2017-2018學(xué)年人教B版高中數(shù)學(xué)必修5全冊學(xué)案含答案

2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教B版

必修5全冊同步學(xué)案

目錄

第一章i.i.i正弦定理（一）

第一章LL1正弦定理（二）

第一章1.1.2余弦定理（一）

第一章1.1.2余弦定理（二）

第一章1.2應(yīng)用舉例（一）

第一章1.2應(yīng)用舉例（二）

第一章習(xí)題課正弦定理和余弦定理

第一章章末復(fù)習(xí)提升

第二章2.1.1數(shù)列

第二章2.1.2數(shù)列的遞推公式（選學(xué)）

第二章2.2.1等差數(shù)列（一）

第二章2.2.1等差數(shù)列（二）

第二章2.2.2等差數(shù)列的前n項和（一）

第二章2.3.1等比數(shù)列（一）

第二章2.3.1等比數(shù)列（二）

第二章2.3.2等比數(shù)列的前n項和（一）

第二章2.3.2等比數(shù)列的前n項和（二）

第二章習(xí)題課數(shù)列求和

第二章章末復(fù)習(xí)提升

第三章3.1.1不等關(guān)系與不等式

第三章3.1.2不等式的性質(zhì)

第三章3.2均值不等式（一）

第三章3.2均值不等式（二）

第三章3.3一元二次不等式及其解法

第三章3.4不等式的實際應(yīng)用

第三章3.5.1二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域

第三章3.5.2簡單線性規(guī)劃

第三章習(xí)題課線性規(guī)劃問題的幾個重要題型

第三章章末復(fù)習(xí)提升

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第一章解三角形

1.1正弦定理和余弦定理

1.1.1正弦定理(一)

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］1.通過對任意三角形邊角關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法.2.能

運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解決簡單的解三角形問題.

尹預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)j挑戰(zhàn)自我，點(diǎn)點(diǎn)落實

［知識鏈接］

下列說法中，正確的有.

(1)在直角三角形中，若C為直角，則sinA=?

(2)在△ABC中，若a>b,則A>B.

(3)在△ABC中，C=n-A-B.

(4)利用AAS、SSA都可以證明三角形全等.

(5)在△ABC中，若sinB=^~,則

答案⑴⑵⑶

解析根據(jù)三角函數(shù)的定義，(1)正確；在三角形中，大邊對大角，大角對大邊，(2)正確；

三角形的內(nèi)角和為兀，(3)正確；AAS可以證明三角形全等，SSA不能證明，(4)不正確；若

A37r

sin8=奇，則B=a或彳，(5)不正確，故(1)(2)(3)正確.

［預(yù)習(xí)導(dǎo)引］

1.在中的有關(guān)定理

在RtZkABC中,C=90°,則有：

(1)A+B=9O2，0°<A<90°,0°<B<90°；

(2)/+從=，(勾股定理)；

ahc

~入inAsinBsinC-

2.正弦定理

在一個三角形中，各邊的長和它所對角的正弦的比相等，即總=備=看，這個比值

SillbillDSillC，

1

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是其外接圓的直徑2R.

3.解三角形

一般地，我們把三角形的三個角及其對邊分別叫做三角形的暹.已知三角形的幾個元素求

其他元素的過程叫做解三角形.

F課堂講義金重點(diǎn)難點(diǎn)，個個擊破__________________________________________________________

要點(diǎn)一正弦定理的推導(dǎo)與證明

例I在銳角△ABC中，證叫卷=磊=^?

CDCD

證明如圖，在銳角△A5C中，過點(diǎn)。作CZ)J_AB于點(diǎn)￡>,有丁=sin4,—=sinB.

??CD=bsihA=〃sinB.n-

sinAsinB

同理，sin8=sinC,sinA=sin8=sinC成立?

規(guī)律方法從正弦定理可以推出它的常用變形有:

bbcac

A-sinB'sinB~s\nC'sinA-sinC

asinAasinAbsinB

)/?一sinB'c-sinC'。一sinC

(3)tzsinB=bsinA,asinC=csinA,Z?sinC=csinB.

(4)a:b:c=sinA：sin8：sinC.

跟蹤演練1在鈍角△ABC中，如何證明看=磊=竦恐仍然成立？

證明如圖，過點(diǎn)C作CO_LA8,交AB的延長線于點(diǎn)，則S

CD\

~^~=sinA,即C￡)=/?sinA；/a\

CDAcB'

—=sin(180°-B)=sinB,

即CD=asinB.

