專題13正方形的性質(zhì)與判定（專項訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊《考點解讀專題訓(xùn)練》（北師大版）

專題1.3正方形的性質(zhì)與判定（專項訓(xùn)練）1．（2021秋?海州區(qū)期末）正方形ABCD的一條對角線長為6，則這個正方形的面積是（）A．9 B．18 C．24 D．362．（2022?虞城縣二模）下列性質(zhì)中，平行四邊形，矩形，菱形，正方形共有的性質(zhì)是（）A．對角線相等 B．對角線互相垂直 C．對角線互相平分 D．對角線平分內(nèi)角3．（2022春?如皋市校級月考）如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E在對角線BD上，且∠BAE＝22.5°，則BE的長為（）A．﹣1 B． C．2﹣2 D．14．（2022?遵義模擬）如圖，正方形ABCD中，點F為AB上一點，CF與BD交于點E，連接AE，若∠BCF＝20°，則∠AEF的度數(shù)（）A．35° B．40° C．45° D．50°5．（2021秋?巴中期末）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標(biāo)為（0，2），點B的坐標(biāo)為（﹣3，0），則點C到y(tǒng)軸的距離是（）A．6 B．5 C．4 D．36．（2021秋?渝北區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點E在對角線AC上，若S△ABE＝5，則△CDE的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．67．（2021秋?湖里區(qū)期末）如圖，正方形ABCD的邊長為a，點O為對角線AC中點，點M，N分別為對角線AC的三等分點，則圖中的兩個小正方形面積之和為（）A．a(chǎn)2 B．a(chǎn)2 C．a(chǎn)2 D．a(chǎn)28．（2021秋?新民市期末）正方形具有而菱形不一定有的性質(zhì)是（）A．對角線互相垂直 B．對角線相等 C．對邊相等 D．鄰邊相等9．如圖所示，E是正方形ABCD的對角線BD上一點，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分別是F、G．若CG＝3，CF＝4，則AE的長是（）A．3 B．4 C．5 D．710.（2021秋?二道區(qū)校級期末）如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC＝AE，Rt△FEG的兩直角邊EF，EG分別交BC，DC于點M，N．若正方形ABCD邊長為4，則重疊部分四邊形EMCN的面積為（）A．2 B．4 C．6 D．811．（2022?凱里市校級一模）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，F(xiàn)在BC邊上，且∠EAF＝45°，連接EF，則BF的長為（）A．2 B． C．3 D．12．（2022春?高安市期中）如圖，正方形ABCD的邊長為2，點P是對角線BD上一點，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連接EF，給出下列五個結(jié)論：①PB＝AB；②AP＝EF且AP⊥EF；③∠PFE＝∠BAP；④EF的最小值為；⑤PB2+PD2＝2PA2，其中正確的結(jié)論是（）A．①②③④ B．②③④ C．③④⑤ D．②③④⑤13．（2022春?新會區(qū)校級期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長為12，BM＝CN＝5，CM、DN交于點O．則下列結(jié)論：①DN⊥MC；②DN垂直平分MC；③S△ODC＝S四邊形BMON；④OC＝中，正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個14（2021秋?梅里斯區(qū)期末）如圖，已知正方形ABCD中，點E是邊BC延長線上一點，連接DE，過點B作BF⊥DE，垂足為點F，BF與CD交于點G．（1）求證：CG＝CE；（2）若BE＝4，DG＝2，求BG的長．15．（2021秋?伊通縣期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，E，F(xiàn)分別是AB、BC邊上的點，且∠EDF＝45°，將△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM．（1）求證：EF＝MF（2）若AE＝2，求FC的長．16．（2021秋?普寧市期末）下列說法中正確的是（）A．矩形的對角線平分每組對角 B．菱形的對角線相等且互相垂直 C．有一組鄰邊相等的矩形是正方形 D．對角線互相垂直的四邊形是菱形17．（2020?眉山）下列說法正確的是（）A．一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 B．對角線互相垂直平分的四邊形是菱形 C．對角線相等的四邊形是矩形 D．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形18．（2020?襄陽）已知四邊形ABCD是平行四邊形，AC，BD相交于點O，下列結(jié)論錯誤的是（）A．OA＝OC，OB＝OD B．當(dāng)AB＝CD時，四邊形ABCD是菱形 C．當(dāng)∠ABC＝90°時，四邊形ABCD是矩形 D．當(dāng)AC＝BD且AC⊥BD時，四邊形ABCD是正方形19．（2021春?