第六單元多邊形的面積三角形篇-2023-2024學(xué)年五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題人教版

篇首寄語(yǔ)我們每位老師都希望把最好的教學(xué)資料留給學(xué)生，但面對(duì)琳瑯滿目的資料時(shí)，總是費(fèi)時(shí)費(fèi)力才能找到自己心儀的那份，編者也常常為此苦惱。于是，編者就常想，如果是自己來(lái)創(chuàng)作一份資料又該怎樣？再結(jié)合自身教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)生實(shí)際情況后，最終創(chuàng)作出了一個(gè)既適宜課堂教學(xué)講解，又適宜課后作業(yè)練習(xí)，還適宜階段復(fù)習(xí)的大綜合系列?！?0232024學(xué)年五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列》是基于教材知識(shí)點(diǎn)和常年考點(diǎn)真題總結(jié)與編輯而成的，該系列主要分為典型例題篇、專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)篇、單元復(fù)習(xí)篇、分層試卷篇等四個(gè)部分。1.典型例題篇，按照單元順序進(jìn)行編輯，主要分為計(jì)算和應(yīng)用兩大部分，其優(yōu)點(diǎn)在于考題典型，考點(diǎn)豐富，變式多樣。2.專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)篇，從高頻考題和期末真題中選取專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)，其優(yōu)點(diǎn)在于選題經(jīng)典，題型多樣，題量適中。3.單元復(fù)習(xí)篇，匯集系列精華，高效助力單元復(fù)習(xí)，其優(yōu)點(diǎn)在于綜合全面，精煉高效，實(shí)用性強(qiáng)。4.分層試卷篇，根據(jù)試題難度和不同水平，主要分為基礎(chǔ)卷、提高卷、拓展卷三大部分，其優(yōu)點(diǎn)在于考點(diǎn)廣泛，分層明顯，適應(yīng)性廣。黃金無(wú)足色，白璧有微瑕，如果您在使用資料的過(guò)程中有任何寶貴意見(jiàn)，請(qǐng)留言于我改進(jìn)，歡迎您的使用，謝謝！101數(shù)學(xué)工作室2023年11月1日20232024學(xué)年五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)典型例題系列第六單元多邊形的面積·三角形篇【十三大考點(diǎn)】專(zhuān)題解讀本專(zhuān)題是第六單元多邊形的面積·三角形篇。本部分內(nèi)容是三角形的面積及實(shí)際應(yīng)用，其中三角形面積計(jì)算部分考點(diǎn)和題型難度比較大，建議根據(jù)學(xué)生總體掌握情況選擇性講解部分考點(diǎn)，一共劃分為十三個(gè)考點(diǎn)，歡迎使用。目錄導(dǎo)航目錄TOC\o"11"\h\u【考點(diǎn)一】三角形的面積 3【考點(diǎn)二】已知面積，反求底或高 8【考點(diǎn)三】先求面積，再反求底或高 10【考點(diǎn)四】等底等高的三角形和平行四邊形其一 13【考點(diǎn)五】等底等高的三角形和平行四邊形其二 15【考點(diǎn)六】等底等高的三角形和平行四邊形其三 16【考點(diǎn)七】等底等高的三角形和平行四邊形其四 18【考點(diǎn)八】三角形底和高的變化規(guī)律其一：增長(zhǎng)問(wèn)題 19【考點(diǎn)九】三角形底和高的變化規(guī)律其二：擴(kuò)倍問(wèn)題 21【考點(diǎn)十】三角形面積的實(shí)際應(yīng)用 22【考點(diǎn)十一】等高模型 24【考點(diǎn)十二】等積變形問(wèn)題其一 29【考點(diǎn)十三】等積變形問(wèn)題其二 31典型例題【考點(diǎn)一】三角形的面積?！痉椒c(diǎn)撥】三角形的面積=底×高÷2，用字母表示為S=ah÷2。。【典型例題1】三角形面積推導(dǎo)。我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽利用出入相補(bǔ)原理來(lái)計(jì)算平面圖形的面積。如圖所示，三角形ABC的底為a，高為h（D、E分別為AB、AC邊上的中點(diǎn)），轉(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是()，寬是()，所以三角形的面積是S＝()?！敬鸢浮縜h÷2ah÷2【分析】根據(jù)題意，把一個(gè)三角形剪拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，那么三角形的面積等于長(zhǎng)方形的面積。