數學學案：集合與集合的表示方法

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精1.1集合與集合的表示方法1．集合的概念(1)集合與元素的含義一般地，把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構成的集合（或集），常用英語大寫字母A，B，C,…來表示．構成集合的每個對象叫做這個集合的元素（或成員），常用英語小寫字母a，b，c,…來表示．示例:小于5的自然數組成的集合，可以記為集合B，它的元素是0,1，2，3，4.點技巧一組對象能否構成集合的判斷技巧判斷一組對象能否構成集合的關鍵是看是否有明確的判斷標準，給定的對象是“確定無疑”的還是“模棱兩可”的,如果是“確定無疑”的，就可構成集合；如果是“模棱兩可”的，就不能構成集合．(2)元素與集合的關系元素與集合有屬于(∈)和不屬于（）兩種關系．如果a是集合A的元素，就說a屬于A，記作a∈A，讀作“a屬于A”；如果a不是集合A的元素，就說a不屬于A,記作aA，讀作“a不屬于A”．對于元素與集合的關系要從以下三個方面理解:①a∈A與aA取決于a是不是集合A的元素，對任何a與A，在a∈A與aA這兩種情況中必有一種且只有一種成立；②集合的元素具有兩方面的意義，即凡是符合條件的對象都是該集合的元素,只要是該集合的元素就符合條件；③“∈"與“”的開口方向是朝向集合的．談重點對符號“∈"或“”的理解符號∈和只能用于元素與集合之間，并且這兩個符號的左邊是元素,右邊是集合,左右兩邊不能互換；a∈A或aA取決于a是否是集合A的元素，這兩種情況有且只有一種成立．（3)空集不含任何元素的集合叫做空集，記作。如：方程x2＋1＝0的實數解構成的集合，顯然方程x2＋1＝0無實數解,故方程x2＋1＝0的實數解構成的集合為.（4）集合中元素的性質元素的性質理解確定性給定的集合，它的元素必須是確定的，也就是說，給定一個集合,那么任何一個對象是不是這個集合的元素也就確定了,我們把這個性質稱為集合元素的確定性．互異性一個給定集合中的元素是互不相同的，也就是說，集合中的元素是不能重復出現(xiàn)的．我們把這個性質稱為集合元素的互異性．無序性集合中的元素是沒有順序的，也就是說，集合中的元素沒有前后之分，我們把這個性質稱為集合元素的無序性。【例1－1】下列每組對象能否構成一個集合？(1)所有很大的實數;（2)不超過20的非負數的全體;(3)方程x2－9＝0在實數范圍內的所有解；（4)直角坐標平面內第一象限的點．分析：判斷所給對象能否構成集合，只需看滿足條件的對象是不是“確定”的，若是，則能構成集合，否則不能構成集合．解：(1)“所有很大的實數”無明確的標準，對于某個實數是否“很大”無法客觀地判斷，因此（1)中的對象不能構成集合．(2)任給一個實數x,可以明確地判斷它是不是“不超過20的非負數”，故“不超過20的非負數的全體”能構成集合．（3）中滿足條件的解能構成集合．(4)任給一個點，可以明確地判斷它是不是第一象限的點，所以滿足條件的點能構成一個集合．【例1－2】用符號∈或填空：（1)設集合A是正整數構成的集合，則0______A，______A，（－1）0______A；(2）設集合B是小于的所有實數構成的集合,則______B，______B；（3）設集合C是滿足x＝n2＋1(其中n為正整數）的實數x構成的集合，則3______C，5______C；（4）設集合D是滿足方程y＝x2的有序實數對（x,y)構成的集合，則－1______D，(－1,1)______D.