2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題4.1任意角和蝗制及任意角的三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)講解理科版含解析

專題4.1隨意角和弧度制及隨意角的三角函數(shù)【考情分析】1.了解隨意角的概念；了解弧度制的概念．2.能進(jìn)行弧度與角度的互化．3.理解隨意角的三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.【重點(diǎn)學(xué)問梳理】學(xué)問點(diǎn)一角的概念1．角的定義角可以看成平面內(nèi)一條射線圍著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形．2．角的分類角的分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(按旋轉(zhuǎn)方向,不同分類)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(正角：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角,負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角,零角：射線沒有旋轉(zhuǎn))),\a\vs4\al(按終邊位置,不同分類)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(象限角：角的終邊在第幾象限，這,個(gè)角就是第幾象限角,軸線角：角的終邊落在坐標(biāo)軸上))))3．終邊相同的角全部與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合：S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．學(xué)問點(diǎn)二弧度制及應(yīng)用1．弧度制的定義把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.2．弧度制下的有關(guān)公式角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長(zhǎng)用l表示)角度與弧度的換算①1°＝eq\f(π,180)rad；②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長(zhǎng)公式弧長(zhǎng)l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2學(xué)問點(diǎn)三隨意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)α是一個(gè)隨意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么eq\a\vs4\al(y)叫做α的正弦，記作sinαeq\a\vs4\al(x)叫做α的余弦，記作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα各象限符號(hào)Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線【典型題分析】高頻考點(diǎn)一象限角的推斷【例1】（2024·新課標(biāo)Ⅱ）若α為第四象限角，則（）A.cos2α>0 B.cos2α<0 C.sin2α>0 D.sin2α<0【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；由α在第四象限可得：，則，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確；【變式探究】（2024·黑龍江省寧安市一中模擬）設(shè)集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))，那么()A．M＝N B．M?NC．N?M D．M∩N＝?【答案】B【解析】由于M中，x＝eq\f(k,2)·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇數(shù)；而N中，x＝eq\f(k,4)·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整數(shù)，因此必有M?N，故選B?！痉椒记伞肯笙藿堑膬煞N推斷方法①圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中，作出已知角并依據(jù)象限角的定義干脆推斷已知角是第幾象限角；②轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角α，再由角α終邊所在的象限推斷已知角是第幾象限角．【變式探究】（2024·吉林省遼源市試驗(yàn)中學(xué)模擬）設(shè)θ是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，則eq\f(θ,2)是()A．第一象限角 B．其次象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【解析】∵θ是第三象限角，∴π＋2kπ＜θ＜eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，∴eq\f(π,2)＋kπ＜eq\f(θ,2)＜eq\f(3π,4)＋kπ，k∈Z，∴eq\f(θ,2)的終邊落在其次、四象限，又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－coseq\f(θ,2)，∴coseq\f(θ,2)＜0，∴eq\f(θ,2)是其次象限角．高頻考點(diǎn)二扇形的弧長(zhǎng)及面積公式的應(yīng)用【例2】（2024·遼寧省大連市模擬）若圓弧長(zhǎng)度等于圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)，則其圓心角的弧度數(shù)為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C．3 D.eq\r(3)【答案】D【解析】如圖，等邊三角形ABC是半徑為r的圓O的內(nèi)接三角形，則線段AB所對(duì)的圓心角∠AOB＝eq\f(2π,3)，作OM⊥AB，垂足為M，在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝eq\f(π,3)，∴AM＝eq\f(\r(3),2)r，AB＝eq\r(3)r，∴l(xiāng)＝eq\r(3)r，由弧長(zhǎng)公式得α＝eq\f(l,r)＝eq\f(\r(3)r,r)＝eq\r(3).【方法技巧】(1)利用扇形的弧長(zhǎng)和面積公式解題時(shí)，要留意角的單位必需是弧度．(2)求扇形面積的最大值時(shí)，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得到解決．