觀察圖形可知，三角形ABC的底為a，高為h，轉(zhuǎn)化后長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與三角形的底相等，寬等于三角形高的一半；根據(jù)長(zhǎng)方形的面積＝長(zhǎng)×寬，把字母代入公式中，據(jù)此得出三角形的面積公式?！驹斀狻哭D(zhuǎn)化后的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是a，寬是h÷2；長(zhǎng)方形的面積＝長(zhǎng)×寬所以三角形的面積是S＝ah÷2?！军c(diǎn)睛】本題考查轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，掌握?qǐng)D形轉(zhuǎn)換和面積公式推導(dǎo)的過(guò)程是解題的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)】剪一張三角形紙片，畫(huà)出底上的高，沿高線對(duì)折使頂點(diǎn)和垂足重合再展開(kāi)，沿折痕剪開(kāi)后再拼成一個(gè)平行四邊形，如下圖。如果原三角形的底是a、高是h，那么操作后會(huì)發(fā)現(xiàn)：拼成的平行四邊形的底是()，高是()。原三角形面積＝拼成的平行四邊形面積＝()?！敬鸢浮縜h÷2ah÷2【分析】觀察圖形發(fā)現(xiàn)，拼成的平行四邊形的底相當(dāng)于的三角形的底，平行四邊形的高相當(dāng)于三角形的高的一半，根據(jù)平行四邊形的面積公式：平行四邊形的面積＝底×高，可知原三角形面積＝拼成的平行四邊形面積＝三角形的底×三角形的高÷2。據(jù)此解答?！驹斀狻科闯傻钠叫兴倪呅蔚牡资莂，高是h÷2。原三角形面積＝拼成的平行四邊形面積＝ah÷2?！军c(diǎn)睛】本題考查了三角形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程?！镜湫屠}2】三角形的面積其一。一個(gè)三角形的底是12m，高是9m，它的面積是()m2?！敬鸢浮?4【分析】根據(jù)三角形的面積公式：S＝ab÷2，據(jù)此代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可求出三角形的面積。【詳解】12×9÷2＝108÷2＝54（m2）它的面積是54m2?！军c(diǎn)睛】熟練掌握三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)分別是3cm、4cm、5cm，這個(gè)三角形的面積是()cm2。【答案】6【分析】根據(jù)三角形中三條邊的關(guān)系，判斷此三角形是一個(gè)直角三角形，直角三角形中斜邊最長(zhǎng)，從而確定出兩條直角邊的長(zhǎng)度，再依據(jù)三角形的面積公式＝面積×高÷2，即可求出這個(gè)三角形的面積?！驹斀狻恳?yàn)?＞4＞3，所以這個(gè)三角形的兩條直角邊分別為3cm和4cm。三角形的面積：3×4÷2＝12÷2＝6（cm2）所以，這個(gè)三角形的面積是6cm2?！军c(diǎn)睛】本題考查三角形的面積，關(guān)鍵是判斷出三角形中兩條直角邊的長(zhǎng)度，再利用三角形的面積公式解決問(wèn)題?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)直角三角形的三條邊分別是21厘米、28厘米和35厘米，這個(gè)三角形的面積是()平方厘米?！敬鸢浮?94【分析】直角三角形的三條邊分別是21厘米、28厘米和35厘米，已知直角三角形的斜邊大于其他兩條邊，所以直角三角形的兩條直角邊是21厘米和28厘米，也就是直角三角形的底和高，根據(jù)三角形的面積＝底×高÷2，用21×28÷2即可求出三角形的面積?！驹斀狻?1＜28＜35直角三角形的兩條直角邊是21厘米和28厘米，也就是直角三角形的底和高，21×28÷2＝588÷2＝294（平方厘米）三角形的面積是294平方厘米?！军c(diǎn)睛】本題考查了三角形面積公式的應(yīng)用。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)等腰直角三角形的一條腰長(zhǎng)12dm，這個(gè)三角形的面積是()dm2?！敬鸢浮?2【分析】根據(jù)“等腰三角形的兩條腰長(zhǎng)度相等”可知，等腰直角三角形的一條腰長(zhǎng)12dm，即這個(gè)直角三角形的兩條直角邊都是12dm，也就是這個(gè)三角形的底和高等于12dm；根據(jù)三角形的面積＝底×高÷2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算，求出這個(gè)三角形的面積?！驹斀狻?2×12÷2＝144÷2＝72（dm2）這個(gè)三角形的面積是72dm2?！军c(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式的運(yùn)用，運(yùn)用等腰直角三角形的特征，確定三角形的底和高是解題的關(guān)鍵?！