因此加inA=asinB,即總=島,

同理可證，品=薪?因此就?=島=；*

要點(diǎn)二已知兩角及一邊解三角形

2

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例2已知△A3C根據(jù)下列條件，解三角形：

(l)a=20,A=30°,C=45°；

(2)a=8,8=60。，C=75°.

解(1)??工=30。，C=45°；???8=180。一(4+0=105。,

-ra',asinB20sin105°，八.，八c、

由正弦定理仔b=§皿A=-si.30。-=40sm(45+60)

=10(#+&)；

?sin_C=20sin45°=

csinAsin30°‘叫’'

.,.8=105°,b=[Q(#+@,c=20Vl

(2)A=180°—(8+O=180°—(60°+75°)=45°,

由正弦定理一

sinBsinA

asinB8Xsin600r-

得sin45。=W6,

b—sinA

由正弦定理點(diǎn)=薪，

啦+加

“sinC_8Xsin75。0」=4(小+D.

sinA-sin45°

2

：.A=45°,b=4#,c=4(正+1).

規(guī)律方法已知三角形的兩角和任一邊解三角形，基本思路是：

(1)若所給邊是已知角的對邊時，可由正弦定理求另一角所對邊，再由三角形內(nèi)角和定理求

出第三個角.

(2)若所給邊不是已知角的對邊時，先由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角，再由正弦定理求

另外兩邊.

跟蹤演練2在△ABC中，a=5,B=45。，C=105°,求邊c.

解由三角彩內(nèi)角和定理知A+B+C=180。，

所以A=180°-(8+C)=180°—(45°+105°)=30°.

由正弦定理一y=士，

sinAsinC

/曰sinCsin105°sin(60°+45°)

付c=a'~^A=5,sin300=5'—而而一

sin60°cos450+cos60°sin45°5rr

=5.----------------3(r---------------=2(V6+tV2).

要點(diǎn)三已知兩邊及一邊的對角解三角形

例3在△ABC中，分別根據(jù)下列條件解三角形:

3

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6=4,A=30。；

(2)a=小，b=l,8=120°.

bsinAV3sin30°

解(1)根據(jù)正弦定理，sinB=a=1=2，

???>〃，：.B>A=30°,???8=60?；?20°.

當(dāng)3=60。時，。=180。一(4+8)=180。一(30。+60。)=90。，

.Z?sinCV3

,?c=sin8=sin60o=2;

當(dāng)3=120。時，。=180?！?4+3)=180。一(30。+120。)=30。=4,：.c=a=\.

小、用應(yīng).%“sin3V§sin120。3

(2)根據(jù)正弦定理，smA=-務(wù)=-----j-------=于Lt

因為sin.所以A不存在，即無解.

規(guī)律方法已知三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形時的方法：

(1)首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值.

(2)如果已知的角為大邊所對的角時，由三角形中大邊對大角，大南對大邊的法則能判斷另

一邊所對的角為銳角，由正弦值可求銳角唯一.

⑶如果已知的角為小邊所對的角時，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時由正弦值可

求兩個角，要分類討論.

跟蹤演練3已知△A8C,根據(jù)下列條件，解三角形：

⑴a=2,c=加，C=p

(2)a=2,c=m,A=7.

“sinC啦

解⑴：/.sinA=

sinA-sinC'2.

71

Vc>afOA.??,A=[.

csinB加'?nn

招，h—=小+1.

sinC7t

sin3

csinA

(2)VsinA-sinC'a~2'

又?:a<c,:.C=號或竽

當(dāng)C=1時，8=居，人=^/=小+1?

,,一27rli八it,6fsinBr-

當(dāng)c=?時，B=瓦，&=-T=V3-1.

4

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聲當(dāng)堂檢測i當(dāng)堂訓(xùn)練，體驗成功___________________________________________________________

1.在△ABC中，若sinA>sinB,則角A與角3的大小關(guān)系為（）

A.A>BB.A<B

C.A^BD.A,8的大小關(guān)系不能確定

答案A

解析由sin4>sinB=2Rsin4>2Rsin8（R為△ABC外接圓的半徑）Oa>boA>B.

