第07講全等三角形中手拉手（旋轉）模型-沖刺2023年中考數學滿分應對方法與策略（原卷版）

第07講全等三角形中手拉手（旋轉）模型【應對方法與策略】【基本模型】一、等邊三角形手拉手出全等圖1圖2圖3圖4二、等腰直角三角形手拉手出全等兩個共直角頂點的等腰直角三角形，繞點C旋轉過程中（B、C、D不共線）始終有：①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置關系）且BD=AE（數量關系）；③FC平分∠BFE；圖1圖2圖3圖4【多題一解】一．解答題（共13小題）1．（2022?金平區(qū)一模）如圖，AB、CD為⊙O的直徑，AB⊥CD，點E為上一點，點F為EC延長線上一點，∠FAC＝∠AEF．連接ED，交AB于點G．（1）證明：AF為⊙O的切線；（2）證明：AF＝AG；（3）若⊙O的半徑為2，G為OB的中點，AE的長．2．（2022?蘭州模擬）如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，AD平分∠CAB交⊙O于點D，在OD的延長線上存在一點E，使得∠CED＝∠B，連接CD．（1）求證：CE是⊙O的切線；（2）當CE＝CB時，判斷四邊形ACDO的形狀并說明理由．3．（2022?海淀區(qū)二模）已知AB＝BC，∠ABC＝90°，直線l是過點B的一條動直線（不與直線AB，BC重合），分別過點A，C作直線l的垂線，垂足為D，E．（1）如圖1，當45°＜∠ABD＜90°時，①求證：CE+DE＝AD；②連接AE，過點D作DH⊥AE于H，過點A作AF∥BC交DH的延長線于點F．依題意補全圖形，用等式表示線段DF，BE，DE的數量關系，并證明；（2）在直線l運動的過程中，若DE的最大值為3，直接寫出AB的長．4．（2022?南平模擬）如圖，BD是⊙O的直徑，＝，點C是半圓上一動點，且與點A分別在BD的兩側．（1）如圖1，若＝5，BD＝4，求AC的長；（2）求證：CD+BC＝AC．5．（2022?黔東南州一模）綜合與實踐（1）問題發(fā)現如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．請寫出∠AEB的度數及線段AD，BE之間的數量關系，并說明理由．（2）類比探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．填空：①∠AEB的度數為；②線段CM，AE，BE之間的數量關系為．（3）拓展延伸在（2）的條件下，若BE＝4，CM＝3，則四邊形ABEC的面積為．6．（2022?威縣校級模擬）如圖，已知在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6，D是線段BC上一點（不與點B，C重合），連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉120°得到線段AE，連接CE，DE．設∠BAD＝α．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）求AD長度的最小值；（3）用含α的代數式表示∠DEC；（4）若△ABD的外心在該三角形的內部時，m°＜α＜n°，直接寫出m，n的值．7．（2022?黃岡二模）（1）問題發(fā)現：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．填空：①∠AEB的度數為；②線段AD，BE之間的數量關系為；（2）拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數及線段CM，AE，BE之間的數量關系，并說明理由；（3）解決問題如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，平面上一動點P到點B的距離為3，將線段CP繞點C順時針旋轉90°，得到線段CD，連DA，DB，PB，則BD是否有最大值和最小值，若有直接寫出，若沒有說明理由？8．（2022?邵陽模擬）旋轉是一種重要的圖形變換，當圖形中有一組鄰邊相等時往往可以通過旋轉解決問題．（1）嘗試解決：如圖①，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點M是BC上的一點，BM＝1cm，CM＝2cm，將△ABM繞點A旋轉后得到△ACN，連接MN，則AM＝cm．（2）類比探究：如圖②，在“箏形”四邊形ABCD中，AB＝AD＝a，CB＝CD，AB⊥BC于點B，AD⊥CD于點D，點P、Q分別是AB、AD上的點，且∠PCB+∠QCD＝∠PCQ，求△APQ的周長．（結果用a表示）（3）拓展應用：如圖③，已知四邊形ABCD，AD＝CD，∠ADC＝60°，∠ABC＝75°，AB＝2，BC＝2，求四邊形ABCD的面積．【一題多解】1．（2022?鄭州二模）如圖1，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°．點D是BC邊上一動點，連接AD，將AD繞點A逆時針旋轉90°到AE，連接CE．（1）求證：CD+CE＝CA．（2）如圖2，連接DE，交AC于點F．①求證：CD?CE＝CF?CA；②當△CEF是等腰三角形時，請直接寫出BD的長．2．（2022?漢壽縣一模）如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點E、F分別為AB，AC的中點，D為線段EF上一動點（不與點E，F重合），將線段AD繞點A逆時針方向旋轉90°得到AN，連接NC，DB．（1）證明：△ABD≌△ACN；（2）如圖2，連接ND，NF，AF與ND相交于點M．①證明：在點D的運動過程中，總有∠DFN＝90°；②若，當ED的長度為多少時，△AMN為等腰三角形？3．（2022?順城區(qū)模擬）如圖，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝60°，MB⊥BC，垂足為B，點D在直線BM上，連接CD，將線段CD繞點C逆時針旋轉60°，得到線段CE，連接DE，直線DE與直線AB相交于點F．（1）連接AE，請直接寫出線段AE與線段BD的數量關系；（2）猜想線段EF與線段DF的數量關系，并說明理由；（3）若CA＝CB＝5，AF＝，請直接寫出線段BD的長．4．（2022?沈陽）【特例感知】（1）如圖1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，點C在OA上，點D在BO的延長線上，連接AD，BC，線段AD與BC的數量關系是；【類比遷移】（2）如圖2，將圖1中的△COD繞著點O順時針旋轉α（0°＜α＜90°），那么第（1）問的結論是否仍然成立？如果成立，證明你的結論；如果不成立，說明理由．【方法運用】（3）如圖3，若AB＝8，點C是線段AB外一動點，AC＝3，連接BC．①若將CB繞點C逆時針旋轉90°得到CD，連接AD，則AD的最大值是；②若以BC為斜邊作Rt△BCD（B，C，D三點按順時針排列），∠CDB＝90°，連接AD，當∠CBD＝∠DAB＝30°時，直接寫出AD的值．5．（2022?十堰模擬）（1）如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．①∠AEB的度數為；②線段AD，BE之間的數量關系為；（2）如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝9