2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第1章集合與常用邏輯用語1.11.1.1第2課時(shí)集合的表示方法學(xué)案新人教B版必修第一冊(cè)

PAGE第2課時(shí)集合的表示方法學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．駕馭集合的兩種表示方法．(重點(diǎn))2．駕馭區(qū)間的概念及表示方法．(重點(diǎn))1．借助空集、區(qū)間的概念，培育數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)．2．通過學(xué)習(xí)集合的兩種表示方法，培育數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).語言是人與人之間相互聯(lián)系的一種方式，同樣的祝愿有著不同的表示方法．例如，簡(jiǎn)體中文中的“生日歡樂”，英文為“HappyBirthday”……那么，對(duì)于一個(gè)集合，有哪些不同的表示方法呢？學(xué)問點(diǎn)一集合的表示方法1．列舉法把集合中的元素一一列舉出來(相鄰元素之間用逗號(hào)分隔)，并寫在大括號(hào)內(nèi)，以此來表示集合的方法叫做列舉法．1．一一列舉元素時(shí)，須要考慮元素的依次嗎？[提示]用列舉法表示集合時(shí)不必考慮元素的依次．例如：{a，b}與{b，a}表示同一個(gè)集合．(1)元素與元素之間必需用“，”隔開；(2)集合中的元素必需是明確的；(3)集合中的元素不能重復(fù)；(4)集合中的元素可以是任何事物．1．思索辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)用1,1,2,3組成的集合可用列舉法表示為{1,1,2,3}． ()(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2. ()[答案](1)×(2)×[提示](1)集合中的元素是互異的．(2)集合{(1,2)}中的元素是(1,2)．2.不等式x－3＜2且x∈N*的解集用列舉法可表示為________．{1,2,3,4}[∵x－2＜3，∴x＜5.又x∈N*，∴x＝1,2,3,4，故可表示為{1,2,3,4}．]2．描述法一般地，假如屬于集合A的隨意一個(gè)元素x都具有性質(zhì)p(x)，而不屬于集合A的元素都不具有這特性質(zhì)，則性質(zhì)p(x)稱為集合A的一個(gè)特征性質(zhì)．此時(shí)，集合A可以用它的特征性質(zhì)p(x)表示為{x|p(x)}．這種表示集合的方法，稱為特征性質(zhì)描述法，簡(jiǎn)稱為描述法．2.視察下列集合：(1)不等式x－2≥3的解集；(2)函數(shù)y＝x2－1的圖像上的全部點(diǎn)．問題1：這兩個(gè)集合能用列舉法表示嗎？[提示]不能．問題2：如何表示這兩個(gè)集合？[提示]利用描述法．3.由大于－1小于5的自然數(shù)組成的集合用列舉法表示為________，用描述法表示為________．{0,1,2,3,4}{x∈N|－1＜x＜5}[大于－1小于5的自然數(shù)有0,1,2,3,4.故用列舉法表示集合為{0,1,2,3,4}；用描述法表示可用x表示代表元素，其滿意的條件是x∈N且－1＜x＜5.故用描述法表示集合為{x∈N|－1＜x＜5}．]學(xué)問點(diǎn)二區(qū)間的概念及其表示方法1．設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且a＜b，則有下表：定義名稱符號(hào)數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間[a，b]{x|a＜x＜b}開區(qū)間(a，b){x|a≤x＜b}半開半閉區(qū)間[a，b){x|a＜x≤b}半開半閉區(qū)間(a，b]2.實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間表示為(－∞，＋∞)，“∞”讀作“無窮大”．如：符號(hào)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)集合{x|x≥a}x＞a{x|x≤a}{x|x＜a}(1)“∞”是一個(gè)符號(hào)，而不是一個(gè)數(shù)．(2)以“－∞”或“＋∞”為端點(diǎn)時(shí)，區(qū)間這一端必需是小括號(hào)．4.用區(qū)間表示下列集合：(1){x|－1≤x≤2}：________；(2){x|1＜x≤3}：________；(3){x|x＞2}：________；(4){x|x≤－2}：________.