2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)單元素養(yǎng)評價含解析新人教B版必修第二冊

PAGE單元素養(yǎng)評價(一)(第四章)(120分鐘150分)一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.若冪函數(shù)f(x)=xa的圖像過點(4,2),則f(a2)= ()A.a B.-a C.±a D.|a|【解析】選D.由題意f(4)=4a=2,解得a=QUOTE,所以f(x)=QUOTE,所以f(a2)=(a2QUOTE=|a|.2.設(shè)a∈QUOTE,則使函數(shù)y=xa的定義域是R,且為奇函數(shù)的全部a的值是()A.1,3 B.-1,1C.-1,3 D.-1,1,3【解析】選A.當(dāng)a=-1時,y=x-1的定義域是QUOTE,且為奇函數(shù);當(dāng)a=1時,函數(shù)y=x的定義域是R且為奇函數(shù);當(dāng)a=QUOTE時,函數(shù)y=QUOTE的定義域是{x|x≥0}且為非奇非偶函數(shù).當(dāng)a=3時,函數(shù)y=x3的定義域是R且為奇函數(shù).3.(2024·全國Ⅱ卷)若2x-2y<3-x-3-y,則()A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0【解析】選A.由2x-2y<3-x-3-y得:2x-3-x<2y-3-y,令f(t)=2t-3-t,則f(x)<f(y),因為y=2x為R上的增函數(shù),y=3-x為R上的減函數(shù),所以f(t)為R上的增函數(shù),所以x<y,所以y-x>0,所以y-x+1>1,所以ln(y-x+1)>0,則A正確,B錯誤;因為|x-y|與1的大小關(guān)系不確定,故C、D無法確定.4.已知函數(shù)y=loga(x+c)(a,c為常數(shù),其中a>0,a≠1)的圖像如圖所示,則下列結(jié)論成立的是 ()A.a>1,c>1 B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1【解析】選D.因為函數(shù)單調(diào)遞減,所以0<a<1,當(dāng)x=1時loga(x+c)=loga(1+c)<0,即1+c>1,即c>0,當(dāng)x=0時loga(x+c)=logac>0,即c<1,即0<c<1.5.(2024·天津高一檢測)已知a=21.2,b=2log52,c=lnQUOTE,則 ()A.a>b>c B.a>c>bC.b>a>c D.b>c>a【解析】選A.a=21.2>21=2,b=2log52=log54<log55=1且b=log54>log51=0,c=lnQUOTE=-ln3<-lne=-1,即c<-1<0<b<1<2<a,所以a>b>c.6.(2024·北京高考)在天文學(xué)中,天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿意m2-m1=QUOTElgQUOTE,其中星等為mk的星的亮度為Ek(k=1,2).已知太陽的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為()A.1010.1 B.10.1C.lg10.1 D.10-10.1【解析】選A.令m1=-26.7,m2=-1.45,則m2-m1=-1.45-(-26.7)=25.25=QUOTElgQUOTE,lgQUOTE=10.1,QUOTE=1010.1.7.(2024·三明高一檢測)已知函數(shù)f(x)=QUOTE的值域為[-8,1],則實數(shù)a的取值范圍是 ()A.(-∞,-3] B.[-3,0)C.[-3,-1] D.QUOTE【解析】選B.當(dāng)0≤x≤4時,f(x)=-x2+2x=-QUOTE+1,所以-8≤f(x)≤1;當(dāng)a≤x<0時,f(x)=-QUOTE,所以-QUOTE≤f(x)<-1,因為f(x)的值域為[-8,1],所以QUOTE故-3≤a<0.8.