海淀區(qū)校級期末）如圖，點E是正方形ABCD對角線AC上一點，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分別為F，G，若正方形ABCD的周長是40cm．（1）求證：四邊形BFEG是矩形；（2）求四邊形EFBG的周長；（3）當(dāng)AF的長為多少時，四邊形BFEG是正方形？20.（蘭州期中）如圖，已知E是平行四邊形ABCD中BC邊的中點，連接AE并延長AE交DC的延長線于點F．（1）求證：△ABE≌△FCE；（2）連接AC、BF，若AE＝BC，求證：四邊形ABFC為矩形；（3）在（2）條件下，當(dāng)△ABC再滿足一個什么條件時，四邊形ABFC為正方形．專題1.3正方形的性質(zhì)與判定（專項訓(xùn)練）1．（2021秋?海州區(qū)期末）正方形ABCD的一條對角線長為6，則這個正方形的面積是（）A．9 B．18 C．24 D．36【答案】B【解答】解：在正方形中，對角線相等，所以正方形ABCD的對角線長均為6，∵正方形又是菱形，菱形的面積計算公式是S＝ab（a、b是正方形對角線長度）∴S＝×6×6＝18，故選：B．2．（2022?虞城縣二模）下列性質(zhì)中，平行四邊形，矩形，菱形，正方形共有的性質(zhì)是（）A．對角線相等 B．對角線互相垂直 C．對角線互相平分 D．對角線平分內(nèi)角【答案】C【解答】解：∵平行四邊形的對角線互相平分，∴矩形，菱形，正方形的對角線也必然互相平分．故選：C．3．（2022春?如皋市校級月考）如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E在對角線BD上，且∠BAE＝22.5°，則BE的長為（）A．﹣1 B． C．2﹣2 D．1【答案】C【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵∠BAE＝22.5°，∴∠DAE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，在△ADE中，∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE＝2，∵正方形的邊長為2，∴BD＝，∴BE＝BD﹣DE＝2﹣2，故選C．4．（2022?遵義模擬）如圖，正方形ABCD中，點F為AB上一點，CF與BD交于點E，連接AE，若∠BCF＝20°，則∠AEF的度數(shù)（）A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，BC＝BA，∠ABE＝∠CBE＝45°，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS）．∴∠BAE＝∠BCE＝20°，∵∠ABC＝90°，∠BCF＝20°，∴∠BFC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCF，＝180°﹣90°﹣20°＝70°，∵∠BFC＝∠BAE+∠AEF，∴∠AEF＝∠BFC﹣∠BAE＝70°﹣20°＝50°，故選：D．5．（2021秋?巴中期末）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標(biāo)為（0，2），點B的坐標(biāo)為（﹣3，0），則點C到y(tǒng)軸的距離是（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【解答】解：過點C作CE⊥x軸于點E，如圖，則點C到y(tǒng)軸的距離為OE．∵點A的坐標(biāo)為（0，2），點B的坐標(biāo)為（﹣3，0），∴OA＝2，OB＝3．∵CE⊥x軸，∴∠CEB＝90°．∴∠ECB+∠EBC＝90°．∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝AB，∠CBA＝90°．∴∠EBC+∠ABO＝90°．∴∠ECB＝∠ABO．在△CBE和△BAO中，，∴△CBE≌△BAO（AAS）．∴EB＝OA＝2．∴OE＝OB+BE＝3+2＝5．∴點C到y(tǒng)軸的距離是5．故選：B．6．（2021秋?渝北區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點E在對角線AC上，若S△ABE＝5，則△CDE的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解答】解：過點E作MN∥AD，交AB于點M，CD于點N，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD⊥AB，AD⊥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝4，∵MN∥AD，∴MN⊥AB，MN⊥CD，∵S△ABE＝AB?EM＝×4×EM＝2EM＝5，∴EM＝，∴EN＝AD﹣EM＝AB﹣EM＝4﹣＝，∴S△CDE＝CD?EN＝×4×＝3，故選：A．7．（2021秋?湖里區(qū)期末）如圖，正方形ABCD的邊長為a，點O為對角線AC中點，點M，N分別為對角線AC的三等分點，則圖中的兩個小正方形面積之和為（）A．a(chǎn)2 B．a(chǎn)2 C．a(chǎn)2 D．a(chǎn)2【答案】D【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠FAM＝∠EAO＝45°，∴△AFM與△AEO是等腰直角三角形，∵正方形ABCD的邊長為a，∴AC＝a，∵點M，N分別為對角線AC的三等分點，∴AM＝MN＝CN＝×a＝a，∴AM＝FM＝a，AE＝EO＝AD＝a，∴圖中的兩個小正方形面積之和＝FM2+OE2＝（a）2+（a）2＝a2，故選：D．