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專題50拋物線(新高考專用)目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 4【考點1】拋物線的定義和標準方程 4【考點2】拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用 5【考點3】直線與拋物線的綜合問題 7【分層檢測】 8【基礎(chǔ)篇】 8【能力篇】 10【培優(yōu)篇】 10考試要求:1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程,以及它們的簡單幾何性質(zhì).2.通過圓錐曲線與方程的學習,進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.知識梳理知識梳理1.拋物線的定義(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準線.(2)其數(shù)學表達式:{M||MF|=d}(d為點M到準線l的距離).2.拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)圖形標準方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的幾何意義:焦點F到準線l的距離性質(zhì)頂點O(0,0)對稱軸y=0x=0焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2),0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(p,2),0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,-\f(p,2)))離心率e=1準線方程x=-eq\f(p,2)x=eq\f(p,2)y=-eq\f(p,2)y=eq\f(p,2)范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R開口方向向右向左向上向下1.通徑:過焦點且垂直于對稱軸的弦長等于2p,通徑是過焦點最短的弦.2.拋物線y2=2px(p>0)上一點P(x0,y0)到焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2),0))的距離|PF|=x0+eq\f(p,2),稱為拋物線的焦半徑.真題自測真題自測一、單選題1.(2022·全國·高考真題)設(shè)F為拋物線的焦點,點A在C上,點,若,則(
)A.2 B. C.3 D.二、多選題2.(2024·全國·高考真題)拋物線C:的準線為l,P為C上的動點,過P作的一條切線,Q為切點,過P作l的垂線,垂足為B,則(
)A.l與相切B.當P,A,B三點共線時,C.當時,D.滿足的點有且僅有2個3.(2023·全國·高考真題)設(shè)O為坐標原點,直線過拋物線的焦點,且與C交于M,N兩點,l為C的準線,則(
).A. B.C.以MN為直徑的圓與l相切 D.為等腰三角形4.(2022·全國·高考真題)已知O為坐標原點,過拋物線焦點F的直線與C交于A,B兩點,其中A在第一象限,點M(p,0),若|AF|=|AM|,則(
)A.直線的斜率為 B.|OB|=|OF|C.|AB|>4|OF| D.5.(2022·全國·高考真題)已知O為坐標原點,點在拋物線上,過點的直線交C于P,Q兩點,則(
)A.C的準線為 B.直線AB與C相切C. D.三、填空題6.(2023·全國·高考真題)已知點在拋物線C:上,則A到C的準線的距離為.四、解答題7.(2022·全國·高考真題)設(shè)拋物線的焦點為F,點,過F的直線交C于M,N兩點.當直線MD垂直于x軸時,.(1)求C的方程;(2)設(shè)直線與C的另一個交點分別為A,B,記直線的傾斜角分別為.當取得最大值時,求直線AB的方程.考點突破考點突破【考點1】拋物線的定義和標準方程一、單選題1.(2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測)過拋物線上的一點P作圓C:的切線,切點為A,B,則的最小值是(
)A.4 B. C.6 D.2.(2024·河南南陽·模擬預(yù)測)已知過拋物線的焦點且傾斜角為的直線交于兩點,是的中點,點是上一點,若點的縱坐標為1,直線,則到的準線的距離與到的距離之和的最小值為(
)A. B. C. D.二、多選題3.(23-24高三下·河北·開學考試)雙曲拋物線又稱馬鞍面,其形似馬具中的馬鞍表面而得名.其在力學、建筑學、美學中有著廣泛的應(yīng)用.在空間直角坐標系中,將一條平面內(nèi)開口向上的拋物線沿著另一條平面內(nèi)開口向下的拋物線滑動(兩條拋物線的頂點重合)所形成的就是馬鞍面,其坐標原點被稱為馬鞍面的鞍點,其標準方程為,則下列說法正確的是()A.用平行于平面的面截馬鞍面,所得軌跡為雙曲線B.用法向量為的平面截馬鞍面所得軌跡為拋物線C.用垂直于y軸的平面截馬鞍面所得軌跡為雙曲線D.用過原點且法向量為的平面截馬鞍面所得軌跡為拋物線4.(23-24高二下·河南·期末)已知拋物線的焦點為,準線為,點是上位于第一象限的動點,點為與軸的交點,則下列說法正確的是(
)A.到直線的距離為2B.以為圓心,為半徑的圓與相切C.直線斜率的最大值為2D.若,則的面積為2三、填空題5.(2024·北京朝陽·一模)已知拋物線的焦點為,準線方程為,則;設(shè)為原點,點在拋物線上,若,則.6.(2024·安徽·二模)已知拋物線的焦點,直線過與拋物線交于,兩點,若,則直線的方程為,的面積為(為坐標原點).反思提升:求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法,其關(guān)鍵是判斷焦點位置、開口方向,在方程的類型已經(jīng)確定的前提下,由于標準方程只有一個參數(shù)p,只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程.【考點2】拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用一、單選題1.(2022·江蘇·一模)是拋物線的焦點,以為端點的射線與拋物線相交于,與拋物線的準線相交于,若,則A. B.32 C. D.2.(2023·河南鄭州·模擬預(yù)測)已知拋物線,圓,P為E上一點,Q為C上一點,則的最小值為(
)A.2 B. C. D.3二、多選題3.(2023·廣東佛山·二模)如圖拋物線的頂點為,焦點為,準線為,焦準距為4;拋物線的頂點為,焦點也為,準線為,焦準距為6.和交于、兩點,分別過、作直線與兩準線垂直,垂足分別為M、N、S、T,過的直線與封閉曲線交于、兩點,則(
)A. B.四邊形的面積為100C. D.的取值范圍為4.(2024·浙江·模擬預(yù)測)已知曲線上的點滿足:到定點1,0與定直線軸的距離的差為定值,其中,點,分別為曲線上的兩點,且點恒在點的右側(cè),則(