2.在△ABC中，一定成立的等式是（）

A.asinA=bsinBB.acosA=bcosB

C.6fsinB=hsinAD.acosB=hsinA

答案c

解析由正弦定理'=以，得"sinB=3sinA,故選C.

sinr\.sinLJ

3.在△ABC中，已知A=150。，a=3,則其外接圓的半徑R的值為（）

A.3B.小

C.2D.不確定

答案A

解析在△ABC中，由正弦定理得in/=5畝150。=6=2凡:?R=3.

4.在△ABC中，sinA=sinC,則△43。是（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.銳角三角形D.鈍角三角形

答案B

解析由sinA=sinC知a=c,

△ABC為等腰三角形.

5.在△ABC中，已知a=#,sinC=2sinA,則c=.

答案2小

解析由正弦定理，得。=等萼=2a=2小.

<sin

r課堂小結(jié)-----------------------------------1

、cibc.

1.正弦定理的表示形式：'7/{=sin8=sinC=2&或〃=%sinA,b=Asin3,c=AsinC（fc>0）.

2.正弦定理的應(yīng)用范圍

（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角.

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(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和兩南.

3.利用正弦定理可以實現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化：一方面可以化邊為角，轉(zhuǎn)化為三

角函數(shù)問題來解決；另一方面，也可以化角為邊，轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決.

1.1.1正弦定理(二)

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］1.熟記并能應(yīng)用正弦定理的有關(guān)變形公式解決三角形中的問題2能根據(jù)條件，

判斷三角形解的個數(shù).3.能利用正弦定理、三角變換、三角形面積公式解決較為復(fù)雜的三角形

問題.

才預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)最挑戰(zhàn)自我，點(diǎn)點(diǎn)落實

［知識鏈接］

以下關(guān)于正弦定理的敘述或變形錯誤的是.

⑴在△人回中，逑￥=誓=呼，則4=9。。.

(2)在△ABC中，若sin2A=sin28,則

(3)在△ABC中，若sinA>sinB,則A>B；反之，若A>8,則sinA>sinB.

,.,ab+c

(4)在aABC中，i

sinAsinB+sinC

答案(2)

解析對于(1),由正弦定理可知，sinB=cosB,sinC=cosC,.,.B=C=45°,故A=90。，

故(1)正確.

對于(2),由sin2A=sinIB可得A=B或2A+2B=e

或/+匕2=。2,故(2)錯誤.

對于(3),在△ABC中，sin>4>sinB^a>b^A>B,故(3)正確.

對于⑷，因為急=磊=京，

所以庶故⑷正麻

［預(yù)習(xí)導(dǎo)引］

1.正弦定理的常見變形

(l)sinAIsinB*sinC=a?b'c.

a_____b_____c________〃+Z?+c______

⑵sin斗―sinsinC—sinA+sinB+sinC~~

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(3)a=2RsinA,Z?=2=sinB,c=2=sinC.

(4)sinA=會,sinB=品,sinC=品.

2.三角變換公式

⑴sin(a+份=sinacos6+cosasin6.

(2)sin(a-6)=sinacos￡-cosasin

(3)sin2a=2sinacosa.

尹課堂講義A重點(diǎn)難點(diǎn)，個個擊破__________________________________________________________

要點(diǎn)一利用正弦定理判斷三角形的形狀

例1在△ABC中，若sinA=2sin8cosC,且sin2A=sin2B+sin2c,試判斷△ABC的形狀.

解方法一在AABC中，根據(jù)正弦定理：焉=熹=舟=2R(R為△ABC外接圓的半

bin/ioinDbinL

徑).

Vsin2A=sin2^+sin2C,

(益尸=(4尸+(益尸，即a?=層+c，2

???A=90。，：.B+C=90°.

由sinA=2sinBcosC,得sin90°=2sinBcos(90°—B),

/.sin2B=^.

是銳角，；.sinB=乎，；.B=45。,C=45。.

?.ZSABC是等腰直角三角形.

方法二在△ABC中，根據(jù)正弦定理，得sinA=玲，sinB=痣，sinC=:^(R為△ABC外

ZAZZ\ZA

接圓的半徑).

Vsin2A=sin2B+sin2C,

=/+c?,△ABC是直角三角形且A=90。.

VA=180o-(B+O，sinA=2sinBcosC,

sin(B+C)=2sinBcosC.

sinBcosC—cosBsinC=0,

即sin(B—0=O".B-C=O,即B=C.

...△ABC是等腰直角三角形.