8．（2021秋?新民市期末）正方形具有而菱形不一定有的性質(zhì)是（）A．對角線互相垂直 B．對角線相等 C．對邊相等 D．鄰邊相等【答案】B【解答】解：正方形具有而菱形不一定有的性質(zhì)是：對角線相等．故選：B．9．如圖所示，E是正方形ABCD的對角線BD上一點，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分別是F、G．若CG＝3，CF＝4，則AE的長是（）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】C【解答】解：如圖，連接CE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠CBD＝45°，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，∵EF⊥BC，EG⊥CD，∠BCD＝90°，∴四邊形CFEG是矩形，∴GC＝EF＝3，∠EFC＝90°，∴CE＝＝＝5，∴AE＝5，故選：C．10.（2021秋?二道區(qū)校級期末）如圖，點E在正方形ABCD的對角線AC上，且EC＝AE，Rt△FEG的兩直角邊EF，EG分別交BC，DC于點M，N．若正方形ABCD邊長為4，則重疊部分四邊形EMCN的面積為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解答】解：連接ED，∵AE＝EC，∴點E是AC的中點，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DEC＝90°，DE＝EC，∠EDN＝∠ECM＝45°，∴∠DEN+∠NEC＝90°，∵EF⊥EG，∴∠MEC+∠NEC＝90°，∴∠DEN＝∠CEM，∴△MEC≌△NED（ASA），∴S△MEC＝S△NED，∴S四邊形EMCN＝S△MEC+S△NEC＝S△NED+S△NEC＝S△DEC，∵正方形ABCD的邊長為4，∴AC＝4，∴ED＝EC＝2，∴S△DEC＝＝×2×2＝4，∴重疊部分四邊形EMCN的面積為4．故選：B．11．（2022?凱里市校級一模）如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，F(xiàn)在BC邊上，且∠EAF＝45°，連接EF，則BF的長為（）A．2 B． C．3 D．【答案】A【解答】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∴把△ABF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，如圖：∴∠BAF＝∠DAG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAF+∠DAE＝45°，∴∠EAF＝∠EAG，∵∠ADG＝∠ADC＝∠B＝90°，∴∠EDG＝180°，點E、D、G共線，在△AFE和△AGE中，，∴△AFE≌△AGE（SAS），∴EF＝EG，即：EF＝EG＝ED+DG，∵E為CD的中點，邊長為6的正方形ABCD，∴CD＝BC＝6，DE＝CE＝3，∠C＝90°，∴設(shè)BF＝x，則CF＝6﹣x，EF＝3+x，在Rt△CFE中，由勾股定理得：EF2＝CE2+CF2，∴（3+x）2＝32+（6﹣x）2，解得：x＝2，即BF＝2，故選：A．12．（2022春?高安市期中）如圖，正方形ABCD的邊長為2，點P是對角線BD上一點，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連接EF，給出下列五個結(jié)論：①PB＝AB；②AP＝EF且AP⊥EF；③∠PFE＝∠BAP；④EF的最小值為；⑤PB2+PD2＝2PA2，其中正確的結(jié)論是（）A．①②③④ B．②③④ C．③④⑤ D．②③④⑤【答案】D【解答】解：連接PC，延長AP交EF于點H，如圖所示：∵點P是對角線BD上一點，∴PB和AB的大小不能確定，故①選項不符合題意；在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADP＝∠CDP＝45°，PD＝PD，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴AP＝CP，∠PAD＝∠PCD，∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴∠PFC＝∠PEC＝90°，∵∠C＝90°，∴四邊形PECF是矩形，∴EF＝PC，∴AP＝EF，∵∠ADC＝∠PFC＝90°，∴AD∥PF，∴∠DAP＝∠FPH，在矩形PECF中，∠PCD＝∠EFC，∴∠FPH＝∠EFC，∵∠EFC+∠EFP＝90°，∴∠FPH+∠EFP＝90°，∴AP⊥EF，故②選項符合題意；在矩形PECF中，∠PFE＝∠PCE，∵△ADP≌△CDP，∴∠DAP＝∠DCP，∴∠BAP＝∠PCB，∴∠BAP＝∠PFE，故③選項符合題意；∵AB＝AD＝2，根據(jù)勾股定理得BD＝2，當(dāng)AP⊥BD時，AP最小，此時AP最小值為BD＝，∵AP＝EF，∴EF的最小值為，故④選項符合題意；根據(jù)勾股定理，得PB2＝2PE2，PD2＝2PF2，∴PB2+PD2＝2（PE2+PF2）＝2EF2＝2PA2，故⑤選項符合題意；綜上，正確的選項有②③④⑤，故選：D．13．（2022春?新會區(qū)校級期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長為12，BM＝CN＝5，CM、DN交于點O．