)A.若,則曲線的圖象為一條拋物線B.若,則曲線的方程為C.當時,對于任意的,,都有D.當時,對于任意的,,都有三、填空題5.(22-23高三上·江蘇南通·期中)已知拋物線:,圓:,在拋物線上任取一點,向圓作兩條切線和,切點分別為,,則的取值范圍是.6.(22-23高三上·湖南益陽·期末)已知拋物線的焦點為,圓與交于兩點,其中點在第一象限,點在直線上運動,記.①當時,有;②當時,有;③可能是等腰直角三角形;其中命題中正確的有.反思提升:與拋物線有關(guān)的最值問題的兩個轉(zhuǎn)化策略轉(zhuǎn)化策略一:將拋物線上的點到準線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離,構(gòu)造出“兩點之間線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”,使問題得以解決.轉(zhuǎn)化策略二:將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離,利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決.【考點3】直線與拋物線的綜合問題一、解答題1.(2024·廣西南寧·一模)已知曲線.(1)若點是上的任意一點,直線,判斷直線與的位置關(guān)系并證明.(2)若是直線上的動點,直線與相切于點,直線與相切于點.①試問是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.②若直線與軸分別交于點,證明:.2.(2024·江蘇南京·二模)在平面直角坐標系中,頂點在原點的拋物線經(jīng)過點.(1)求拋物線的方程;(2)若拋物線不經(jīng)過第二象限,且經(jīng)過點的直線交拋物線于,,兩點(),過作軸的垂線交線段于點.①當經(jīng)過拋物線的焦點時,求直線的方程;②求點A到直線的距離的最大值.3.(2024·河南鄭州·模擬預(yù)測)設(shè)拋物線的焦點為,是上一點且,直線經(jīng)過點.(1)求拋物線的方程;(2)①若與相切,且切點在第一象限,求切點的坐標;②若與在第一象限內(nèi)的兩個不同交點為,且關(guān)于原點的對稱點為,證明:直線的傾斜角之和為.4.(2024·山西太原·二模)已知拋物線C:()的焦點為F,過點且斜率為1的直線經(jīng)過點F.(1)求拋物線C的方程;(2)若A,B是拋物線C上兩個動點,在x軸上是否存在定點M(異于坐標原點O),使得當直線AB經(jīng)過點M時,滿足?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.5.(2024·浙江·模擬預(yù)測)已知點,,,均在拋物線:上,,關(guān)于軸對稱,直線,關(guān)于直線對稱,點在直線的上方,直線交軸于點,直線斜率小于2.(1)求面積的最大值;(2)記四邊形的面積為,的面積為,若,求.6.(2025·四川巴中·模擬預(yù)測)已知動圓經(jīng)過點且與直線相切,記圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)設(shè)過點且斜率為正的直線交曲線于兩點(點在點的上方),的中點為,①過作直線的垂線,垂足分別為,試證明:;②設(shè)線段的垂直平分線交軸于點,若的面積為4,求直線的方程.反思提升:1.有關(guān)直線與拋物線的弦長問題,要注意直線是否過拋物線的焦點.若過拋物線的焦點,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不過焦點,則必須用一般弦長公式.2.涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時,一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法.分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1.(2024·北京西城·三模)點F拋物線的焦點,A,B,C為拋物線上三點,若,則(
)A.2 B. C.3 D.2.(2023·陜西榆林·模擬預(yù)測)已知拋物線的焦點為F,過點F且斜率為1的直線與拋物線交于A,B兩點,若,則(
)A.4 B.3 C.2 D.13.(2024·河南駐馬店·二模)已知點在焦點為的拋物線上,若,則(
)A.3 B.6 C.9 D.124.(2024·山東聊城·二模)點在拋物線上,若點到點的距離為6,則點到軸的距離為(
)A.4 B.5 C.6 D.7二、多選題5.(2023·山西·模擬預(yù)測)已知拋物線的焦點為F,點在C上,若(O為坐標原點),則(
)A. B.C. D.6.(2024·河北保定·二模)若直線與拋物線只有1個公共點,則的焦點的坐標可能是(
)A. B. C. D.7.(2023·湖南常德·模擬預(yù)測)已知拋物線經(jīng)過點,其焦點為,過點的直線與拋物線交于點,,設(shè)直線,的斜率分別為,,則(
)A. B.C. D.三、填空題8.(2024·山西太原·模擬預(yù)測)已知等腰梯形ABCD的四個頂點在拋物線上,且,則原點到AB的距離與原點到CD的距離之比為.9.(2024·四川成都·模擬預(yù)測)若拋物線的焦點是橢圓的一個頂點,則的值為10.(2021·青海西寧·二模)在平面直角坐標系中,已知拋物線與雙曲線有公共焦點,拋物線M與雙曲線交于,兩點,,,三點共線,則雙曲線的離心率為.四、解答題11.(2021·陜西漢中·模擬預(yù)測)已知拋物線的焦點為,直線:與拋物線交于兩點,且(為坐標原點).(1)求拋物線的方程;(2)求證:直線恒過定點.12.(2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測)已知A,B兩點的坐標分別是,直線AM,BM相交于點M,且直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是,記點M的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程.(2)將曲線C向上平移4個單位得到曲線E,已知斜率為3的直線l與曲線E有兩個不同的交點且滿足,求直線l的方程.【能力篇】一、單選題1.(2024·陜西西安·三模)設(shè)拋物線:的焦點為,過點的直線與拋物線相交于,兩點,,,則(
)A.1 B.2 C.4 D.22二、多選題2.(2024·廣東汕頭·三模)已知拋物線:的焦點為,為坐標原點,動點在上,若定點滿足,則(
)A.的準線方程為 B.周長的最小值為5C.四邊形可能是平行四邊形 D.的最小值為三、填空題3.(2024·廣東廣州·一模)已知曲線是平面內(nèi)到定點與到定直線的距離之和等于的點的軌跡,若點在上,對給定的點,用表示的最小值,則的最小值為.四、解答題4.(2024·廣西來賓·模擬預(yù)測)在平面直角坐標系xOy中,已知F為拋物線C:的焦點,O為坐標原點,M為C的準線l上一點,直線MF的斜率為,的面積為4.(1)求C的方程;(2)過點F的直線交C于A,B兩點,過點B作y軸的垂線交直線AO于點D,過點A作直線DF的垂線與C的另一交點為E,AE的中點為G,證明:G,B,D三點縱坐標相等.【培優(yōu)篇】一、單選題1.(2024·西藏林芝·模擬預(yù)測)已知O為坐標原點,設(shè)雙曲線C的方程為,過拋物線的焦點和C的虛軸端點的直線l與C的一條漸近線平行.將C的兩條漸近線分別記為,右焦點記為F,若以O(shè)F為直徑的圓M交直線于O,A兩點,點B在上,且,則(