規(guī)律方法依據(jù)條件中的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時，主要有以下兩種途徑：

(1)利用正弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，

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從而判斷三角形的形狀；

(2)利用正弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形得出

內(nèi)南的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應(yīng)用A+3+C=兀這個結(jié)論.在兩種解

法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項提取公因式，以免漏解.

跟蹤演練1在△A8C中，己知/tanB=b2tanA,試判斷△ABC的形狀.

解在△ABC中，由正弦定理得斯=磊，

.asinA.Jsin，

?,^=sinB,,?后=sin2r

、..2八,2A.crtanA.tan4si」』

又?“tanB="tanA，??7=挪，??狒=硒，

sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B.

TT

；.2A=2B或2A+2B=TC,即A=8或A+B=,

...△ABC為等腰三角形或直角三角形.

要點(diǎn)二利用正弦定理求最值或范圍

例2在銳角△A8C中，角A,B,C分別對應(yīng)邊a,b,c,且a=2bsinA,求cosA+sinC

的取值范圍.

解設(shè)R為aABC外接圓的半徑.

a=2b?>mA,2/?sinA=4/?sinBsinA,

Ijr

/.sinB=2.丁3為銳角，；?B=不

令y=cosA+sinC=cosA+sin[n—(8+A)]

=cosA+sin/+A)

=cosA+sin7cosA+cosTsinA

3

-A+坐sinA=V§sin（A+§.

2

由銳角△ABC知,

.1.,,7173

??]<sin（zA十g）〈亍，

.??^W§sin（A+令君，即坐勺弓

S3

，cosA+sinC的取值范圍是（方、5）.

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規(guī)律方法在三角形中解決三角函數(shù)的取值范圍或最值問題的方法：

(1)利用正弦定理理清三角形中基本量間的關(guān)系或求出某些量.

(2)將要求最值或取值范圍的量表示成某一變量的函數(shù)(三角函數(shù))，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域或

最值問題.

跟蹤演練2在△ABC中，若C=2B,求押取值范圍.

解因為A+B+C=7t,C=2B,

JT1

所以A=7t—35>0,所以0<3<§,所以5<COS3<1.

esinCsin2B八門

因為各=而下=而瓦=2cosB,

所以1<2COSB<2,故

要點(diǎn)三正弦定理與三角變換的綜合應(yīng)用

例3已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若a+c=2b,且2cos28一

8cos8+5=0,求角B的大小，并判斷△4BC的形狀.

解V2cos28—8cos8+5=0,

.,.2(2COS2B-1)-8COS8+5=0.

4COS2B_8COS2+3=0,

ep(2cosB-l)(2cos/?-3)=0.

3

-

2

*.*0<B<n,/.8=1.Y〃+c=20.

/.sinA+sin專cosA-cos^sinA=小.

化簡得,sinA十坐cosA=小,

7T

...sin(A+5)=1.

o2

；.A=；,C=],即A=8=C.

.'.△ABC是等邊三角形.

規(guī)律方法借助正弦定理可以實現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化，在轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系后，常常利

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用三角變換公式進(jìn)行化簡，從而進(jìn)行三角形形狀的判斷、三角恒等式的證明.

跟蹤演練3已知方程，一ScosA)x+〃cosB=0的兩根之積等于兩根之和，且a、b為4ABC

的兩邊，A、8為兩內(nèi)角，試判斷這個三角形的形狀.

|xi+x2=6cosA,

解設(shè)方程的兩根為乃、X2，由根與系數(shù)的關(guān)系得|.'.hcosA=acosB.

lxiM=acosB,

由正弦定理得2RsinBcosA=2RsinAcosB(R為△ABC外接圓的半徑)，

.'.sinAcosB-cosAsinB=0,sin(A~B)=0.

B為△ABC的內(nèi)角，

0<A<n,0<B<n,—TZ<A~~B<n,

：.A~B=0,即4=8.

故AABC為等腰三角形.

歹當(dāng)堂檢測J當(dāng)堂訓(xùn)練，體驗成功___________________________________________________________

1.在AABC中，AC=y[6,BC=2,B=60°,則角C的值為()

A.45°B.30°C.75°D.90°

答案C

解析由正弦定理，得熹=離,；-sinA=挈.

；8C=2<AC=,，

；.A為銳角.

...A=45°".C=75°.

