2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章推理與證明1.1歸納推理課后鞏固提升含解析北師大版選修1-2

PAGE1.1歸納推理[A組基礎(chǔ)鞏固]1．視察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿意f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)＝()A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)解析：由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)．因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時，其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x)．答案：D2．已知數(shù)列{an}滿意a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，則當(dāng)n≥1時，an等于()A．2n B.eq\f(1,2)n(n＋1)C．2n－1 D．2n－1解析：a0＝1，a1＝a0＝1，a2＝a0＋a1＝2a1＝2，a3＝a0＋a1＋a2＝2a2＝4，a4＝a0＋a1＋a2＋a3＝2a3＝8，….猜想當(dāng)n≥1時，an＝2n－1.答案：C3．把1,3,6,10,15,21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為這些數(shù)的點數(shù)可以排成一個正三角形(如下圖)．試求第七個三角形數(shù)是()A．27 B．28C．29 D．30解析：第七個三角形數(shù)是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，故選B.答案：B4．?dāng)?shù)列5,9,17,33，x，…中的x等于()A．47 B．65C．63 D．128解析：5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，歸納可得：x＝26＋1＝65.答案：B5．古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形態(tài)來探討數(shù)．比如：他們探討過圖1中的1,3,6,10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似的，稱圖2中的1,4,9,16，…這樣的數(shù)為正方形數(shù)．下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()A．289 B．1024C．1225 D．1378解析：由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項an＝eq\f(n,2)(n＋1)，同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項bn＝n2，若a既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)，則a＋1為偶數(shù)，a為奇數(shù)，故解除B、D；由eq\f(n,2)(n＋1)＝289＝17×17，知n?N，所以解除A，而1225＝352＝eq\f(35×35×2,2)＝eq\f(49×50,2)＝1225，滿意題意，故選C.答案：C6．f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)(n∈N＋)，計算得f(2)＝eq\f(3,2)，f(4)>2，f(8)>eq\f(5,2)，f(16)>3，f(32)>eq\f(7,2)，推想當(dāng)n≥2時，有________．解析：f(4)＝f(22)>eq\f(2＋2,2)，f(8)＝f(23)>eq\f(3＋2,2)，f(16)＝f(24)>eq\f(4＋2,2)，f(32)＝f(25)>eq\f(5＋2,2).答案：f(2n)>eq\f(n＋2,2)7．視察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49照此規(guī)律，第五個等式應(yīng)為________．解析：由于1＝12,2＋3＋4＝9＝32,3＋4＋5＋6＋7＝25＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72，所以第五個等式為5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92＝81.答案：5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝818．視察下列不等式：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，……照此規(guī)律，第五個不等式為________．解析：歸納視察法．視察每行不等式的特點，每行不等式左端最終一個分?jǐn)?shù)的分母與右端值的分母相等，且每行右端分?jǐn)?shù)的分子構(gòu)成等差數(shù)列．∴第五個不等式為1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)<eq\f(11,6).答案：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)<eq\f(11,6)9．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在他的1228年版的《算經(jīng)》一書中記述了好玩的兔子問題：假定每對大兔子每月能生一對小兔子，而每對小兔子過了一個月就可以長成大兔子，假如不發(fā)生死亡，那么由一對大兔子起先，一年后能有多少對大兔子呢？我們依次給出各個月的大兔子對數(shù)，并始終推算下去到無盡的月數(shù)，可得數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…這就是斐波那契數(shù)列，此數(shù)列中，a1＝a2＝1，當(dāng)n≥3時，歸納出an與an－1間的遞推關(guān)系式．