解析：(1)∵0不是正整數，∴0A.∵是無理數，∴A.∵(－1)0＝1是正整數,∴(－1）0∈A。（2）∵,∴B.∵（1＋)2＝3＋＜11，∴.∴1＋∈B。(3）∵n是正整數，∴n2＋1≠3?！?C。∵n＝2時，n2＋1＝5,∴5∈C。（4)由于集合D中的元素是有序實數對（x，y)，而－1是實數，不是有序實數對，∴－1D?！撸ǎ?)2＝1，∴(－1,1）∈D.答案：（1)∈(2）∈（3)∈（4)∈【例1－3】由a，－a，｜a｜，構成的集合中，最多含有幾個元素？分析：首先對a進行分類討論，然后根據集合中元素的性質,判斷集合中元素的個數．解：當a＝0時，四個數都為0，即該集合只含有一個元素．當a≠0時，含有兩個元素a，－a。所以此集合最多含有兩個元素．2．集合的分類集合可以根據它含有的元素個數的多少分為兩類：有限集和無限集．(1)有限集：含有有限個元素的集合．如由方程3x＋1＝0的解的全體組成的集合，由2,4,6，8組成的集合，它們的元素個數是可數的,因此這兩個集合是有限集．（2）無限集：含有無限個元素的集合．如“到平面上兩個定點的距離相等的所有點”“所有的三角形”，組成上述集合的元素是不可數的，因此它們是無限集．一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作.【例2】下列各組對象能否構成集合，若能構成集合，則指出它們是有限集還是無限集：(1）中國的所有人口；（2)廣東省2013年的所有應屆高中畢業(yè)生；(3）數軸上到原點的距離小于1的所有點;（4）方程x2＝0的解的全體．解：（1）中國的所有人口能構成一個集合，它是有限集．(2)廣東省2013年的所有應屆高中畢業(yè)生能構成一個集合，它是有限集．（3）數軸上到原點的距離小于1的所有點能構成一個集合，它是無限集．(4）方程x2＝0的解是x＝0,它能構成一個集合,它是有限集．3．常用數集數集含義記號自然數集非負整數全體構成的集合N正整數集自然數集內排除0的集合N＋或N＊整數集整數全體構成的集合Z有理數集有理數全體構成的集合Q實數集實數全體構成的集合R辨誤區(qū)對常用數集的理解通常情況下,N，N＋,Z，Q，R不再表示其他的集合，否則會引起“混亂”的局面;雖然正整數集有兩種字母表示：N＋或N*,但是本書中主要用N＋表示正整數集．【例3】用符號∈或填空：(1)3____N;3____Z；3____N＋；3____Q；3____R。(2)3。1____N；3.1____Z；3。1____N＋；3。1____Q；3.1____R.解析：觀察空白處橫線的兩邊，可看出本題是判斷數與常用數集之間的關系，依據這些字母所表示集合的意義來判斷．（1)3是自然數,也是整數，也是正整數，也是有理數，也是實數,所以有：3∈N；3∈Z；3∈N＋；3∈Q；3∈R。(2)3.1不是自然數，也不是整數,也不是正整數，是有理數，也是實數，所以有：3。1N;3.1Z；3。1N＋;3。1∈Q；3。1∈R。答案：(1)∈∈∈∈∈(2)∈∈4．集合的表示方法(1）列舉法列舉法把集合中的所有元素都列舉出來,寫在花括號“{｝”內表示這個集合，這種表示集合的方法叫做列舉法．一般形式｛a1，a2，a3，…，an}示例中國古代四大發(fā)明組成的集合，用列舉法表示為{火藥,造紙術，活字印刷術，指南針}談重點用列舉法表示集合時應注意的問題1．當集合的元素較少時,可以采用列舉法表示；2．元素間用“，”分隔開;3．元素不能重復，不考慮順序；4．