高考數學沖刺必刷押題密01卷

2023屆高考數學沖刺必刷押題密01卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分．1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意求集合，再結合交集運算求解.【詳解】由題意可得：所以.故選：D.2．已知復數滿足(其中為虛數單位)，則復數的虛部為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題目條件可得，即，然后利用復數的運算法則化簡.【詳解】因為，所以，則故復數的虛部為.故選：A.【點睛】本題考查復數的相關概念及復數的乘除運算，按照復數的運算法則化簡計算即可，較簡單.3．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】切化弦，結合得出，然后根據誘導公式及二倍角公式求解.【詳解】因為，所以，即，所以，即，所以，故選：D．4．現有一個軸截面是邊長為4的等邊三角形的倒置圓錐（頂點在下方，底面在上方），將半徑為的小球放入圓錐，使得小球與圓錐的側面相切，過所有切點所在平面將圓錐分割成兩個部分，則分割得到的圓臺的側面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作軸截面圖，求出圓臺的母線長，底面半徑長，結合側面積公式可得其解.【詳解】作軸截面圖如下：為圓錐的軸截面，點為與側面相切球的球心，點為切點，由已知，可得，，，，在中，，，，所以，又，所以，所以圓臺的母線長為，因為，，所以為等邊三角形，所以，所以圓臺的側面積.故選：D.5．已知函數，則的大致圖象為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用導數判定單調性即可得出選項.【詳解】，令，所以在和上單調遞增，故選：C6．已知二項式的展開式中只有第4項的二項式系數最大，現從展開式中任取2項，則取到的項都是有理項的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意得到展開式的總項數為7項，，然后利用展開式的通項公式得到有理項項數，再利用古典概型的概率求解.【詳解】解：因為二項式的展開式中只有第4項的二項式系數最大，所以展開式的總項數為7項，故，展開式的通項，當是偶數時該項為有理項，有4項，所以所有項中任取2項，都是有理項的概率為．故選：A．7．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據二項式系數的性質可得出，結合此性質可求得的值.【詳解】的展開式通項為，所以，，所以，，所以，，且，所以，.故選：A.8．已知，，，則（參考數據：）（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，考慮構造函數，利用導數研究函數的單調性，利用單調性比較大小即可.【詳解】因為，，考慮構造函數，則，當時，，函數在上單調遞增，當時，，函數在上單調遞減，因為，所以，即，所以，所以，即，又，所以，故，故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9．一百零八塔始建于西夏時期，是中國現存最大且排列最整齊的塔群之一，塔群隨山勢鑿石分階而建，自上而下一共12層，第1層有1座塔，從第2層開始每層的塔數均不少于上一層的塔數，總計108座塔．已知包括第1層在內的其中10層的塔數可以構成等差數列，剩下的2層的塔數分別與上一層的塔數相等，第1層與第2層的塔數不同，則（

）A．第3層的塔數為3 B．第6層的塔數為9C．第4層與第5層的塔數相等 D．等差數列的公差為2【答案】ACD【分析】設等差數列的公差為，分，和三種情況討論，結合等差數列的前項和公式即可得解【詳解】設等差數列的公差為，若，則這10層的塔數之和為，則最多有座塔，不符合題意；若，則這10層的塔數之和不少于，不符合題意；所以，這10層的塔數之和為，塔數依次是1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，依題意剩下2層的塔數為3與5，所以這12層塔的塔數分別為1，3，3，5，5，7，9，11，13，17，19，因此A，C，D正確，B錯誤．故選：ACD.10．在中，已知，，，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點P，下列結論正確的是（

）A． B．C．的余弦值為 D．【答案】ABD【分析】求得的長度判斷選項A；求得的長度判斷選項B；求得的余弦值判斷選項C；求得的化簡結果判斷選項D.【詳解】連接PC，并延長交AB于Q，中，，，，則，,，，，選項A:.判斷正確；選項B:.判斷正確；選項C:.判斷錯誤；選項D:.判斷正確.故選：ABD11．已知拋物線的焦點為，過且斜率為的直線交拋物線于、兩點，其中在第一象限，若，則（