)A. B. C. D.二、多選題2.(23-24高二下·四川雅安·開學考試)如圖拋物線的頂點為,焦點為,準線為,焦準距為;拋物線的頂點為,焦點也為,準線為,焦準距為.和交于、兩點,分別過、作直線與兩準線垂直,垂足分別為,過的直線與封閉曲線交于、兩點,則下列說法正確的是(
)A. B.四邊形的面積為C. D.的取值范圍為3.(2024·湖北武漢·模擬預(yù)測)設(shè)點()是拋物線上任意一點,過點作拋物線的兩條切線,分別交拋物線于點和點,則下列結(jié)論正確的是(
)A. B.C. D.直線與拋物線相切專題50拋物線(新高考專用)目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 12【考點1】拋物線的定義和標準方程 12【考點2】拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用 17【考點3】直線與拋物線的綜合問題 24【分層檢測】 35【基礎(chǔ)篇】 35【能力篇】 43【培優(yōu)篇】 47考試要求:1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程,以及它們的簡單幾何性質(zhì).2.通過圓錐曲線與方程的學習,進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想.知識梳理知識梳理1.拋物線的定義(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準線.(2)其數(shù)學表達式:{M||MF|=d}(d為點M到準線l的距離).2.拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)圖形標準方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的幾何意義:焦點F到準線l的距離性質(zhì)頂點O(0,0)對稱軸y=0x=0焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2),0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(p,2),0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,-\f(p,2)))離心率e=1準線方程x=-eq\f(p,2)x=eq\f(p,2)y=-eq\f(p,2)y=eq\f(p,2)范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R開口方向向右向左向上向下1.通徑:過焦點且垂直于對稱軸的弦長等于2p,通徑是過焦點最短的弦.2.拋物線y2=2px(p>0)上一點P(x0,y0)到焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2),0))的距離|PF|=x0+eq\f(p,2),稱為拋物線的焦半徑.真題自測真題自測一、單選題1.(2022·全國·高考真題)設(shè)F為拋物線的焦點,點A在C上,點,若,則(
)A.2 B. C.3 D.二、多選題2.(2024·全國·高考真題)拋物線C:的準線為l,P為C上的動點,過P作的一條切線,Q為切點,過P作l的垂線,垂足為B,則(
)A.l與相切B.當P,A,B三點共線時,C.當時,D.滿足的點有且僅有2個3.(2023·全國·高考真題)設(shè)O為坐標原點,直線過拋物線的焦點,且與C交于M,N兩點,l為C的準線,則(
).A. B.C.以MN為直徑的圓與l相切 D.為等腰三角形4.(2022·全國·高考真題)已知O為坐標原點,過拋物線焦點F的直線與C交于A,B兩點,其中A在第一象限,點M(p,0),若|AF|=|AM|,則(
)A.直線的斜率為 B.|OB|=|OF|C.|AB|>4|OF| D.5.(2022·全國·高考真題)已知O為坐標原點,點在拋物線上,過點的直線交C于P,Q兩點,則(
)A.C的準線為 B.直線AB與C相切C. D.三、填空題6.(2023·全國·高考真題)已知點在拋物線C:上,則A到C的準線的距離為.四、解答題7.(2022·全國·高考真題)設(shè)拋物線的焦點為F,點,過F的直線交C于M,N兩點.當直線MD垂直于x軸時,.(1)求C的方程;(2)設(shè)直線與C的另一個交點分別為A,B,記直線的傾斜角分別為.當取得最大值時,求直線AB的方程.參考答案:題號12345答案BABDACACDBCD1.B【分析】根據(jù)拋物線上的點到焦點和準線的距離相等,從而求得點的橫坐標,進而求得點坐標,即可得到答案.【詳解】由題意得,,則,即點到準線的距離為2,所以點的橫坐標為,不妨設(shè)點在軸上方,代入得,,所以.故選:B2.ABD【分析】A選項,拋物線準線為,根據(jù)圓心到準線的距離來判斷;B選項,三點共線時,先求出的坐標,進而得出切線長;C選項,根據(jù)先算出的坐標,然后驗證是否成立;D選項,根據(jù)拋物線的定義,,于是問題轉(zhuǎn)化成的點的存在性問題,此時考察的中垂線和拋物線的交點個數(shù)即可,亦可直接設(shè)點坐標進行求解.【詳解】A選項,拋物線的準線為,的圓心到直線的距離顯然是,等于圓的半徑,故準線和相切,A選項正確;B選項,三點共線時,即,則的縱坐標,由,得到,故,此時切線長,B選項正確;C選項,當時,,此時,故或,當時,,,,不滿足;當時,,,,不滿足;于是不成立,C選項錯誤;D選項,方法一:利用拋物線定義轉(zhuǎn)化根據(jù)拋物線的定義,,這里,于是時點的存在性問題轉(zhuǎn)化成時點的存在性問題,,中點,中垂線的斜率為,于是的中垂線方程為:,與拋物線聯(lián)立可得,,即的中垂線和拋物線有兩個交點,即存在兩個點,使得,D選項正確.方法二:(設(shè)點直接求解)設(shè),由可得,又,又,根據(jù)兩點間的距離公式,,整理得,,則關(guān)于的方程有兩個解,即存在兩個這樣的點,D選項正確.故選:ABD3.AC【分析】先求得焦點坐標,從而求得,根據(jù)弦長公式求得,根據(jù)圓與等腰三角形的知識確定正確答案.【詳解】A選項:直線過點,所以拋物線的焦點,所以,則A選項正確,且拋物線的方程為.B選項:設(shè),由消去并化簡得,解得,所以,B選項錯誤.C選項:設(shè)的中點為,到直線的距離分別為,因為,即到直線的距離等于的一半,所以以為直徑的圓與直線相切,C選項正確.D選項:直線,即,到直線的距離為,所以三角形的面積為,由上述分析可知,所以,所以三角形不是等腰三角形,D選項錯誤.故選:AC.
