2024年新高一數(shù)學初升高銜接《函數(shù)的應(yīng)用（一）》含答案解析

數(shù)學PAGE1數(shù)學第13講函數(shù)的應(yīng)用模塊一思維導圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．了解函數(shù)模型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用；2．能夠利用給定的函數(shù)模型或建立確定的函數(shù)模型解決實際問題.知識點1一次函數(shù)模型1、一次函數(shù)為：2、求最值的方法：常轉(zhuǎn)化為求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答時，注意系數(shù)a的正負，也可以結(jié)合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來求最值．3、解決實際應(yīng)用問題的一般步驟（1）審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學模型；（2）建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應(yīng)的數(shù)學模型；（3）求模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結(jié)論；（4）還原：將數(shù)學問題還原為實際問題．以上過程用框圖表示如圖：知識點2二次函數(shù)模型1、二次函數(shù)：形如2、求最值的方法：在根據(jù)實際問題建立函數(shù)解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函數(shù)的最值，從而解決實際問題中的最值問題.二次函數(shù)求最值最好結(jié)合二次函數(shù)的圖象來解答.3、解決實際應(yīng)用問題的注意事項（1）函數(shù)模型應(yīng)用不當，是常見的解題錯誤．所以，要理解題意，選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型．（2）要特別關(guān)注實際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域．（3）注意問題反饋，在解決函數(shù)模型后，必須驗證這個數(shù)學解對實際問題的合理性．知識點3三、冪函數(shù)模型1、冪函數(shù)模型為y＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)，2、在計算冪函數(shù)解析式、求冪函數(shù)最值的時候，通常利用冪函數(shù)的圖象、單調(diào)性、奇偶性等解題.知識點4對勾函數(shù)模型解決“對勾”函數(shù)的實際應(yīng)用問題時，需關(guān)注該函數(shù)的定義域、單調(diào)性、值域和圖象等，一般通過變形，構(gòu)造利用基本不等式的條件求最值。知識點5應(yīng)用分段函數(shù)時的三個注意點1、分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏；2、分段函數(shù)的定義域為對應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集；3、分段函數(shù)的值域求法為逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論。知識點6圖像信息應(yīng)用題的解答策略1、明確橫軸、縱軸的意義，分析題中的具體含義；2、由圖象判定函數(shù)模型；3、抓住特殊點的實際意義，特殊點一般包括最高點（最大值點）、最低點（最小值點）及折線的拐角點等；4、通過方程、不等式、函數(shù)等數(shù)學模型化實際問題?？键c一：一次函數(shù)模型的應(yīng)用例1．（22-23高一上·北京·期中）果蔬批發(fā)市場批發(fā)某種水果，不少于千克時，批發(fā)價為每千克元，小王攜帶現(xiàn)金3000元到市場采購這種水果，并以此批發(fā)價買進，如果購買的水果為千克，小王付款后剩余現(xiàn)金為元，則與之間的函數(shù)關(guān)系為（

）A．B．C．D．【變式1-1】（22-23高一上·浙江·期中）某商場在國慶期間舉辦促銷活動，規(guī)定：顧客購物總金額不超過400元，不享受折扣；若顧客的購物總金額超過400元，則超過400元部分分兩檔享受折扣優(yōu)惠，折扣率如下表所示：可享受折扣優(yōu)惠的金額折扣率不超過400元部分超過400元部分若某顧客獲得65元折扣優(yōu)惠，則此顧客實際所付金額為（

）A．935元 B．1000元 C．1035元 D．1100元【變式1-2】（23-24高一·全國·單元測試）（多選）某部影片的盈利額(即影片的票房收入與固定成本之差)記為，觀影人數(shù)記為，關(guān)于的函數(shù)圖像如圖（1）所示．由于目前該片盈利未達到預期，相關(guān)人員提出了兩種調(diào)整方案，圖（2）、圖（3）中的實線分別為調(diào)整后關(guān)于的函數(shù)圖像．給出下列四種說法，其中正確的說法是（

）A．圖（2）對應(yīng)的方案是：提高票價，并提高固定成本B．圖（2）對應(yīng)的方案是：保持票價不變，并降低固定成本C．圖（3）對應(yīng)的方案是：提高票價，并保持固定成本不變D．圖（3）對應(yīng)的方案是：提高票價，并降低固定成本【變式1-3】（23-24高一上·云南保山·開學考試）為落實“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某市政部門招標一工程隊負責在山腳下修建一座水庫的土方施工任務(wù).該工程隊有兩種型號的挖掘機，已知3臺型和5臺型挖掘機同時施工一小時挖土165立方米；4臺型和7臺型挖掘機同時施工一小時挖土225立方米.每臺型挖掘機一小時的施工費用為300元，每臺型挖掘機一小時的施工費用為180元.(1)分別求每臺型，型挖掘機一小時挖土多少立方米？(2)若不同數(shù)量的型和型挖掘機共12臺同時施工4小時，至少完成1080立方米的挖土量，且總費用不超過12960元.問施工時有哪幾種調(diào)配方案，并指出哪種調(diào)配方案的施工費用最低，最低費用是多少元？考點二：二次函數(shù)模型的應(yīng)用例2.（23-24高一上·北京東城·期末）把長為的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正方形，那么這兩個正方形面積之和的最小值是（

）A． B． C． D．【變式2-1】（23-24高一下·廣東梅州·期中）如圖，在扇形中，半徑，，在半徑上，在半徑上，是扇形弧上的動點（不包含端點），則平行四邊形的周長的取值范圍是．【變式2-2】（23-24高一上·湖南衡陽·月考）某工廠2022年年初用100萬元購進一臺新的設(shè)備，并立即投入使用，該設(shè)備使用后，每年的總收入預計為50萬元.設(shè)使用x年后該設(shè)備的維修、保養(yǎng)費用為萬元，盈利總額為y萬元.(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)從第幾年開始，使用該設(shè)備開始盈利?【變式2-3】（23-24高一上·廣東佛山·月考）某商場銷售型商品，已知該商品的進價是每件3元，且銷售單價與日均銷售量的關(guān)系如表所示：銷售單價（元）45678910日均銷售量（件）400360320280240200160請根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，此商品如何定價（單位：元/件），該商品的日均銷售利潤最大？并求日均銷售利潤的最大值.考點三：冪函數(shù)模型的應(yīng)用例3.（23-24高二下·上?！ぴ驴迹┠称髽I(yè)欲實現(xiàn)在今后10年內(nèi)產(chǎn)值翻兩翻的目標，則該企業(yè)年產(chǎn)值的年平均增長率為(結(jié)果精確到0.001)【變式3-1】（23-24高一上·全國·專題練習）異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數(shù)，該類動物某一個體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則為（

