秋八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第14章勾股定理本章總結(jié)提升練習(xí)

PAGE勾股定理本章總結(jié)提升問(wèn)題1勾股定理eq\a\vs4\al(直角三角形三邊的長(zhǎng)有什么特殊的關(guān)系？)例1已知一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為5，13，則第三條邊長(zhǎng)為_(kāi)_______．【歸納總結(jié)】當(dāng)題目中已知直角三角形的兩條不相等的邊長(zhǎng)，并且未表明直角邊和斜邊時(shí)，一定要分類討論，防止漏解．若題目中已知直角三角形的兩條相等的邊長(zhǎng)，則這兩條邊一定是直角邊．問(wèn)題2用拼圖證明勾股定理勾股定理的證明方法有哪些？趙爽證明勾股定理運(yùn)用了什么思想方法？ 例2勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰靈感．他驚喜地發(fā)現(xiàn)：當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖14－T－1①或②擺放時(shí)，都可以用“面積法”來(lái)證明勾股定理．下面是小聰利用圖①證明勾股定理的過(guò)程：①②圖14－T－1將兩個(gè)全等的直角三角形按圖①所示擺放，其中∠DAB＝90°，求證：a2＋b2＝c2.證明：連結(jié)DB，DC，過(guò)點(diǎn)D作BC邊上的高DF，DF＝EC＝b－a.∵S四邊形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝eq\f(1,2)b2＋eq\f(1,2)ab，S四邊形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)a(b－a)，∴eq\f(1,2)b2＋eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)a(b－a)．∴a2＋b2＝c2.請(qǐng)參照上述證法，利用圖②完成下面的證明．將兩個(gè)全等的直角三角形按圖②所示擺放，其中∠DAB＝90°.求證：a2＋b2＝c2.【歸納總結(jié)】把圖形進(jìn)行“割”或“補(bǔ)”，這兩種方法體現(xiàn)的是同一種思想——化歸思想．問(wèn)題3勾股定理的應(yīng)用勾股定理有哪些應(yīng)用？運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是什么？例3如圖14－T－2所示，一架2.5米長(zhǎng)的梯子AB斜靠在一堵豎直的墻AO上，這時(shí)梯腳B到墻底端O的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻垂直下滑0.4米，那么梯腳將外移多少米？圖14－T－2問(wèn)題4勾股定理與方程思想的綜合運(yùn)用已知一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，怎樣判斷它是不是直角三角形？你判斷的依據(jù)是什么？證明勾股定理的逆定理運(yùn)用了什么方法？例4如圖14－T－3，在一棵樹(shù)的10米高B處有兩只猴子，其中一只爬下樹(shù)走向離樹(shù)20米的池塘C，而另一只爬到樹(shù)頂D后直撲池塘C，結(jié)果兩只猴子經(jīng)過(guò)的路程相等，則這棵樹(shù)有多高？圖14－T－3【歸納總結(jié)】利用勾股定理建立方程是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．例5如圖14－T－4是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高均分別為5dm、3dm和1dm，A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A有一只螞蟻，想到點(diǎn)B去吃可口的食物．請(qǐng)你想一想，這只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著臺(tái)階上表面爬到點(diǎn)B的最短路程是______dm.圖14－T－4【歸納總結(jié)】將立體圖形展開(kāi)為平面圖形，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求線段的長(zhǎng)度．例6如圖14－T－5所示，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15，寬為10，高為20，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為5，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，求這只螞蟻要爬行的最短路程．圖14－T－5【歸納總結(jié)】確定立體圖形表面上兩點(diǎn)之間的最短路程問(wèn)題，解題思路是將立體圖形展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為平面圖形，并借助勾股定理解決．當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高不同時(shí)，不同表面上兩點(diǎn)之間的距離分三種情況討論，展開(kāi)方式不同，兩點(diǎn)間的距離也可能不同．例7如圖14－T－6，在四邊形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝90°，試求∠DAB的度數(shù)．圖14－T－6

詳解詳析【整合提升】例112或eq\r(194)例2證明：證法一：連結(jié)BD，過(guò)點(diǎn)B作DE邊上的高BF，則BF＝b－a.∵S五邊形ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△AED＝eq\f(1,2)ab＋eq\f(1,2)b2＋eq\f(1,2)ab，S五邊形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝eq\f(1,2)ab＋eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)a(b－a)，∴eq\f(1,2)ab＋eq\f(1,2)b2＋eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,2)ab＋eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)a(b－a)，∴a2＋b2＝c2.證法二：連結(jié)BD，過(guò)點(diǎn)B作DE邊上的高BF，則BF＝b－a.∵S五邊形ACBED＝S梯形ACBE＋S△AED＝eq\f(1,2)b(a＋b)＋eq\f(1,2)ab，S五邊形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝eq\f(1,2)ab＋eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)a(b－a)，∴eq\f(1,2)b(a＋b)＋eq\f(1,2)ab＝eq\f(1,2)ab＋eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)a(b－a)．∴a2＋b2＝c2.例3[解析]如圖，AB＝CD＝2.5米，BO＝0.7米，由勾股定理求得AO＝2.4米．因此，OC＝2.4－0.4＝2(米)．再由勾股定理求出OD的長(zhǎng)度，則可求出BD的長(zhǎng)度，解：如圖，在Rt△OAB中，AO＝eq\r(AB2－OB2)＝eq\r(2.52－0.72)＝2.4(米)，OC＝2.4－0.4＝2(米)．在Rt△COD中，OD＝eq\r(CD2－OC2)＝eq\r(2.52－22)＝1.5(米)，∴BD＝OD－OB＝1.5－0.7＝0.8(米)．即梯腳將外移0.8米．例4解：設(shè)BD＝x米，則AD＝(10＋x)米，CD＝(30－x)米．根據(jù)題意，得(30－x)2－(10＋x)2＝202，解得x＝5.即樹(shù)的高度是10＋5＝15(米)．例5[答案]13[解析]將臺(tái)階上表面展開(kāi)，如圖，因?yàn)锳C＝3×3＋1×3＝12，BC＝5，所以AB2＝AC2＋BC2＝169，所以AB＝13dm，所以螞蟻爬行的最短路程為13dm.例6[解析]沿長(zhǎng)方體表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，考慮路線最短的問(wèn)題有三種途徑：(1)從右側(cè)面和前面走；(2)從右側(cè)面和上底面走；(3)從后側(cè)面和上底面走．解：沿長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的走法有三種：(1)沿右側(cè)面和前面走時(shí)，如圖①所示，由勾股定理，得AB＝eq\r(152＋202)＝eq\r(625)＝25，即路線長(zhǎng)l1＝25.(2)沿右側(cè)面和上底面走時(shí)，如圖②所示，由勾股定理，得AB＝eq\r(（20＋5）2＋102)＝eq\r(725)，即路線長(zhǎng)l2＝eq\r(725).(3)沿后側(cè)面和上底面走時(shí)，如圖③所示，由勾股定理，得AB＝eq\r(52＋302)＝eq\r(925)，即路線長(zhǎng)l3＝eq\r(925).因?yàn)閘1＜l2＜l3，故這只螞蟻要爬行的最短路程為25.例7解：如圖，連結(jié)AC.在Rt△ABC中，∠B＝