解析：因為2＝1＋1,3＝1＋2；5＝2＋3,8＝3＋5，…，逐項視察分析每項與其前幾項的關(guān)系易得：從第三項起，它的每一項等于它的前面兩項之和，即an＝an－1＋an－2(n≥3，n∈N＋)．10．已知sin230°＋sin290°＋sin2150°＝eq\f(3,2)；sin25°＋sin265°＋sin2125°＝eq\f(3,2)，通過視察上述兩等式的規(guī)律，請你寫出對隨意角度α都成立的一般性的命題，并賜予證明．解析：一般形式：sin2α＋sin2(α＋60°)＋sin2(α＋120°)＝eq\f(3,2).證明：左邊＝eq\f(1－cos2α,2)＋eq\f(1－cos2α＋120°,2)＋eq\f(1－cos2α＋240°,2)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)[cos2α＋cos2αcos120°－sin2αsin120°＋cos2α·cos240°－sin2αsin240°]＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)[cos2α－eq\f(1,2)cos2α－eq\f(\r(3),2)sin2α－eq\f(1,2)cos2α＋eq\f(\r(3),2)sin2α]＝eq\f(3,2)＝右邊(將一般形式寫成sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝eq\f(3,2)，sin2(α－240°)＋sin2(α－120°)＋sin2α＝eq\f(3,2)等均正確．)[B組實力提升]1．從所給的四個選項中，選擇最合適的一個填入問號處，使之呈現(xiàn)肯定的規(guī)律性()解析：每行的各個方格中的白圈個數(shù)分別為9,8,7，解除B項、D項．黑圈依據(jù)依次向右，右邊無圓圈則向下的依次每次移動兩格(下幅圖中被消去的白圈不計算在移動格子內(nèi))，所以符合條件的只有C項．答案：C2．?dāng)?shù)列2,5,11,20，x,47，…中的x的值為________．解析：5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，看出x－20＝12,47－x＝15，∴x＝32.答案：323．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x>0)，視察：f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f(f1(x))＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(x,7x＋8)，f4(x)＝f(f3(x))＝eq\f(x,15x＋16)，……依據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當(dāng)n∈N＋且n≥2時，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.解析：依題意，先求函數(shù)結(jié)果的分母中x項系數(shù)所組成數(shù)列的通項公式，由1,3,7,15，…，可推知該數(shù)列的通項公式為an＝2n－1.又函數(shù)結(jié)果的分母中常數(shù)項依次為2,4,8,16，…，故其通項公式為bn＝2n.所以當(dāng)n≥2時，fn(x)＝f(fn－1(x))＝eq\f(x,2n－1x＋2n).答案：eq\f(x,2n－1x＋2n)4．(1)如圖(a)(b)(c)(d)為四個平面圖形．?dāng)?shù)一數(shù)，每個平面圖形各有多少個頂點？多少條邊？它們分別圍成了多少個區(qū)域？請將結(jié)果填入下表(按填好的例子做)．頂點數(shù)邊數(shù)區(qū)域數(shù)(a)463(b)(c)(d)(2)視察上表，推斷一個平面圖形的頂點數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間有什么關(guān)系．(3)現(xiàn)已知某個平面圖形有1005個頂點，且圍成了1005個區(qū)域，試依據(jù)以上關(guān)系確定這個圖形有多少條邊．解析：(1)填表如下：頂點數(shù)邊數(shù)區(qū)域數(shù)(a)463(b)8125(c)694(d)10156(2)由該表可以看出，所給四個平面圖形的頂點數(shù)、邊數(shù)及區(qū)域數(shù)之間有下述關(guān)系：4＋3－6＝1,8＋5－12＝1,6＋4－9＝1,10＋6－15＝1.所以我們可以推斷：任何平面圖形的頂點數(shù)、邊數(shù)及區(qū)域數(shù)之間都有下述關(guān)系：頂點數(shù)＋區(qū)域數(shù)－邊數(shù)＝1.(3)由上面所給的關(guān)系，可知所求平面圖形的邊數(shù)．邊數(shù)＝頂點數(shù)＋區(qū)域數(shù)－1＝1005＋1005－1＝2009.5．某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖①②③④所示，為她們刺繡的最簡潔的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多，刺繡越美麗．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個圖形包含f(n)個小正方形．(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n＋1)與f(n)之間的關(guān)系式，并依據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達(dá)式；(3)求eq\f(1,f1)＋eq\f(1,f2－1)＋eq\f(1,f3－1)＋…＋eq\f(1,fn－1)的值．解析：(1)f(5)＝41.(2)f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，……由上述規(guī)律，得f(n＋1)－f(n)＝4n.∴f(n＋1)＝f(n)＋4n，f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n2－2n＋1.(3)當(dāng)n≥2時，eq\f(1,fn－1)＝eq\f(1,2nn－1)＝eq\f(1,2)(eq\f(1,n－1)－eq\