镜湫屠}3】三角形的面積其二。求下面圖形的面積。（單位：dm）【答案】45【分析】觀察三角形，高為5dm，它對(duì)應(yīng)的底邊長(zhǎng)是18dm，再根據(jù)三角形的面積公式：面積＝底×高÷2，代入數(shù)據(jù)即可求出三角形的面積?！驹斀狻?8×5÷2＝45（dm2）即圖形的面積是45dm2?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】測(cè)量并計(jì)算圖形的面積?！敬鸢浮?平方厘米【分析】測(cè)量可知，三角形的底為3厘米，高為2厘米，根據(jù)三角形面積＝底×高÷2，列式計(jì)算即可?！驹斀狻?×2÷2＝3（平方厘米）即三角形的面積是3平方厘米。【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】找準(zhǔn)所需條件，計(jì)算下列圖形的面積。（單位：米）【答案】6平方米【分析】根據(jù)直角三角形的特征，可把直角三角形的兩條直角邊當(dāng)作底和高，底取4米，高取3米，根據(jù)三角形的面積＝底×高÷2，代入數(shù)據(jù)，即可求出圖形的面積?！驹斀狻?×4÷2＝6（平方米）即圖形的面積是6平方米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】計(jì)算下列圖形的面積?！敬鸢浮?20；36；30【分析】根據(jù)三角形的面積＝底×高÷2，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可?！驹斀狻浚?）20×12÷2＝240÷2＝120（2）12×6÷2＝72÷2＝36（3）12×5÷2＝60÷2＝30【考點(diǎn)二】已知面積，反求底或高?！痉椒c(diǎn)撥】已知三角形的面積和高，求底，可以根據(jù)a=2S÷h計(jì)算；已知三角形的面積和底，求高，可以根據(jù)h=2S÷a計(jì)算。【典型例題1】反求底。一塊三角形菜地的面積是180平方米，量得底邊上的高20米，這塊地的底邊長(zhǎng)是()米?！敬鸢浮?8【分析】已知三角形菜地的面積和高，根據(jù)三角形的面積＝底×高÷2可知，三角形的底＝面積×2÷高，代入數(shù)據(jù)計(jì)算，即可求出這塊地的底邊長(zhǎng)。【詳解】180×2÷20＝360÷20＝18（米）這塊地的底邊長(zhǎng)是18米?！军c(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式的靈活運(yùn)用?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)高是4的三角形與另一個(gè)邊長(zhǎng)是4的正方形面積相等。那么三角形的底是()?！敬鸢浮?【分析】正方形面積＝邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)，據(jù)此求出正方形面積，即三角形面積，再根據(jù)三角形的底＝面積×2÷高，列式計(jì)算即可?！驹斀狻?×4＝16（cm2）16×2÷4＝8（cm）三角形的底是8。【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用正方形和三角形面積公式?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)三角形的面積是25cm2，高是5cm，它對(duì)應(yīng)的底是()cm。【答案】10【分析】根據(jù)三角形的面積＝底×高÷2可知，三角形的底＝面積×2÷高，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可。【詳解】25×2÷5＝50÷5＝10（cm）與這條高對(duì)應(yīng)的底是10cm?！军c(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式的靈活運(yùn)用。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)面積是16cm2的三角形，它的高是4cm，這個(gè)三角形的底是()cm?！敬鸢浮?【分析】由三角形的面積計(jì)算公式可知，底＝三角形的面積×2÷三角形的高，據(jù)此解答?！驹斀狻?6×2÷4＝32÷4＝8（cm）這個(gè)三角形的底是8cm?！军c(diǎn)睛】掌握三角形的面積計(jì)算公式是解答題目的關(guān)鍵?！镜湫屠}2】反求高。三角形的面積是24平方米，底是8米，高是()米?！敬鸢浮?【分析】三角形面積＝底×高÷2，那么三角形的高＝面積×2÷底，據(jù)此列式計(jì)算求出高即可。【詳解】24×2÷8＝48÷8＝6（米）所以，這個(gè)三角形的高是6米。