，舉辦了“論語吟唱”的比賽，在比賽中，由A，B兩個評委小組（各9人）給參賽選手打分.根據(jù)兩個評委小組對同一名選手的打分繪制成如圖所示折線圖，則下列說法正確的是（

）A．B組打分的方差小于A組打分的方差B．B組打分的中位數(shù)為75C．A組的意見相對一致D．A組打分的眾數(shù)為502．（2024·四川·一模）一家水果店為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了過去天的日銷售量（單位：kg），將全部數(shù)據(jù)按區(qū)間50,60，60,70，…，90,100分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖：根據(jù)圖中信息判斷，下列說法中不恰當(dāng)?shù)囊豁検牵?/p>

）A．圖中的值為B．這天中有天的日銷售量不低于kgC．這天銷售量的中位數(shù)的估計值為kgD．店長希望每天的蘋果盡量新鮮，又能地滿足顧客的需要（在天中，大約有天可以滿足顧客的需求），則每天的蘋果進(jìn)貨量應(yīng)為kg3．（2024·廣東珠?！つM預(yù)測）下列說法正確的是（

）A．一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0，則這組數(shù)據(jù)中的數(shù)均相等B．兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差相等，則這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等C．若兩個變量的相關(guān)系數(shù)越接近于0，則這兩個變量的相關(guān)性越強(qiáng)D．已知變量，由它們的樣本數(shù)據(jù)計算得到的觀測值的部分臨界值如下表：0.10.050.0250.012.7063.8415.0246.635則在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為變量沒有關(guān)系4．（2024·四川資陽·二模）某產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量是50克/袋，抽取8袋該產(chǎn)品，稱出各袋的質(zhì)量（單位：克）如下：48，49，50，50，50，50，51，52.這8袋產(chǎn)品中，質(zhì)量在以平均數(shù)為中心，1倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的有（

）A．4袋 B．6袋 C．7袋 D．8袋二、多選題5．（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測）下列說法正確的是（

）A．樣本數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)是17B．在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，若第一層的樣本量為10，平均值為9，第二層的樣本量為20，平均值為12，則所抽樣本的平均值為11C．若隨機(jī)變量，則D．若隨機(jī)變量，若，則6．（2024·湖北·模擬預(yù)測）某公司為保證產(chǎn)品生產(chǎn)質(zhì)量，連續(xù)10天監(jiān)測某種新產(chǎn)品生產(chǎn)線的次品件數(shù)，得到關(guān)于每天出現(xiàn)的次品的件數(shù)的一組樣本數(shù)據(jù)：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，則關(guān)于這組數(shù)據(jù)的結(jié)論正確的是（

）A．極差是4 B．眾數(shù)小于平均數(shù)C．方差是1.8 D．?dāng)?shù)據(jù)的80%分位數(shù)為47．（24-25高三上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）某地農(nóng)研所為研究新的大豆品種，在面積相等的80塊豆田上種植一種新型的大豆，得到各塊豆田的畝產(chǎn)量（單位：kg），將所得數(shù)據(jù)按，，，，，分成六組，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

