631平面向量基本定理精講

6.3.1平面向量基本定理(精講）目錄一、必備知識(shí)分層透析二、重點(diǎn)題型分類研究題型1:對(duì)基底的理解題型2：用基底表示向量題型3：用平面向量基本定理求參數(shù)題型4：平面向量基本定理的綜合應(yīng)用題型5：運(yùn)用平面向量基本定理解決證明問題三、高考（模擬）題體驗(yàn)一、必備知識(shí)分層透析知識(shí)點(diǎn)1：平面向量基本定理（1）平面向量基本定理如果,是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù),,使.若,不共線,我們把,叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.（2）對(duì)平面向量基本定理的理解(1)這個(gè)定理告訴我們,平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線向量都可以作為基底,一旦選定一組基底,則平面內(nèi)的任一向量都可用該組基底唯一表示.(2)對(duì)于確定的基底,,同一向量的分解式是唯一的,不同向量的分解式是不同的.(3)同一個(gè)非零向量在不同的基底下分解式是不同的,零向量的分解式是唯一的,即,且.(4)這個(gè)定理可推廣為:平面內(nèi)任意三個(gè)不共線的向量中,任何一個(gè)向量都可表示例示為其余兩個(gè)向量的線性組合,且形式唯一.知識(shí)點(diǎn)2：平面向量基本定理的有關(guān)結(jié)論（1）設(shè),是平面內(nèi)一組基底，若，當(dāng)時(shí)，與共線；當(dāng)時(shí)，與共線；當(dāng)時(shí)，，同樣的時(shí)，.（2）設(shè)是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，若，則.二、重點(diǎn)題型分類研究題型1:對(duì)基底的理解典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高一假期作業(yè)）若向量與是平面上的兩個(gè)不平行向量，下列向量不能作為一組基的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】C【詳解】對(duì)于A，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，方程組無解，即不存在實(shí)數(shù)，使，即與不共線，A不選；對(duì)于B，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，方程組無解，即不存在實(shí)數(shù)，使，即與不共線，B不選；對(duì)于C，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，解得，即與共線，選C；對(duì)于D，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使，則，方程組無解，即不存在實(shí)數(shù)，使，即與不共線，D不選；故選：C例題2．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·高一新鄉(xiāng)市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，是平面內(nèi)一組不共線的向量，則下列四組向量中，不能做基底的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】D【詳解】A選項(xiàng)：令，因?yàn)椋还簿€，所以，無實(shí)數(shù)解，所以與不共線，故可以作為平面向量基底；B選項(xiàng)：令，因?yàn)?，不共線，所以，無實(shí)數(shù)解，所以與不共線，故可以作為平面向量基底；C選項(xiàng)：令，因?yàn)椋还簿€，所以，無實(shí)數(shù)解，所以與不共線，故可以作為平面向量基底；D選項(xiàng)：易知，即與共線，不能作為平面向量基底.故選：D例題3．（多選）（2022秋·廣東韶關(guān)·高一?？计谥校┮阎蛄俊⒉还簿€，則下列各組向量中，能作平面向量的一組基底的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】因?yàn)橄蛄?、不共線，對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)、共線，可設(shè)，可得出，無解，所以，、不共線，A中的向量能作基底，同理可知CD選項(xiàng)中的向量也可作平面向量的基底，對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以不能作平面向量的基底．故選：ACD.同類題型演練1．（2022春·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第四中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）如果表示平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，那么下列四組向量，不能作為一個(gè)基底的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)平面基底的定義知，向量為不共線非零向量，即不存在實(shí)數(shù)，使得，對(duì)于A中，向量和，不存在實(shí)數(shù)，使得，可以作為一個(gè)基地；對(duì)于B中，向量和，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，可得，此時(shí)方程組無解，所以和可以作為基底；對(duì)于C中，向量和，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，可得，解得，所以和不可以作為基底；對(duì)于D中，向量和，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得，可得，此時(shí)方程組無解，所以和可以作為基底；故選：C.2．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下面的四組向量不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【詳解】∵，是平面內(nèi)的一組基底，∴，不共線，而，則根據(jù)向量共線定理可得，與共線，根據(jù)基底的定義可知，選項(xiàng)D不符合題意.其他三組中的向量均為不共線向量，故可作為基底向量.故選:D.3．（多選）（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知是平面內(nèi)的一組基底，則下列向量中能作為一組基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】ABD【詳解】解：對(duì)于A，與不共線，故可作為一組基底，故A正確；對(duì)于B，和不共線，故可作為一組基底，故B正確；對(duì)于C，，故不能作為一組基底，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，和不共線，故可作為一組基底，故D正確.故選:ABD.題型2：用基底表示向量典型例題例題1．（2022春·廣東江門·高二臺(tái)山市第一中學(xué)期中）在中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)闉檫吷系闹芯€，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以可得，故選：A例題2．（2022秋·四川綿陽(yáng)·高一?？计谀┰谥?，點(diǎn)在邊上，且.設(shè)，，則可用基底，表示為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?所以故選：C例題3．（多選）（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知，點(diǎn)，滿足，，與交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，.則（