）A． B． C． D．【變式3-2】（23-24高一上·全國·練習）2020年底，國務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續(xù)實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號召，積極參與幫扶活動．該企業(yè)2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補貼10萬元．若要實現(xiàn)2024年初的資金達到270萬元的目標，資金的年平均增長率應(yīng)為（參考值：）（

）A．10% B．20% C．22% D．32%【變式3-3】（23-24高一下·上海閔行·期末）銀行按規(guī)定每經(jīng)過一定的時間結(jié)算存（貸）款的利息一次，結(jié)算后將利息并入本金，這種計算利息的方法叫做復利．現(xiàn)在某企業(yè)進行技術(shù)改造，有兩種方案：甲方案：一次性向銀行貸款10萬元，技術(shù)改造后第一年可獲得利潤1萬元，以后每年比上年增加30%的利潤；乙方案：每年向銀行貸款1萬元，技術(shù)改造后第一年可獲得利潤1萬元，以后每年比前一年多獲利5000元．(1)設(shè)技術(shù)改造后，甲方案第n年的利潤為（萬元），乙方案第n年的利潤為（萬元），請寫出、的表達式；(2)假設(shè)兩種方案的貸款期限都是10年，到期一次性歸還本息．若銀行貸款利息均以年息10%的復利計算，試問該企業(yè)采用哪種方案獲得的扣除本息后的凈獲利更多？（精確到0.1）（凈獲利=總利潤-本息和）（參考數(shù)據(jù)，考點四：對勾函數(shù)模型的應(yīng)用例4.（22-23高一上·安徽馬鞍山·期中）如圖，安工大附中欲利用原有的墻（墻足夠長）為背面，建造一間長方體形狀的房屋作為體育器材室.房屋地面面積為，高度為3m.若房屋側(cè)面和正面每平方米的造價均為1000元，屋頂?shù)脑靸r為6000元，且不計房屋背面和地面的費用，則該房屋的最低總造價為元.【變式4-1】（23-24高一上·湖北孝感·月考）一家貨物公司計劃租地建造倉庫儲存貨物,經(jīng)過市場調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費（單位：萬元）與倉庫到車站的距離x（單位：）成反比,每月庫存貨物費（單位：萬元）與x成正比；若在距離車站處建倉庫,則和分別為4萬元和9萬元,為了能使兩項費用之和最小,這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站千米處.【變式4-2】（23-24高一上·江蘇宿遷·期末）如圖，某居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形和構(gòu)成的面積為的十字形地域．計劃在正方形上建一座花壇，造價為1000元；在四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價為400元；在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，造價為200元．設(shè)長為（單位：）．(1)用表示的長度，并求的取值范圍；(2)當?shù)拈L為何值時，總造價最低？最低總造價是多少？【變式4-3】（23-24高一下·湖北·開學考試）某甜品店今年年初花費21萬元購得一臺新設(shè)備，經(jīng)估算該設(shè)備每年可為甜品店提供12萬元的總收入，已知使用年所需的總維護費用為萬元．(1)該甜品店第幾年開始盈利？(2)若干年后，該甜品店計劃以2萬的價格賣出設(shè)備，有以下兩種方案：①當年平均盈利最大時賣出；②當盈利總額達到最大時賣出；試問哪一方案較為劃算？說明理由．考點五：分段函數(shù)模型的應(yīng)用例5.（23-24高一下·江西贛州·期中）春天，時令水果草莓上市了，某水果店統(tǒng)計了草莓上市以來前兩周的銷售價格（元/盒）與時間t（天）的關(guān)系：一位顧客在這兩周里在該水果店購買了若干盒草莓，總共消費212元，其中在后6天買了4盒，則前8天一共買了（

）A．7盒 B．6盒 C．5盒 D．4盒【變式5-1】（23-24高一上·江蘇宿遷·期中）新能源汽車是低碳生活的必然選擇和汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展趨勢.某汽車企業(yè)為了響應(yīng)國家號召，2020年積極引進新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過分析，全年需要投入固定成本萬元.每生產(chǎn)（百輛）新能源汽車，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，每輛車售價萬元，且生產(chǎn)的車輛當年能全部銷售完.(1)求出年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤銷售量售價成本）(2)年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.【變式5-2】（23-24高一上·江西宜春·期末）某醫(yī)療器械公司為了進一步增加市場競爭力，計劃改進技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為200萬元，最大產(chǎn)能為100臺．每生產(chǎn)臺，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺的售價為200萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當年能全部銷售完．(1)寫出年利潤萬元關(guān)于年產(chǎn)量臺的函數(shù)解析式（利潤銷售收入成本）；(2)當該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？【變式5-3】（23-24高一上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了打造“網(wǎng)紅”城鎮(zhèn)發(fā)展經(jīng)濟，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍惜水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關(guān)系：，肥料成本投入為10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費）20x元.已知這種水果的市場售價大約15元/千克，且銷售暢通供不應(yīng)求，記該水果單株利潤為（單位：元）(1)寫單株利潤（元）關(guān)于施用肥料x（千克）的關(guān)系式；(2)當施用肥料為多少千克時，該水果單株利潤最大?最大利潤是多少?考點六：圖象信息綜合應(yīng)用題例6.（23-24高一上·全國·期末）某單位準備印制一批證書，現(xiàn)有兩個印刷廠可供選擇，甲廠費用分為制版費和印刷費兩部分，先收取固定的制版費，再按印刷數(shù)量收取印刷費；乙廠直接按印刷數(shù)量收取印刷費，甲、乙兩廠的總費用（千元）與印制證書數(shù)量（千個）的函數(shù)圖像分別如圖中甲、乙所示，則下列說法正確的是（