則下列結(jié)論正確的是（

）A．這80塊豆田的畝產(chǎn)量的中位數(shù)低于180kgB．這80塊豆田的畝產(chǎn)量的極差不高于60kgC．在這80塊豆田中，畝產(chǎn)量不低于190kg的豆田所占比例為D．這80塊豆田的畝產(chǎn)量的第75百分位數(shù)高于三、填空題8．（2024·廣東珠?！ひ荒＃┘?、乙兩班參加了同一學(xué)科的考試，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成績?yōu)?2分，方差為90分；乙班的平均成績?yōu)?0分，方差為60分．那么甲、乙兩班全部90名學(xué)生的平均成績是分，方差是分．9．（2024·上?！つM預(yù)測）已知樣本的平均數(shù)為2，方差為2023，則的平均數(shù)為.10．（2024·江西·模擬預(yù)測）某新能源汽車店五月份的前8天汽車銷量（單位：輛）分別為：，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為．四、解答題11．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）2024年，全國政協(xié)十四屆二次會議于3月4日下午3時在人民大會堂開幕，3月10日上午閉幕；十四屆全國人大二次會議于3月5日上午開幕，11日上午閉幕.為調(diào)查居民對兩會相關(guān)知識的了解情況，某小區(qū)開展了兩會知識問答活動，現(xiàn)將該小區(qū)參與該活動的240位居民的得分（滿分100分）進(jìn)行了統(tǒng)計，得到如下的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計全體居民得分的方差（各組以區(qū)間中點(diǎn)值作代表）；(2)為鼓勵小區(qū)居民學(xué)習(xí)兩會精神，移動公司計劃為參與本次活動的居民進(jìn)行獎勵，獎勵分為以下兩種方案：方案一：參與兩會知識問答的所有居民每人獎勵20元話費(fèi)充值卡；方案二：問答活動得分低于平均分的居民獎勵15元話費(fèi)充值卡，得分不低于平均分的居民獎勵25元話費(fèi)充值卡.你認(rèn)為哪種方案，小區(qū)居民所得的獎勵更多，請說明理由.12．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）某機(jī)構(gòu)為了解2023年當(dāng)?shù)鼐用窬W(wǎng)購消費(fèi)情況，隨機(jī)抽取了100人，對其2023年全年網(wǎng)購消費(fèi)金額（單位：千元）進(jìn)行了統(tǒng)計，所統(tǒng)計的金額均在區(qū)間內(nèi)，并按，，分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求圖中的值，并估計居民網(wǎng)購消費(fèi)金額的中位數(shù)；(2)若將全年網(wǎng)購消費(fèi)金額在20千元及以上者稱為網(wǎng)購迷，結(jié)合圖表數(shù)據(jù)，補(bǔ)全列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為樣本數(shù)據(jù)中網(wǎng)購迷與性別有關(guān)系？說明理由．男女合計網(wǎng)購迷20非網(wǎng)購迷47合計下面的臨界值表僅供參考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式：，其中參考答案：題號1234567答案CDABABDACBC1．C【分析】根據(jù)折線統(tǒng)計圖一一分析即可.【詳解】對于A：觀察折線圖可知，B組的極差大于A組的極差，且數(shù)據(jù)波動性較A組更大，所以B組打分的方差大于A組打分的方差，故A錯誤；對于B：B組打分的分值按照從小到大排列為：36，55，58，62，66，68，68，70，75，所以中間數(shù)為66，故中位數(shù)為66，故B錯誤；對于C：A組的打分成績比較均勻，波動更小，故A組意見相對一致，故C正確；對于D：A組打分的分值為：42，47，45，46，50，47，55，50，47，所以A組打分的分值的眾數(shù)為47，故D錯誤．故選：C．2．D【分析】選項A，利用頻率分布直方圖的性質(zhì)，即可求解；選項B，利用頻率分布直方圖，得到不低于kg的頻率為，即可求解；選項C，設(shè)中位數(shù)為，根據(jù)條件，建立方程，即可求解；選項D，將問題轉(zhuǎn)化成求第分位數(shù)，即可判斷出正誤.【詳解】對于選項A，由圖知，解得，所以選項A正確，對于選項B，由圖知日銷售量不低于kg的頻率為，由，所以選項B正確，對于選項C，設(shè)中位數(shù)為，由，解得，所選項C正確，對于選項D，設(shè)第分位數(shù)為，則有，得到，所以選項D錯誤，故選：D.3．A【分析】應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)差公式判斷A,特殊值法判斷B,根據(jù)相關(guān)系數(shù)性質(zhì)判斷C,應(yīng)用獨(dú)立性檢驗判斷D.【詳解】A選項，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差定義，一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差時，顯然A正確；B選項，兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差相等，這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)未必相等，如均為1和均為2的兩組數(shù)據(jù)，它們的標(biāo)準(zhǔn)差均為0，但它們的平均數(shù)分別為1和，B錯誤；C選項，兩個變量的相關(guān)系數(shù)越接近于0，兩個變量的相關(guān)性越弱，C錯誤；D選項，，根據(jù)獨(dú)立性檢驗原理，在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為變量有關(guān)系，D錯誤.故選：A4．B【分析】根據(jù)方差的運(yùn)算公式，結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)差的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】這8袋產(chǎn)品的平均質(zhì)量，方差，標(biāo)準(zhǔn)差.質(zhì)量在以平均數(shù)為中心，1倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)，即在內(nèi)的產(chǎn)品有6袋.故選：B5．ABD【分析】對于A由下四分位數(shù)的概念即可判斷；對于B，由平均數(shù)的計算公式即可判斷；對于C由二項分布即可判斷;對于D由正態(tài)分布的對稱性即可判斷.【詳解】對于A.從小到大排序得：16，17，19，20，22，24，26，由，所以下四分位數(shù)是17正確；對于B，正確；對于C，由二項分布可得：，錯誤；對于D，由正態(tài)分布的對稱性可得：，正確故選：ABD6．AC【分析】由極差的定義計算后判斷選項A；由眾數(shù)和平均數(shù)的定義計算后判斷選項B；計算數(shù)據(jù)方差判斷選項C；計算80%分位數(shù)判斷選項D.【詳解】數(shù)據(jù)從小到大排列為1，1，2，3，3，3，3，4，5，5．對于A，該組數(shù)據(jù)的極差為，故A正確；對于B，眾數(shù)為3，平均數(shù)為，兩者相等，故B錯誤；對于C，方差為，故C正確；對于D，，這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第8個數(shù)和第9個數(shù)的平均數(shù)4.5，故D錯誤．故選：AC．7．BC【分析】對于A，根據(jù)中位數(shù)的定義即可求解；對于B，根據(jù)極差的定義即可求解；對于C，根據(jù)頻率分布直方圖縱坐標(biāo)的意義即可求解；先根據(jù)百分位數(shù)的定義求出第75百分位數(shù)所在的區(qū)間，再根據(jù)分析即可求解.【詳解】對于A，前三組的頻率為，前四組的頻率為：，所以這80塊豆田的畝產(chǎn)量的中位數(shù)在之間，故不低于180kg，則A錯誤；對于B，，，所以這80塊豆田的畝產(chǎn)量的極差高于40kg，且不高于60kg，則B正確；對于C，在這80塊豆田中，畝產(chǎn)量不低于190kg的豆田所占比例為，則C正確．對于D，，，所以這80塊豆田的畝產(chǎn)量的第75百分位數(shù)不低于180kg，當(dāng)畝產(chǎn)量在內(nèi)的豆田的畝產(chǎn)量都是180kg時，這80塊豆田的畝產(chǎn)量的第75百分位數(shù)為180kg，則D錯誤．故選：BC.8．80【分析】利用平均數(shù)的定義求出90名學(xué)生的平均成績，根據(jù)局部方差和整體方差的公式進(jìn)行求解.【詳解】甲、乙兩班全部90名學(xué)生的平均成績?yōu)榉?，方差為故答案為?0，9．【分析】根據(jù)題意，利用數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的計算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，可得，所以，又由，即，所以.故答案為：.10．13【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列，然后算出分位數(shù)的位置，由百分位數(shù)的