【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，牢記并靈活運(yùn)用三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)三角形的面積是60平方米，底邊長(zhǎng)12米，高是()米?！敬鸢浮?0【分析】根據(jù)三角形的高＝面積×2÷底，列式計(jì)算即可。【詳解】60×2÷12＝10（米）高是10米?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用三角形面積公式?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】三角形的面積是15平方厘米，底是6厘米，高是()厘米。【答案】5【分析】根據(jù)三角形的高＝面積×2÷底，列式計(jì)算即可?！驹斀狻?5×2÷6＝5（厘米）高是5厘米?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用三角形面積公式?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】三角形草坪的面積是20m，如果底是5m，那么高是()m。【答案】8【分析】根據(jù)三角形的面積＝底×高÷2，已知三角形草坪的面積是20m，底是5m，所以高＝三角形的面積×2÷底，代入數(shù)據(jù)即可得解?！驹斀狻?0×2÷5＝40÷5＝8（m）那么高是8m?！军c(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是靈活運(yùn)用三角形的面積公式求解?！究键c(diǎn)三】先求面積，再反求底或高?！痉椒c(diǎn)撥】已知三角形的面積和高，求底，可以根據(jù)a=2S÷h計(jì)算；已知三角形的面積和底，求高，可以根據(jù)h=2S÷a計(jì)算?！镜湫屠}】一個(gè)直角三角形，直角所對(duì)的邊的長(zhǎng)是10cm，其余兩邊分別是8cm和6cm。直角所對(duì)邊上的高是()cm?！敬鸢浮?.8【分析】根據(jù)：三角形的面積＝底×高÷2，先用8cm和6cm求出三角形的面積，再根據(jù)：高＝三角形的面積×2÷底，求10cm為底的高，解答此題即可?！驹斀狻?×8÷2＝48÷2＝24（cm2）24×2÷10＝48÷10＝4.8（cm）所以，直角所對(duì)邊上的高是4.8cm?！军c(diǎn)睛】熟練掌握三角形的面積公式，是解答此題的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】有一個(gè)直角三角形指示牌的斜邊長(zhǎng)15cm，兩條直角邊的長(zhǎng)分別為9cm和12cm。該指示牌斜邊上的高是()cm?！敬鸢浮?.2【分析】根據(jù)三角形面積公式：底×高÷2，因?yàn)槭侵苯侨切?，一條直角邊可以當(dāng)做底，底是9cm，另一條直角邊可以當(dāng)做高，高是12cm，代入數(shù)據(jù)，求出三角形面積；由于三角形面積不變，已知斜邊是15cm，求斜邊對(duì)應(yīng)的高，代入三角形面積公式，即可解答?！驹斀狻?×12÷2＝108÷2＝54（cm2）54×2÷15＝108÷15＝7.2（cm）即該指示牌斜邊上的高是7.2cm?！军c(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟記公式，靈活運(yùn)用?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)直角三角形的三條邊分別是3cm、4cm和5cm，它的面積是()cm2，它的斜邊上的高是()cm，與它等底等高的平行四邊形的面積是()cm2。【答案】62.412【分析】直角三角形中最長(zhǎng)的邊是斜邊，直角三角形的兩條直角邊互為彼此的底和高，利用“三角形的面積＝底×高÷2”求出這個(gè)直角三角形的面積，再根據(jù)“高＝三角形的面積×2÷底”求出斜邊上的高，當(dāng)三角形和平行四邊形等底等高時(shí)，三角形的面積是平行四邊形面積的一半，平行四邊形的面積是三角形面積的2倍，據(jù)此解答。【詳解】3×4÷2＝12÷2＝6（cm2）6×2÷5＝12÷5＝2.4（cm）6×2＝12（cm2）所以，這個(gè)直角三角形的面積是6cm2，它的斜邊上的高是2.4cm，與它等底等高的平行四邊形的面積是12cm2?！军c(diǎn)睛】靈活運(yùn)用三角形的面積計(jì)算公式，并掌握等底等高的三角形和平行四邊形的面積關(guān)系是解答題目的關(guān)鍵。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)直角三角形的三條邊分別是5cm、12cm、13cm，這個(gè)三角形的面積是()cm2，斜邊上的高是()cm。（“四舍五入”精確到個(gè)位）【答案】305【分析】直角三角形中斜邊最長(zhǎng)，兩條直角邊互為彼此的底和高，利用“三角形的面積＝底×高÷2”求出這個(gè)三角形的面積，最后根據(jù)“高＝三角形的面積×2÷底”求出斜邊上的高，據(jù)此解答?！