專(zhuān)題04數(shù)列（難點(diǎn)）-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期挑戰(zhàn)滿分期末沖刺卷（人教A版2019）

專(zhuān)題04數(shù)列（難點(diǎn)）一、單選題1．已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，是其前和，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分類(lèi)討論確定的表達(dá)式，再根據(jù)恒成立問(wèn)題的解法即可求出．【詳解】當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，不等式變形得，，因?yàn)?，此時(shí)符合題意；當(dāng)時(shí)，不等式變形得，，因?yàn)椋藭r(shí)符合題意；當(dāng)時(shí)，若為偶數(shù)，則不等式變形得，，即，若該不等式恒成立，則，即，所以設(shè)，，，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)該不等式不可能恒成立；當(dāng)時(shí)，，若該不等式恒成立，只需，解得（舍去）或，綜上，；若為奇數(shù)，不等式變形得，，滿足題意；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A．2．?dāng)?shù)列滿足，，，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件求出數(shù)列通項(xiàng)，再由數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列列出不等式并分離參數(shù)即可推理計(jì)算作答.【詳解】數(shù)列中，，，則有，而，因此，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，，即，則，因數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，即，，則，，令，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是得是數(shù)列的最大值的項(xiàng)，即當(dāng)n=3時(shí)，取得最大值，從而得，所以的取值范圍為.故選：C3．某軟件研發(fā)公司對(duì)某軟件進(jìn)行升級(jí)，主要是對(duì)軟件程序中的某序列重新編輯，編輯新序列為，它的第項(xiàng)為，若序列的所有項(xiàng)都是1，且，.記數(shù)列的前項(xiàng)和、前項(xiàng)積分別為，，若，則的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】先利用序列的所有項(xiàng)都是1，得到，整理后得到是等比數(shù)列，進(jìn)而求出公比和首項(xiàng)，從而求出和，利用，列出不等式，求出，從而得到的最小值【詳解】因?yàn)?，，所以，又序列的所有?xiàng)都是1，所以它的第項(xiàng)，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，又，，所以公比，.所以，，，要，即，即，所以，所以，，所以的最小值為4.故選：C.4．?dāng)?shù)列中，，，使對(duì)任意的（）恒成立的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出各項(xiàng)，找數(shù)列的規(guī)律，判斷到哪一項(xiàng)是等于，即可得答案.【詳解】由已知可得，數(shù)列：，可得規(guī)律為；；；此時(shí)將原數(shù)列分為三個(gè)等差數(shù)列：，；，；;因?yàn)椋詽M足對(duì)任意的恒成立的最大值為．故選：B.5．?dāng)?shù)列滿足，，，設(shè)，記表示不超過(guò)的最大整數(shù)．設(shè)，若不等式，對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先通過(guò)構(gòu)造等比數(shù)列求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，并進(jìn)而用累加法求出的通項(xiàng)公式及的通項(xiàng)公式.最后利用裂項(xiàng)相消法將化簡(jiǎn)后取整，整理的最小值后得解【詳解】由題意得：，，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，又，，…，，，由累加法，；，，，，，，，，對(duì)恒成立，，則實(shí)數(shù)的最大值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠采用構(gòu)造法、累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而用裂項(xiàng)相消法化簡(jiǎn)的形式，并最終將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題.6．已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為零，，它的前n項(xiàng)和為．且，，（）成等比數(shù)列，記，則（）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】C【分析】結(jié)合等比性質(zhì)處理得，再分和分類(lèi)討論，時(shí)較為簡(jiǎn)單，結(jié)合裂項(xiàng)法直接求解，當(dāng)時(shí)，放縮后再采用裂項(xiàng)即可求解.【詳解】由，，成等比數(shù)列可得，①，也即②，②①得，因?yàn)?，所以，，即?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，即，對(duì)A、B，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，，故，當(dāng)時(shí)，，故A、B錯(cuò)誤；對(duì)C、D，當(dāng)時(shí)，，,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，所以,,此時(shí)，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C7．定義表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，．