2.在aABC中，若段瓦=焉=表，則△48<：是(

)

A.直角三角形B.等邊三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

答案B

sinAsinBsinC

解析由正弦定理知:

cosA-cosB~cosC'

tan4=tanB=tanC,-'.A=B=C.

3--=

'在△ABC中，si^4sinBsinC-------------

答案0

解析由于si：A=si；B=si：C所以sfA-sifsi：C=A-s2B)+si：C)==

4.在△ABC中，a=2小，b=6,A=30。，判斷三角形是否有解，若有解，解該三角形.

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解“=2小，b=6,a<b,A=30°<90°.

又因為加inA=6sin30。=3,a>bsmA,

所以本題有兩解，由正弦定理得：

.?-sinA6sin30°,,?…….八”

sinB—~——-2，故8=60或120.

當(dāng)8=60。時，C=90°,c^y/a2+b2=4y/3；

當(dāng)B=120。時，C=30°,c^a=2yf3.

所以8=60°,C=90°,c=4小或8=120°,C=30°,c=2小.

p課堂小結(jié)-----------------------------------1

1.已知兩邊和其中一邊的對角，求第三邊和其他兩個角，這時三角形解的情況可能無解，

也可能一解或兩解.首先求出另一邊的對角的正弦值，當(dāng)正弦值大于1或小于0時，這時三

角形解的情況為無解；當(dāng)正弦值大于0小于1時，再根據(jù)已知的兩邊的大小情況來確定該角

有一個值或者兩個值.

2.判斷三角形的形狀，最終目的是判斷三角形是不是特殊三角形，當(dāng)所給條件含有邊和角

時，應(yīng)利用正弦定理將條件統(tǒng)一為“邊”之間的關(guān)系式或“角”之間的關(guān)系式.

1.1.2余弦定理(一)

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］1.理解余弦定理的證明2初步運(yùn)用余弦定理及其變形形式解三角形.

守預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué))挑戰(zhàn)自我，點(diǎn)點(diǎn)落實__________________________________________________________

［知識鏈接］

1.以下問題可以使用正弦定理求解的是.

(1)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進(jìn)而可求其他的邊和角.

(2)已知兩角和一邊，求其他角和邊.

(3)已知一個三角形的兩條邊及其夾角，求其他的邊和角.

(4)己知一個三角形的三條邊，解三角形.

答案(1)(2)

2.如圖所示,在直角坐標(biāo)系中，若4(0,0),B(c,0),C(bcosA,加inA).利用兩點(diǎn)間距離公

式表示出IB。，化簡后會得出怎樣的結(jié)論？

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解a2=|BC『=(加osA-c)2+Ssin4-0)2

=Z>2(sin2A+cos2A)—2/?ccosA+c2

—b2+c2—2bccosA.

得出a2,=b2+c2—2/>ccosA.

［預(yù)習(xí)導(dǎo)引］

l.余弦定理

三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.即

a2=V+c2-2bccosA,

/=c2+/—2cacosB，

<?=42+//-24Z?cosC.

2.余弦定理的變形

b2+c2-a2

cosA=2be'

c2+a2-b2

8sB=3,

cCf+ly—C2

cosC~~2ab,

守課堂講義A重點(diǎn)難點(diǎn)，個個擊破__________________________________________________________

要點(diǎn)一已知兩邊及一角解三角形

例1已知△A8C,根據(jù)下列條件解三角形：

(1)6=3,c=3小，8=30。；

(2)“=小，b=y［2,B=45°.

解(1)方法一由余弦定理2.CCOS8,

得32=a2+(3小片一2aX3小Xcos300,

.,.a2-9a+18=0,得a=3或6.

當(dāng)a=3時，由于6=3,：.A=B=30°,：.C^nO°.

.R6x1

當(dāng)a=6時，由正弦定理得5畝4=公黃=丁=1.

AA=90°,."=60°.

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2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教B版必修5學(xué)案

方法二由正弦定理得sinC="2=々要=乎，

由b<c,"=60°或120°,

當(dāng)C=60。時，A=90。，由勾股定理“=聽工？=正而歷=6,

當(dāng)C=120。時，A=30。，△ABC為等腰三角形.

.\a=b=3.

(2)由余弦定理知h2=a2+c2—2accosB.

.*.2=3+c2—2*^3-c.