4.ACD【分析】由及拋物線方程求得A(3p4,6p2),再由斜率公式即可判斷A選項;表示出直線的方程,聯(lián)立拋物線求得B(p3,?6p3),即可求出【詳解】對于A,易得,由可得點在的垂直平分線上,則點橫坐標為,代入拋物線可得,則A(3p4,6p2對于B,由斜率為可得直線的方程為x=12?6y+設(shè),則,則,代入拋物線得,解得,則B(p3,?6p3則,B錯誤;對于C,由拋物線定義知:,C正確;對于D,OA?OB=(又MA?MB=(?又∠AOB+∠AMB+∠OAM+∠OBM=360°,則故選:ACD.5.BCD【分析】求出拋物線方程可判斷A,聯(lián)立AB與拋物線的方程求交點可判斷B,利用距離公式及弦長公式可判斷C、D.【詳解】將點的代入拋物線方程得,所以拋物線方程為,故準線方程為,A錯誤;,所以直線的方程為,聯(lián)立,可得,解得,故B正確;設(shè)過的直線為,若直線與軸重合,則直線與拋物線只有一個交點,所以,直線的斜率存在,設(shè)其方程為,,聯(lián)立,得,所以,所以或,,又,,所以,故C正確;因為,,所以,而,故D正確.故選:BCD6.【分析】由題意首先求得拋物線的標準方程,然后由拋物線方程可得拋物線的準線方程為,最后利用點的坐標和準線方程計算點到的準線的距離即可.【詳解】由題意可得:,則,拋物線的方程為,準線方程為,點到的準線的距離為.故答案為:.7.(1);(2).【分析】(1)由拋物線的定義可得,即可得解;(2)法一:設(shè)點的坐標及直線,由韋達定理及斜率公式可得,再由差角的正切公式及基本不等式可得,設(shè)直線,結(jié)合韋達定理可解.【詳解】(1)拋物線的準線為,當與x軸垂直時,點M的橫坐標為p,此時,所以,所以拋物線C的方程為;(2)[方法一]:【最優(yōu)解】直線方程橫截式設(shè),直線,由可得,,由斜率公式可得,,直線,代入拋物線方程可得,,所以,同理可得,所以又因為直線MN、AB的傾斜角分別為,所以,若要使最大,則,設(shè),則,當且僅當即時,等號成立,所以當最大時,,設(shè)直線,代入拋物線方程可得,,所以,所以直線.[方法二]:直線方程點斜式由題可知,直線MN的斜率存在.設(shè),直線由得:,,同理,.直線MD:,代入拋物線方程可得:,同理,.代入拋物線方程可得:,所以,同理可得,由斜率公式可得:(下同方法一)若要使最大,則,設(shè),則,當且僅當即時,等號成立,所以當最大時,,設(shè)直線,代入拋物線方程可得,,所以,所以直線.[方法三]:三點共線設(shè),設(shè),若P、M、N三點共線,由所以,化簡得,反之,若,可得MN過定點因此,由M、N、F三點共線,得,
由M、D、A三點共線,得,
由N、D、B三點共線,得,則,AB過定點(4,0)(下同方法一)若要使最大,則,設(shè),則,當且僅當即時,等號成立,所以當最大時,,所以直線.【整體點評】(2)法一:利用直線方程橫截式,簡化了聯(lián)立方程的運算,通過尋找直線的斜率關(guān)系,由基本不等式即可求出直線AB的斜率,再根據(jù)韋達定理求出直線方程,是該題的最優(yōu)解,也是通性通法;法二:常規(guī)設(shè)直線方程點斜式,解題過程同解法一;法三:通過設(shè)點由三點共線尋找縱坐標關(guān)系,快速找到直線過定點,省去聯(lián)立過程,也不失為一種簡化運算的好方法.考點突破考點突破【考點1】拋物線的定義和標準方程一、單選題1.(2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測)過拋物線上的一點P作圓C:的切線,切點為A,B,則的最小值是(
)A.4 B. C.6 D.2.(2024·河南南陽·模擬預(yù)測)已知過拋物線的焦點且傾斜角為的直線交于兩點,是的中點,點是上一點,若點的縱坐標為1,直線,則到的準線的距離與到的距離之和的最小值為(
)A. B. C. D.二、多選題3.(23-24高三下·河北·開學考試)雙曲拋物線又稱馬鞍面,其形似馬具中的馬鞍表面而得名.其在力學、建筑學、美學中有著廣泛的應(yīng)用.在空間直角坐標系中,將一條平面內(nèi)開口向上的拋物線沿著另一條平面內(nèi)開口向下的拋物線滑動(兩條拋物線的頂點重合)所形成的就是馬鞍面,其坐標原點被稱為馬鞍面的鞍點,其標準方程為,則下列說法正確的是()A.用平行于平面的面截馬鞍面,所得軌跡為雙曲線B.用法向量為的平面截馬鞍面所得軌跡為拋物線C.用垂直于y軸的平面截馬鞍面所得軌跡為雙曲線D.用過原點且法向量為的平面截馬鞍面所得軌跡為拋物線4.(23-24高二下·河南·期末)已知拋物線的焦點為,準線為,點是上位于第一象限的動點,點為與軸的交點,則下列說法正確的是(
)A.到直線的距離為2B.以為圓心,為半徑的圓與相切C.直線斜率的最大值為2D.若,則的面積為2三、填空題5.(2024·北京朝陽·一模)已知拋物線的焦點為,準線方程為,則;設(shè)為原點,點在拋物線上,若,則.6.(2024·安徽·二模)已知拋物線的焦點,直線過與拋物線交于,兩點,若,則直線的方程為,的面積為(為坐標原點).參考答案:題號1234答案BDABABD1.B【分析】設(shè),利用圓的切線性質(zhì),借助圖形的面積把表示為的函數(shù),再求出函數(shù)的最小值即可.【詳解】設(shè),則,圓的圓心,半徑,由切圓于點,得,則,當且僅當時取等號,所以的最小值為.故選:B.2.D【分析】首先聯(lián)立與拋物線方程,結(jié)合已知、韋達定理求得,進一步通過拋物線定義、三角形三邊關(guān)系即可求解,注意檢驗等號成立的條件.【詳解】由題得的焦點為,設(shè)傾斜角為的直線的方程為,與的方程聯(lián)立得,設(shè)Ax1,y1,Bx