）

A．選擇甲廠比較劃算B．選擇乙廠比較劃算C．若該單位需印制證書數(shù)量為8千個，則選擇乙廠比較劃算D．當該單位需印制證書數(shù)量小于2千個時，不管選擇哪個廠，總費用都一樣【變式6-1】（22-23高一下·湖北武漢·期末）2023年4月18日，我國自行研制具有完全自主知識產(chǎn)權(quán)的噴氣式支線客機ARJ21完成了在印尼首航，這是ARJ21在海外市場商業(yè)運行的首秀，標志著國產(chǎn)新支線客機ARJ21在海外商業(yè)運營邁開第一步．中國商飛公司為了進一步打開海外市場，需要加大在開創(chuàng)性、創(chuàng)新性探索和實踐方面的投入．中國商飛公司旗下甲乙兩家子公司，各子公司投入與利潤的關(guān)系如下．甲公司：利潤（億元）與投入（億元）成一次函數(shù)關(guān)系，乙公司：利潤（億元）與投入（億元）成冪函數(shù)型關(guān)系，如圖所示．目前，中國商飛總公司準備拿出資金10億元投入到甲、乙兩公司，如何分配才能使總利潤最大呢？（

）

A．投入甲公司億元，投入乙公司億元B．投入甲公司億元，投入乙公司億元C．投入甲公司0億元，投入乙公司10億元D．投入甲公司10億元，投入乙公司0億元【變式6-2】（23-24高一上·云南曲靖·期末）某家庭進行理財投資，根據(jù)長期收益率市場預測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的年收益與投資額成正比，其關(guān)系如圖1；投資股票等風險型產(chǎn)品的年收益與投資額的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2．(1)分別寫出兩種產(chǎn)品的年收益和的函數(shù)關(guān)系式；(2)該家庭現(xiàn)有10萬元資金，全部用于理財投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大年收益，其最大年收益是多少萬元？【變式6-3】（23-24高一上·北京·期中）為進一步改善空氣質(zhì)量，增強人民的藍天幸福感，年月日，國務(wù)院公開發(fā)布打贏藍天保衛(wèi)戰(zhàn)三年行動計劃，其中京津冀地區(qū)被列為重點治理區(qū)域．某課外活動小組根據(jù)北京市預報的某天時空氣質(zhì)量指數(shù)數(shù)據(jù)繪制成散點圖，并選擇連續(xù)函數(shù)來近似刻畫空氣質(zhì)量指數(shù)隨時間變化的規(guī)律如圖．(1)求，的值；(2)當空氣質(zhì)量指數(shù)大于時，有關(guān)部門建議市民外出活動應(yīng)戴防霧霾口罩，并禁止某行業(yè)施工作業(yè)．請你結(jié)合該課外活動小組選擇的函數(shù)模型，回答以下問題：（i）某同學該天：出發(fā)上學，是否應(yīng)該戴防霧霾口罩？請說明理由；（ii）試問該天：之后，該行業(yè)可以施工作業(yè)的時間最長為多少小時？一、單選題1．（23-24高一上·遼寧大連·月考）某文具店購進一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價格銷售，每天能賣出30盞；若售價每提高1元，日銷售量將減少2盞，現(xiàn)決定提價銷售，為了使這批臺燈每天獲得400元以上(不含400元)的銷售收入．則這批臺燈的銷售單價x(單位：元)的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（23-24高一上·江西·月考）你見過古人眼中的煙花嗎？那是朱淑真元宵夜的“火樹銀花觸目紅”，是隋煬帝眼中的“燈樹千光照，花焰七枝開”.煙花，雖然是沒有根的花，是虛幻的花，卻在達到最高點時爆裂，用其燦爛的一秒換來人們真心的喝彩.已知某種煙花距地面的高度（單位：米）與時間（單位：秒）之間的關(guān)系式為，則煙花在沖擊后爆裂的時刻是（

）A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒3．（23-24高一上·湖北黃岡·期中）為了保護水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對居民生活用水實行“階梯水價”.計費方法如表格所示：若某戶居民本月交納的水費為48元，則此戶居民本月用水量是（

）每戶每月用水量水價不超過的部分3元超過但不超過的部分6元超過的部分9元A． B． C． D．4．（23-24高一上·廣東梅州·月考）如圖，點P在邊長為1的正方形邊上運動，M是CD的中點，當點P沿運動時，點P經(jīng)過的路程x與的面積y的函數(shù)的圖象的形狀大致是（

）

A．

B．

C．

D．

5．（23-24高一上·江蘇南京·期中）學校宿舍與辦公室相距.某同學有重要材料要送交給老師，從宿舍出發(fā)，先勻速跑步來到辦公室，停留，然后勻速步行返回宿含.在這個過程中，這位同學行進的速度和行走的路程都是時間的函數(shù)，則速度函數(shù)和路程函數(shù)的示意圖分別是下面四個圖象中的（

）

A．①② B．③④ C．①④ D．②③6．（23-24高一·全國·專題練習）南通至通州的某條公共汽車線路收支差額y與乘客量x的函數(shù)關(guān)系如圖所示（收支差額＝車票收入一支出費用）．由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩條建議：建議（Ⅰ）不改變車票價格，減少支出費用；建議（Ⅱ）不改變支出費用，提高車票價格．下面給出的四個圖形中，實線虛線分別表示目前和建議后的函數(shù)關(guān)系，則（