若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題可得當(dāng)時(shí)，含有個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，又，再利用錯(cuò)位相減法即求.【詳解】由題知當(dāng)時(shí)，含有個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，又，所以，兩邊同乘以，得，兩式相減，得，所以．故選：．8．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，，，成等差數(shù)列，給出下列說(shuō)法：①當(dāng)時(shí)，；②的取值范圍是；③；④存在，使得.其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，得，可判斷①；由已知可得，，得數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.表示，再由，得可求得的取值范圍，判斷②；由，可判斷③；由，得，可判斷④.【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，所以，所以①正確；由，，成等差數(shù)列，可得，，則，，，；，，，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.所以，由，得解得，所以的取值范圍是，所以②正確；，所以③正確；因?yàn)?，所以，，所以④錯(cuò)誤.故正確的命題的個(gè)數(shù)為3個(gè)，故選：C.9．設(shè)數(shù)列，若存在公比為q的等比數(shù)列，使得，其中，則稱(chēng)數(shù)列為數(shù)列的“等比分割數(shù)列”，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．?dāng)?shù)列；2，4，8，16，32是數(shù)列：3，7，12，24的一個(gè)“等比分割數(shù)列”B．若數(shù)列存在“等比分割數(shù)列”，則有和成立，其中C．?dāng)?shù)列：，，2存在“等比分割數(shù)列”D．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為，若數(shù)列的“等比分割數(shù)列”的首項(xiàng)為1，則公比【答案】C【分析】利用“等比分割數(shù)列”的定義判斷即得.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榉隙x，故A正確；對(duì)于B，由定義知，故B正確；對(duì)于C，若正確，則，，則矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，解得，故D正確.故選：C.10．已知數(shù)列滿足，，若，且存在，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，令，進(jìn)而證明數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故可得，，在結(jié)合題意將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，再求數(shù)列的最大值代入解一元二次不等式即可得答案.【詳解】，．令，，又，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，即，，∵存在，使得成立，．令得則，，或．，，即，解得，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：D．11．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為．已知，，，則選項(xiàng)不正確的是（）A．?dāng)?shù)列的最小項(xiàng)為第項(xiàng) B．C． D．時(shí)，的最大值為【答案】D【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)及前項(xiàng)和公式依次分析選項(xiàng)，綜合即可得出答案．【詳解】解：由題意，又，所以，故選項(xiàng)正確；由，且，，，得，解得，選項(xiàng)正確；由題意當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，，故時(shí)，的最大值為10，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；由于，數(shù)列是遞減數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故數(shù)列中最小的項(xiàng)為第6項(xiàng)，選項(xiàng)正確．故選：．12．已知數(shù)列滿足，（），則下列選項(xiàng)正確的是（）A．是遞減數(shù)列B．是遞增數(shù)列，且存在使得C．D．【答案】C【分析】由已知可得即可判斷A；在等式的兩邊同時(shí)除以，用放縮法可得，結(jié)合累加法得化簡(jiǎn)可得，可判斷B與C；同理可得，結(jié)合累加法有，可判斷D．【詳解】由，即，又（），所以（），可得出，且對(duì)任意的，，所以，，即，所以數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，錯(cuò)；在等式的兩邊同時(shí)除以可得，其中且，所以，，，…，，累加得，所以，則，，故正確，不正確，對(duì)于，所以，，，…，，累加得，可得，則，所以，．故選：．13．已知數(shù)列，且滿足，，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）A．若，當(dāng)時(shí)，有：B．若，則C．當(dāng)時(shí)，是遞增數(shù)列；當(dāng)時(shí)，是遞減數(shù)列D．存在，使恒成立【答案】B【分析】先根據(jù)題目條件得到，，及與的符號(hào)相同.選項(xiàng)A，在等式兩邊減去8，再變形得，代入求解即可；選項(xiàng)B，先確定數(shù)列為遞增數(shù)列，再算出，而后利用放縮法得到，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榇嬖谡麛?shù)，當(dāng)時(shí)，有，所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，利用與的符號(hào)相同可判定；選項(xiàng)D，分，和討論的范圍.【詳解】由題知，，，因?yàn)椋?，所以，?因?yàn)?，所以，兩式相減整理得，，因?yàn)闀r(shí)，，所以，與的符號(hào)相同，選項(xiàng)A：由得，，，若，則，所以.