）A． B．C．以為直徑的圓與軸相切 D．【答案】BCD【分析】寫出焦點的坐標，設出直線的方程，并與拋物線方程聯立，根據點在第一象限即可求出點，的橫坐標，進而可以求出的值，即可求出拋物線的方程，再對應各個選項逐個驗證即可．【詳解】設，，則過的直線斜率為的方程為：，代入拋物線方程消去可得：，解得，因為點在第一象限，所以，，則，所以，錯誤，，正確，由可得拋物線的方程為：，且，，，所以，正確，的中點橫坐標為，以為直徑的圓的半徑為，所以圓心到軸的距離等于半徑，則以為直徑的圓與軸相切，正確，故選：．12．已知圓臺的上下底面的圓周都在半徑為2的球面上，圓臺的下底面過球心，上底面半徑為，設圓臺的體積為V，則下列選項中說法正確的是（

）A．當時，B．V存在最大值C．當r在區(qū)間內變化時，V逐漸減小D．當r在區(qū)間內變化時，V先增大后減小【答案】BD【分析】通過題意得到圓臺體積V關于外接球半徑r的函數，容易判斷A；利用導數探討該函數的單調性和最值，可以判斷B,C,D.【詳解】設圓臺的上底面的圓心為，下底面的圓心為，點為上底面圓周上任意一點，圓臺的高為，球的半徑為，如圖所示，則，對選項不正確；，設，則，令可得，解得，知，且當；2)，在單調遞增，在單調遞減，由，，使得，當，即當，即，所以在單調遞增，在單調遞減，則B，D正確，C錯誤，故選：BD.【點睛】本題考察圓臺的體積與外接球半徑的函數關系.關鍵在于建立函數模型，然后利用導數研究其單調性與及最值，用到了隱零點及二次求導，屬于較難題.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，其中16題第一空2分，第二空3分。13．若數列滿足且，其中為數列的前n項和．請寫出一個滿足上述條件的數列通項______．【答案】(答案不唯一)【分析】根據題意，分析可得數列為各項為負的遞增的數列，結合數列的函數特性分析可得答案.【詳解】根據題意，數列滿足，則有，又由數列滿足，故數列為各項為負的遞增數列，其通項公式可以為：，故答案為：(答案不唯一)14．某單位有10000名職工，想通過驗血的方法篩查乙肝病毒攜帶者，假設攜帶病毒的人占，如果對每個人的血樣逐一化驗，就需要化驗10000次.統計專家提出了一種化驗方法：隨機地按5人一組分組，然后將各組5個人的血樣混合再化驗，如果混合血樣呈陰性，說明這5個人全部陰性；如果混合血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需要對每個人再分別化驗一次.按照這種化驗方法，平均每個人需要化驗______次.（結果保留四位有效數字）（，，）.【答案】0.4262【分析】設每個人需要的化驗次數為X，結合獨立重復試驗概率計算公式、對立事件概率計算公式求得，從而確定正確答案.【詳解】設每個人需要的化驗次數為X，若混合血樣呈陰性，則；若混合血樣呈陽性，則；因此，X的分布列為，，，說明每5個人一組，平均每個人需要化驗0.4262次.故答案為：0.4262.15．已知，分別是橢圓C：的左、右焦點，M是C上一點且與x軸垂直，直線與C的另一個交點為N．若直線MN在y軸上的截距為3，且，則橢圓C的標準方程為______．【答案】【分析】根據給定條件，借助幾何圖形及比例式求出點M，N的坐標，再代入橢圓方程求解作答.【詳解】由對稱性不妨令點M在第一象限，令直線交y軸于點A，過N作軸于B，令，因為軸，則，而O為的中點，又A為中點，而，于是，由知，，顯然，因此，于是，又，則，解得，而，則，所以橢圓C的標準方程為.故答案為：16．設隨機變量T滿足，，2，3，直線與拋物線的公共點個數為η，若，則______．【答案】6【分析】首先根據期望求交點個數的和，根據直線與拋物線的位置關系，確定的取值，再結合直線與拋物線的位置關系，確定與拋物線相切，即可求解.【詳解】設3條直線與拋物線的公共點個數的和為，因為，則，則，因為直線與拋物線的交點個數為0，1，2，所以直線與拋物線的公共點個數的取值為1，2，2，因為，所以當時，與拋物線相切，聯立，得，，解得：（令一個根0舍去），故答案為：6【點睛】關鍵點點睛：本題考查概率與圓錐曲線的綜合應用，本題的關鍵是正確理解題意，根據交點個數，確定直線與拋物線相切，是本題的關鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知等差數列的公差，且滿足，，，成等比數列．(1)求數列的通項公式；(2)若數列滿足求數列的前2n項的和．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用已知條件結合等比數列定義，等差數列通項公式，列方程求，由此可得數列的通項公式；（2）利用（1）的結論，進一步利用分組求和法，裂項相消法及等比數列求和公式求出數列的和．