）A．①反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）B．②反映了建議（Ⅰ），④反映了建議（Ⅱ）C．①反映了建議（Ⅰ），③反映了建議（Ⅱ）D．④反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）二、填空題7．（23-24高一下·云南·月考）某商店銷售兩款商品，利潤（單位：元）分別為和，其中為銷量（單位：袋），若本周銷售兩款商品一共20袋，則能獲得的最大利潤為.8．（22-23高一上·浙江寧波·期中）某地方政府為鼓勵全民創(chuàng)業(yè)，擬對本地年產(chǎn)值（單位：萬元）的小微企業(yè)進行獎勵，獎勵方案為：獎金y（單位：萬元）隨企業(yè)年產(chǎn)值x的增加而增加，且獎金不低于8萬元，同時獎金不超過企業(yè)年產(chǎn)值的12%.若函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為.三、解答題9．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期末）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為全面實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，大力發(fā)展特色農(nóng)產(chǎn)業(yè)，提升特色農(nóng)產(chǎn)品的知名度，邀請了一家廣告牌制作公司設(shè)計一個寬為米、長為米的長方形展牌，其中，其面積為平方米.(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出的取值范圍；(2)如何設(shè)計展牌的長和寬，才能使展牌的周長最小?并求出周長的最小值.10．（23-24高一上·四川成都·自主招生）甲?乙兩汽車出租公司均有50輛汽車對外出租，下面是兩公司經(jīng)理的一段對話：甲公司經(jīng)理：如果我公司每輛汽車月租費3000元，那么50輛汽車可以全部租出.如果每輛汽車的月租費每增加50元，那么將少租出1輛汽車.另外，公司為每輛租出的汽車支付月維護費200元.乙公司經(jīng)理：我公司每輛汽車月租費3500元，無論是否租出汽車，公司均需一次性支付月維護費共計1850元.說明：①汽車數(shù)量為整數(shù)；②月利潤月租車費-月維護費；③兩公司月利潤差月利潤較高公司的利潤-月利潤較低公司的利潤.在兩公司租出的汽車數(shù)量相等的條件下，根據(jù)上述信息，解決下列問題：(1)當每個公司租出的汽車為10輛時，甲公司的月利潤是__________元；當每個公司租出的汽車為__________輛時，兩公司的月利潤相等；(2)求兩公司月利潤差的最大值；(3)甲公司熱心公益事業(yè)，每租出1輛汽車捐出元給慈善機構(gòu)，如果捐款后甲公司剩余的月利潤仍高于乙公司月利潤，且當兩公司租出的汽車均為17輛時，甲公司剩余的月利潤與乙公司月利潤之差最大，求的取值范圍.11．（23-24高一上·黑龍江齊齊哈爾·月考）黨的十九大報告明確要求繼續(xù)深化國有企業(yè)改革，培育具有全球競爭力的世界一流企業(yè).某企業(yè)抓住機遇推進生產(chǎn)改革，從單一產(chǎn)品轉(zhuǎn)為生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與市場預測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖①；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖②（注：所示圖中的橫坐標表示投資金額，單位為萬元）.

(1)分別求出A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤，最大利潤是多少？12．（23-24高一上·湖北武漢·期末）年月日，雅萬高鐵正式開通運營，標志著印度尼西亞邁入高鐵時代，中國印度尼西亞共建“一帶一路”取得重大標志性成果.中國高鐵正在成為共建“一帶一路”和國際產(chǎn)能合作的重要項目.國內(nèi)某車輛廠決定從傳統(tǒng)型、智能型兩種型號的高鐵列車車廂中選擇一種進行投資生產(chǎn).已知投資生產(chǎn)這兩種型號車廂的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表（單位：百萬元）年固定成本每節(jié)車廂成本每節(jié)車廂價格每年最多生產(chǎn)的節(jié)數(shù)傳統(tǒng)型節(jié)智能型節(jié)已知，每銷售節(jié)智能型車廂時，需上交百萬元用于當?shù)鼗A(chǔ)建設(shè).假設(shè)生產(chǎn)的車廂當年都能銷售完.(1)設(shè)、分別為該廠投資傳統(tǒng)型和智能型兩種型號車廂的年利潤，分別求出、與年產(chǎn)量之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)①分別求出生產(chǎn)兩種型號車廂的平均利潤的最大值；②要使生產(chǎn)兩種型號車廂的平均利潤最大，該廠應(yīng)該選擇生產(chǎn)哪種型號車廂？第13講函數(shù)的應(yīng)用模塊一思維導圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．了解函數(shù)模型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用；2．能夠利用給定的函數(shù)模型或建立確定的函數(shù)模型解決實際問題.知識點1一次函數(shù)模型1、一次函數(shù)為：2、求最值的方法：常轉(zhuǎn)化為求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答時，注意系數(shù)a的正負，也可以結(jié)合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來求最值．3、解決實際應(yīng)用問題的一般步驟（1）審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學模型；（2）建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應(yīng)的數(shù)學模型；（3）求模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結(jié)論；（4）還原：將數(shù)學問題還原為實際問題．以上過程用框圖表示如圖：知識點2二次函數(shù)模型1、二次函數(shù)：形如2、求最值的方法：在根據(jù)實際問題建立函數(shù)解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函數(shù)的最值，從而解決實際問題中的最值問題.二次函數(shù)求最值最好結(jié)合二次函數(shù)的圖象來解答.3、解決實際應(yīng)用問題的注意事項（1）函數(shù)模型應(yīng)用不當，是常見的解題錯誤．所以，要理解題意，選擇適當?shù)暮瘮?shù)模型．（2）要特別關(guān)注實際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域．（3）注意問題反饋，在解決函數(shù)模型后，必須驗證這個數(shù)學解對實際問題的合理性．知識點3三、冪函數(shù)模型1、冪函數(shù)模型為y＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)，2、在計算冪函數(shù)解析式、求冪函數(shù)最值的時候，通常利用冪函數(shù)的圖象、單調(diào)性、奇偶性等解題.知識點4對勾函數(shù)模型解決“對勾”函數(shù)的實際應(yīng)用問題時，需關(guān)注該函數(shù)的定義域、單調(diào)性、值域和圖象等，一般通過變形，構(gòu)造利用基本不等式的條件求最值。知識點5應(yīng)用分段函數(shù)時的三個注意點1、分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏；2、分段函數(shù)的定義域為對應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集；3、分段函數(shù)的值域求法為逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論。知識點6圖像信息應(yīng)用題的解答策略1、明確橫軸、縱軸的意義，分析題中的具體含義；2、由圖象判定函數(shù)模型；3、抓住特殊點的實際意義，特殊點一般包括最高點（最大值點）、最低點（最小值點）及折線的拐角點等；4、通過方程、不等式、函數(shù)等數(shù)學模型化實際問題。考點一：一次函數(shù)模型的應(yīng)用例1．（22-23高一上·北京·期中）果蔬批發(fā)市場批發(fā)某種水果，不少于千克時，批發(fā)價為每千克元，小王攜帶現(xiàn)金3000元到市場采購這種水果，并以此批發(fā)價買進，如果購買的水果為千克，小王付款后剩余現(xiàn)金為元，則與之間的函數(shù)關(guān)系為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意可知函數(shù)關(guān)系式是，由題意可知最少買千克，最多買千克，所以函數(shù)的定義域是.故；故選:C.【變式1-1】（22-23高一上·浙江·期中）某商場在國慶期間舉辦促銷活動，規(guī)定：顧客購物總金額不超過400元，不享受折扣；若顧客的購物總金額超過400元，則超過400元部分分兩檔享受折扣優(yōu)惠，折扣率如下表所示：可享受折扣優(yōu)惠的金額折扣率不超過400元部分超過400元部分若某顧客獲得65元折扣優(yōu)惠，則此顧客實際所付金額為（