當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：若，則，因?yàn)?，所以，依次?lèi)推有，所以數(shù)列是遞增數(shù)列；又，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以存在正整?shù)，當(dāng)時(shí)，有此時(shí)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，有，所以，從而有，依次類(lèi)推可得，所以數(shù)列是遞增數(shù)列；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以，從而有，依次?lèi)推可得，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，由選項(xiàng)C的解析知，數(shù)列是遞減數(shù)列，所以；當(dāng)時(shí)，由解得，又，所以，同理可推導(dǎo)，依次類(lèi)推，有；當(dāng)時(shí)，由及得，同理可推導(dǎo)，依次類(lèi)推，有；令為和中的最大者，則對(duì)恒成立，故選項(xiàng)D正確；故選：B.14．已知數(shù)列，，其中數(shù)列滿足，前項(xiàng)和為滿足；數(shù)列滿足：，且對(duì)任意的?都有：，則數(shù)列的第47項(xiàng)的值為（）A．384 B．47 C．49 D．376【答案】A【分析】根據(jù)，分別取不同的n值，求得，并根據(jù)，求得；取得，，從而利用累加法求得，從而求得結(jié)果.【詳解】時(shí)，，解得，時(shí)，，得，時(shí)，，得，從而有，，時(shí)，，得，時(shí)，，得，則，，又，故，取得，，則故，則，故數(shù)列的第47項(xiàng)為故選：A15．在一個(gè)正三角形的三邊上，分別取一個(gè)距頂點(diǎn)最近的十等分點(diǎn)，連接形成的三角形也為正三角形（如圖1所示，圖中共有個(gè)正三角形）．然后在較小的正三角形中，以同樣的方式形成一個(gè)更小的正三角形，如此重復(fù)多次，可得到如圖2所示的優(yōu)美圖形（圖中共有個(gè)正三角形），這個(gè)過(guò)程稱(chēng)之為迭代．在邊長(zhǎng)為的正三角形三邊上，分別取一個(gè)三等分點(diǎn)，連接成一個(gè)較小的正三角形，然后迭代得到如圖3所示的圖形（圖中共有個(gè)正三角形），其中最小的正三角形面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】記第個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)為，第個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)為，根據(jù)與的關(guān)系判斷出為等比數(shù)列，由此求解出最小的正三角形的邊長(zhǎng)，從而面積可求.【詳解】設(shè)第個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)為，則個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)為，由條件可知：，又由圖形可知：，所以，所以，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以，所以最小的正三角形的面積為：，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是將已知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問(wèn)題，通過(guò)每一次的迭代分析正三角形的邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，從而分析得到正三角形的邊長(zhǎng)成等比數(shù)列，據(jù)此可進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.16．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，在和之間插入1個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列；在和之間插入2個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列；…在和之間插入n個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列．這樣得到一個(gè)新數(shù)列：，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，有下列結(jié)論：①②③④其中，所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和數(shù)列求和的方法逐一判斷：，可得①的正誤；在數(shù)列中是第項(xiàng)，可得②的正誤；由，，得，可得③的正誤；分組求和得，可得④的正誤.【詳解】①,故①正確；②在數(shù)列中是第項(xiàng)，所以，故②錯(cuò)誤；③，，故③正確；④，故④正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和數(shù)列求和，弄清插入的項(xiàng)數(shù)是解題關(guān)鍵，屬于較難的題目.二、多選題17．斐波那契數(shù)列又稱(chēng)黃金分割數(shù)列，因數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱(chēng)為“兔子數(shù)列”．斐波那契數(shù)列用遞推的方式可如下定義：用表示斐波那契數(shù)列的第項(xiàng)，則數(shù)列滿足：，記，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件逐項(xiàng)分析、推理計(jì)算即可判斷作答.【詳解】依題意，的前10項(xiàng)依次為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即，A正確；依題意，當(dāng)時(shí)，，得，B正確；由給定的遞推公式得：，，…，，累加得，于是有，即，C錯(cuò)誤；，，，…，，因此，，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列性質(zhì)的問(wèn)題，認(rèn)真分析遞推公式并進(jìn)行變形，可借助累加、累乘求通項(xiàng)的方法分析、探討項(xiàng)間關(guān)系而解決問(wèn)題.18．