即cf+1=0,解得c=駕盅或。=好旦

V6+V2,

當(dāng)c=［中&時，由余弦定理，得c0sA=b2+c2-a22+(2)—3[

2bc~「加+啦2。

2X也義

2

V0°<A<180°,：.A=60°,：.C=15°.

3中時，由余弦定理，得,。.*二出禁

1

2-

2義會義、--2.、-

V00<A<180°,，A=120°,C=15°.

故c=丫2Y，4=60°，C=75°或c=Y，A=120°,C=15°.

規(guī)律方法已知兩邊及一角解三角形有以下兩種情況：

(1)若已知角是其中一邊的對角，有兩種解法，一種方法是利用正弦定理先求角，再求邊；

另一種方法是用余弦定理列出關(guān)于另一邊的一元二次方程求解.

(2)若已知角是兩邊的夾角，則直接運(yùn)用余弦定理求出另外一邊，然后根據(jù)邊角關(guān)系利用正

弦定理求解或者直接利用余弦定理求角.

跟蹤演練1在△ABC中，已知〃=5,b=3,角C的余弦值是方程5f+7x-6=0的根，求

第三邊長c.

解5f+7x-6=0可化為(5x-3)(x+2)=0.

3

,?X1=5,但=—2(舍去).

,3

??cosC=『

根據(jù)余弦定理，

3

c2=ci2+b2—labcosC=52+32—2X5X3X~=16.

13

2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教B版必修5學(xué)案

，c=4,即第三邊長為4.

要點(diǎn)二已知三邊或三邊關(guān)系解三角形

例2⑴已知△ABC的三邊長為〃=2小，b=2?c=*+?求△4BC的各角度數(shù).

(2)已知三角形ABC的三邊長為a=3,b=4,c=病，求△ABC的最大內(nèi)角.

/J+c~2—/(26)2+(加+&)2-(2小1

解(1)由余弦定理得：cosA—."=60°.

2hc2X2>/2X(^6+^2)~T

_J+d—b"_-_^2

COSB=2ac=2X2小X(#+也)=2'

.,.8=45°,.,.C=180°-A—B=75°.

(2)Vc>a,c>仇.?.角C最大.由余弦定理,

得c2=a2+b2—2abcosC,

即37=9+16-24cosC,

..cosC——2<

V0°<C<180°,

C=120°.

.二△ABC的最大內(nèi)角為120°.

規(guī)律方法(1)已知三角形三邊求角時，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用

正弦定理求解時，要根據(jù)邊的大小確定角的大小，防止產(chǎn)生增解或漏解.

(2)若已知三角形三邊的比例關(guān)系，常根據(jù)比例的性質(zhì)引入k,從而轉(zhuǎn)化為已知三邊解三角形.

跟蹤演練2在△ABC中，已知BC=7,AC=8,AB=9,試求AC邊上的中線長.

解由余弦定理和條件，得

一—+AC2-8C29z+82—722

asA=—2ABAC-=2X9X8=3)

設(shè)中線長為x,由余弦定理，得

X2=(^-)2+AB2—2-^-/lBcosA

2

=42+92-2x4x9X5=49,：.x=l

所以所求AC邊上的中線長為7.

要點(diǎn)三三角形形狀的判斷

Ab-J-c

例3在△ABC中，已知cos25=r",判斷△A3C的形狀.

解方法一在aABC中，由已知cosA2?b=-hc，得

1+cosAb+c

22c

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2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教B版必修5學(xué)案

cosA=—.

c

—(ih

根據(jù)余弦定理，得力F?

b1+c1—a1=2b1,即(?+*=,2.

...△ABC是直角三角形.

方法二在△4BC中，設(shè)其外接圓半徑為凡由正弦定理，b=2RsinB,c=2RsinC,

,Ab+c.b

由cos7-知L，cosA=~.

22cc

.sinB..「.

..cosA=sind即0nsin8D=smCeosA.

"：B=n-(A+C),

sin(A+C)=sinCeosA,

sinAcosC=0.

VA,C都是aABC的內(nèi)角，

.,.A#0,AWTL.,.COSC=0,C=^.

△ABC是直角三角形.

規(guī)律方法(1)方法一是用余弦定理將等式轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系式，方法二是借助于正弦定

理，將已知等式轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)關(guān)系式.這兩種方法是判斷三角形形狀的常用手段.

(2)一般她，如果遇到的式子含角的余弦或是邊的二次式，要考慮用余弦定理；反之，若遇

到的式子含角的正弦或是邊的一次式，則大多用正弦定理；若是以上特征不明顯，則要考慮

兩個定理都有可能用.