）A． B．C． D．【答案】BC【詳解】三點(diǎn)共線，設(shè)，三點(diǎn)共線，設(shè)，A選項(xiàng)：，，∴，解得，，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：由，得，三點(diǎn)共線，則，即，得，即，有，得，所以B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：，所以C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC同類題型演練1．（2022春·福建·高三階段練習(xí)）在中，點(diǎn)在邊上，.記，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在邊上，，所以，即，所以.故選:B.2．（2022春·貴州遵義·高三遵義市南白中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，點(diǎn)在邊上，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，故選：B3．（2022春·遼寧撫順·高三校聯(lián)考期中）在中，為邊上的中線，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：由題可得圖，如下：則，又為邊上的中線所以，則.故選：D.4．（2022春·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，故，故，故選：A.題型3：用平面向量基本定理求參數(shù)典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，若，設(shè)，則實(shí)數(shù)和的值分別為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【詳解】如圖所示，延長(zhǎng)交于，顯然，由面積關(guān)系可得，所以，而，所以，所以，即，又由題可知，所以，所以，整理得，所以，故選：A例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，分別為上的點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)則顯然得顯然因?yàn)樗杂屑锤鶕?jù)向量的性質(zhì)可知解得故選：C例題3．（2022春·甘肅張掖·高三高臺(tái)縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，且滿足，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】以為基底向量，則有∵三點(diǎn)共線，則又∵三點(diǎn)共線，則∴，解得即則∴，即故選：A.例題4．（2022春·江蘇鹽城·高三統(tǒng)考期中）中，，若，則___________．【答案】【詳解】，，即．.故答案為：.例題5．（2022·高一單元測(cè)試）如圖，在中，是的中點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值是__________.【答案】##【詳解】因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以,因?yàn)?，所以，故答案為：同類題型演練1．（2022春·福建福州·高二福州三中校考期中）中，D為BC中點(diǎn)，，AD交BE于P點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以設(shè)，即，整理得：，令，則，則，其中，因?yàn)?，所以，故，因?yàn)椋?，又，解得：故選：C.2．（2022春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，為邊的中點(diǎn)，在邊上，且，與交于點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】以為基底向量，則有：∵三點(diǎn)共線，則，又∵三點(diǎn)共線，且為邊的中點(diǎn)，則，∴，解得，即.∵，∴，則.故選：A.3．（2022秋·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）在中，點(diǎn)D在邊AB的延長(zhǎng)線上，，則（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB的延長(zhǎng)線上，，所以，即,所以.又，由平面向量基本定理可得：，.故選：B4．（2022秋·廣東揭陽(yáng)·高一統(tǒng)考期末）已知在中，點(diǎn)為上的點(diǎn)，且，若，則（

）A． B．0 C． D．1【答案】C【詳解】由題意得，所以，所以.故選：C5．（2022春·廣東廣州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，G為線段EF上一點(diǎn)，且滿足，則m=（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：，為的中點(diǎn)，，，因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，設(shè)，又，，解得．故選：A．6．（2022春·廣東廣州·高三廣州市第五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，是邊上的點(diǎn)，且，設(shè)，則___________.【答案】【詳解】由題，是邊上的點(diǎn)，且，，∴故答案為：6．（2022·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖，在梯形中，，且，設(shè).(1)試用和表示；(2)若點(diǎn)滿足，且三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：，，，，則整理得：．（2）解：，，三點(diǎn)共線，．，，，又．．，解得，．．題型4：平面向量基本定理的綜合應(yīng)用典型例題例題1．（2022春·山東濰坊·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）銳角三角形中，為邊上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），點(diǎn)滿足，且滿足，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】D【詳解】依題意，設(shè)，則，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：D例題2．（2022春·江蘇南通·高三開學(xué)考試）在中，，，過的外心的直線(不經(jīng)過點(diǎn))分別交線段于，且，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)橹?，，由余弦定理可得，即，且，設(shè)，則，，所以，同理可得，，解得，所以，又因?yàn)椋?，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，可得，因?yàn)椋?，所以，同理可得，所以所以，設(shè)，可得，令，可得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為；又由，，可得，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，所以的取值范圍是.故選：B.例題3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在中，為線段上一點(diǎn)，且，為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交直線，于，兩點(diǎn)，，，則的最小值為_______【答案】【詳解】因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)镚為線段AO的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)镈、G、E三點(diǎn)共線，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．故答案為：．同類題型演練1．（2022秋·江蘇宿遷·高一統(tǒng)考期末）在中，，過點(diǎn)O的直線分別交直線于M，N兩個(gè)不同的點(diǎn)，若，其中m，n為實(shí)數(shù)，則的最小值為（