由拋物線定義可知點到準線的距離等于點到焦點的距離,聯(lián)立拋物線與直線,化簡得,由得與相離.分別是過點向準線、直線以及過點向直線引垂線的垂足,連接,所以點到的準線的距離與點到直線的距離之和,等號成立當且僅當點為線段與拋物線的交點,所以到的準線的距離與到的距離之和的最小值為點到直線0的距離,即.故選:D.3.AB【分析】利用空間向量的相關(guān)知識,結(jié)合馬鞍面的標準方程,逐一變換方程判斷各選項即可得解.【詳解】因為馬鞍面的標準方程為,對于A,平行于平面的面中為常數(shù),不妨設(shè)為,得,故所得軌跡是雙曲線.,故A正確;對于B,法向量為的平面中為常數(shù),不妨設(shè)為,則,為拋物線方程,故B正確;對于C,垂直于軸的平面中為常數(shù),不妨設(shè)為,則,為拋物線方程,故C錯誤;對于D,不妨設(shè)平面上的點坐標為,因為平面過原點且法向量為,由,得,故,代入馬鞍面標準方程,得,當時,方程為,不是拋物線,故D錯誤.故選:AB.4.ABD【分析】A選項,求出焦點坐標和準線方程,得到答案;B選項,由拋物線焦半徑公式可得B正確;C選項,當直線與拋物線相切時,的斜率取得最大值.設(shè)直線,聯(lián)立拋物線方程,根據(jù)根的判別式得到方程,求出直線斜率的最大值;D選項,設(shè),根據(jù)焦半徑公式得到方程,求出,求出三角形面積.【詳解】A選項,易知,準線,所以到直線的距離為2,A選項正確;B選項,由拋物線的定義,點到準線的距離等于,所以以為圓心,為半徑的圓與相切,B選項正確;C選項,當直線與拋物線相切時,的斜率取得最大值.設(shè)直線,與拋物線聯(lián)立可得:,令得:,所以直線斜率的最大值為1,C選項錯誤;D選項,,設(shè),則,解得,所以的面積為,D選項正確.故選:ABD.5./0.5【分析】借助拋物線的性質(zhì)及其定義計算即可得.【詳解】由拋物線準線方程為,故,則,,由在拋物線上,故,由,可得,即,即.故答案為:;.6./【分析】由題意求出拋物線方程,進而求出直線的方程,聯(lián)立拋物線方程,求得,,結(jié)合計算即可求解.【詳解】因為拋物線過點A,所以,解得,所以拋物線的方程為,則F0,1,得直線的方程為,與聯(lián)立整理得,設(shè)Ax1,y1故的面積為.故答案為:;反思提升:求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法,其關(guān)鍵是判斷焦點位置、開口方向,在方程的類型已經(jīng)確定的前提下,由于標準方程只有一個參數(shù)p,只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程.【考點2】拋物線的幾何性質(zhì)及應(yīng)用一、單選題1.(2022·江蘇·一模)是拋物線的焦點,以為端點的射線與拋物線相交于,與拋物線的準線相交于,若,則A. B.32 C. D.2.(2023·河南鄭州·模擬預(yù)測)已知拋物線,圓,P為E上一點,Q為C上一點,則的最小值為(
)A.2 B. C. D.3二、多選題3.(2023·廣東佛山·二模)如圖拋物線的頂點為,焦點為,準線為,焦準距為4;拋物線的頂點為,焦點也為,準線為,焦準距為6.和交于、兩點,分別過、作直線與兩準線垂直,垂足分別為M、N、S、T,過的直線與封閉曲線交于、兩點,則(
)A. B.四邊形的面積為100C. D.的取值范圍為4.(2024·浙江·模擬預(yù)測)已知曲線上的點滿足:到定點1,0與定直線軸的距離的差為定值,其中,點,分別為曲線上的兩點,且點恒在點的右側(cè),則(
)A.若,則曲線的圖象為一條拋物線B.若,則曲線的方程為C.當時,對于任意的,,都有D.當時,對于任意的,,都有三、填空題5.(22-23高三上·江蘇南通·期中)已知拋物線:,圓:,在拋物線上任取一點,向圓作兩條切線和,切點分別為,,則的取值范圍是.6.(22-23高三上·湖南益陽·期末)已知拋物線的焦點為,圓與交于兩點,其中點在第一象限,點在直線上運動,記.①當時,有;②當時,有;③可能是等腰直角三角形;其中命題中正確的有.參考答案:題號1234答案DBACDAC1.D【詳解】由題意,設(shè)的橫坐標為,則由拋物線的定義,可得.則.所以.所以.故本題答案選.2.B【分析】設(shè),利用兩點距離公式結(jié)合點在拋物線上有,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)和圓的半徑即可得到答案.【詳解】由題意知,設(shè),則,所以當時,,又因為圓的半徑為1,所以.故選:B.
3.ACD【分析】根據(jù)拋物線的定義可得判斷A,以為原點建立平面直角坐標系,根據(jù)條件可得拋物線的方程為,可得,進而判斷B,利用拋物線的定義結(jié)合條件可得可判斷C,利用拋物線的性質(zhì)結(jié)合焦點弦的性質(zhì)可判斷D.【詳解】設(shè)直線與直線分別交于,由題可知,所以,,故A正確;如圖以為原點建立平面直角坐標系,則,,所以拋物線的方程為,連接,由拋物線的定義可知,又,所以,代入,可得,所以,又,故四邊形的面積為,故B錯誤;連接,因為,所以,所以,故,故C正確;根據(jù)拋物線的對稱性不妨設(shè)點在封閉曲線的上部分,設(shè)在直線上的射影分別為,當點在拋物線,點在拋物線上時,,當與重合時,最小,最小值為,當與重合,點在拋物線上時,因為,直線,與拋物線的方程為聯(lián)立,可得,設(shè),則,,所以;當點在拋物線,點在拋物線上時,設(shè),與拋物線的方程為聯(lián)立,可得,設(shè),則,,當,即時取等號,故此時;當點在拋物線,點在拋物線上時,根據(jù)拋物線的對稱性可知,;綜上,,故D正確.故選:ACD.4.AC【分析】設(shè)曲線上的點Px,y,由題意求出的方程,分、化簡后逐項判斷可得答案.【詳解】對于A,若,設(shè)曲線上的點Px,y,由題意可得,化簡得,當時,為拋物線,當時,,因為,所以,而,顯然不成立,綜上,若,則曲線的圖象為一條拋物線,故A錯誤;對于B,若,設(shè)曲線上的點Px,y,由題意可得,化簡得,當時,為拋物線,當時,為一條射線,故B錯誤;對于C,若,設(shè)曲線上的點Px,y,由題意可得,化簡得,因為,當時,,為開口向右,頂點為的拋物線的一部分,,當時,,為開口向左,頂點為的拋物線的一部分,,且與關(guān)于對稱,其圖象大致如下,因為,兩點的縱坐標相同,根據(jù)對稱性可得,故C正確;對于D,若,設(shè)曲線上的點Px,y,由題意可得,化簡得,因為,當時,,為開口向左,頂點為的拋物線的一部分,當時,,為開口向右,頂點為的拋物線的一部分,且與關(guān)于對稱,其圖象大致如下,因為,兩點的縱坐標相同,根據(jù)對稱性可得,故D錯誤.故選:AC.【點睛】關(guān)鍵點點睛:解題的關(guān)鍵點是設(shè)曲線上的點Px,y,求出點的軌跡方程,數(shù)形結(jié)合求出答案.5.【分析】設(shè)點,由已知關(guān)系,可用點坐標表示出.在,有,進而可推出,根據(jù)的范圍,即可得到結(jié)果.【詳解】由已知,,.如圖,設(shè)點,則,,在中,有,易知,則,則,因為,,所以當時,取得最大值,又,所以,.所以,的取值范圍是.故答案為:.6.①②【分析】聯(lián)立方程求得,結(jié)合可得,當時,點三點共線,求得,即可求得,判斷①;當時,由,求得的值,判斷②;分情況討論為等腰直角三角形情況,判斷③.