(3)在解決弧長(zhǎng)問題和扇形面積問題時(shí)，要合理地利用圓心角所在的三角形．【變式探究】（2024·山西省長(zhǎng)治市一中模擬）已知2弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，那么這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是()A．2 B．sin2C.eq\f(2,sin1) D．2sin1【答案】C【解析】如圖，∠AOB＝2弧度，過O點(diǎn)作OC⊥AB于C，并延長(zhǎng)OC交eq\o(AB,\s\up8(︵))于D.則∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝eq\f(1,2)AB＝1，在Rt△AOC中，AO＝eq\f(AC,sin∠AOC)＝eq\f(1,sin1)，即r＝eq\f(1,sin1)，從而eq\o(AB,\s\up8(︵))的長(zhǎng)為l＝α·r＝eq\f(2,sin1)，故選C。高頻考點(diǎn)三三角函數(shù)的概念【例3】(2024·浙江卷)已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，－\f(4,5))).(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β滿意sin(α＋β)＝eq\f(5,13)，求cosβ的值?！窘馕觥?1)由角α的終邊過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))，得sinα＝－eq\f(4,5).所以sin(α＋π)＝－sinα＝eq\f(4,5).(2)由角α的終邊過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))，得cosα＝－eq\f(3,5).由sin(α＋β)＝eq\f(5,13)，得cos(α＋β)＝±eq\f(12,13).由β＝(α＋β)－α，得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－eq\f(56,65)或cosβ＝eq\f(16,65).【方法技巧】三角函數(shù)定義解題的技巧(1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，可求角α的三角函數(shù)值．先求點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離，再用三角函數(shù)的定義求解．(2)已知角α的某三角函數(shù)值，可求角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)中的參數(shù)值，依據(jù)定義中的兩個(gè)量列方程求參數(shù)值．(3)已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，依據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點(diǎn)的坐標(biāo)．(4)已知一角的三角函數(shù)值(sinα，cosα，tanα)中隨意兩個(gè)的符號(hào)，可分別確定出角終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角的終邊位置．留意終邊在坐標(biāo)軸上的特別狀況．【變式探究】(2024·北京卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱．若sinα＝eq\f(1,3)，則sinβ＝__________。【解析】(1)方法一當(dāng)角α的終邊在第一象限時(shí)，取角α終邊上一點(diǎn)P1(2eq\r(2)，1)，其關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)(－2eq\r(2)，1)在角β的終邊上，此時(shí)sinβ＝eq\f(1,3)；當(dāng)角α的終邊在其次象限時(shí)，取角α終邊上一點(diǎn)P2(－2eq\r(2)，1)，其關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)(2eq\r(2)，1)在角β的終邊上，此時(shí)sinβ＝eq\f(1,3).綜合可得sinβ＝eq\f(1,3).方法二令角α與角β均在區(qū)間(0，π)內(nèi)，故角α與角β互補(bǔ)，得sinβ＝sinα＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)高頻考點(diǎn)四三角函數(shù)線的應(yīng)用【例4】(2024·北京卷)在平面坐標(biāo)系中，eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))，eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))，eq\o\ac(EF,\s\up10(︵))，eq\o\ac(GH,\s\up10(︵))是圓x2＋y2＝1上的四段弧(如圖)，點(diǎn)P在其中一段上，角α以O(shè)x為始邊，OP為終邊，若tanα＜cosα＜sinα，則P所在的圓弧是()A．eq\o\ac(AB,\s\up10(︵)) B．eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))C．eq\o\ac(EF,\s\up10(︵)) D．eq\o\ac(GH,\s\up10(︵))【答案】C【解析】當(dāng)點(diǎn)P在eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))或eq\o\ac(CD,\s\up10(︵))上時(shí)，由三角函數(shù)線易知，sinα＜tanα，不符合題意；當(dāng)點(diǎn)P在eq\o\ac(GH,\s\up10(︵))上時(shí)，tanα＞0，sinα＜0，不符合題意；進(jìn)一步可驗(yàn)證，只有點(diǎn)P在eq\o\ac(EF,\s\up10(︵))上時(shí)才滿意條件?！痉椒记伞坷萌呛瘮?shù)線求解三角不等式的方法對(duì)于較為簡(jiǎn)潔的三角不等式，在單位圓中，利用三角函數(shù)線先作出訪其相等的角(稱為臨界狀態(tài)，留意實(shí)線與虛線)，再通過大小找到其所滿意的角的區(qū)域，由此寫出不等式的解集．【變式探究】（2024·河北省武安市六中模擬）函數(shù)y＝eq\r(sinx－cosx)的定義域?yàn)開_______．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋eq\f(π,4)，2kπ＋eq\f(5π,4)))(k∈Z)【解析】法一：要使函數(shù)有意義，必需使sinx－cosx≥0.利用圖象，在同一坐標(biāo)系中畫出[0，2π]上y＝sinx和y＝cosx的圖象，如圖所示．在[0，2π]