4.1數列的概念課件（1）高二下學期數學人教A版（2019）選擇性必修第二冊-2

4.1數列的概念(1)章前導讀在生活中,常有按順序記錄數據來研究事物變化規(guī)律的事例.例如:一棵樹在某一時刻的高度是2米,如果在每年同一時刻都記錄下這棵樹的高度,并按先后順序排列起來,就得到一列數,通過對這列數分析,可以研究樹的生長規(guī)律.

事實上,數列古已有之,20世紀50年代在扎伊爾發(fā)掘出公元前9000到6500年的骨具被認為是人類原始數學活動的一種證據.如果骨具上每一組刻痕代表一個數字,那么三行刻痕分別代表三個數列:11,21,19,9;11,13,17,19;3,6,48,10,5,5,7.舊石器時代的人刻下這三列數的動機盡管已無從考證,但這告訴我們當人類祖先需要用一組數有序地表達一類事物,記錄某個變化過程時,數列也就應運而生了.什么是數列？本章我們將學習數列的概念和表示方法,并研究兩類特殊數列—等差數列和等比數列,探索其取值規(guī)律,建立通項公式、前n項和公式,并應用其解決一些問題.我們將把數列看成一類特殊函數，并用函數的思想方法研究數列.實例引入實例1:王芳從1歲到17歲,每年生日那天測量的身高,依次排成一列數:75,87,96,103,110,116,120,128,138,145,153,158,160,162,163,165,168．問題:(1)這列數中的第4位、第8位數的實際意義分別是什么？(2)它們的位置能交換嗎？(5)能否用與順序相關的符號來表示這列數？不能王芳4歲生日那天測得的身高103,8歲生日那天測得的身高128這一列數具有確定順序(3)其它數據的位置呢？(4)說明什么呢？也不能hi

(i=1,2,···,17)(6)hi中的i反映的是什么？身高按歲數從1到17的順序排列時的確定位置.具有確定順序的一列數實例引入實例2:在兩河流域發(fā)掘的一塊泥版(編號K90,約產生于公元前7世紀)

上,有一列依次表示15天中從第1天到第15天每天月亮可見部分

的數：問題:(1)這列數中的第10位數表示什么？(2)這列數中的數據能交換位置嗎？(4)能否用與順序相關的符號來表示這列數？不能第10天月亮可見部分的數這一列數具有確定順序(3)說明什么呢？si

(i=1,2,···,15)(5)si中的i反映的是什么？反映了月亮可見部分的數按日期從1到15的順序排列時的確定位置.具有確定順序的一列數5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240.把滿月分成240份,則從初一到十五每天月亮的可見部分可用一個代表份數的數來表示.實例引入實例3:將2的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪、4次冪……依次排成一列

數：問題:你能仿照實例1、2的敘述,說明這也是具有確定順序的一列數嗎？具有確定順序的一列數2,4,8,16,….實例歸納①75,87,96,103,110,116,120,128,138,145,153,158,160,162,163,165,168．②5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240.③2,4,8,16,….由以上三個實例得到了三列數：問題:上述三列數的共同特征是什么？按照確定順序排列概念生成數列——按照確定的順序排列的一列數.數列中的每一個數項:首項(第1項):簡記為：{an}思考：{an}與an所有什么區(qū)別與聯系？②

an表示數列{an}中的第

n項.①{an}表示數列

a1，a2，a3，…，an，….排在第一位的數第n項:排在第n位的數數列的一般形式:a1，a2，a3，…，an，….n∈N+項an：a1，a2，a3，a4,…，an，….數列是特殊的函數問題:數列中的各項an與各項序號n之間有什么對應關系？序號n：1,2,3,4,…,n,….數列也是函數定義域是：函數值是：深入探究列表法：圖象法：解析法：追問:數列的圖象有什么特點？追問:從表和圖中,你發(fā)現數列

隨序號的變化呈現出什么

特點嗎？深入探究問題:你還記得函數有哪幾種表示法嗎？既然數列是特殊的函數，你能用以上方法表示數列嗎？an=2n概念生成數列的單調性數列的分類：

遞減數列:從第2項起,每一項都小于它的前一項的數列.

遞增數列:從第2項起,每一項都大于它的前一項的數列.

擺動數列:常數列:各項相等的數列.對任意n∈N*，an+1>an(或an+1-an>0)對任意n∈N*，an+1<an(或an+1-an<0)對任意n∈N*，an+1=an(或an+1-an=0)按項的多少有窮數列：個數有限的的數列無窮數列：個數無限的的數列按項與項的大小概念生成數列的通項公式:

如果數列{an}的第

n項an與與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示,那么這個式子就叫做這個數列的通項公式.追問:數列75,87,96,103,110,116,120,128,138,145,153,158,160,162,163,

165,168有通項公式嗎？追問:數列通項公式的作用是什么？根據通項公式可以寫出數列的任意一項.并不是每個數列都能寫出通項公式.問題:你能用一個式子表示數列中各項an與序號n之間的對應關系嗎？②2,4,8,16,….①2,4,6,8,10,12,14,16,…．例題精講例1.根據下列數列的通項公式,寫出數列的前5項,并畫出它們的圖象.例題精講例2.根據下列數列的前4項，寫出數列的一個通項公式.思考：你還能寫出其他的解析式嗎？注:(-1)n+1或常用來表示正負相間的變化規(guī)律課堂練習1.寫出下列數列的前10項，并作出它們的圖象:(1)所有正整數的倒數按從大到小的順序排列成的數列;(2)當自變量x依次取1,2,3,???時,函數f(x)=2x+1的值構成的數列;

(3)數列的通項公式為課堂練習2.根據數列{an}的通項公式填表:n12???5?????????nan??????153???273???3(3+4n)3.除數函數(divisorfunction)y=d(n)(n∈N*)的函數值等于n的正因數的個數,例如,

d(1)=1,d(4)=3.寫出數列d(1),d(2),???,d(n),???的前10項.4.根據下列數列的前5項,寫出數列的一個通項公式:探究:你認為由數列的前幾項,該如何求數列的通項公式?鞏固提升由數列的前幾項求通項公式例2.寫出下列數列的一個通項公式,使它的前4項分別是下列各數:(3)9,99,999,9999.(4)7,77,777,7777.(6)1,31,52,73,...變式探究1:數列{an}的通項公式為an=n2-7n-8.(1)數列中有多少項為負數?(2)數列{an}中是否有最小項?若有,求出最小項;若沒有,請說明理由.鞏固提升數列的單調性的應用變式探究2:已知數列{an}的通項公式為an=n2+λn,且數列{an}為遞增數列,求實數λ的取值范圍.鞏固提升數列的單調性的應用學海拾貝數列單調性的判斷數列是一類特殊的函數,因此研究數列的單調性問題可借助函數的方法,但應注意自變量n為正整數這一限制條件.解決數列的單調性可用以下三種方法.(1)作差法:根據an+1-an與0的大小關系