數(shù)學(xué)素材：函數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精教材習(xí)題點(diǎn)撥練習(xí)A1．解：（1）圓的面積S是圓的半徑r的函數(shù);（2)物體運(yùn)動(dòng)的距離s是運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t的函數(shù)；(3）電路消耗的功率P是電路中的電流I的函數(shù)．2．解:例如：（1）正方體的棱長與其表面積之間的關(guān)系;(2)正方體的棱長與其體積之間的關(guān)系．3．解:∵f(x)＝1－x2，∴f（0)＝1－02＝1，f(－2）＝1－（－2）2＝－3，f(15)＝1－152＝－224.4．解：（1）{x|x≠5｝;（2）eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x＋3≥0)）?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，，x≥－3）)?x∈{x|x≥1｝；（3)eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2x－3≥0,，7－x≥0))?eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x≥\f（3,2)，,x≤7)）?x∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（x\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1(\f（3，2)≤x≤7)）))；（4）eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x≥0，,－x≥0))?eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x≥0，,x≤0))?x∈｛x|x＝0｝．5．解：∵f（x）＝2x2，∴f(－x)＝2(－x）2＝2x2,f（1＋x）＝2（1＋x)2＝2(1＋2x＋x2）＝2x2＋4x＋2。6．解法1：∵f（x＋1）＝［（x＋1）－1]2＝（x＋1)2－2（x＋1)＋1，∴f（x)＝x2－2x＋1。解法2：令x＋1＝t，則x＝t－1，∴f(t)＝（t－1）2＝t2－2t＋1，即f(x)＝x2－2x＋1。7．解：B＝｛29，30,31},f(1)＝31，f(2）＝29，f(7）＝31，f（8)＝31，f（11)＝30.8．解：令－10≤3x－4≤5，則－2≤x≤3?！嗪瘮?shù)的定義域?yàn)閇－2,3]．練習(xí)B1．解：s＝5＋110t,0＜t≤8.2．解：A隨h的增大而增大．由題意知等腰梯形的上底長為（2＋2h）m，由等腰梯形的面積公式，得A＝eq\f（1,2)（2＋2＋2h）h＝(2＋h）h＝h2＋2h，故所求函數(shù)關(guān)系式為A＝h2＋2h，其中h∈［0，1.8]．3．解：(1）是，定義域?yàn)镽;(2)是，定義域?yàn)镽；（3)是，定義域是{x|x≠0}；（4）是，定義域是｛x｜x≥0｝．4．解：(1)∵x∈［1,2]，∴x2∈[1，4]．∴eq\f（8，x2）∈[2，8]．∴函數(shù)的值域?yàn)椋?,8］．（2)∵x∈[0,＋∞)，∴eq\r(x)∈［0,＋∞)．∴－eq\r（x）∈(－∞，0]．∴函數(shù)的值域?yàn)?－∞，0]．5．解：∵f(x）＝x2＋m，∴f［f(x）］＝f(x2＋m)＝（x2＋m）2＋m＝x4＋2mx2＋m2＋m,∴g(x)＝f［f（x)］＝x4＋2mx2＋m2＋m.練習(xí)A1．解：（1）是;（2）不是，因?yàn)閷?duì)應(yīng)關(guān)系“一對(duì)二"；(3)是；（4）是；(5)不是，因?yàn)锳中元素0,在B中無元素與之對(duì)應(yīng)．2．解：（1）f（2）＝1；f（5)＝10；f(8)＝19.(2)由f（x)＝3x－5＝35，解得x＝eq\f（40,3)；由f（x)＝3x－5＝47，解得x＝eq\f(52，3).故f(x）為35,47時(shí)的原象依次為eq\f(40,3),eq\f(52，3）.3．解：（1）x為－3，－2，0，2,3時(shí)的象依次為10，5，1，5，10;（2）f(x)＝10,5，1時(shí)的原象依次為－3和3，－2和2,0。4．解：不一定是唯一的，因?yàn)楦鶕?jù)映射的定義，映射只要求集合A中任一元素有且只有唯一的象，值域f(A)中的任一個(gè)元素的原象并不一定是唯一的．練習(xí)B1．解：例如：某教室內(nèi)課桌與同學(xué)之間的關(guān)系或?qū)W生與學(xué)籍號(hào)之間的關(guān)系．2．由z＝（2x＋1）2－1＝4x2＋4x，得集合A到C的映射f：x→z＝4x2＋4x＝4x（x＋1);1∈A在f作用下,有象8∈C；0∈C，由4x(x＋1）＝0，解得x＝0或x＝－1,這就是說,0在A中的原象有兩個(gè)：0或－1。3．解：（1)是;（2）是；（3)是．4．解:有9種，如圖．5．解：能構(gòu)造出4種不同映射，其中一一映射有2個(gè)．思考與討論答：由函數(shù)定義可知，對(duì)于定義域中的每一個(gè)x，都有唯一的y值與之相對(duì)應(yīng)．