工程數(shù)學(xué) 課件 第1章 行列式

第1章

行列式

第1節(jié)

行列式的定義第2節(jié)

行列式的性質(zhì)第3節(jié)

克萊姆法則

第1節(jié)

行列式的定義

一、

二階行列式

在初等代數(shù)中我們解過(guò)二元一次方程組

當(dāng)a11a22-a12a21≠0時(shí)，方程組有唯一解：

對(duì)于線性方程組（1。1），分別記

于是方程組（1。1）的解可表示為

定義1.1我們把式子

叫作二階行列式，其

中的數(shù)aij（i=1,2；j=1,2）稱為該行列式的元素，每個(gè)橫排稱為行列式的行，每個(gè)豎排稱為行列式的列。aij（i=1,2；j=1,2）就是從上到下第i行，從左到右第j列的元素。

在二階行列式中，用實(shí)線將a11、a22連接，用虛線將a21、a12連接（如圖1.1所示），實(shí)連接線稱為主對(duì)角線，虛連接線稱為次對(duì)角線（或副對(duì)角線），則二階行列式等于主對(duì)角線上兩元素的乘積減去次對(duì)角線上兩元素的乘積（這樣的記憶方式稱為對(duì)角線法則），即

圖1.1

例1.1

計(jì)算下列二階行列式。

二、

三階行列式

類似地，對(duì)于三元一次方程組

對(duì)于線性方程組（1.2），分別記

則在D≠0的情形下，線性方程組（1.2）的解可表示為

定義1.2我們把式子

叫作三階行列

式，其中的數(shù)aij=（i=1,2，3；j=1,2，3）稱為該行列式的元素。

等號(hào)右端稱為三階行列式的展開(kāi)式。展開(kāi)式一共有6項(xiàng)，3項(xiàng)為正，3項(xiàng)為負(fù)，每項(xiàng)均由位于不同行不同列的三個(gè)元素相乘得到。展開(kāi)式可通過(guò)對(duì)角線法則記憶，如圖1.2所示，其中三條實(shí)線（主對(duì)角線）所連三個(gè)元素的乘積為正項(xiàng)，三條虛線（次對(duì)角線或副對(duì)角線）所連三個(gè)元素的乘積為負(fù)項(xiàng)。三階行列式的展開(kāi)式，也可以按如圖1.3所示的方法記憶，圖1.3所示的對(duì)角線法則又稱為沙路法則。

圖1.2

圖1.3

例1.2求三階行列式

解

例1.3求解方程：

解

因?yàn)?/p>

所以

因此方程的解為

三、n

階行列式

根據(jù)二階和三階行列式的定義，我們給出n

階行列式的定義。

定義1.3將n2個(gè)數(shù)排成n行n列數(shù)表，并在左、右兩邊各加一豎線，記為Dn或D，即

稱為n階行列式。

四、余子式與代數(shù)余子式

定義1.4將n階行列式元素aij所在的第i行和第j列的元素去掉，余下的（n-1）2個(gè)元素組成的行列式叫作元素aij的余子式，記作Mij。將Aij=（-1）i+jMij稱為元素aij的代數(shù)余子式。

定理1.1

n階行列式Dn等于它的任一行(列)元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即

可以按第i行展開(kāi)為

也可以按第j列展開(kāi)為

五、幾種特殊行列式

1.三角形行列式

定義1.5主對(duì)角線下方的元素全為0的行列式

稱為上三角形行列式；反之，主對(duì)角線上方的元素全為0的行列式

稱為下三角形行列式。上、下三角形行列式統(tǒng)稱為三角形行列式。

2.轉(zhuǎn)置行列式

定義1.6設(shè)n階行列式

把行列式D的行與相應(yīng)的列互換后得到行列式

稱其為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式，記作DT。

3.對(duì)稱行列式與反對(duì)稱行列式

定義1.7如果n階行列式中第i行、第j列的元素等于第j行、第i列的元素，即aij=aji，則稱這樣的行列式為對(duì)稱行列式。如果它的第i行、第j列的元素等于第j行、第i列的元素的相反數(shù)，即aij=-aji，則稱這樣的行列式為反對(duì)稱行列式。

第2節(jié)行列式的性質(zhì)

性質(zhì)1.1任一行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即

推論1.1上（下）三角形行列式等于主對(duì)角線上的元素的乘積，即

性質(zhì)1.2互換行列式的兩行(列)，行列式改變符號(hào)。

第i行(列)和第j行(列)互換，記作ri?rj（ci?cj）

推論1.2如果行列式有兩行(列)完全相同，則此行列式等于零。

性質(zhì)1.3行列式中某一行(列)的所有元素都乘同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式。

第i行(列)乘k，記作ri×k(ci×k)。

例如，

推論1.3行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式記號(hào)的外面。

第i行(列)提出公因子k，記作ri÷k（ci÷k）。

推論1.4如果行列式中有兩行(列)元素成比例，則此行列式等于零。

性質(zhì)1.4若行列式的某一行(列)的元素都是兩數(shù)之和，則其等于兩個(gè)行列式之和，這兩個(gè)行列式的這一行(列)的元素分別為相應(yīng)的兩數(shù)中的一個(gè)，其余元素與原來(lái)行列式的對(duì)應(yīng)元素相同。

例如，

性質(zhì)1.5把行列式的某一行(列)的各元素乘同一個(gè)數(shù)然后加到另一行(列)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式的值不變。

數(shù)k乘第j行(列)加到第i行(列)，記作ri+krj（ci+kcj）

例如，

例1.6計(jì)算四階行列式

解方法一：利用行列式的性質(zhì)，將D化為上三角形行列式

方法二：利用D中a13=1，把第3列其余元素化為0之后，再按第3列展開(kāi)，將D降為三階行列式。

第3節(jié)克萊姆法則對(duì)于包含n個(gè)未知數(shù)x1，x2，…，xn的n個(gè)方程所組成的方程組如果方程組的常數(shù)項(xiàng)全為0，則此方程組稱為齊次線性方程組；如果方程組的常數(shù)項(xiàng)不全為0，則此方程組稱為非齊次線性方程組。克萊姆給出了上述方程組的求解方法，即克萊姆法則。

定理1.2（克萊姆法則）如果方程組（1.3）的系數(shù)行列式不等于零，即

那么方程組（1.3）有唯一解：

定理1.3若方程組（1.3）無(wú)解或有兩個(gè)以上的不同解，則它的系數(shù)行列式D=0。

定理1.4若方程組（1.3）的系數(shù)行列式D≠0，則對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組有唯一的零解；反之，若齊次線性方程組有非零解，則D=