）A．935元 B．1000元 C．1035元 D．1100元【答案】C【解析】當顧客的購物總金額超過400元不超過800元時，享受折扣優(yōu)惠的金額做多為元，故該顧客購物總金額一定超過了800元，設(shè)為x元，則，解得（元），則此顧客實際所付金額為元，故選：C.【變式1-2】（23-24高一·全國·單元測試）（多選）某部影片的盈利額(即影片的票房收入與固定成本之差)記為，觀影人數(shù)記為，關(guān)于的函數(shù)圖像如圖（1）所示．由于目前該片盈利未達到預期，相關(guān)人員提出了兩種調(diào)整方案，圖（2）、圖（3）中的實線分別為調(diào)整后關(guān)于的函數(shù)圖像．給出下列四種說法，其中正確的說法是（

）A．圖（2）對應(yīng)的方案是：提高票價，并提高固定成本B．圖（2）對應(yīng)的方案是：保持票價不變，并降低固定成本C．圖（3）對應(yīng)的方案是：提高票價，并保持固定成本不變D．圖（3）對應(yīng)的方案是：提高票價，并降低固定成本【答案】BC【解析】由圖（1）可設(shè)關(guān)于的函數(shù)為，，，為票價，當時，，則為固定成本；由圖（2）知，直線向上平移，不變，即票價不變，變大，則變小，固定成本減小，故A錯誤，B正確；由圖（3）知，直線與軸的交點不變，直線斜率變大，即變大，票價提高，不變，即不變，固定成本不變，故C正確，D錯誤；故選：BC．【變式1-3】（23-24高一上·云南保山·開學考試）為落實“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某市政部門招標一工程隊負責在山腳下修建一座水庫的土方施工任務(wù).該工程隊有兩種型號的挖掘機，已知3臺型和5臺型挖掘機同時施工一小時挖土165立方米；4臺型和7臺型挖掘機同時施工一小時挖土225立方米.每臺型挖掘機一小時的施工費用為300元，每臺型挖掘機一小時的施工費用為180元.(1)分別求每臺型，型挖掘機一小時挖土多少立方米？(2)若不同數(shù)量的型和型挖掘機共12臺同時施工4小時，至少完成1080立方米的挖土量，且總費用不超過12960元.問施工時有哪幾種調(diào)配方案，并指出哪種調(diào)配方案的施工費用最低，最低費用是多少元？【答案】(1)每臺型挖掘機一小時挖土30立方米，每臺型挖據(jù)機一小時挖土15立方米(2)型挖掘機7臺，型挖掘機5臺的施工費用最低，最低費用為12000元【解析】（1）設(shè)每臺型，型挖掘機一小時分別挖土立方米和立方米，根據(jù)題意，得，解得.所以，每臺型挖掘機一小時挖土30立方米，每臺型挖據(jù)機一小時挖土15立方米.（2）設(shè)型挖掘機有臺，總費用為元，則型挖據(jù)機有臺.根據(jù)題意，，因為，解得，又因為，解得，所以.所以，共有三種調(diào)配方案.方案一：當時，，即型挖據(jù)機7臺，型挖掘機5臺；案二：當時，，即型挖掘機8臺，型挖掘機4臺；方案三：當時，，即型挖掘機9臺，型挖掘機3臺.，由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，隨的減小而減小，當時，此時型挖掘機7臺，型挖掘機5臺的施工費用最低，最低費用為12000元.考點二：二次函數(shù)模型的應(yīng)用例2.（23-24高一上·北京東城·期末）把長為的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正方形，那么這兩個正方形面積之和的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)鐵絲的一段長度為，（其中），則另一段鐵絲長為，兩個正方形的面積之和為，根據(jù)題意，可得，當且僅當時，取得最小值，最小值為.故選：D.【變式2-1】（23-24高一下·廣東梅州·期中）如圖，在扇形中，半徑，，在半徑上，在半徑上，是扇形弧上的動點（不包含端點），則平行四邊形的周長的取值范圍是．【答案】【解析】設(shè)，則，由，得，顯然，連接，由，，得，，因此的周長顯然，當，即時，，而時，，所以的周長的取值范圍是.故答案為：【變式2-2】（23-24高一上·湖南衡陽·月考）某工廠2022年年初用100萬元購進一臺新的設(shè)備，并立即投入使用，該設(shè)備使用后，每年的總收入預計為50萬元.設(shè)使用x年后該設(shè)備的維修、保養(yǎng)費用為萬元，盈利總額為y萬元.(1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)從第幾年開始，使用該設(shè)備開始盈利?【答案】(1)；(2)第三年【解析】（1）由已知可得，.（2）當時，開始盈利，即，整理可得，解得.又，所以，即從第三年開始盈利.【變式2-3】（23-24高一上·廣東佛山·月考）某商場銷售型商品，已知該商品的進價是每件3元，且銷售單價與日均銷售量的關(guān)系如表所示：銷售單價（元）45678910日均銷售量（件）400360320280240200160請根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，此商品如何定價（單位：元/件），該商品的日均銷售利潤最大？并求日均銷售利潤的最大值.【答案】當定價為8.5元時，該商品的日均銷售利潤最大，且最大值為1210元.【解析】由題意表格中的數(shù)據(jù)可知，當售價為4元時，日銷售量為400件，售價每增加1元，日銷售量就減少40件.設(shè)定價為元，日均銷售利潤為元，則，故當時，有最大值.所以定價為8.5元時，日均銷售利潤最大，且最大值為1210元.考點三：冪函數(shù)模型的應(yīng)用例3.（23-24高二下·上?！ぴ驴迹┠称髽I(yè)欲實現(xiàn)在今后10年內(nèi)產(chǎn)值翻兩翻的目標，則該企業(yè)年產(chǎn)值的年平均增長率為(結(jié)果精確到0.001)【答案】/【解析】設(shè)該企業(yè)的年平均增長率為，則依題意得：，則，即，所以，即，故答案為：.【變式3-1】（23-24高一上·全國·專題練習）異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關(guān)系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率與其體重滿足，其中和為正常數(shù)，該類動物某一個體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)初始狀態(tài)為，則，，又，，即，，，，，．故選：D．【變式3-2】（23-24高一上·全國·練習）2020年底，國務(wù)院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續(xù)實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應(yīng)政府號召，積極參與幫扶活動．該企業(yè)2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補貼10萬元．若要實現(xiàn)2024年初的資金達到270萬元的目標，資金的年平均增長率應(yīng)為（參考值：）（