[答案](1)[－1,2](2)(1,3](3)(2，＋∞)(4)(－∞，－2]類型1用列舉法表示集合【例1】(1)若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，則集合A中元素的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4(2)用列舉法表示下列集合．①不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合；②方程x2＝x的全部實(shí)數(shù)解組成的集合；③直線y＝2x＋1與y軸的交點(diǎn)所組成的集合；④方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝－1))的解集．(1)B[集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有兩個(gè)元素(1,2)和(3,4)．選B．](2)[解]①因?yàn)椴淮笥?0是指小于或等于10，非負(fù)是大于或等于0的意思，所以不大于10的非負(fù)偶數(shù)集是{0,2,4,6,8,10}．②方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解組成的集合為{0,1}．③將x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交點(diǎn)是(0,1)，故兩直線的交點(diǎn)組成的集合是{(0,1)}．④解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝－1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1.))∴用列舉法表示方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝－1))的解集為{(0,1)}．用列舉法表示集合的3個(gè)步驟(1)求出集合的元素．(2)把元素一一列舉出來，且相同元素只能列舉一次．(3)用花括號(hào)括起來．提示：用列舉法表示集合，要求元素不重復(fù)、不遺漏、不計(jì)次序，且元素與元素間用“，”隔開．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．(1)用“book”中的字母構(gòu)成的集合中元素個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4(2)已知集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，對(duì)隨意a∈A，有|a|∈B，且B中只有4個(gè)元素，則集合B＝________.(1)C(2){0,1,2,3}[(1)由集合中元素的互異性可知，該集合中共有“b”“o”“k”三個(gè)元素．(2)對(duì)隨意a∈A，有|a|∈B，因?yàn)榧螦＝{－2，－1,0,1,2,3}，由－1，－2,0,1,2,3∈A，知0,1,2,3∈B．又因?yàn)锽中只有4個(gè)元素，所以B＝{0,1,2,3}．]類型2用描述法表示集合【例2】(對(duì)接教材P9練習(xí)A④)用描述法表示下列集合：(1)被3除余1的正整數(shù)的集合；(2)坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的點(diǎn)的集合；(3)大于4的全部偶數(shù)．[解](1)依據(jù)被除數(shù)＝商×除數(shù)＋余數(shù)，可知此集合表示為{x|x＝3n＋1，n∈N}．(2)第一象限內(nèi)的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均大于零，故此集合可表示為{(x，y)|x＞0，y＞0}．(3)偶數(shù)可表示為2n，n∈Z，又因?yàn)榇笥?，故n≥3，從而用描述法表示此集合為{x|x＝2n，n∈Z且n≥3}．1．描述法表示集合的2個(gè)步驟2．選用列舉法或描述法的原則要依據(jù)集合元素所具有的屬性選擇適當(dāng)?shù)谋硎痉椒ǎ信e法的特點(diǎn)是能清晰地呈現(xiàn)集合的元素，通常用于表示元素較少的集合，當(dāng)集合中元素較多或無限時(shí)，就不宜采納列舉法；描述法的特點(diǎn)是形式簡(jiǎn)潔、應(yīng)用便利，通常用于表示元素具有明顯共同特征的集合，當(dāng)元素共同特征不易找尋或元素的限制條件較多時(shí)，就不宜采納描述法．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．用描述法表示下列集合：(1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；(2)二次函數(shù)y＝x2－10圖像上的全部點(diǎn)組成的集合．