驹斀狻糠治隹芍?，這個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別是5cm和12cm，斜邊是13cm。5×12÷2＝60÷2＝30（cm2）30×2÷13＝60÷13≈5（cm）所以，這個(gè)三角形的面積是30cm2，斜邊上的高是5cm?！军c(diǎn)睛】掌握三角形的面積計(jì)算公式是解答題目的關(guān)鍵?！究键c(diǎn)四】等底等高的三角形和平行四邊形其一。【方法點(diǎn)撥】1.平行四邊形的面積等于它等底等高的三角形的面積的兩倍；2.三角形的面積等于它等底等高的平行四邊形的面積的一半?！镜湫屠}】一個(gè)三角形的底是10厘米，高是4厘米，和它等底等高的平行四邊形的面積是()平方厘米?！敬鸢浮?0【分析】根據(jù)三角形的面積＝底×高÷2，平行四邊形的面積＝底×高，用10×4即可求出和三角形等底等高的平行四邊形的面積?！驹斀狻?0×4＝40（平方厘米）一個(gè)三角形的底是10厘米，高是4厘米，和它等底等高的平行四邊形的面積是40平方厘米?！军c(diǎn)睛】本題考查了三角形和平行四邊形的面積公式的靈活應(yīng)用?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)平行四邊形的的底和高都是4m，它的面積是()m2；和它等底等高的三角形的面積是()m2?！敬鸢浮?68【分析】平行四邊形的面積底高，等底等高的三角形的面積是平行四邊形面積的一半，據(jù)此解答即可。【詳解】平行四邊形的面積：（m2）三角形面積：（m2）【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形、三角形的面積，解答本題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形、三角形的面積的計(jì)算公式?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)三角形的底是50cm，高是12cm，它的面積是()cm2，和它等底等高的平行四邊形的面積是()cm2。【答案】300600【分析】根據(jù)三角形面積＝底×高÷2即可求出這個(gè)三角形的面積，與它等底等高的平行四邊形面積是這個(gè)三角形面積的2倍，據(jù)此可求出與它等底等高的平行四邊形的面積?！驹斀狻?0×12÷2＝600÷2＝300（cm2）300×2＝600（cm2）它的面積是300cm2，與它等底等高的平行四邊形的面積是600cm2。【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查三角形面積的求法及與它等底等高的平行四邊形面積的關(guān)系?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)三角形的底是8厘米，高是2厘米，面積是()平方厘米；與它等底等高的平行四邊形面積是()平方厘米?！敬鸢浮?16【分析】利用“三角形的面積＝底×高÷2”求出這個(gè)三角形的面積，當(dāng)三角形和平行四邊形等底等高時(shí)，平行四邊形的面積是三角形面積的2倍，據(jù)此解答?！驹斀狻?×2÷2＝16÷2＝8（平方厘米）8×2＝16（平方厘米）所以，這個(gè)三角形的面積是8平方厘米，與它等底等高的平行四邊形面積是16平方厘米。【點(diǎn)睛】熟記三角形的面積計(jì)算公式并掌握等底等高的三角形和平行四邊形的面積關(guān)系是解答題目的關(guān)鍵?！究键c(diǎn)五】等底等高的三角形和平行四邊形其二?！痉椒c(diǎn)撥】1.平行四邊形的面積等于它等底等高的三角形的面積的兩倍；2.三角形的面積等于它等底等高的平行四邊形的面積的一半?！镜湫屠}】一個(gè)三角形的面積是15平方厘米，底邊長(zhǎng)2分米，高是()厘米；與它面積相等，高也相等的平行四邊形的底邊長(zhǎng)()厘米?！敬鸢浮?.510【分析】由題意可知，根據(jù)1分米＝10厘米，則2分米＝20厘米，再根據(jù)三角形的面積公式：S＝ah÷2，用15乘2再除以20即可；再根據(jù)平行四邊形的面積公式：S＝ab，據(jù)此可求出平行四邊形的底邊長(zhǎng)?！驹斀狻?分米＝20厘米15×2÷20＝30÷20＝1.5（厘米）15÷1.5＝10（厘米）則個(gè)三角形的面積是15平方厘米，底邊長(zhǎng)2分米，高是1.5厘米；與它面積相等，高也相等的平行四邊形的底邊長(zhǎng)10厘米?！军c(diǎn)睛】本題考查三角形和平行四邊形的面積，熟記公式是解題的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】如果一個(gè)平行四邊形與三角形底相等，面積相等，三角形的高是4厘米，那么平行四邊形的高是()厘米?！敬鸢浮?【分析】根據(jù)平行四邊形的面積公式S＝ah及三角形的面積公式S＝ah÷2，推導(dǎo)出在一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形的面積相等，底邊長(zhǎng)相等時(shí)，高的關(guān)系，再列式解答即可。