）A．10% B．20% C．22% D．32%【答案】B【解析】由題意，設(shè)年平均增長率為，則，所以，故年平均增長率為20%.故選：B【變式3-3】（23-24高一下·上海閔行·期末）銀行按規(guī)定每經(jīng)過一定的時間結(jié)算存（貸）款的利息一次，結(jié)算后將利息并入本金，這種計算利息的方法叫做復利．現(xiàn)在某企業(yè)進行技術(shù)改造，有兩種方案：甲方案：一次性向銀行貸款10萬元，技術(shù)改造后第一年可獲得利潤1萬元，以后每年比上年增加30%的利潤；乙方案：每年向銀行貸款1萬元，技術(shù)改造后第一年可獲得利潤1萬元，以后每年比前一年多獲利5000元．(1)設(shè)技術(shù)改造后，甲方案第n年的利潤為（萬元），乙方案第n年的利潤為（萬元），請寫出、的表達式；(2)假設(shè)兩種方案的貸款期限都是10年，到期一次性歸還本息．若銀行貸款利息均以年息10%的復利計算，試問該企業(yè)采用哪種方案獲得的扣除本息后的凈獲利更多？（精確到0.1）（凈獲利=總利潤-本息和）（參考數(shù)據(jù)，【答案】(1)，,；(2)采用甲方案獲得的扣除本息后的凈獲利更多【解析】（1）對于甲方案，1年后，利潤為1（萬元）．2年后，利潤為，3年后，利潤為（萬元），……故年后，利潤為（萬元），因此，對于乙方案，1年后，利潤為1（萬元）．2年后，利潤為，3年后，利潤為（萬元），……故年后，利潤為（萬元），因此，（2）甲方案十年共獲利（萬元），10年后，到期時銀行貸款本息為（萬元），故甲方案的凈收益為（萬元），乙方案十年共獲利（萬元），貸款本息為（萬元），故乙方案的凈收益為（萬元），由，故采用甲方案獲得的扣除本息后的凈獲利更多考點四：對勾函數(shù)模型的應(yīng)用例4.（22-23高一上·安徽馬鞍山·期中）如圖，安工大附中欲利用原有的墻（墻足夠長）為背面，建造一間長方體形狀的房屋作為體育器材室.房屋地面面積為，高度為3m.若房屋側(cè)面和正面每平方米的造價均為1000元，屋頂?shù)脑靸r為6000元，且不計房屋背面和地面的費用，則該房屋的最低總造價為元.【答案】【解析】設(shè)房屋的長為，則寬為，則總造價，當且僅當，即時取等號，故當長等于，寬等于時，房屋的最低總造價為元.故答案為：.【變式4-1】（23-24高一上·湖北孝感·月考）一家貨物公司計劃租地建造倉庫儲存貨物,經(jīng)過市場調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費（單位：萬元）與倉庫到車站的距離x（單位：）成反比,每月庫存貨物費（單位：萬元）與x成正比；若在距離車站處建倉庫,則和分別為4萬元和9萬元,為了能使兩項費用之和最小,這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站千米處.【答案】【解析】由題知,設(shè),,由已知得,即,即兩項費用之和為,即,當且僅當,即時取等號,所以這家公司應(yīng)該把倉庫建在距離車站千米處,才能使兩項費用之和最小.故答案為:【變式4-2】（23-24高一上·江蘇宿遷·期末）如圖，某居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場所，它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形和構(gòu)成的面積為的十字形地域．計劃在正方形上建一座花壇，造價為1000元；在四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價為400元；在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，造價為200元．設(shè)長為（單位：）．(1)用表示的長度，并求的取值范圍；(2)當?shù)拈L為何值時，總造價最低？最低總造價是多少？【答案】(1)，；(2)當時，總造價最小為240000元.【解析】（1）由題意可得：矩形的面積為，因此，因為，所以．（2）由題意可得：，（）由基本不等式，當且僅當，即時，等號成立，所以當時，總造價最小，最小值為240000元．【變式4-3】（23-24高一下·湖北·開學考試）某甜品店今年年初花費21萬元購得一臺新設(shè)備，經(jīng)估算該設(shè)備每年可為甜品店提供12萬元的總收入，已知使用年所需的總維護費用為萬元．(1)該甜品店第幾年開始盈利？(2)若干年后，該甜品店計劃以2萬的價格賣出設(shè)備，有以下兩種方案：①當年平均盈利最大時賣出；②當盈利總額達到最大時賣出；試問哪一方案較為劃算？說明理由．【答案】(1)第四年，理由見解析；(2)兩個方案一樣，理由見解析【解析】（1）設(shè)該甜品店年后所得總利潤為萬元，則，若開始盈利即，∴，解得，∴第四年開始盈利．（2）方案①：設(shè)年平均利潤為，則，由對勾函數(shù)性質(zhì)可得在上單調(diào)遞增，上為單調(diào)遞減．又，，時，，4年總利潤為3萬元，時，，5年總利潤為4萬元，故選擇第5年賣出，方案②：，，即時總利潤最大為4萬元，故選擇方案一或方案二是一樣的，最終都是在即第5年總利潤達到最大值4萬元，加上賣設(shè)備的2萬元，一共6萬元利潤．考點五：分段函數(shù)模型的應(yīng)用例5.（23-24高一下·江西贛州·期中）春天，時令水果草莓上市了，某水果店統(tǒng)計了草莓上市以來前兩周的銷售價格（元/盒）與時間t（天）的關(guān)系：一位顧客在這兩周里在該水果店購買了若干盒草莓，總共消費212元，其中在后6天買了4盒，則前8天一共買了（