【詳解】由圓與,聯(lián)立方程,解得或(舍),當時,,所以,從而,即,因為點在直線上運動,所以,則,①當時,點三點共線,由于,所以,所以,由題意知,所以,故①正確;②當時,即,所以,即,解得,又,得,所以②正確;③若是等腰直角三角形,則或或為直角,因為,當時,則,得,此時,不是等腰直角三角形,由對稱性可知當時,也不是等腰直角三角形,;當時,因為首先是等腰三角形,由拋物線的對稱性可知點在軸上,此時,,,,即,故不是等腰直角三角形,綜上所述,不可能是等腰直角三角形,所以③錯誤,故答案為:①②.【點睛】方法點睛:題目中涉及到向量的運算即,因此要利用向量的坐標運算,表示出,則①②即可判斷;判斷是否為等腰直角三角形,要討論直角頂點可能的位置,即分類討論,結(jié)合拋物線的對稱性進行解答.反思提升:與拋物線有關(guān)的最值問題的兩個轉(zhuǎn)化策略轉(zhuǎn)化策略一:將拋物線上的點到準線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離,構(gòu)造出“兩點之間線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”,使問題得以解決.轉(zhuǎn)化策略二:將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離,利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決.【考點3】直線與拋物線的綜合問題一、解答題1.(2024·廣西南寧·一模)已知曲線.(1)若點是上的任意一點,直線,判斷直線與的位置關(guān)系并證明.(2)若是直線上的動點,直線與相切于點,直線與相切于點.①試問是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.②若直線與軸分別交于點,證明:.2.(2024·江蘇南京·二模)在平面直角坐標系中,頂點在原點的拋物線經(jīng)過點.(1)求拋物線的方程;(2)若拋物線不經(jīng)過第二象限,且經(jīng)過點的直線交拋物線于,,兩點(),過作軸的垂線交線段于點.①當經(jīng)過拋物線的焦點時,求直線的方程;②求點A到直線的距離的最大值.3.(2024·河南鄭州·模擬預(yù)測)設(shè)拋物線的焦點為,是上一點且,直線經(jīng)過點.(1)求拋物線的方程;(2)①若與相切,且切點在第一象限,求切點的坐標;②若與在第一象限內(nèi)的兩個不同交點為,且關(guān)于原點的對稱點為,證明:直線的傾斜角之和為.4.(2024·山西太原·二模)已知拋物線C:()的焦點為F,過點且斜率為1的直線經(jīng)過點F.(1)求拋物線C的方程;(2)若A,B是拋物線C上兩個動點,在x軸上是否存在定點M(異于坐標原點O),使得當直線AB經(jīng)過點M時,滿足?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.5.(2024·浙江·模擬預(yù)測)已知點,,,均在拋物線:上,,關(guān)于軸對稱,直線,關(guān)于直線對稱,點在直線的上方,直線交軸于點,直線斜率小于2.(1)求面積的最大值;(2)記四邊形的面積為,的面積為,若,求.6.(2025·四川巴中·模擬預(yù)測)已知動圓經(jīng)過點且與直線相切,記圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)設(shè)過點且斜率為正的直線交曲線于兩點(點在點的上方),的中點為,①過作直線的垂線,垂足分別為,試證明:;②設(shè)線段的垂直平分線交軸于點,若的面積為4,求直線的方程.參考答案:1.(1)相切,證明見解析(2)①為定值;;②證明見解析【分析】(1)利用點在曲線上,結(jié)合聯(lián)立方程,利用判別式,即可得出結(jié)論并證明之;(2)①設(shè),可得切線,的方程,進而求得E點縱坐標,結(jié)合是直線上的動點,即可得結(jié)論;②設(shè)Ax1,y1,Bx2,【詳解】(1)由題意知點是上的任意一點,則,聯(lián)立,得,則,故直線與相切;(2)①:為定值設(shè),由(1)知切線AE為,切線BE為,聯(lián)立得,則,又E點在直線上,故,則,故,即為定值;②證明:設(shè)Ax1,y1,Bx則,
的斜率存在,不妨設(shè)為,傾斜角為,的斜率存在,不妨設(shè)為,傾斜角為,則,,由題意知為銳角,則,又,故∽,所以.【點睛】難點點睛:本題考查了直線和拋物線的位置關(guān)系以及定值和線段成比例問題,綜合性強,計算量大,難點在于(2)中,要證明線段成比例,即證明∽,其中計算過程比較復(fù)雜,計算量大,且基本都是有關(guān)字母參數(shù)的運算,要十分細心.2.(1)或(2)①;②【分析】(1)分類討論焦點所在位置,結(jié)合拋物線的標準方程運算求解;(2)根據(jù)題意可得.①求得,進而可得直線,聯(lián)立求點得坐標,即可得方程;②聯(lián)立方程,利用韋達定理可證直線經(jīng)過定點,即可得結(jié)果.【詳解】(1)若拋物線的焦點在軸上時,可設(shè)拋物線的方程為,且拋物線過點,所以,解得;若拋物線的焦點在軸上時,可設(shè)拋物線的方程為,且拋物線過點,所以,解得;綜上所述:拋物線的方程為或.(2)因為拋物線不經(jīng)過第二象限,由(1)可知,拋物線的方程為,
且F1,0,,①當經(jīng)過拋物線的焦點時,令,得,在中,令,得,又因為,則,可得直線,由,解得或,即,所以直線,即;②設(shè),,,由,消去整理得,所以,,,且,即,則,令,得,所以直線經(jīng)過定點,所以當,即點A以直線的距離取得最大值,為.【點睛】方法點睛:過定點問題的兩大類型及解法(1)動直線l過定點問題.解法:設(shè)動直線方程(斜率存在)為,由題設(shè)條件將t用k表示為,得,故動直線過定點;(2)動曲線C過定點問題.解法:引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程,再根據(jù)其對參變量恒成立,令其系數(shù)等于零,得出定點.3.(1)(2)①;②證明見解析【分析】(1)由化簡得,再根據(jù)定義得,代入即可的拋物線方程;(2)①設(shè)切點坐標為,通過導(dǎo)數(shù)求出切線方程,將點代入即可;②設(shè)直線的方程為,,,聯(lián)立得,,然后計算即可.【詳解】(1)因為,所以,所以,所以,又P是C上一點,所以,所以,解得,所以拋物線C的方程為.(2)①設(shè)切點坐標為,因為,所以,切線的斜率為,所以切線方程為,將代入上式,得,所以,所以切點坐標為.