因此,要檢驗(yàn)一個(gè)圖形是否是一個(gè)函數(shù)的圖象，可以作x軸的垂線，在定義域范圍內(nèi),若垂線與圖形有一個(gè)交點(diǎn),則該圖形就表示函數(shù)的圖象,否則，該圖形不是函數(shù)圖象．由以上知，所給圖形中表示函數(shù)圖象的有(1)（3)（4)．練習(xí)A1．解：函數(shù)y＝f(x）＝100(x∈R）的圖象如圖所示．由圖可得f（－10）＝100，f(0）＝100，f(1000）＝100.2．略．3．解：f(2)＝f(1＋1）＝f(1)＋7＝8＋7＝15；f（3)＝f（2＋1）＝f(2)＋7＝15＋7＝22;f（4）＝f(3＋1）＝f(3）＋7＝22＋7＝29.4．解:f(3。2)＝[3.2＋1]＝［4。2]＝4；f(－5。1)＝［－5.1＋1］＝[－4。1]＝－5；f(－4。8)＝［－4.8＋1]＝[－3。8］＝－4；f（7.2）＝［7。2＋1］＝［8。2]＝8。5．解:設(shè)商店售出游戲機(jī)臺(tái)數(shù)為x,收款總數(shù)為y元．由題意知y＝200x，其中x∈｛x∈N＋｜1≤x≤12｝．函數(shù)圖象如圖所示．6．(2)(4）是以x為自變量的函數(shù)的圖象．練習(xí)B1．略．2．(1)由3x＋5y＝15，得y＝－eq\f（3，5）x＋3，圖象略．(2）同理x＝eq\f(y＋2，y－5),得y＝eq\f（5x＋2,x－1），圖象略．3．解：∵f(1）＝2,f（n＋1）＝3f（n)，∴f（2)＝f（1＋1)＝3f（1)＝3×2＝6.f（3）＝f（2＋1）＝3f（2)＝3×6＝18，f(4)＝f(3＋1）＝3f(3)＝3×18＝54，f(5）＝f（4＋1）＝3f(4）＝3×54＝162.練習(xí)A1．解:（1）f(x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(0，x<0，，2，x≥0。)）圖象如圖所示．（2)f(x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤－1,，0，－1〈x<1,,x－1，x≥1。）)圖象如圖所示．2．解：（1)y＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x，x≥0，，－x，x<0.))圖象如圖所示．（2)y＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x－1，x≥1,，1－x,x〈1.））圖象如圖所示．（3)y＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋1,x≥－1，,－x－1，x〈－1.）)圖象如圖所示．3．解：設(shè)公共汽車票價(jià)為y元，汽車行駛里程為xkm，則y＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2,0〈x≤5，,3，5〈x≤10，,4,10〈x≤15,,5,15<x≤20.））圖象如圖所示．練習(xí)B1．解:f(－0。8)＝0。8,feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）)）＝eq\f（1,4）,feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3，2））)＝eq\f（3,2）。圖象的大體形狀如圖所示．2．解：（1）f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5＋x，x〈0，,5－x，x≥0，))圖象如圖所示．(2)f（x)＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（－5－x，x<0，,－5＋x，x≥0。))圖象如圖所示．探索與研究答：(1）用比值eq\f(Δy,Δx)的符號(hào)，可以判斷函數(shù)y＝f(x）在某區(qū)間上的單調(diào)性．函數(shù)y＝f(x)在x1與x2之間的平均變化率記為eq\f(Δy,Δx）＝eq\f（y2－y1，x2－x1).①若eq\f(Δy，Δx)＞0，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（Δy>0,，Δx〉0))或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（Δy〈0，,Δx〈0。))當(dāng)Δx＞0時(shí),Δy＞0，符合增函數(shù)的定義;當(dāng)Δx＜0時(shí),Δy＜0，說明函數(shù)值隨自變量的減小而減小，也就是函數(shù)值隨自變量的增大而增大，同樣符合增函數(shù)的定義．②若eq\f（Δy,Δx)＜0，則有eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（Δy<0,,Δx>0))或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（Δy〉0，,Δx<0。)）當(dāng)Δx＞0時(shí)，Δy＜0，符合減函數(shù)的定義；當(dāng)Δx＜0時(shí),Δy＞0,說明函數(shù)值隨自變量的減小而增大，也就是說函數(shù)值隨自變量的增大而減小，同樣也符合減函數(shù)的定義．