(2024·廈門高一檢測)函數(shù)f(x)的定義域為D,若滿意①f(x)在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù);②存在QUOTE?D使f(x)在QUOTE上的值域為QUOTE,那么就稱y=f(x)為“勝利函數(shù)”.若函數(shù)f(x)=loga(ax+t),(a>0,a≠1)是“勝利函數(shù)”,則t的取值范圍是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選A.因為f(x)=loga(ax+t),(a>0,a≠1)是“勝利函數(shù)”,當(dāng)a>1時,f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),當(dāng)0<a<1時,f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),所以f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),由題意得f(x)=loga(ax+t)=QUOTE,所以ax+t=QUOTE,ax-QUOTE+t=0,令q=QUOTE>0,所以q2-q+t=0有兩個不同的正數(shù)根,所以QUOTE解得t∈QUOTE.二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)9.下列函數(shù)中,其定義域與函數(shù)y=elnx的定義域相同的是 ()A.y=x B.y=lgxC.y=2x D.y=QUOTE【解析】選BD.函數(shù)y=elnx的定義域為(0,+∞),函數(shù)y=x的定義域為R,不滿意要求;函數(shù)y=lgx的定義域為(0,+∞),滿意要求;函數(shù)y=2x的定義域為R,不滿意要求;函數(shù)y=QUOTE的定義域為(0,+∞),滿意要求.10.對于0<a<1,下列四個不等式中成立的是 ()A.loga(1+a)<logaQUOTEB.loga(1+a)>logaQUOTEC.a1+a<QUOTED.a1+a>QUOTE【解析】選BD.因為0<a<1,所以a<QUOTE,從而1+a<1+QUOTE.所以loga(1+a)>logaQUOTE.又因為0<a<1,所以a1+a>QUOTE.11.設(shè)函數(shù)f(x)=2x,對于隨意的x1,x2(x1≠x2),下列命題中正確的是 ()A.f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)B.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)C.QUOTE>0D.fQUOTE<QUOTE【解析】選ACD.QUOTE·QUOTE=QUOTE,所以A成立,QUOTE×QUOTE≠Q(mào)UOTE,所以B不成立,函數(shù)f(x)=2x,在R上是單調(diào)遞增函數(shù),若x1>x2則f(x1)>f(x2),則QUOTE>0,若x1<x2則f(x1)<f(x2),則QUOTE>0,故C正確;fQUOTE<QUOTE說明函數(shù)是凹函數(shù),而函數(shù)f(x)=2x是凹函數(shù),故D正確.12.(2024·棗莊高一檢測)已知函數(shù)f(x)=logaxQUOTE圖像經(jīng)過點(4,2),則下列結(jié)論正確的有 ()A.函數(shù)為增函數(shù)B.函數(shù)為偶函數(shù)C.若x>1,則f(x)>0D.若0<x1<x2,則QUOTE<fQUOTE.【解析】選ACD.由題知2=loga4,a=2,故f(x)=log2x.對A,函數(shù)為增函數(shù)正確.對B,f(x)=log2x不為偶函數(shù).對C,當(dāng)x>1時,f(x)=log2x>log21=0成立.對D,因為f(x)=log2x往上凸,故若0<x1<x2,則QUOTE<fQUOTE成立.三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案填在題中的橫線上)13.(2024·長春高一檢測)設(shè)log23=a,log215=b,則log275=________(結(jié)果用a,b表示).