②由①得,直線的斜率都存在,要證:直線的傾斜角之和為,只要證明:直線的斜率之和為.
設(shè)直線的方程為,,,,則,,
由得,所以,,,即,
所以,即直線的傾斜角之和為.
【點睛】4.(1)(2)存在;【分析】(1)根據(jù)點斜式求解直線方程,即可求解焦點坐標,進而可得,(2)聯(lián)立直線與拋物線方程得韋達定理,結(jié)合向量垂直的坐標運算,即可求解.【詳解】(1)由題意過點且斜率為1的直線方程為,即,令,則,∴點F的坐標為1,0,∴,∴.拋物線C的方程為.(2)由(1)得拋物線C:,假設(shè)存在定點,設(shè)直線AB的方程為(),Ax1,y1由,得,∴,,,∵,∴,∴,∴或(舍去),當時,點M的坐標為,滿足,,∴存在定點.5.(1)16(2)【分析】(1)設(shè),則,令可得的坐標,由韋達定理可表示出,從而可求得面積的表達式,結(jié)合基本不等式即可求解;(2)設(shè)的面積為,由題意,由韋達定理以及同理思想可得,由公式可知也可以用表示,進而可以得出關(guān)于的方程,解出,結(jié)合二倍角公式、平方關(guān)系即可求解.【詳解】(1)由題意,解得,所以拋物線:,因為,關(guān)于軸對稱,直線,關(guān)于直線對稱,所以斜率互為相反數(shù),不妨設(shè),則,設(shè)與軸交于點,而直線交軸于點,所以,聯(lián)立與拋物線:,化簡并整理得,,設(shè)Ax則,設(shè)面積為,則,等號成立當且僅當,所以面積的最大值為16;(2)由(1)可知,解得,設(shè)點的坐標為,同理可得,所以,設(shè)的面積為,而四邊形的面積為,的面積為,由題意,所以,而,而,所以,即,解得,由題意軸,且,設(shè),所以,所以.6.(1)(2)①證明見解析;②【分析】(1)由拋物線的定義知P點軌跡是拋物線,方程為標準方程,求出焦參數(shù)可得;(2)①設(shè)直線的方程為,,可求得,進而可得,,聯(lián)立直線與拋物線方程可得,進而可得,可證結(jié)論;②求得的中點,進而可得線段的垂直平分線方程為,進而可得,結(jié)合已知可得,可求直線的方程.【詳解】(1)依題意可得圓心到定點的距離等于到定直線的距離相等,所以的軌跡是以為焦點,為準線的拋物線,又到直線的距離為,所心拋物線的方程為;(2)①設(shè)直線的方程為,,則的中點,由(1)可知,,聯(lián)立方程組x=my+1y2=4x,消去可得所以,,所以,又,所以,所以;②由①可得,代入,可得中點的橫坐標為,所以,又線段的垂直平分線的斜率為,所以線段的垂直平分線方程為,令,可得,所以,所以,所以,又的面積為4,所以,所以,解得,所以直線的主程為,即.反思提升:1.有關(guān)直線與拋物線的弦長問題,要注意直線是否過拋物線的焦點.若過拋物線的焦點,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不過焦點,則必須用一般弦長公式.2.涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時,一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法.分層檢測分層檢測【基礎(chǔ)篇】一、單選題1.(2024·北京西城·三模)點F拋物線的焦點,A,B,C為拋物線上三點,若,則(
)A.2 B. C.3 D.2.(2023·陜西榆林·模擬預(yù)測)已知拋物線的焦點為F,過點F且斜率為1的直線與拋物線交于A,B兩點,若,則(
)A.4 B.3 C.2 D.13.(2024·河南駐馬店·二模)已知點在焦點為的拋物線上,若,則(
)A.3 B.6 C.9 D.124.(2024·山東聊城·二模)點在拋物線上,若點到點的距離為6,則點到軸的距離為(
)A.4 B.5 C.6 D.7二、多選題5.(2023·山西·模擬預(yù)測)已知拋物線的焦點為F,點在C上,若(O為坐標原點),則(
)A. B.C. D.6.(2024·河北保定·二模)若直線與拋物線只有1個公共點,則的焦點的坐標可能是(
)A. B. C. D.7.(2023·湖南常德·模擬預(yù)測)已知拋物線經(jīng)過點,其焦點為,過點的直線與拋物線交于點,,設(shè)直線,的斜率分別為,,則(
)A. B.C. D.三、填空題8.(2024·山西太原·模擬預(yù)測)已知等腰梯形ABCD的四個頂點在拋物線上,且,則原點到AB的距離與原點到CD的距離之比為.9.(2024·四川成都·模擬預(yù)測)若拋物線的焦點是橢圓的一個頂點,則的值為10.(2021·青海西寧·二模)在平面直角坐標系中,已知拋物線與雙曲線有公共焦點,拋物線M與雙曲線交于,兩點,,,三點共線,則雙曲線的離心率為.四、解答題11.(2021·陜西漢中·模擬預(yù)測)已知拋物線的焦點為,直線:與拋物線交于兩點,且(為坐標原點).(1)求拋物線的方程;(2)求證:直線恒過定點.12.(2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測)已知A,B兩點的坐標分別是,直線AM,BM相交于點M,且直線AM的斜率與直線BM的斜率的差是,記點M的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程.(2)將曲線C向上平移4個單位得到曲線E,已知斜率為3的直線l與曲線E有兩個不同的交點且滿足,求直線l的方程.參考答案:題號1234567答案CDAAACBCABD1.C【分析】設(shè),根據(jù)拋物線方程求出焦點坐標和準線方程,再由可得為的重心,從而可求出,再根據(jù)拋物線的定義可求得結(jié)果.【詳解】設(shè),由,得,所以,準線方程為,因為,所以為的重心,所以,所以,所以,故選:C2.D【分析】寫出直線方程與拋物線方程聯(lián)立,得到韋達定理,利用拋物線的定義化簡已知式并將韋達定理代入計算即得.【詳解】如圖,,直線的方程為:代入中,消去,可整理得,,顯然設(shè),由韋達定理可得:(*)因,由,將(*)代入可得,,解得.故選:D.3.A【分析】由拋物線的定義列方程可得.【詳解】拋物線,準線,,由拋物線的定義可知,解得.故選:A.4.A【分析】由拋物線的定義知,點到焦點的距離等于點到準線的距離,結(jié)合點和準線的位置,求點到軸的距離.【詳解】拋物線開口向右,準線方程為,點到焦點的距離為6,則點到準線的距離為6,點在y軸右邊,所以點到y(tǒng)軸的距離為4.故選:A.5.AC【分析】根據(jù)題意,聯(lián)立方程組求得點的坐標,結(jié)合拋物線的定義和余弦定理,即可求解.【詳解】由,可得,即y02=聯(lián)立方程組,解得或,所以A正確,B不正確;又由拋物線的定義,可得,所以C正確;在中,可得,由余弦定理得,所以D錯誤.故選:AC.