則下列結(jié)論：①DN⊥MC；②DN垂直平分MC；③S△ODC＝S四邊形BMON；④OC＝中，正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，在△BMC和△CND中，，∴△BMC≌△CND（SAS），∴∠MCB＝∠NDC．又∠MCN+∠MCD＝90°，∴∠MCD+∠NDC＝90°，∴∠DOC＝90°，∴DN⊥MC，故①正確；在Rt△CDN中，∵CD＝12，CN＝5，∴DN＝＝13．又∵∠BCD＝90°，∠COD＝90°，∴NC?CD＝ND?OC，∴OC＝，OM＝13﹣＝，∴OC≠OM，故②錯誤④正確；∵△BMC≌△CND，∴S△BMC＝S△CND，S△BMC﹣S△CNO＝S△CND﹣S△CNC，即S四邊形BMON＝S△ODC，故③正確．綜上，正確的結(jié)論是①③④．故選：C．14（2021秋?梅里斯區(qū)期末）如圖，已知正方形ABCD中，點E是邊BC延長線上一點，連接DE，過點B作BF⊥DE，垂足為點F，BF與CD交于點G．（1）求證：CG＝CE；（2）若BE＝4，DG＝2，求BG的長．【答案】（1）略（2）2．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCG＝∠DCE＝90°，BC＝CD，∵BF⊥DE，∴∠DFG＝∠BCG＝90°，∵∠BGC＝∠DGF，∴∠CBG＝∠CDE．在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS），∴CG＝CE；（2）解：由（1）△BCG≌△DCE得CG＝CE，又∵BE＝BC+CE＝4，DG＝CD﹣CG＝2，∴BC＝3CG＝，在Rt△BCG中，BG＝＝＝2．15．（2021秋?伊通縣期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，E，F(xiàn)分別是AB、BC邊上的點，且∠EDF＝45°，將△DAE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DCM．（1）求證：EF＝MF（2）若AE＝2，求FC的長．【答案】（1）略（2）FC＝3【解答】解：（1）∵△DAE逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DCM，∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，∴F、C、M三點共線，∴DE＝DM，∠EDM＝90°．∴∠EDF+∠FDM＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF＝MF．（2）設(shè)EF＝MF＝x，∵AE＝CM＝2，且BC＝6，∴BM＝BC+CM＝6+2＝8，∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝8﹣x，∵EB＝AB﹣AE＝6﹣2＝4．在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2．即42+（8﹣x）2＝x2，∴解得：x＝5，即FM＝5．∴FC＝FM﹣CM＝5﹣2＝3．16．（2021秋?普寧市期末）下列說法中正確的是（）A．矩形的對角線平分每組對角 B．菱形的對角線相等且互相垂直 C．有一組鄰邊相等的矩形是正方形 D．對角線互相垂直的四邊形是菱形【答案】C【解答】解：A、矩形的對角線平分每組對角，說法錯誤，故本選項不符合題意；B、菱形的對角線互相垂直，故本選項不符合題意；C、有一組鄰邊相等的矩形是正方形，正確，故本選項符合題意；D、對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，故本選項不符合題意．故選：C．17．（2020?眉山）下列說法正確的是（）A．一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形 B．對角線互相垂直平分的四邊形是菱形 C．對角線相等的四邊形是矩形 D．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形【答案】B【解答】解：A、一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形可以是等腰梯形，可以是平行四邊形，故選項A不合題意；B、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故選項B符合題意；C、對角線相等的平行四邊形是矩形，故選項C不合題意；D、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，故選項D不合題意；故選：B．18．（2020?襄陽）已知四邊形ABCD是平行四邊形，AC，BD相交于點O，下列結(jié)論錯誤的是（）A．OA＝OC，OB＝OD B．當(dāng)AB＝CD時，四邊形ABCD是菱形 C．當(dāng)∠ABC＝90°時，四邊形ABCD是矩形 D．當(dāng)AC＝BD且AC⊥BD時，四邊形ABCD是正方形【答案】B【解答】解：A、根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到OA＝OC，OB＝OD，該結(jié)論正確；B、當(dāng)AB＝CD時，四邊形ABCD還是平行四邊形，該選項錯誤；C、根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形可以判斷該選項正確；D、當(dāng)AC＝BD且AC⊥BD時，根據(jù)對角線相等可判斷四邊形ABCD是矩形，根據(jù)對角線互相垂直可判斷四邊形ABCD是菱形，故四邊形ABCD是正方形，該結(jié)論正確；故選：B19．（2