集合元素個數較多或無限時（無限集），一般不采用列舉法，但如果構成集合的元素有明顯的規(guī)律時,可以采用列舉法，但必須把元素間的規(guī)律表示清楚后才能用省略號．【例4－1】用列舉法表示下列集合:(1）小于7的所有正偶數組成的集合；（2）方程x2＝x的解集．分析:(1）中要明確小于7的所有正偶數都有哪些；(2)中要明確方程x2＝x的實數根是哪些．解：（1)設小于7的所有正偶數組成的集合為A，因為小于7的所有正偶數是2,4，6,所以A＝{2，4，6｝．（2)設方程x2＝x的解集為B，解方程x2＝x，得x＝0，或x＝1，則B＝{0，1｝．【例4－2】一元二次方程ax2＋5x＋c＝0的解集用列舉法表示為，則a＝________，c＝________。解析：方程ax2＋5x＋c＝0的解集是,那么是方程的根，則解得答案：－6－1(2）描述法描述法用集合中元素的特征性質表示集合的方法一般形式｛x∈I|p（x）｝(其中x是集合中元素的一般符號，p（x）是集合中元素的特征性質)具體方法在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及其取值(或變化)范圍，再畫一條豎線,在豎線后寫出這個集合中元素所具有的特征性質。談重點用描述法表示集合時應注意的問題(1)先確定該集合中元素的一般符號;（2)寫清楚元素的特征性質;(3）不能出現(xiàn)未被說明的字母；(4）多個特征性質之間的關系正確使用“且”“或”；(5)元素的特征性質盡量用數學符號表示；(6)在不致混淆的情況下，可以省去豎線及左邊部分．如：｛直角三角形}等．【例4－3】用描述法表示下列集合:（1）所有的偶數構成的集合;（2)不等式2x－4＞0的解集．解:(1）偶數是能被2整除的數，即2的倍數，所以所有偶數構成的集合用描述法表示為{x｜x＝2n，n∈Z｝．(2）設不等式2x－4＞0的解集為A，x為集合A中元素的代表符號，其滿足的特征性質是2x－4＞0，則A＝{x｜2x－4＞0};解不等式2x－4＞0，得x＞2，則也可以表示為A＝{x|x＞2}．【例4－4】分別用列舉法和描述法表示下列集合：(1）方程x2－x－2＝0的解集;（2）大于－1且小于7的所有整數組成的集合．解：(1）方程x2－x－2＝0的根可以用x表示，它滿足的條件是x2－x－2＝0,因此，用描述法表示為｛x∈R|x2－x－2＝0｝；方程x2－x－2＝0的根是－1,2，因此，用列舉法表示為{－1，2｝．（2）大于－1且小于7的整數可以用x表示，它滿足的條件是x∈Z且－1＜x＜7。因此,用描述法表示為｛x∈Z｜－1＜x＜7｝;大于－1且小于7的整數有0，1，2，3，4，5,6,因此，用列舉法表示為{0,1,2,3，4，5，6}．5．集合中元素的性質及應用(1)集合元素的確定性是指給定一個集合,集合中的元素就確定了，即給定一個集合，任一對象要么在這個集合中，要么不在這個集合中，二者必居其一．一組對象的全體能否構成一個集合，需看這組對象是否具有確定無疑的具體特征(或標準）．(2）集合元素的互異性是指集合中的元素互不相同，也就是說集合中的元素是不能重復出現(xiàn)的,相同的元素在一個集合中只能算作一個元素．特別是集合中含有字母參數時，求出參數后一定要檢驗它是否滿足元素的互異性．例如：方程x2＝0的兩個根x1＝x2＝0，而方程x2＝0的根構成的集合可表示為{0｝,而不能表示為｛0,0}．示例:若a,b，c為集合S中的三個元素,并且它們也是△ABC的三邊長，則△ABC一定不是()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形答案：D【例5－1】下列說法正確的是()A．