6.BC【分析】根據(jù)題意,分和,兩種情況討論,結(jié)合直線與拋物線的位置關(guān)系的判定方法,即可求解.【詳解】當時,直線與只有一個公共點,滿足題意,此時的坐標為12,0;當時,聯(lián)立方程組,整理得,由,解得或(舍去),此時對應(yīng)的的坐標為1,0.故選:BC.7.ABD【分析】由點坐標代入求出,即可求出拋物線方程與焦點坐標,設(shè)直線,聯(lián)立直線與拋物線方程,消元、列出韋達定理,根據(jù)焦點弦公式判斷B,根據(jù)數(shù)量積的坐標表示判斷C,根據(jù)斜率公式判斷D.【詳解】因為拋物線經(jīng)過點,所以,解得,故A正確;所以拋物線方程為,則焦點,設(shè)直線,則,消去整理得,則,所以,,則,,所以,故B正確;所以,,所以,故C錯誤;,故D正確;故選:ABD8.【分析】根據(jù)題意分析可知且軸,設(shè)設(shè),,結(jié)合拋物線方程分析求解.【詳解】由題意可知,且軸,設(shè),,則,可知,所以原點到AB的距離與原點到CD的距離之比為.故答案為:.9.8【分析】分別求出拋物線的焦點和橢圓的右頂點坐標,得,即可求解.【詳解】因為拋物線()的焦點為,且橢圓的右頂點為,由題意可得:,解得.故答案為:8.10.【分析】由拋物線和雙曲線的對稱性可以確定兩點關(guān)于軸對稱,從而得到點的坐標,結(jié)合點既在拋物線又在雙曲線上,可建立的關(guān)系,從而求出離心率.【詳解】解:由拋物線和雙曲線的對稱性可知,兩點關(guān)于軸對稱,且,因為,所以,代入雙曲線方程有,所以,即,解得.故答案為:.11.(1)(2)證明見解析【分析】(1)根據(jù)焦點即可求出,從而寫出拋物線方程即可;(2)聯(lián)立直線方程和拋物線方程,由判別式大于0及韋達定理可求出,代入拋物線方程可求出,根據(jù),代入即可求出的值,代入直線方程中,即可證明過定點.【詳解】(1)解:由題知拋物線的焦點為,,即,拋物線的方程為:;(2)證明:由(1)知拋物線的方程為:,聯(lián)立,整理可得,,,,,即,解得,符合,直線的方程為:,故直線恒過定點.12.(1)(2)或【分析】(1)設(shè)點Mx,y,根據(jù)斜率之差的值整理可得曲線C的方程為;(2)易知曲線E為,聯(lián)立曲線E和直線l的方程并利用韋達定理以及向量數(shù)量積的坐標表示可得結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)點Mx,y,根據(jù)題意可知,直線AM的斜率為,直線BM的斜率;即可得,整理可得.(2)如下圖所示:
將曲線C向上平移4個單位得到曲線E為;設(shè)直線l的方程為,;聯(lián)立曲線E和直線l整理可得,所以;因此,即,解得或;當時,方程的根為,符合題意;當時,方程的根為,符合題意;因此可知,直線l的方程為或.【能力篇】一、單選題1.(2024·陜西西安·三模)設(shè)拋物線:的焦點為,過點的直線與拋物線相交于,兩點,,,則(
)A.1 B.2 C.4 D.22二、多選題2.(2024·廣東汕頭·三模)已知拋物線:的焦點為,為坐標原點,動點在上,若定點滿足,則(
)A.的準線方程為 B.周長的最小值為5C.四邊形可能是平行四邊形 D.的最小值為三、填空題3.(2024·廣東廣州·一模)已知曲線是平面內(nèi)到定點與到定直線的距離之和等于的點的軌跡,若點在上,對給定的點,用表示的最小值,則的最小值為.四、解答題4.(2024·廣西來賓·模擬預(yù)測)在平面直角坐標系xOy中,已知F為拋物線C:的焦點,O為坐標原點,M為C的準線l上一點,直線MF的斜率為,的面積為4.(1)求C的方程;(2)過點F的直線交C于A,B兩點,過點B作y軸的垂線交直線AO于點D,過點A作直線DF的垂線與C的另一交點為E,AE的中點為G,證明:G,B,D三點縱坐標相等.參考答案:題號12答案BBD1.B【分析】設(shè)直線的方程為,Ax1,y1,B【詳解】設(shè)拋物線:的焦點為,過點的直線與拋物線相交于,兩點,設(shè)直線的方程為,Ax1,y1聯(lián)立,可得,所以,,則.因為,,所以,,則,解得或.因為,所以.故選:B2.BD【分析】首先表示出拋物線的焦點坐標與準線方程,由距離公式得到方程,即可求出,求出拋物線方程,即可判斷A;根據(jù)拋物線的定義判斷B,求出點坐標,即可判斷C;設(shè),結(jié)合數(shù)量積的坐標運算分析求解.【詳解】對于選項A:因為拋物線的焦點為,準線方程為,又點滿足,則,整理得,解得或(舍去),即拋物線,所以準線方程為,焦點為F1,0,故A錯誤;對于選項B:過點作準線的垂線,垂足為,由拋物線的定義可知,則周長,當且僅當、、三點共線時取等號,所以周長的最小值為,故B正確;對于選項C:過點作的平行線,交拋物線于點,即,解得,即,則,所以四邊形不是平行四邊形,故C錯誤;對于選項D:設(shè),則,可得,當且僅當時,等號成立,所以的最小值為,故D正確;故選:BD3.2【分析】根據(jù)給定條件,求出點的軌跡方程,結(jié)合圖形并借助到兩點距離的和不小于這兩點間距離求出最小值即
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