在數(shù)列中，已知是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，是公差為的等差數(shù)列，其中，則下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)， B．若，則C．若，則 D．當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可判斷A；利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可判斷B；利用等差數(shù)列的求和公式可判斷C；利用等比數(shù)列求和公式可判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，可知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，故A正確；對(duì)于B，由已知，是公差為的等差數(shù)列，則，是公差為的等差數(shù)列，則，即，解得：或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，解得：，故C正確；對(duì)于D，，故D正確；故選：ACD19．分形幾何學(xué)是一門(mén)以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)，分形幾何具有自身相似性，從它的任何一個(gè)局部經(jīng)過(guò)放大，都可以得到一個(gè)和整體全等的圖形如下圖的雪花曲線，將一個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖（2），如此繼續(xù)下去，得圖（3），記為第個(gè)圖形的邊長(zhǎng)，記為第個(gè)圖形的周長(zhǎng)，為的前項(xiàng)和，則下列說(shuō)法正確的是（）A．B．C．若，為中的不同兩項(xiàng)，且，則最小值是D．若恒成立，則的最小值為【答案】AD【分析】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的應(yīng)用，屬于較難題目．設(shè)第個(gè)圖形的邊數(shù)為，可得為等比數(shù)列，求得其通項(xiàng)公式，并求得的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到和的通項(xiàng)公式，即可對(duì)，作出判定；利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到，進(jìn)而求得的最小值，判斷C選項(xiàng)；根據(jù)的單調(diào)性和范圍求得單調(diào)性和范圍，從而求得的最小值，從而判斷D選項(xiàng)．【詳解】由題意可知，下一個(gè)圖形的邊長(zhǎng)是上一個(gè)圖邊長(zhǎng)的，邊數(shù)是上一個(gè)圖形的4倍，可得周長(zhǎng)的遞推關(guān)系式為，由圖知，，選項(xiàng)A正確；從第2個(gè)圖形起，每一個(gè)圖形的邊長(zhǎng)均為上一個(gè)圖形邊長(zhǎng)的，所以數(shù)列是1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由，得，計(jì)算得所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”.因?yàn)轭}中要求，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；根據(jù)選項(xiàng)B中的分析，，所以即設(shè)，則在上單調(diào)遞增.所以時(shí)，所以的最小值是.選項(xiàng)D正確.故選：AD.20．已知在中，分別是邊的中點(diǎn)，分別是線段的中點(diǎn)，分別是線段的中點(diǎn)，設(shè)數(shù)列滿足，給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的是（）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列，數(shù)列是遞減數(shù)列B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列既有最小值，又有最大值D．若在中，，則最小時(shí)，.【答案】ABD【分析】根據(jù)條件得到，進(jìn)一步得到數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而就容易判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】根據(jù)題意可得，，，，，，，，則，由于在中，不共線，，，則數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，A正確；數(shù)列即為，是首項(xiàng)和公比均為的等比數(shù)列，B正確；恒成立，在單調(diào)遞增，所以有最小值，無(wú)最大值，故C錯(cuò)誤；根據(jù)題意，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，即有最小時(shí)，，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題就是向量與數(shù)列的交匯，以向量的線性運(yùn)算為基礎(chǔ)，關(guān)鍵是得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而考查數(shù)列的性質(zhì)，同時(shí)考查了學(xué)生應(yīng)用知識(shí)的能力與運(yùn)算能力.三、填空題21．已知，數(shù)列滿足.若對(duì)任意正實(shí)數(shù)λ，總存在和相鄰兩項(xiàng)，使得成立，則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)__________.【答案】【分析】根據(jù)已知條件證得數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)求得的最小值.【詳解】依題意，即，整理得，所以，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，，，由得，由于，所以，，所以，所以，所以的最小值為.故答案為：22．已知數(shù)列滿足：，，若前2010項(xiàng)中恰好含有666項(xiàng)為0，則的值為_(kāi)__________.【答案】8或9或8【分析】先利用x=1，2，3，4，5分析出在前2010項(xiàng)中含有0的項(xiàng)的個(gè)數(shù)的規(guī)律即可計(jì)算得解.