[解](1)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0可化為(x－2)2＋(y＋3)2＝0，解得x＝2，y＝－3，所以方程的解集為{(x，y)|x＝2，y＝－3}．(2)“二次函數(shù)y＝x2－10圖像上的全部點(diǎn)”用描述法表示為{(x，y)|y＝x2－10}．類型3區(qū)間及其表示【例3】(對(duì)接教材P9練習(xí)A⑤)將下列集合用區(qū)間及數(shù)軸表示出來：(1){x|x＜2}；(2){x|x≥3}；(3){x|－1≤x＜5}．[解](1){x|x＜2}用區(qū)間表示為(－∞，2)，用數(shù)軸表示如下：(2){x|x≥3}用區(qū)間表示為[3，＋∞)，用數(shù)軸表示如下：(3){x|－1≤x＜5}用區(qū)間表示為[－1,5)，用數(shù)軸表示如下：用區(qū)間表示數(shù)集的原則和方法(1)用區(qū)間表示數(shù)集的原則：①數(shù)集是連續(xù)的；②左小右大；③區(qū)間的開閉不能弄錯(cuò)．(2)用區(qū)間表示數(shù)集的方法：①區(qū)間符號(hào)里面的兩個(gè)數(shù)字(或字母)之間用“，”隔開；②用數(shù)軸表示區(qū)間時(shí)，要特殊留意實(shí)心點(diǎn)與空心點(diǎn)的區(qū)分．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．(1)不等式x－2≥0的全部解組成的集合表示成區(qū)間是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．(－∞，2) D．(－∞，2](2)若[a,3a－1]為一確定區(qū)間，則a的取值范圍為________(1)B(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))[(1)不等式x－2≥0的全部解組成的集合為{x|x≥2}，表示成區(qū)間為[2，＋∞)．(2)由區(qū)間的定義可知3a－1＞a，即a＞eq\f(1,2).]類型4集合與方程的綜合問題【例4】(1)若集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一個(gè)元素，則a＝()A．1 B．2C．0 D．0或1(2)設(shè)eq\f(1,2)∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－ax－\f(5,2)＝0))))，則集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－\f(19,2)x－a＝0))))中全部元素之積為________．(1)D(2)eq\f(9,2)[(1)當(dāng)a＝0時(shí)，原方程變?yōu)?x＋1＝0，此時(shí)x＝－eq\f(1,2)，符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，方程ax2＋2x＋1＝0為一元二次方程，Δ＝4－4a＝0，即a＝1，原方程的解為x故當(dāng)a＝0或a＝1時(shí)，原方程只有一個(gè)解，此時(shí)A中只有一個(gè)元素．(2)因?yàn)閑q\f(1,2)∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－ax－\f(5,2)＝0))))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,2)a－eq\f(5,2)＝0，解得a＝－eq\f(9,2).當(dāng)a＝－eq\f(9,2)時(shí)，方程x2－eq\f(19,2)x＋eq\f(9,2)＝0的判別式Δ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(19,2)))eq\s\up12(2)－4×eq\f(9,2)＝eq\f(289,4)＞0，由x2－eq\f(19,2)x＋eq\f(9,2)＝0，解得x1＝eq\f(1,2)，x2＝9，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－\f(19,2)x＋\f(9,2)＝0))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，9))，故集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－\f(19,2)x＋\f(9,2)＝0))))的全部元素的積為eq\f(1,2)×9＝eq\f(9,2).][變條件]若本例(1)中“只有一個(gè)元素”變?yōu)椤爸辽儆幸粋€(gè)元素”，求a的取值范圍．