）A．7盒 B．6盒 C．5盒 D．4盒【答案】B【解析】設(shè)前3天共買了m盒，第4天到第8天共買了n盒，則，整理得，因為m，n均為非負整數(shù)，所以是11的整數(shù)倍，當時，，得．故選：B．【變式5-1】（23-24高一上·江蘇宿遷·期中）新能源汽車是低碳生活的必然選擇和汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展趨勢.某汽車企業(yè)為了響應(yīng)國家號召，2020年積極引進新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過分析，全年需要投入固定成本萬元.每生產(chǎn)（百輛）新能源汽車，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，每輛車售價萬元，且生產(chǎn)的車輛當年能全部銷售完.(1)求出年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤銷售量售價成本）(2)年產(chǎn)量為多少百輛時，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.【答案】(1)；(2)年產(chǎn)量為90百輛時利潤最大，最大利潤為2820萬元.【解析】（1）每輛車售價5萬元，年產(chǎn)量（百輛）時銷售收入為萬元，總成本為，所以.所以年利潤.（2）由（1）當時，（百輛）時（萬元），當時，當且僅當（百輛）時，等號成立，因為2820萬元萬元,所以年產(chǎn)量90百輛時利潤最大，最大利潤為2820萬元.【變式5-2】（23-24高一上·江西宜春·期末）某醫(yī)療器械公司為了進一步增加市場競爭力，計劃改進技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為200萬元，最大產(chǎn)能為100臺．每生產(chǎn)臺，需另投入成本萬元，且，由市場調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺的售價為200萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當年能全部銷售完．(1)寫出年利潤萬元關(guān)于年產(chǎn)量臺的函數(shù)解析式（利潤銷售收入成本）；(2)當該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？【答案】(1)；(2)70臺，最大利潤是1760萬元.【解析】（1）由題意可得：當時，，當時，，所以．（2）當時，，所以當時（萬元）；當時，，當且僅當，即時等號成立，此時萬元.綜上可知，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是萬元.【變式5-3】（23-24高一上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了打造“網(wǎng)紅”城鎮(zhèn)發(fā)展經(jīng)濟，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”.經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某珍惜水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關(guān)系：，肥料成本投入為10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工費）20x元.已知這種水果的市場售價大約15元/千克，且銷售暢通供不應(yīng)求，記該水果單株利潤為（單位：元）(1)寫單株利潤（元）關(guān)于施用肥料x（千克）的關(guān)系式；(2)當施用肥料為多少千克時，該水果單株利潤最大?最大利潤是多少?【答案】(1)；(2)當施用肥料為4千克時，單株利潤最大，最大利潤是480元.【解析】（1）依題意，，又，所以.（2）當時，，其圖象開口向上，對稱軸為，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上的最大值為；當時，，當且僅當時，即時等號成立，而，則當時，，所以當施用肥料為4千克時，單株利潤最大，最大利潤是480元.考點六：圖象信息綜合應(yīng)用題例6.（23-24高一上·全國·期末）某單位準備印制一批證書，現(xiàn)有兩個印刷廠可供選擇，甲廠費用分為制版費和印刷費兩部分，先收取固定的制版費，再按印刷數(shù)量收取印刷費；乙廠直接按印刷數(shù)量收取印刷費，甲、乙兩廠的總費用（千元）與印制證書數(shù)量（千個）的函數(shù)圖像分別如圖中甲、乙所示，則下列說法正確的是（

）

A．選擇甲廠比較劃算B．選擇乙廠比較劃算C．若該單位需印制證書數(shù)量為8千個，則選擇乙廠比較劃算D．當該單位需印制證書數(shù)量小于2千個時，不管選擇哪個廠，總費用都一樣【答案】C【解析】由圖知：甲廠費用函數(shù)為，乙廠費用函數(shù)為，當時，，可得；當時，，可得；結(jié)合圖象知：當或時乙廠劃算；當時甲廠劃算；當或時甲乙費用相同；所以A、B、D錯，C對.故選：C【變式6-1】（22-23高一下·湖北武漢·期末）2023年4月18日，我國自行研制具有完全自主知識產(chǎn)權(quán)的噴氣式支線客機ARJ21完成了在印尼首航，這是ARJ21在海外市場商業(yè)運行的首秀，標志著國產(chǎn)新支線客機ARJ21在海外商業(yè)運營邁開第一步．中國商飛公司為了進一步打開海外市場，需要加大在開創(chuàng)性、創(chuàng)新性探索和實踐方面的投入．中國商飛公司旗下甲乙兩家子公司，各子公司投入與利潤的關(guān)系如下．甲公司：利潤（億元）與投入（億元）成一次函數(shù)關(guān)系，乙公司：利潤（億元）與投入（億元）成冪函數(shù)型關(guān)系，如圖所示．目前，中國商飛總公司準備拿出資金10億元投入到甲、乙兩公司，如何分配才能使總利潤最大呢？（