綜合①②可知，由比值eq\f(Δy，Δx）的符號(hào)，即可判斷函數(shù)y＝f（x）在某區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)．若eq\f(Δy,Δx)＞0,則y＝f(x）在某區(qū)間上是增函數(shù)；若eq\f(Δy,Δx）＜0，則y＝f（x)在某區(qū)間上是減函數(shù)．（2）比值eq\f（Δy，Δx）的大小與函數(shù)值增大的快慢有關(guān)．對(duì)于比值eq\f（Δy,Δx),假設(shè)Δx均勻變化．①若eq\f(Δy,Δx）大，則Δy大,即Δy＝y(tǒng)2－y1＝f(x2)－f（x1)大，說明自變量x1變化到x2時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x1）與f(x2）的差大，也就是函數(shù)y＝f(x)增長的快，如圖所示．②若eq\f(Δy,Δx)小，則Δy小，即Δy＝y(tǒng)2－y1＝f（x2)－f（x1）小,說明自變量x1變化到x2時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f（x1)與f(x2）的差小，也就是函數(shù)y＝f(x）增長的慢，如圖所示．練習(xí)A1．函數(shù)f(x）的單調(diào)區(qū)間有[－2，－1］、［－1,0]、［0，1］、[1，2]；在區(qū)間［－2，－1]和[0,1]上是減函數(shù)，在區(qū)間［－1,0]和［1,2]上是增函數(shù)．函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間有[－3，－1。5]、[－1。5，1。5］、［1，5,3］；在區(qū)間［－3，－1.5]和［1。5,3］上是減函數(shù)，在區(qū)間[－1。5，1。5］上是增函數(shù)．2．不能．原因一:函數(shù)定義域是{x|x≠0｝，不是R;原因二：取x1＝－1，x2＝1時(shí),Δx＝x2－x1＞0,Δy＝f（x2）－f（x1）＝1－(－1）＝2＞0，顯然不滿足減函數(shù)的定義．不能．原因同以上原因二．3．設(shè)x1、x2是(－∞，0)內(nèi)的任意兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)，且x1＜x2，則Δx＝x2－x1＞0,Δy＝f（x2)－f（x1)＝－xeq\o\al（2，2）－（－xeq\o\al(2，1))＝（x1＋x2)(x1－x2）．因?yàn)閤1＋x2＜0，x1－x2＝－Δx＜0，所以Δy＞0,所以f（x)＝－x2在（－∞，0)上是增函數(shù)．同理，設(shè)在區(qū)間（0,＋∞)內(nèi)的任意兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x1、x2，且x1＜x2，有Δy＝f(x2）－f(x1）＜0，所以f(x）＝－x2在（0,＋∞）上是減函數(shù)．4．函數(shù)y＝eq\r(x)在區(qū)間[0,＋∞)上是增函數(shù)．證明如下:設(shè)x1、x2是［0，＋∞）內(nèi)的任意兩個(gè)不相等的非負(fù)實(shí)數(shù)，且x1＜x2，則Δx＝x2－x1＞0，Δy＝y(tǒng)2－y1＝eq\r(x2）－eq\r（x1)＝eq\f((\r(x2）－\r（x1）)（\r(x2）＋\r（x1））,\r(x2)＋\r(x1））＝eq\f（x2－x1，\r(x2）＋\r(x1)）。因?yàn)閤2－x1＞0，eq\r（x2)＋eq\r（x1）＞0,所以Δy＞0，所以y＝eq\r(x)在區(qū)間［0，＋∞）上是增函數(shù)．5．(1）y＝｜x｜－1的圖象如圖(1)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（－∞，0]，單調(diào)遞增區(qū)間為[0,＋∞）;（2)y＝|x－1|的圖象如圖(2)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，1],單調(diào)遞增區(qū)間為［1，＋∞）．(1）（2)練習(xí)B1．因?yàn)閥＝f（x)在R上是增函數(shù),所以對(duì)任意x1，x2∈R,當(dāng)Δx＝x2－x1＞0時(shí)，有f（x2）－f(x1)＞0。因?yàn)閗＞0，所以對(duì)于kf（x)有Δy＝kf(x2)－kf（x1）＝k[f（x2)－f（x1）]＞0。所以kf(x)在R上也是增函數(shù)．2．如圖，(1）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（－∞,2)，(2，＋∞)；（2)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（0,＋∞)．(1）（2)練習(xí)A1．解：奇函數(shù)為(1)（7）；偶函數(shù)為（2）（5）(8）;非奇非偶函數(shù)為(3）(4）（6）．對(duì)于(3）:h(－x）＝（－x）3＋1＝－x3＋1≠±h（x），∴h（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．對(duì)于（4)：k(x)＝eq\f(1，x2＋1）,定義域?yàn)椋郏?,2]，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,∴k(x)無奇偶性可言．