[解]A中至少有一個(gè)元素，即A中有一個(gè)或兩個(gè)元素．由例題解析可知，當(dāng)a＝0或a＝1時(shí)，A中有一個(gè)元素；當(dāng)A中有兩個(gè)元素時(shí)，Δ＝4－4a＞0，即a＜1且a≠0.所以A中至少有一個(gè)元素時(shí)，a的取值范圍為(－∞集合與方程綜合問題的解題策略(1)對(duì)于一些已知某個(gè)集合(此集合中涉及方程)中的元素個(gè)數(shù)，求參數(shù)的問題，常把集合的問題轉(zhuǎn)化為方程的解的問題．如對(duì)于方程ax2＋bx＋c＝0，當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，方程有一個(gè)解；當(dāng)a≠0時(shí)，若Δ＝0，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；若Δ＜0，則方程無解；若Δ＞0，則方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．(2)集合與方程的綜合問題，一般要求對(duì)方程中最高次項(xiàng)的系數(shù)(含參數(shù))的取值進(jìn)行分類探討，確定方程實(shí)數(shù)根的狀況，進(jìn)而求得結(jié)果．需特殊留意判別式在一元二次方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)的探討中的作用．1．把集合{x|x2－3x＋2＝0}用列舉法表示為()A．{x＝1，x＝2} B．{x|x＝1，x＝2}C．{x2－3x＋2＝0} D．{1,2}D[解方程x2－3x＋2＝0可得x＝1或x＝2，故集合{x|x2－3x＋2＝0}用列舉法可表示為{1,2}．]2．已知M＝{x|x－1＜eq\r(2)}，那么()A．2∈M，－2∈M B．2∈M，－2?MC．2?M，－2?M D．2?M，－2∈MA[若x＝2，則x－1＝1＜eq\r(2)，所以2∈M；若x＝－2，則x－1＝－3＜eq\r(2)，所以－2∈M.故選A．]3．已知集合A＝{0,1,2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的個(gè)數(shù)是()A．1 B．3C．5 D．9C[x－y∈{－2，－1,0,1,2}．]4．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示()A．方程y＝2x－1B．點(diǎn)(x，y)C．平面直角坐標(biāo)系中的全部點(diǎn)組成的集合D．函數(shù)y＝2x－1圖像上的全部點(diǎn)組成的集合D[集合{(x，y)|y＝2x－1}的代表元素是(x，y)，x，y滿意的關(guān)系式為y＝2x－1，因此集合表示的是滿意關(guān)系式y(tǒng)＝2x－1的點(diǎn)組成的集合，故選D．]5．用區(qū)間表示下列數(shù)集：(1){x|x≥1}＝________；(2){x|2<x≤4}＝________.[答案](1)[1，＋∞)(2)(2,4]回顧本節(jié)學(xué)問，自我完成以下問題：1．?與{0}有什么區(qū)分？[提示](1)?是不含任何元素的集合；(2){0}是含有一個(gè)元素的集合．2．在用列舉法表示集合時(shí)應(yīng)留意什么問題？[提示](1)元素間用分隔號(hào)“，”；(2)元素不重復(fù)；(3)元素?zé)o依次；(4)列舉法可表示有限集，也可以表示無限集，若元素個(gè)數(shù)比較少用列舉法比較簡(jiǎn)潔；若集合中的元素較多或無限，但出現(xiàn)肯定的規(guī)律性，在不發(fā)生誤會(huì)的狀況下，也可以用列舉法表示．3．在用描述法表示集合時(shí)應(yīng)留意什么問題？[提示](1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是數(shù)、還是有序?qū)崝?shù)對(duì)(點(diǎn))、還是集合或其他形式；(2)(元素具有怎樣的屬性)當(dāng)題目中用了其他字母來描述元素所具有的屬性時(shí)，要去偽存真，不能被表面的字母形式所迷惑．4．關(guān)于無窮大的兩點(diǎn)留意事項(xiàng)是什么？[提示](1)∞是一個(gè)符號(hào)，而不是一個(gè)數(shù)；(2)以“－∞”或“＋∞”為區(qū)間的一端點(diǎn)時(shí)，這一端必需用小括號(hào)．以實(shí)際問題為背景的集合問題幼升小不僅是對(duì)孩子的考察，更是對(duì)家長的一次考驗(yàn)每年，家有即將幼升小的家長們，最關(guān)切的就是自家的娃能否進(jìn)入心心念念的學(xué)校，所在