【詳解】平行四邊形的面積是：S＝ah1，三角形的面積是：S＝ah2÷2，所以ah1＝ah2÷2，h1＝h2÷2，平行四邊形的高是：4÷2＝2（厘米）平行四邊形的高是2厘米?！军c(diǎn)睛】本題主要是靈活利用平行四邊形的面積公式及三角形的面積公式推導(dǎo)：一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形的面積相等，底邊長(zhǎng)相等時(shí)，三角形的高是平行四邊形的高的2倍?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】等面積等高的三角形和平行四邊形，若三角形的底是6cm，則平行四邊形的底是()cm?！敬鸢浮?【分析】因?yàn)榈鹊椎雀叩钠叫兴倪呅蔚拿娣e是三角形面積的2倍，所以當(dāng)平行四邊形和三角形的面積相等，平行四邊形的底是三角形底的一半，據(jù)此解答．【詳解】6÷2＝3（cm）平行四邊形的高是3cm?！军c(diǎn)睛】此題主要考查等底等高的平行四邊形與三角形面積之間關(guān)系的靈活運(yùn)用?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)三角形與一個(gè)平行四邊形的面積相等，高也相等，如果三角形的底是10cm，平行四邊形的底是()cm?！敬鸢浮?【分析】等面積等高的平行四邊形和三角形，三角形的底是平行四邊形底的2倍，三角形的底÷2＝平行四邊形的底，據(jù)此列式計(jì)算?！驹斀狻?0÷2＝5（cm）平行四邊形的底是5cm?！军c(diǎn)睛】關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用平行四邊形和三角形面積公式?！究键c(diǎn)六】等底等高的三角形和平行四邊形其三?！痉椒c(diǎn)撥】1.平行四邊形的面積等于它等底等高的三角形的面積的兩倍；2.三角形的面積等于它等底等高的平行四邊形的面積的一半?！镜湫屠}】下圖中平行四邊形底邊上的中點(diǎn)是P，它的面積是60cm2，則涂色的三角形面積是()cm2。解析：60÷4＝15（平方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】在下圖平行四邊形中，涂色三角形的面積是27平方厘米，這個(gè)平行四邊形的面積是()平方厘米。解析：27×4＝108（平方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】在下圖中，點(diǎn)A為所在邊的中點(diǎn)，陰影部分的面積為48cm2，平行四邊形的面積是()cm2。解析：48×2×2＝96×2＝192（平方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】下面圖形底邊的中點(diǎn)是，涂色部分的面積是，平行四邊形的面積是()。解析：【考點(diǎn)七】等底等高的三角形和平行四邊形其四?！痉椒c(diǎn)撥】1.平行四邊形的面積等于它等底等高的三角形的面積的兩倍；2.三角形的面積等于它等底等高的平行四邊形的面積的一半?！镜湫屠}】下圖中△ABC的面積是30平方厘米，是平行四邊形CDEF面積的2倍，圖中陰影部分的面積是()平方厘米。解析：30÷2÷2＝15÷2＝7.5（平方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】如圖，長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)有等邊三角形BCE，如果等邊三角形BCE的面積是4平方厘米，那么長(zhǎng)方形ABCD的面積是（）平方厘米。解析：4×2＝8（平方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖，平行四邊形的面積是20平方厘米，乙和丙的面積相等。則乙三角形的面積為()平方分米。解析：20平方厘米＝0.2平方分米0.2÷4＝0.05（平方分米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】下圖中平行四邊形的面積是98cm2，丙三角形的面積是甲三角形的()，陰影部分的面積是()cm2。解析：平行四邊形的高＝98÷（6＋8）＝7（cm）甲的面積＝98÷2＝49（cm2）丙的面積＝底×高÷2＝8×7÷2＝28（cm2）28÷49＝乙的面積＝底×高÷2＝6×7÷2＝21（cm2）【考點(diǎn)八】三角形底和高的變化規(guī)律其一：增長(zhǎng)問(wèn)題?！痉椒c(diǎn)撥】對(duì)于延長(zhǎng)圖形中的某一條邊導(dǎo)致面積增加的問(wèn)題，可通過(guò)畫(huà)圖來(lái)幫助解題，分析出圖形中的不變量，先根據(jù)增加的面積求出公共的高，然后計(jì)算出要求的三角形面積。