【詳解】（1）因為，，成等比數列，所以，即，解得或．因為，所以，所以．（2）由（1）得所以，所以，，所以數列的前2n項的和．18．平面多邊形中，三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有這一性質．如圖所示，四邊形的頂點在同一平面上，已知．(1)當長度變化時，是否為一個定值？若是，求出這個定值；若否，說明理由．(2)記與的面積分別為和，請求出的最大值．【答案】(1)為定值，定值為1(2)14【分析】（1）法一：在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，兩式相減可得答案；法二：在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，兩式相減可得答案；（2）由面積公式可得，令轉化為二次函數配方求最值即可．【詳解】（1）法一：在中，由余弦定理，得，即①，同理，在中，，即②，①②得，所以當長度變化時，為定值，定值為1；法二：在中，由余弦定理得，即，同理，在中，，所以，化簡得，即，所以當長度變化時，為定值，定值為1；（2），令，所以，所以，即時，有最大值為14．19．車胎凹槽深度是影響汽車剎車的因素，汽車行駛會導致輪胎胎面磨損.某實驗室通過試驗測得行駛里程與某品牌輪胎凹槽深度的數據如下：行駛里程/萬km0.000.641.291.932.573.223.864.515.15輪胎凹槽深度/mm10.028.377.396.485.825.204.554.163.82以行駛里程為橫坐標、輪胎凹槽深度為縱坐標作散點圖，如圖所示.(1)根據散點圖，可認為散點集中在直線附近，由此判斷行駛里程與輪胎凹槽深度線性相關，并計算得如下數據，請求出行駛里程與輪胎凹槽深度的相關系數（保留兩位有效數字），并推斷它們線性相關程度的強弱；2.576.20115.1029.46附：相關系數(2)通過散點圖，也可認為散點集中在曲線附近，考慮使用對數回歸模型，并求得經驗回歸方程及該模型的決定系數.已知（1）中的線性回歸模型為，在同一坐標系作出這兩個模型，據圖直觀回答：哪個模型的擬合效果更好？并用決定系數驗證你的觀察所得.附：線性回歸模型中，決定系數等于相關系數的平方，即.【答案】(1)，相關性較強(2)答案見解析【分析】（1）直接根據相關系數的計算公式求得，從而可判斷相關性較強；（2）由圖像可直觀判斷，再求出線性回歸模型的決定系數，從而可判斷對數回歸模型的擬合度更高.【詳解】（1）由題意，，∵，∴，∴行駛里程與輪胎凹楳深度成負相關，且相關性較強.（2）由圖像可知，車胎凹槽深度與對數回歸預報值殘差、偏離更小，擬合度更高，線性回歸預報值偏美較大.由題（1）得線性回歸模型的相關系數，決定系數，由題意，對數回歸模型的決定系數，∵，∴對數回歸模型的擬合度更高.20．如圖1，在五邊形中，四邊形為正方形，，，如圖2，將沿折起，使得至處，且．(1)證明：平面．(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面垂直的判定定理可證結論；（2）建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，利用法向量的夾角求解二面角.【詳解】（1）證明：由題意可知，所以，，因為，，平面，所以平面．（2）取的中點，連接，，由等腰三角形的性質可知，，由，，可知，，由且，可知，四邊形為平行四邊形，，平面；設，以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，．設平面的法向量為，則

令，得，因為，所以平面的一個法向量為，所以，由圖可知二面角為銳角．故二面角的余弦值為．21．已知圓O的方程為，P為圓上動點，點F坐標為，連OP，FP．過點P作直線FP的垂線l，線段FP的中垂線交OP于點M，直線FM交l于點A．(1)求點A的軌跡方程；(2)記點A的軌跡為曲線C，過點作斜率不為0的直線n交曲線C于不同兩點S，R，直線與直線n交于點H，記．，問：是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)1；理由見解析【分析】（1）根據橢圓的定義，即可求軌跡方程；（2）首先根據面積公式，理由線段比值表示，再設直線，與橢圓方程聯立，利用坐標表示.【詳解】（1）記，則為的中點，為中點，所以，，，所以點的軌跡是長軸長為4，焦距為2的橢圓，所以點的軌跡方程為；