對(duì)于(6）:g(－x)＝－x(1－x)≠±g（x)，∴函數(shù)g(x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．2．解:(1）不正確．因?yàn)楹瘮?shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但f(－x)＝－f(x)不一定成立，例如f（x)＝x＋1的定義域?yàn)镽,但f（－x）＝－x＋1，而－f(x)＝－x－1,f（－x)≠－f(x)．(2）正確．因?yàn)楦鶕?jù)偶函數(shù)的定義f（－x）＝f(x）知，x∈D,則－x∈D，故定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱．（3)不正確．因?yàn)楹瘮?shù)f(x）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,但f（－x)＝f(x）不一定成立．（4）正確．因?yàn)樵O(shè)y＝f（x)圖象上任一點(diǎn)(x，f（x))關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為(－x，f(－x）)也在圖象上,所以f(－x)＝f（x），故f(x）為偶函數(shù)．3．f(－4）＝－2。4．f（1)＜f(3）．5．f（x)在[－6，－1］上是增函數(shù),在［－6,－1]上的最大值為－4，最小值為－10。練習(xí)B1．解:不可以是奇函數(shù),但可以是偶函數(shù)．若f(x）是奇函數(shù)，則f(0)＝－f（0），可求得f(0)＝0，即a＝0,這與已知a≠0是矛盾的．2．解：一定是偶函數(shù)，特別地，可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．由于f（x）、g（x)為定義域相同的偶函數(shù),則F（x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．又由于f(－x)＝f（x)，g（－x)＝g（x)，則F（－x)＝f（－x）＋g（－x)＝f（x）＋g(x)＝F（x），所以F（x)是偶函數(shù)．特別地,當(dāng)f（x）＋g(x)＝0時(shí)，F(xiàn)（－x）＝F（x)，且F（－x）＝－F（x），此時(shí)F（x)既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)．習(xí)題2－1A1．(1)0,1，1,4,4,9，9；(2）2,－2，1，－1,eq\f（2,3），－eq\f（2,3)。2．(1)（2）(4)是映射，(3）不是映射，理由略．3．能構(gòu)成一一映射的是：(1）（3）．4．解：（1）由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3≥0,，x－5≠0,)）得所求定義域?yàn)閧x|x≥－3，且x≠5｝；(2）由3x－2＞0得所求定義域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\｜\rc\（\a\vs4\al\co1(x〉\f(2,3）））））.5．解：設(shè)x1＜x2，則Δx＝x2－x1＞0，Δy＝y(tǒng)2－y1＝k(x2－x1）＝kΔx.（1)當(dāng)k＞0時(shí)，Δy＝kΔx＞0，函數(shù)y＝kx單調(diào)遞增;(2)當(dāng)k＜0時(shí)，Δy＝kΔx＜0，函數(shù)y＝kx單調(diào)遞減．6．解：（1)如圖(1)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(－∞，－1]，單調(diào)增區(qū)間是[－1，＋∞）；(2）如圖(2）,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是(－∞，0］,單調(diào)減區(qū)間是［0，＋∞）；(3)如圖(3)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（－∞,0]，單調(diào)增區(qū)間是［0,＋∞)；（4）如圖（4)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1（－∞，\f(1，2))）,單調(diào)遞增區(qū)間是eq\b\lc\［\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，2),＋∞)).圖(1）圖(2）圖(3）圖（4)7．解：(2)(6)是奇函數(shù)；（3）（5）是偶函數(shù)；（1）(4)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．8．解:（1)根據(jù)偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的性質(zhì)可以畫出函數(shù)在y軸左邊的圖象，如圖所示．(2）根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)可以畫出函數(shù)在y軸左邊的圖象,如圖所示．9．解：設(shè)x∈(－∞，0），則－x∈（0，＋∞)，