【詳解】因數(shù)列滿足：，，則：當(dāng)時(shí)，數(shù)列各項(xiàng)為：1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，在前2010項(xiàng)中恰好含有項(xiàng)為0，當(dāng)時(shí)，數(shù)列各項(xiàng)為：1，2，1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，在前2010項(xiàng)中，由知，恰好含有669項(xiàng)為0，當(dāng)時(shí)，數(shù)列各項(xiàng)為：1，3，2，1，1，0，1，1，0，1，1，…，在前2010項(xiàng)中，由知，恰好含有669項(xiàng)為0，當(dāng)時(shí)，數(shù)列各項(xiàng)為：1，4，3，1，2，1，1，0，1，1，0，…，在前2010項(xiàng)中，由知，恰好含有668項(xiàng)為0，當(dāng)時(shí)，數(shù)列各項(xiàng)為：1，5，4，1，3，2，1，1，0，1，1，…，在前2010項(xiàng)中，由知，恰好含有668項(xiàng)為0，由上述可得當(dāng)或時(shí)，在前2010項(xiàng)中恰好含有667項(xiàng)為0，當(dāng)或時(shí)，在前2010項(xiàng)中恰好含有666項(xiàng)為0，所以的值為8或9.故答案為：8或9【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列規(guī)律的問(wèn)題，按條件寫(xiě)出變量的前幾個(gè)取值對(duì)應(yīng)的數(shù)列，認(rèn)真分析每個(gè)變量對(duì)應(yīng)的數(shù)列，找準(zhǔn)變化規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.23．如果數(shù)列滿足：，且對(duì)于任意，存在實(shí)數(shù)使得是方程的兩個(gè)根，則的所有可能值構(gòu)成的集合是____________．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的解法求出，可知或，先由判斷出數(shù)列在前項(xiàng)中后一項(xiàng)比前一項(xiàng)小的項(xiàng)數(shù)，再根據(jù)數(shù)列的前項(xiàng)中后一項(xiàng)比前一項(xiàng)小的項(xiàng)數(shù)分類(lèi)討論，即可求出．【詳解】因?yàn)榉匠痰膬蓚€(gè)根為，所以或，所以或．當(dāng)恒成立時(shí)，若，則，這與不符；當(dāng)恒成立時(shí)，若，則，這與不符；當(dāng)時(shí)，在數(shù)列的前項(xiàng)中，后一項(xiàng)比前一項(xiàng)大的有項(xiàng)，后一項(xiàng)比前一項(xiàng)小的有項(xiàng)，所以有，，解得，，所以在數(shù)列的前項(xiàng)中，若沒(méi)有后一項(xiàng)比前一項(xiàng)小的項(xiàng)，則；若后一項(xiàng)比前一項(xiàng)小的項(xiàng)只有一項(xiàng)，則；若后一項(xiàng)比前一項(xiàng)小的項(xiàng)有兩項(xiàng)，則．故的所有可能值構(gòu)成的集合是．故答案為：．24．設(shè)集合A＝{2n|0≤n≤16，n∈N}，它共有136個(gè)二元子集，如{20，21}，{21，22}…等等.記這136個(gè)二元子集為B1，B2，B3，…B136，.設(shè)，定義S（B1）＝|x﹣y|，則S（B1）+S（B2）+S（B3）…+S（B136）＝_____.（結(jié)果用數(shù)字作答）【答案】1835028【分析】由題意可得：S（B1）+S（B2）+S（B3）…+S（B136）＝（21﹣20+22﹣20+……+216﹣20）+（22﹣21+23﹣21+……+216﹣21）+……+（215﹣214+216﹣214）+（216﹣215），利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．【詳解】由題意可得：S（B1）+S（B2）+S（B3）…+S（B136）＝（21﹣20+22﹣20+……+216﹣20）+（22﹣21+23﹣21+……+216﹣21）+……+（215﹣214+216﹣214）+（216﹣215）＝16×20+15×21+……+2×214+216215＝217×15+216（2+22+……+215）（16+15×21+……+2×214+215）＝217×15+216（21718）＝217×14+20＝1835028．故答案為：1835028四、解答題25．已知軸上的點(diǎn)滿足.射線上的點(diǎn)滿足.（1）證明：是等比數(shù)列；（2）用表示點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求四邊形的面積的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2），；（3）.【分析】（1）根據(jù)題意，由向量的運(yùn)算得出，且，由等比數(shù)列的定義，即可證明是等比數(shù)列；（2）由（1）得是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得出，利用累加法求出，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)；再根據(jù)題意得出，由等差數(shù)列的定義可知是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）根據(jù)題意，可知四邊形面積為，進(jìn)而化簡(jiǎn)得，令，從而有，當(dāng)時(shí)，可知，當(dāng)時(shí)，可知，可知的最大值為，結(jié)合，可得出，從而得出四邊形的面積的取值范圍.（1）解：已知軸上的點(diǎn)滿足，則，，，，所以是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）解：由（1）得是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，，符合上式，，，射線上的點(diǎn)滿足，則，，，，，是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，.