【解析】依題意,知log215=b,即log23+log25=b,可得log25=b-a,則log275=log23+2log25=a+2(b-a)=2b-a.答案:2b-a14.(2024·石嘴山高一檢測)不等式QUOTE>1的解集是________.

【解析】QUOTE>1?x2-2x-3<0?-1<x<3.答案:QUOTE15.設(shè)f(x)=QUOTE則f(f(2))=________.

【解析】因為f(2)=log3(22-1)=1,所以f(f(2))=f(1)=2e1-1=2.答案:216.已知函數(shù)f(x)=QUOTE為定義在區(qū)間[-2a,3a-1]上的奇函數(shù),則a=________,fQUOTE=________.

【解析】因為f(x)是定義在[-2a,3a-1]上的奇函數(shù),所以定義域關(guān)于原點對稱,即-2a+3a-1=0,所以a=1,因為函數(shù)f(x)=QUOTE為奇函數(shù),所以f(-x)=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,即b·2x-1=-b+2x,所以b=1,所以fQUOTE=QUOTE,所以fQUOTE=QUOTE=QUOTE=2QUOTE-3.答案:12QUOTE-3四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)17.(10分)(1)已知log2(16-2x)=x,求x的值.(2)計算:QUOTE+810.75-QUOTE×QUOTE+log57·log725.【解析】(1)因為log2(16-2x)=x,所以2x=16-2x,化簡得2x=8,所以x=3.(2)原式=1+(34QUOTE-3×(23QUOTE+QUOTE·QUOTE=1+27-12+2=18.18.(12分)(2024·南昌高一檢測)已知函數(shù)f(x)=2x-4x.(1)求y=f(x)在[-1,1]上的值域;(2)解不等式f(x)>16-9×2x;(3)若關(guān)于x的方程f(x)+m-1=0在[-1,1]上有解,求m的取值范圍.【解析】(1)設(shè)t=2x,因為x∈[-1,1],所以t∈QUOTE,y=t-t2=-QUOTE+QUOTE,所以t=QUOTE時,f(x)max=QUOTE,t=2時,f(x)min=-2.所以y=f(x)在[-1,1]上的值域為QUOTE.(2)設(shè)t=2x,由f(x)>16-9×2x,得t-t2>16-9t,即t2-10t+16<0,所以2<t<8,即2<2x<8,所以1<x<3,所以不等式的解集為(1,3).(3)方程有解等價于m在1-f(x)的值域內(nèi),所以m的取值范圍為QUOTE.19.(12分)(2024·合肥高一檢測)若函數(shù)y=f(x)=QUOTE為奇函數(shù).(1)求a的值;(2)求函數(shù)的定義域;(3)求函數(shù)的值域.【解析】因為函數(shù)y=f(x)=QUOTE=a-QUOTE,(1)由奇函數(shù)的定義,可得f(-x)+f(x)=0,即2a-QUOTE-QUOTE=0,所以a=-QUOTE.(2)因為y=-QUOTE-QUOTE,所以3x-1≠0,即x≠0.所以函數(shù)y=-QUOTE-QUOTE的定義域為{x|x≠0}.(3)由(2)知x≠0,因為3x-1≠0且3x-1>-1,所以-1<3x-1<0或3x-1>0.所以-QUOTE-QUOTE>QUOTE或-QUOTE-QUOTE<-QUOTE.即函數(shù)的值域為QUOTE.20.(12分)已知a>2,函數(shù)f(x)=log4QUOTE-log4QUOTE.(1)求f(x)的定義域;(2)當(dāng)a=4時,求不等式fQUOTE≤fQUOTE的解集.【解析】(1)由題意得:QUOTE解得QUOTE因為a>2,所以2<x<a,故f(x)的定義域為QUOTE.(2)因為a=4,所以fQUOTE=log4QUOTE-log4QUOTE,fQUOTE=log41-log41=0,因為fQUOTE≤fQUOTE,所以log4QUOTE-log4QUOTE≤0,即log4QUOTE≤log4QUOTE,從而QUOTE解得QUOTE<x≤4,故不等式fQUOTE≤fQUOTE的解集為QUOTE.21.(12分)對年利率為r的連續(xù)復(fù)利,要在x年后達(dá)到本利和A,則現(xiàn)在投資值為B=Ae-rx,e是自然對數(shù)的底數(shù).假如項目P的投資年利率為r=6%的連續(xù)復(fù)利.(1)現(xiàn)在投資5萬元,寫出滿n年的本利和,并求滿10年的本利和.(精確到0.1萬元)(2)一個家庭為剛誕生的孩子設(shè)立創(chuàng)業(yè)基金,若每年初一次性給項目P投資2萬元,那么,至少滿多少年基金共有本利和超過一百萬元?(精確到1年)【解析】(1)由題意可得5=A·e-0.06n,所以A=5·e0.06n;當(dāng)n=10時,A=5·e0.6≈9.1萬元.(2)n年后的本利和為A=2·e0.06n+2·e0.06(n-1)+2·e0.06(n-2)+…+2·e0.06=2·QUOTE,令2·QUOTE>100,可得n>22.7.所以至少滿23年后基金共有本利和超過一百萬元.22.(12分)已知函數(shù)f(x)=log2QUOTE.(1)若函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),求a的值.(2)若函數(shù)f(x)的定義域是一切實數(shù),求a的取值范圍.(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值與最小值的