數學成績較好的同學可以構成一個集合B．所有絕對值接近于零的數構成一個集合C．集合｛1,2，3}與集合｛3，2,1}表示同一個集合D．1，0。5，，，組成一個含有5個元素的集合解析：“成績較好"標準不明確，不符合元素的確定性，即A不正確；“絕對值接近于零的數"標準不明確，不能構成集合,即B不正確;集合｛1，2,3}與{3，2,1｝元素相同，即表示同一個集合;1,0。5，，,組成一個含有3個元素的集合，且為，即D不正確．答案:C【例5－2】數集{2,x,x2－x}中的元素x應滿足的條件是__________．解析：由元素的互異性可知，x≠2，且x2－x≠2，x2－x≠x，即解得x≠2，且x≠－1，且x≠0。答案:x≠2，且x≠－1，且x≠06．元素與集合的關系及應用元素與集合的關系僅有兩種:屬于和不屬于．對于常見的數集符號應熟練掌握，是不含任何元素的集合，這些集合是今后學習集合的工具,必須牢記．用列舉法給出的集合，判斷元素與集合的關系時,觀察即得元素與集合的關系．例如，集合A＝{1,9，12｝,則0A,9∈A。用描述法給出的集合，判斷元素與集合的關系時就比較復雜．此時，首先明確該集合中元素的一般符號是什么，是實數？是方程？……，其次要清楚元素的特征性質是什么，最后往往利用解方程的方法判斷所給元素是否滿足集合中元素的特征，即可確定所給元素與集合的關系．描述法表示的集合形式為：{x｜x∈P（x)}，其中P(x）為該集合元素的特征性質．例如,集合B＝｛x｜x＝3n－1，n∈Z}，則該集合元素的一般符號是x，其特征性質是x＝3n－1，n∈Z，即集合B中的元素是整數,并且這個整數等于3的整數倍減去1，因此判斷某個元素與集合B的關系時，只需判斷所給的元素是否等于3的整數倍減去1即可．【例6－1】已知集合A＝｛x｜x＝m＋n，m，n∈Z｝，若x1∈A，x2∈A，試判斷x1x2與集合A的關系．分析：由于x1，x2是集合A中的元素，根據集合A中的元素特征分別設出x1,x2，整理x1x2后判斷是否滿足集合A中元素的特征：的整數倍與一個整數的和的形式．解：∵x1∈A,x2∈A，∴設x1＝m1＋n1，m1,n1∈Z，x2＝m2＋n2，m2,n2∈Z，∴x1x2＝(m1＋n1）（m2＋n2)＝2m1m2＋m1n2＋m2n1＋n1n2＝(m1n2＋m2n1)＋(2m1m2＋n1n2）．∵m1，n1∈Z，m2，n2∈Z，∴（m1n2＋m2n1）∈Z，(2m1m2＋n1n2）∈Z.∴x1x2∈A.【例6－2】若集合A＝｛a－3,2a－1，a2－4｝，且－3∈A，求實數a的值．分析：由于－3∈A,故應分a－3＝－3，2a－1＝－3,a2－4＝－3三種情況討論，求出a值后,應驗證是否滿足集合中元素的互異性．解：若a－3＝－3，則a＝0，此時A＝{－3，－1，－4},滿足題意；若2a－1＝－3,則a＝－1,此時A＝｛－4，－3，－3｝，不滿足元素的互異性;若a2－4＝－3，即a＝±1。當a＝1時A＝｛－2,1，－3}滿足題意，當a＝－1時，不合題意．綜上可知：a＝0或a＝1。7．集合的表示方法及應用(1)用列舉法表示集合時,只需把它的元素一一列舉出來即可,不必考慮元素間的順序．要注意,并不是所有集合都可以采用列舉法表示．(2)用列舉法表示集合時，要注意將自然語言與集合語言描述的集合中的元素一一確定出來，又要善于把列舉法表示的集合用自然語言表述出來．如方程x2＝1組成的集合是｛－1,1}，而該集合可描述為x2＝1的解集,或平方為1的數等．