【典型例題】一個(gè)三角形的底長(zhǎng)是5m，如果底邊延長(zhǎng)1m，那么面積就增加2m2，請(qǐng)你求出原來(lái)三角形的面積是（）平方米。解析：原三角形的高∶2×2÷1=4（米）原三角形的面積∶5×4÷2=10（平方米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】張爺爺有一塊三角形的菜地，底是12米，如果高不變，把底延長(zhǎng)4米，那么新三角形菜地面積就比原來(lái)增加16平方米，原來(lái)三角形菜地的面積是多少平方米？解析：16×2÷4＝32÷4＝8（米）12×8÷2＝96÷2＝48（平方米）答：原來(lái)三角形菜地的面積是48平方米?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)三角形的底是6dm，如果將它延長(zhǎng)1dm，那么三角形的面積就增加2dm2。原三角形的面積是()dm2。【答案】12【分析】由“如果底邊延長(zhǎng)1米，那么面積就增加2平方米”可以根據(jù)三角形的面積公式S＝ah÷2，得出h＝2S÷a，由此求出三角形的高，原三角形的底已知，根據(jù)三角形的面積公式S＝ah÷2進(jìn)而可以求其面積?！驹斀狻吭切蔚母撸?×2÷1＝4÷1＝4（分米）原三角形的面積：6×4÷2＝24÷2＝12（平方分米）則原來(lái)三角形的面積是12平方分米。【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是先求出三角形的高，再利用三角形的面積公式解答。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)三角形的底長(zhǎng)是8m，如果底邊延長(zhǎng)2m，那么面積就增加4m2，原來(lái)三角形的面積是()平方米?！敬鸢浮?6【分析】由題意知：底邊延長(zhǎng)2m，面積增加4平方米，用面積乘2除以2，得到三角形的高，再利用底乘高除以2，得原三角形的面積。據(jù)此解答?！驹斀狻咳切蔚母撸?×2÷2＝8÷2＝4（厘米）原三角形的面積：8×4÷2＝32÷2＝16（平方厘米）【點(diǎn)睛】靈活運(yùn)用三角形面積公式求得三角形的高是解答本題的關(guān)鍵?！究键c(diǎn)九】三角形底和高的變化規(guī)律其二：擴(kuò)倍問(wèn)題。【方法點(diǎn)撥】三角形的高不變時(shí)，底擴(kuò)大到原來(lái)的幾倍，面積也擴(kuò)大到原來(lái)的幾倍；三角形的底不變時(shí)，高擴(kuò)大到原來(lái)的幾倍，面積也擴(kuò)大到原來(lái)的幾倍?！镜湫屠}】一個(gè)三角形的高不變，要使面積擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，那么底要擴(kuò)大到原來(lái)的()倍。解析：假定原三角形底為2，高為1，則三角形面積：2×1÷2＝2÷2＝1面積擴(kuò)大到原來(lái)的2倍的的三角形的底：2×2÷1＝4÷1＝44÷2＝2底要擴(kuò)大到原來(lái)的2倍?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】一個(gè)三角形的面積是a，如果底和高都擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，面積是()。解析：3×3×a＝9a【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)三角形，如果把它的底和高都同時(shí)擴(kuò)大4倍，面積就擴(kuò)大()倍。解析：16【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)三角形的底和高都擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，它的面積擴(kuò)大為原來(lái)的（

）。A．2倍 B．4倍 C．8倍 D．6倍解析：B【考點(diǎn)十】三角形面積的實(shí)際應(yīng)用?！痉椒c(diǎn)撥】解決三角形面積的實(shí)際問(wèn)題，熟練掌握三角形的面積計(jì)算公式是關(guān)鍵?！镜湫屠}】要在公路中間的一塊三角形空地（如圖）上種草坪。種1平方米草坪需要花20元，種這片草坪需要花多少錢(qián)？【答案】1520元【分析】根據(jù)三角形的面積＝底×高÷2，用9.5×16÷2即可求出三角形的面積，再根據(jù)單價(jià)×數(shù)量＝總價(jià)，用三角形的面積乘20即可求出這片草坪要花的錢(qián)數(shù)?！驹斀狻?.5×16÷2×20＝76×20＝1520（元）答：這片草坪需要花1520元。【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積公式的靈活應(yīng)用，要熟練掌握相關(guān)公式。【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】如圖是一個(gè)等邊三角形的交通停車(chē)標(biāo)志，底邊長(zhǎng)6分米，高是5分米。每平方分米用油漆8克，兩面都刷油漆，一共需要多少克油漆？