（3）解：由（2）得，，則，，四邊形面積為：，即，令，則，，當(dāng)時(shí)，可知；當(dāng)時(shí)，可知；即，所以的最大值為，又，且，所以，而，故,所以四邊形的面積的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，考查等差和等比數(shù)列的證明、等差等比數(shù)列通項(xiàng)的求解、利用累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式，以及數(shù)列和函數(shù)的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于第3問(wèn)令，通過(guò)求出的最大值和，從而得出的取值范圍，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力以及轉(zhuǎn)化能力.26．在數(shù)列中，若對(duì)任意的，都有成立，則稱(chēng)數(shù)列為“差增數(shù)列”．（1）試判斷，是否為“差增數(shù)列”，并說(shuō)明理由；（2）若數(shù)列為“差增數(shù)列”，且，，對(duì)于給定得正整數(shù)，求使得的前項(xiàng)的和最小時(shí)，的通項(xiàng)公式；（3）若數(shù)列為“差增數(shù)列”，且，，且，求證：．【答案】（1）是；理由見(jiàn)解析（2）；（3）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）由新定義可知，只要證明an+an+2＞2an+1即可；（2）由新定義可得對(duì)任意的n∈N*，恒成立．可令，運(yùn)用累加法，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可得bn；（3）利用反證法即可證明不等式.（1）數(shù)列是“差增數(shù)列”，理由如下：∴，∴數(shù)列是“差增數(shù)列”；（2）由已知，對(duì)任意的n∈N*，恒成立．令，則，且，若的前項(xiàng)的和最小，則，∴∴，當(dāng)時(shí)，也適合上式，∴；（3）證明：（反證法）假設(shè)．由已知可得均為正數(shù)，且，．而由可得，即，又，所以．同理可得，因此，這與已知矛盾，所以．27．設(shè)數(shù)列滿足.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列?若存在，求出的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.（3）對(duì)于大于2的正整數(shù)（其中），若、、三個(gè)數(shù)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，求符合條件的數(shù)組.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，（3）【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合遞推公式以及等比數(shù)列定義，即可求證；（2）根據(jù)題意，通過(guò)對(duì)進(jìn)行討論，結(jié)合作差法，即可求解；（3）根據(jù)題意，分別對(duì)、、三個(gè)數(shù)不同排序進(jìn)行討論，即可求解.（1）證明：根據(jù)題意，由，得，即，又，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.（2）依題意，則.若存在，則對(duì)恒成立.①當(dāng)奇數(shù)時(shí)，，其中當(dāng)時(shí)，，故；②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，其中當(dāng)時(shí)，，故.綜上所述，存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.（3）由（1）知，、、這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，①若，則，∴，又，∴，∴；②若，則，∴，左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，∴不成立；③若，同理也不成立.綜合①②③得，.28．已知二次函數(shù)同時(shí)滿足：①不等式的解集有且只有一個(gè)元素；②在定義域內(nèi)存在，使得不等式成立．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）求的表達(dá)式．（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．（3）設(shè)，，的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】由不等式的解集有且只有一個(gè)元素，結(jié)合根的判別式，求出的值，進(jìn)而分類(lèi)討論，利用二次函數(shù)單調(diào)性即可得出結(jié)果；由知，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即可得出結(jié)果；由及其已知可得，，，再利用數(shù)列的單調(diào)性即可得出結(jié)果.（1）解：由不等式的解集有且只有一個(gè)元素得，解得或，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故不存在，使得不等式成立；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，故存在，使得不等式成立．綜上所述，．（2）解：由知：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，．（3）解：，，，，當(dāng)時(shí)，，由對(duì)，恒成立，等價(jià)于對(duì)，恒成立，而是關(guān)于的增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，實(shí)數(shù)的取值范圍是．29．已知數(shù)列滿足.（1）當(dāng)時(shí)，求證：數(shù)列不可能是常數(shù)列；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)的和；（3）當(dāng)時(shí)，令，判斷對(duì)任意，是否為正整數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（3）對(duì)任意，是正整數(shù)，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）由題干條件得到，故可說(shuō)明數(shù)列不可能是常數(shù)列；（2）分，與，兩種情況進(jìn)行求解；（3）先求出，，故猜想對(duì)任意，是正整數(shù)，對(duì)平方后整理為，代入中，消去，得到關(guān)于的式子，再進(jìn)行整理得到，故可類(lèi)推出結(jié)果.（1）證明：，因?yàn)椋?/p>