跟蹤演練3在△48C中，若(a-ccosB)sin8=S-ocos4)sinA,判斷△ABC的形狀.

d+^一/

解方法一由正弦定理及余弦定理知，原等式可化為3一選一)b=(b-

+c2-/

C----荻---)a,整理得：(/+/—02)/=(〃2+/—02)〃2,.??〃2+b2-c2=0或42=。2,

故三角形為等腰三角形或直角三角形.

方法二由正弦定理，原等式可化為(sinA-sinCeosB)sin8=(sin8—sinCeosA)sinA,

/.sinBcos5=sinAcosA,/.sin2B=sin2A,

jr

，2B=2A或2B+2A=7t,；.A=B或A+B=],

故4ABC為等腰三角形或直角三角形.

聲當(dāng)堂檢測當(dāng)堂訓(xùn)練，體驗成功

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2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教B版必修5學(xué)案

1.一個三角形的兩邊長分別為5和3,它們夾角的余弦值是一看,則三角形的另一邊長為（）

A.52B.2713C.16D.4

答案B

解析設(shè)另一邊長為x,則$=52+32—2X5X3X(—1)=52,

2.在aABC中，a=7,b=44,c=y[V3,則△ABC的最小角為（）

.71_7171c兀

A-3B6C4DT2

答案B

解析..Z>6>c,；.C為最小角,

/+b，—c?_7?+(4小)2—(VT3)2_幣.7T

由余弦定理cosJ2ab_2X7X4小一2…。一不

3.如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為（)

答案D

解析設(shè)頂角為C,'.,/=5c,.,.”=b=2c,

42+/—4cUde?一7

由余弦定理得：cosC=-=

一2ai>~2X2cX2c8-

4.在△ABC中，己知A=60。，最大邊長和最小邊長恰好是方程/一7犬+11=0的兩根，則

第三邊的長為

答案4

解析設(shè)最大邊為X1,最小邊為乃，

則為+e=7,X|X2=11，

.?.第三邊長=寸為2+必2-ZTIMCOSA

=yl(xi+x2)2-2x|X2(l+cosA)=4.

5.在△ABC中，sinA：sinB：sinC=2：4：5,判斷三角形的形狀.

解因為a：6：c=sinA：sinB：sinC=2：4：5,

222

“、,rAB,(2k)+(4k)-(5k)

所以可令a=2Z,b=4k,c=5k(k>0).c版大，cosC=---乂>心—~<0,

cZ入Z.KA4K

所以C為鈍角，從而aABC為鈍角三角形.

「課堂小結(jié)------------------------------------1

1.利用余弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問題：

（1）已知兩邊和夾角或已知三邊能直接利用余弦定理解三角形.

（2）若已知兩邊和一邊的對角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形.

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2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教B版必修5學(xué)案

2.當(dāng)所給的條件是邊角混合關(guān)系時，判斷三角形形狀的基本思想是：用正弦定理或余弦定

理將所給條件統(tǒng)一為角之間的關(guān)系或邊之間的關(guān)系.若統(tǒng)一為角之間的關(guān)系，再利用三角恒

等變形化簡找到角之間的關(guān)系；若統(tǒng)一為邊之間的關(guān)系，再利用代數(shù)方法進(jìn)行恒等變形、化

簡，找到邊之間的關(guān)系.

3.余弦定理與勾股定理的關(guān)系：余弦定理可以看作是勾股定理的推廣，勾股定理可以看作

是余弦定理的特例.

(1)如果一個三角形兩邊的平方和大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角.

(2)如果一個三角形兩邊的平方和小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角.

(3)如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角.

1.1.2余弦定理(二)

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］1.熟練掌握余弦定理及其變形形式2會用余弦定理解三角形.3.能利用正、余弦

定理解決三角形的有關(guān)問題.

守預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)J挑戰(zhàn)自我，點(diǎn)點(diǎn)落實__________________________________________________________

［知識鏈接］

1.以下問題不能用余弦定理求解的是.

(1)已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形.

(2)已知兩角和一邊，求其他角和邊.

(3)已知?個三角形的兩條邊及其夾角，求其他的邊和角.

(4)已知一個三角形的三條邊，解三角形.

答案(2)

2.利用余弦定理判斷三角形的形狀，正確的是.