）A．1 B．4 C． D．5【答案】C【詳解】三點(diǎn)共線即故的最小值為.故選：C.2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)P在內(nèi)且為的外心，，如圖.若的面積分別為，x，y，則的最大值是________.【答案】##【詳解】根據(jù)奔馳定理得，，即，平方得，又因?yàn)辄c(diǎn)P是的外心，所以，且，所以，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以.故答案為：.3．（2022春·遼寧沈陽(yáng)·高三沈陽(yáng)市第四十中學(xué)校聯(lián)考期中）在中，點(diǎn)是邊上（不包含頂點(diǎn)）的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值______.【答案】##【詳解】如圖，可知x，y均為正，且，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則的最小值為.故答案為：.4．（2022秋·甘肅白銀·高一統(tǒng)考期末）我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.已知為線段的中點(diǎn)，設(shè)為中間小正方形內(nèi)一點(diǎn)（不含邊界）.若，則的取值范圍為__________.【答案】【詳解】過點(diǎn)作，分別交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖，由可知，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)）.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，可知.當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，可知.故的取值范圍為.故答案為：題型5：運(yùn)用平面向量基本定理解決證明問題典型例題例題1．（2022秋·上海金山·高一上海市金山中學(xué)?？计谀┤鐖D所示，在中，在線段上，滿足，是線段的中點(diǎn)．(1)延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q（圖1），求的值；(2)過點(diǎn)的直線與邊，分別交于點(diǎn)，（圖2），設(shè)，．（i）求證為定值；（ii）設(shè)的面積為，的面積為，求的最小值．【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）.【詳解】（1）依題意，因?yàn)?，所以，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，所以，設(shè)，則有，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，解得，即，所以，所以；（2）（i）根據(jù)題意,同理可得：，由（1）可知，，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，化簡(jiǎn)得，即為定值，且定值為3；（ii）根據(jù)題意，，，所以，由（i）可知，則，所以，易知，當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí).例題2．（2022秋·黑龍江牡丹江·高一牡丹江一中校考階段練習(xí)）（1）已知函數(shù)，，求函數(shù)的值域；（2）已知G是的重心，，過點(diǎn)作直線交、邊分別于點(diǎn)、點(diǎn)，設(shè)，，證明：是定值．【答案】（1）（2）證明見解析【詳解】（1），因?yàn)椋裕?，，所以值域?yàn)椋缘闹涤驗(yàn)?（2）因?yàn)镚是重心，所以又因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以聯(lián)立，得所以，兩邊乘以3得，，所以是定值.同類題型演練1．（2022春·安徽·高三蚌埠二中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知M，P，N是平面上不同的三點(diǎn)，點(diǎn)A是此平面上任意一點(diǎn)，則“M，P，N三點(diǎn)共線”的充要條件是“存在實(shí)數(shù)，使得”．此結(jié)論往往稱為向量的爪子模型．(1)給出這個(gè)結(jié)論的證明；(2)在的邊、上分別取點(diǎn)E、F，使，，連結(jié)、交于點(diǎn)G．設(shè)，．利用上述結(jié)論，求出用、表示向量的表達(dá)式．【答案】(1)證明見解析(2)（1）先證充分性．若，則，，即，，故M，P，N三點(diǎn)共線．再證必要性．若M，P，N三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，，故．綜上知，結(jié)論成立．（2）利用A，G，F(xiàn)和B，G，E共線的充要條件，存在實(shí)數(shù)，使得則，解得．故．2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在△ABO中，，，AD與BC交于點(diǎn)M．設(shè)，．(1)試用向量，表示；(2)在線段AC上取點(diǎn)E，在線段BD上取點(diǎn)F，使EF過點(diǎn)M，設(shè)，，其中，．證明：為定值，并求出該定值．【答案】(1)；(2)證明見解析，定值為5.（1）設(shè)，由A，M，D三點(diǎn)共線，可知存在（，且），使得，則，因?yàn)?，所以，由平面向量基本定理得，即，①同理，由B，M，C三點(diǎn)共線，可知存在（，且），使得，則，又，所以，由平面向量基本定理得即，②由①②得，，故；（2）由于E，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)（，且）使得，即，于是，又，，所以，由平面向量基本定理得，消去，得，故為定值，該定值為5.三、高考（模擬）題體驗(yàn)1．（2022·河南·統(tǒng)考一模）在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若，則（

）A． B．