【答案】240克【分析】根據(jù)三角形的面積公式：S＝ah÷2，據(jù)此求出交通停車(chē)標(biāo)志的面積，用它的面積乘每平方分米用油漆的重量，再乘2即可?！驹斀狻?×5÷2＝30÷2＝15（平方分米）15×8×2＝120×2＝240（克）答：一共需要240克油漆。【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積，熟記公式是解題的關(guān)鍵?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)2】一個(gè)果園的形狀是三角形，它的底是80m，高是30m，每棵果樹(shù)占地5m2，這個(gè)果園一共有多少棵果樹(shù)？【答案】240棵【分析】根據(jù)三角形的面積公式S＝a×b÷2，求出果園的面積，再除以5，即可求出這個(gè)果園共有果樹(shù)的棵數(shù)。【詳解】果園的面積：80×30÷2＝2400÷2＝1200（m2）果樹(shù)的棵樹(shù)：1200÷5＝240（棵）答：這個(gè)果園一共有240棵果樹(shù)?！军c(diǎn)睛】本題主要利用三角形的面積公式S＝a×b÷2與基本的數(shù)量關(guān)系解決問(wèn)題?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)3】一個(gè)三角形果園，底是250米，高是160米。如果平均每棵果樹(shù)占地8平方米，這個(gè)果園一共可以栽多少棵果樹(shù)？【答案】2500棵【分析】根據(jù)三角形的面積公式：三角形面積＝底×高÷2，求出這個(gè)果園的面積，再除以每棵果樹(shù)占地的面積，就是種果樹(shù)的棵數(shù)。據(jù)此解答?！驹斀狻?50×160÷2÷8＝20000÷8＝2500（棵）答：這個(gè)果園一共可以栽2500棵果樹(shù)?！军c(diǎn)睛】此題主要考查三角形面積公式的靈活運(yùn)用，關(guān)鍵是熟記公式?！究键c(diǎn)十一】等高模型?！痉椒c(diǎn)撥】三角形面積的計(jì)算公式是三角形面積=底×高÷2。從這個(gè)公式我們可以發(fā)現(xiàn)：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積。（1）等底等高的兩個(gè)三角形面積相等。（2）若兩個(gè)三角形的高相等，其中一個(gè)三角形的底是另一個(gè)三角形底的幾倍，那么這個(gè)三角形的面積也是另一個(gè)三角形面積的幾倍。（3）若兩個(gè)三角形的底相等，其中一個(gè)三角形的高是另一個(gè)三角形高的幾倍，那么這個(gè)三角形的面積也是另一個(gè)三角形面積的幾倍。【典型例題1】如圖所示，三角形甲的面積是15平方厘米，那么三角形乙的面積是（）。A.30平方厘米B.60平方厘米C.95平方厘米D.120平方厘米解析：已知三角形甲的底是5cm，乙的底是20cm，它們的高相等，三角形乙的面積是甲的4倍，因此三角形乙的面積15×4=60（平方厘米）【典型例題2】如圖，三角形ABC的面積為15，DC=4BD，那么三角形ABD的面積為多少？解析：由于CD=4BD，那么三角形ACD的面積是三角形ABD面積的四倍，那么ABC的面積是ABD的五倍，那么ABD的面積為15÷5=3?！镜湫屠}3】如圖，三角形ABC的面積為50平方厘米，AD=2厘米，DC=3厘米，則三角形BCD的面積是（）平方厘米。解析：50÷5×3=30（平方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】如下圖甲三角形的面積是40平方厘米，那么乙三角形的面積是()平方厘米。解析：（平方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖，如果三角形甲的面積是40平方厘米，那么三角形乙的面積是()平方厘米。解析：40×2÷16＝5（厘米）5×8÷2＝20（平方厘米）那么，三角形乙的面積是20平方厘米。【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】把三角形ABC的一條邊BC三等分（下圖），已知BC＝12cm，且陰影三角形的面積為16cm2。三角形ABC的面積為()cm2；其BC底邊上的高為()cm。解析：16×3＝48（cm2）48×2÷12＝96÷12＝8（cm）【對(duì)應(yīng)練習(xí)4】如圖所示（單位：cm），陰影部分的面積是()cm2。解析：如圖所示：根據(jù)等底等高的三角形面積相等，把陰影部分轉(zhuǎn)化成一個(gè)底為5厘米，高為6厘米的鈍角三角形，再根據(jù)三角形面積＝底×高÷2即可得解。陰影部分面積為：5×6÷2＝30÷2＝15（平方厘米）【對(duì)應(yīng)練習(xí)5】如圖，