（3)使用描述法時，需注意以下幾點:①寫清楚該集合的代表元素（字母或用字母表示的元素符號）;②說明該集合中元素的特征性質;③所有描述的內容都要寫在集合符號內；④用于描述的語句要求簡明準確;⑤當用文字語言來描述集合中元素的特征性質時，分隔號及前面的部分常常省去，如“所有四邊形組成的集合”記為｛x｜x是四邊形｝．在不致混淆的情況下，可以省去“|”及其左邊的部分，直接寫成{四邊形}．“所有四邊形構成的集合”不能寫成｛所有四邊形｝,因為花括號本身就有全部的意思，故用文字描述集合時,應去掉含有“整體”“全部”等意義的詞．【例7－1】用適當的方法表示下列對象構成的集合:(1)絕對值不大于2的所有整數；（2)方程組的解；(3）函數圖象上的所有點．解：（1）由于|x｜≤2且x∈Z,所以x值為：－2，－1，0,1,2。所以絕對值不大于2的所有整數組成的集合為｛－2，－1,0,1,2｝．另外,用描述法可表示為{x∈Z｜|x｜≤2}．(2）解方程組得所以用列舉法表示方程組的解集為{(0，1)｝．（3)函數圖象上的點可以用有序實數對(x,y）表示，其滿足的條件是，所以用描述法表示為。【例7－2】設集合A＝｛x|x＝2k，k∈Z}，B＝｛x|x＝2k＋1,k∈Z｝，C＝｛x｜x＝4k＋1,k∈Z｝，又有a∈A，b∈B，判斷元素a＋b與集合A，B和C的關系．分析：判斷a＋b與集合A,B，C的關系，就是看a＋b能否寫成集合A，B，C中元素x所具有的形式．解：因為A＝{x｜x＝2k，k∈Z｝，B＝{x｜x＝2k＋1,k∈Z}，所以集合A由偶數構成，集合B由奇數構成,即a是偶數,b是奇數．設a＝2m,b＝2n＋1（m∈Z，n∈Z)，則a＋b＝2（m＋n)＋1是奇數,所以a＋bA，a＋b∈B。又C＝｛x｜x＝4k＋1,k∈Z｝是由部分奇數構成且x＝4k＋1＝2·2k＋1，故m＋n是偶數時，a＋b∈C；m＋n不是偶數時，a＋bC。8．方程、不等式等知識與集合交匯問題的處理集合語言是表述數學問題的重要語言，以集合為載體的方程、不等式等問題是本節(jié)的常見問題之一，解決此類問題應注意：(1)首先是準確理解集合中的元素，明確元素的特征性質，如果不理解集合中的元素，那么就會出現(xiàn)思維受阻的現(xiàn)象，感到無從下手．例如，集合A＝{x|ax－1＜0}的元素是關于x的不等式ax－1＜0的解，當a＝0時,這個不等式化為－1＜0，此時不等式的解集為實數集R，當a≠0時，這個不等式是關于x的一元一次不等式．如果忽視a＝0,那么就會導致出現(xiàn)錯解．(2)解題時還應注意方程、不等式等知識以及轉化、分類討論思想的綜合應用．【例8】已知集合A＝{x｜ax2－3x＋2＝0,a∈R｝．(1)若A是空集,求a的取值范圍;（2）若A中只有一個元素，求a的值并把這個元素寫出來．分析：集合A中的元素是方程ax2－3x＋2＝0（a∈R)的根，故可考慮轉化為方程根的個數問題．當a≠0時，可利用一元二次方程根的判別式建立關于a的不等式來求解．解：（1）若A＝，則方程ax2－3x＋2＝0無解，且a≠0，所以有Δ＝9－8a＜0，即。（2)若A中只有一個元素，有兩種情況:當a＝0時,方程為－3x＋2＝0,即。當a≠0時，方程ax2－3x＋2＝0有兩個相等的實根，所以有Δ＝9－8a＝0,即,可解得.所以有當a＝0或時，A中只有一個元素為或。9．關于集合的信息題(1)這類問題主要以集合的表示方法或集合與元素的關系為背景,常常是給出新的定義，依據新背景或新定義，借助于集合的含義與表示和元素與集合的關系來解決問題．(2)解決這類問題