）

A．投入甲公司億元，投入乙公司億元B．投入甲公司億元，投入乙公司億元C．投入甲公司0億元，投入乙公司10億元D．投入甲公司10億元，投入乙公司0億元【答案】B【解析】由題意可得：，解得，即甲公司利潤與投入函數(shù)關(guān)系式；，解得，乙公司利潤與投入函數(shù)關(guān)系式．設(shè)投入到乙公司億元，則投入到甲公司億元，總利潤，令，則總利潤為，因此當，即投入到乙公司億元，投入到甲公司億元，總利潤最大．故選：B.【變式6-2】（23-24高一上·云南曲靖·期末）某家庭進行理財投資，根據(jù)長期收益率市場預測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的年收益與投資額成正比，其關(guān)系如圖1；投資股票等風險型產(chǎn)品的年收益與投資額的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2．(1)分別寫出兩種產(chǎn)品的年收益和的函數(shù)關(guān)系式；(2)該家庭現(xiàn)有10萬元資金，全部用于理財投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大年收益，其最大年收益是多少萬元？【答案】(1)，(2)當投資穩(wěn)健型產(chǎn)品的資金為6萬元，風險型產(chǎn)品的資金為4萬元時年收益最大，最大值為萬元【解析】（1）由題意可設(shè)，，由圖知，函數(shù)和的圖象分別過點和，代入解析式可得，，所以，.（2）設(shè)用于投資穩(wěn)健型產(chǎn)品的資金為萬元，用于投資風險型產(chǎn)品的資金為萬元，年收益為萬元，則，，有，則當，即萬元時，的最大值為，所以當投資穩(wěn)健型產(chǎn)品的資金為6萬元，風險型產(chǎn)品的資金為4萬元時年收益最大，最大值為萬元．【變式6-3】（23-24高一上·北京·期中）為進一步改善空氣質(zhì)量，增強人民的藍天幸福感，年月日，國務(wù)院公開發(fā)布打贏藍天保衛(wèi)戰(zhàn)三年行動計劃，其中京津冀地區(qū)被列為重點治理區(qū)域．某課外活動小組根據(jù)北京市預報的某天時空氣質(zhì)量指數(shù)數(shù)據(jù)繪制成散點圖，并選擇連續(xù)函數(shù)來近似刻畫空氣質(zhì)量指數(shù)隨時間變化的規(guī)律如圖．(1)求，的值；(2)當空氣質(zhì)量指數(shù)大于時，有關(guān)部門建議市民外出活動應(yīng)戴防霧霾口罩，并禁止某行業(yè)施工作業(yè)．請你結(jié)合該課外活動小組選擇的函數(shù)模型，回答以下問題：（i）某同學該天：出發(fā)上學，是否應(yīng)該戴防霧霾口罩？請說明理由；（ii）試問該天：之后，該行業(yè)可以施工作業(yè)的時間最長為多少小時？【答案】(1)，；(2)（i）應(yīng)該戴防霧霾口罩，理由見解析（ii）12小時【解析】（1）由圖象可知，當時，，，，又函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，，；（2）由1可知，，（i）當時，，所以該同學應(yīng)該戴防霧霾口罩，(ⅱ)當時，，令得，，解得：，所以該天：之后，該行業(yè)可以施工作業(yè)的時間最長為個小時．一、單選題1．（23-24高一上·遼寧大連·月考）某文具店購進一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價格銷售，每天能賣出30盞；若售價每提高1元，日銷售量將減少2盞，現(xiàn)決定提價銷售，為了使這批臺燈每天獲得400元以上(不含400元)的銷售收入．則這批臺燈的銷售單價x(單位：元)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)這批臺燈的銷售單價為x元，由題意得，，即，解得，又因為，所以，這批臺燈的銷售單價的取值范圍是.故選：C2．（23-24高一上·江西·月考）你見過古人眼中的煙花嗎？那是朱淑真元宵夜的“火樹銀花觸目紅”，是隋煬帝眼中的“燈樹千光照，花焰七枝開”.煙花，雖然是沒有根的花，是虛幻的花，卻在達到最高點時爆裂，用其燦爛的一秒換來人們真心的喝彩.已知某種煙花距地面的高度（單位：米）與時間（單位：秒）之間的關(guān)系式為，則煙花在沖擊后爆裂的時刻是（

）A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒【答案】A【解析】由題意，，則當時，即煙花達到最高點，爆裂的時刻是第秒.故選：A.3．（23-24高一上·湖北黃岡·期中）為了保護水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對居民生活用水實行“階梯水價”.計費方法如表格所示：若某戶居民本月交納的水費為48元，則此戶居民本月用水量是（

）每戶每月用水量水價不超過的部分3元超過但不超過的部分6元超過的部分9元A． B． C． D．【答案】B【解析】先計算本月用水量為，則需要繳納水費36元，少于48元；如果本月用水量為，則前需要繳納水費36元，超過但不超過的部分，需要繳納水費36元，所以本月用水量為，需要繳納水費72元，多于48元，則這該居民本月用水量超過但不超過，所以前需要繳納水費36元，而超過但不超過的部分的水費為12元，因為其單價為6元，所以為，故本月用水量為.故選：B4．（23-24高一上·廣東梅州·月考）如圖，點P在邊長為1的正方形邊上運動，M是CD的中點，當點P沿運動時，點P經(jīng)過的路程x與的面積y的函數(shù)的圖象的形狀大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】點P在AB上時,；點P在BC上時，；點P在CD上時，；所以畫出分段函數(shù)的大致圖象，如圖所示．故選：A．5．（23-24高一上·江蘇南京·期中）學校宿舍與辦公室相距.某同學有重要材料要送交給老師，從宿舍出發(fā)，先勻速跑步來到辦公室，停留，然后勻速步行返回宿含.在這個過程中，這位同學行進的速度和行走的路程都是時間的函數(shù)，則速度函數(shù)和路程函數(shù)的示意圖分別是下面四個圖象中的（

）

A．①② B．③④ C．①④ D．②③【答案】A【解析】設(shè)行進的速度為m/min，行走的路程為Sm，則，且，由速度函數(shù)及路程函數(shù)的解析式可知，其圖象分別為①②.故選：A6．（23-24高一·全國·專題練習）南通至通州的某條公共汽車線路收支差額y與乘客量x的函數(shù)關(guān)系如圖所示（收支差額＝車票收入一支出費用）．由于目前本條線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩條建議：建議（Ⅰ）不改變車票價格，減少支出費用；建議（Ⅱ）不改變支出費用，提高車票價格．下面給出的四個圖形中，實線虛線分別表示目前和建議后的函數(shù)關(guān)系，則（

）A．①反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）B．②反映了建議（Ⅰ），④反映了建議（Ⅱ）C．①反映了建議（Ⅰ），③反映了建議（Ⅱ）D．④反映了建議（Ⅰ），②反映了建議（Ⅱ）【答案】C【解析】設(shè)目前車票價格為，支出費用為，則，對于建議（I），設(shè)建議后的支出費用為（＜），則，顯然建議后，直線斜率不變，在y軸上的截距變大，故圖象①反映了建議（I）；對于建議（II），設(shè)建議后的車票價格為（＞），則，顯然建議后，直線斜率變大，在y軸上的截距不變，故圖象③反映了建議（II）．故選：C．二、填空題7．（23-24高一下·云南·月考）某商店銷售兩款商品，利潤（單位：元）分別為和，其中為銷量（單位：袋），若本周銷售兩款商品一共20袋，則能獲得的最大利潤為.【答案】170【解析】設(shè)該商店銷售商品袋，則商品袋，所以可獲得的利潤，，當或10時，利潤最大，最大利潤為170元.故答案為：170.8．（22-23高一上·浙江寧波·期中）某地方政府為鼓勵全民創(chuàng)業(yè)，擬對本地年產(chǎn)值（單位：萬元）的小微企業(yè)進行獎勵，獎勵方案為：獎金y（單位：萬元）隨企業(yè)年產(chǎn)值x的增加而增加，且獎金不低于8萬元，同時獎金不超過企業(yè)年產(chǎn)值的12%.若函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】由題意為增函數(shù)，故，解得.又根據(jù)題意可得對恒成立，故在恒成立.由對勾函數(shù)性質(zhì)可知：函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，故，由可得在區(qū)間上恒成立，所以，綜上有，即m的取值范圍為.故答案為：.三、解答題9．（23-24高一上·安徽馬鞍山·期末）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為全面實施鄉(xiāng)村