(1)在△ABC中，若“2=b2+c2,則AABC為直角三角形.

(2)在△ABC中，若/〈層+,2,則△ABC為銳角三角形.

(3)在△A8C中，若/>/>2+02,則△ABC為鈍角三角形.

答案(1)(3)

［預(yù)習(xí)導(dǎo)引］

1.正弦定理及其變形

⑴端7=磊=高="伊為A4BC外接圓半徑).

⑵a=2/?sinA,b=2RsinB,c=2RsinC.

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2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教B版必修5學(xué)案

2.余弦定理及其推論

(1)/=62+J—2+ccosA,b1=c'+J—2cacosB,c2=/+/—2"cosC.

Ir+c^—a1c2+?2-Z>2a2-\-b2-c2

(2)cosA=—,cosfi=-2^->cosC=F^.

(3)在△ABC中，c2=d+廿oc為直角;02>在+為鈍角;dc/+'oc為銳角.

3.三角變換公式

(l)cos(a+4)=cosacos十一sinasin￡.

(2)cos(a—p)=cosacosB+sinasin0.

(3)cos2a=cos。-sina—2cosa—1—1—2sin~a.

營課堂講義￡重點(diǎn)難點(diǎn)，個個擊破__________________________________________________________

要點(diǎn)一正、余弦定理的綜合應(yīng)用

例1如圖所示，在四邊形A8CD中，ADLCD,AO=10,A8=14,ZBDA=60°,ZBCD

=135°,求BC的長.

解在△ABO中，40=10,AB=14,ZBDA=60°,設(shè)B/)=x,

由余弦定理，得AB?=AD?+BO?—2ADBDcosZBDA,

：.142=102+X2-2X10-xcos60°,

即f—lOx-96=0,解得為=16,X2=-6(舍去)，

80=16.

VAD±CD,ZBDA=60°,：.ZCDB=30°.

在/XBC"中，由正弦定理：sinNC￡>8=sin/BCD'

?16sin30。歷

??"—sin135?！?Y2.

規(guī)律方法余弦定理和正弦定理一樣，都是圍繞著三角形進(jìn)行邊角互換的.在有關(guān)三角形的

題目中注意選擇是應(yīng)用正弦定理，還是余弦定理，必要時也可列方程（組）求解.同時，要有

意識地考慮用哪個定理更合適，或是兩個定理都要用，要抓住能利用某個定理的信息.

跟蹤演練1在△4BC中，內(nèi)角A,B,C的對邊長分別為a,b,c,已知/一02=24且

sinAcosC=3cosAsinC,求b.

解方法一在△ABC中，VsinAcosC=3cosAsinC,

則由正弦定理及余弦定理有：

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2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教B版必修5學(xué)案

er+h^-c2Z72+c2—a2

a'-2ab—=3(—2bc~)c,

化簡并整理得：

2(/一,2)=/.

又由已知a2-c2=2Z?,；.4》=/.解得b=4或匕=0(舍).

方法二由余弦定理得：a-c2^b2-2bccosA.

又a2—J=2b,〃W0.所以6=2ccosA+2.①

又sinAcosC=3cosAsinC,

sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinC,

sin(A+Q=4cosAsinC,

即sin8=4cosAsinC,

由正弦定理得sin8=%inC,故6=4ccosA.②

由①②解得b=4.

要點(diǎn)二利用正、余弦定理證明三角形中的恒等式

例2在△ABC中，有：

(l)a=bcosC+ccosB；

(2)Z?=ccosA+acosC；

(3)c=〃cosB~\~bcosA；

這三個關(guān)系式也稱為射影定理，請給出證明.

證明方法一(1)設(shè)△A8C外接圓半徑為七

由正弦定理得」=2RsinB,c=2/?sinC,

bcosC+ccosB=2RsinBcosC+27?sinCcosB

=2K(sinBcosC+cosBsinC)

=2/?sin(B+Q=2/?sinA=a.

5Pa=hcosC+ccosB

同理可證(2)6=ccosA+4cosC；

(3)c=〃cosB+bcosA.

方法二(1)由余弦定理得

a2-hc2—b2a2+/?2—c2

cosS='2ac'cosC=lab'

6F2+/?2—C26F2+c2-Z?2

ftcosC-vccosB=h-+c-

a2+Z?2-c2a2+c2-Z?22a2

=n2ain2a2""a"=Q.

?