專題13立體幾何中有關異面直線夾角線面角二面角的計算問題（原卷版）

立體幾何中有關異面直線夾角、線面角、二面角的計算問題專題立體幾何中有關異面直線夾角、線面角、二面角的計算問題專題體系搭建體系搭建（一）異面直線所成的角定義：已知，是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點作直線，我們把直線和所成的銳角（或直角）叫做異面直線，所成的角．(1)異面直線所成的角與點的位置無關．(2)如果兩條異面直線所成角是直角，則說這兩條異面直線互相垂直，記作．(3)異面直線所成角的范圍是．求異面直線所成角的步驟：（1）恰當選點，由平移構造出一個交角；（2）證平行關系成立；（3）把角放入三角形或其它平面圖形中求出；（4）作結論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補角才是所求異面直線所成的角．（二）、直線與平面所成的角1．直線與平面所成角的定義一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線.過斜線上斜足外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面內的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.要點詮釋：(1)直線與平面平行，直線在平面上的射影是一條直線.(2)直線與平面垂直時射影是點.(3)斜線上任一點在平面內的射影一定在斜線的射影上.2．直線與平面所成的角的范圍：直線和平面相交直線和平面相交不垂直時，0°＜＜90°垂直時，=90°直線和平面平行或直線在平面內，=0°。．直線和平面所成角的范圍是0°≤≤90°．3．求斜線與平面所成角的一般步驟：(1)確定斜線與平面的交點即斜足；(2)經(jīng)過斜線上除斜足外任一點作平面的垂線，確定垂足，進而確定斜線在平面內的射影；(3)解由垂線、斜線及其射影構成的直角三角形，求出線面角．（三）、二面角1.二面角定義平面內的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面.從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.表示方法：棱為、面分別為的二面角記作二面角.有時為了方便，也可在內(棱以外的半平面部分)分別取點，將這個二面角記作二面角.如果棱記作，那么這個二面角記作二面角或.2.二面角的平面角(1)二面角的平面角的定義：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內分別作垂直于棱的射線，則這兩條射線構成的角叫做二面角的平面角.(2)二面角的平面角的范圍：0°≤≤180°．當兩個半平面重合時，=0°；當兩個半平面相交時，0°＜＜180°；當兩個半平面合成一個平面時，=180°．二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.(3)二面角與平面角的對比角二面角圖形定義從半面內一點出發(fā)的兩條射線（半直線）所組成的圖形從空間內二直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形表示法由射線、點（頂點）、射線構成，表示為∠AOB由半平面、線（棱）、半平面構成，表示為二面角(4)二面角的平面角的確定方法方法1：（定義法）在二面角的棱上找一特殊點，在兩個半平面內分別作垂直于棱的射線．如右圖，在二面角的棱a上任取一點O，在平面內過點O作OA⊥a，在平面內過點O作BO⊥a，則∠AOB為二面角的平面角．方法2：（垂面法）過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角．如下圖（左），已知二面角，過棱上一點O作一平面，使，且，?！啵?，且⊥OA，⊥OB，∴∠AOB為二面角的平面角．方法3：（垂線法）過二面角的一個面內一點作另一個平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補角，此種方法通常用于求二面角的所有題目，具體步驟：一找，二證，三求．如上圖（右），已知二面角ABCD，求作其平面角．過點A作AE⊥平面BCD于E，過E在平面BCD中作EF⊥BC于F，連接AF．∵AE⊥平面BCD，BC平面BCD，∴AE⊥BC．又EF⊥BC，AE∩EF=E，∴BC⊥平面AEF，∴BC⊥AF由垂面法可知，∠AFE為二面角ABCD的平面角。例題分析例題分析考點1異面直線夾角問題【例1】．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝3，AB＝5，AA1＝4，則異面直線AC1與B1C所成角的余弦值為（）A． B． C． D．變式訓練【變11】．在如圖的正方體中，M、N分別為棱BC和棱CC1的中點，則異面直線A1D和MN所成的角為（）A．30° B．45° C．90° D．60°【變12】．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱C1D1，A1D1的中點，則異面直線DE與AF所成角的余弦值是（）A． B． C． D．【變13】．如圖，圓錐的軸截面ABC為等邊三角形，D為弧的中點，E為母線BC的中點，則異面直線AC和DE所成角的余弦值為（）A． B． C． D．考點2線面角計算問題【例2】．如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點E在棱PB上．（1）求證：平面AEC⊥平面PDB；（2）當PD＝AB，且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大?。兪接柧殹咀?1】．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M、N分別是A1B、B1C1的中點．（Ⅰ）求證：MN⊥平面A1BC；（Ⅱ）求直線BC1和平面A1BC所成角的大?。咀?2】．已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的側面BB1C1C是邊長為2的菱形，∠B1BC＝60°，側面BB1C1C⊥底面ABC，∠ACB＝90°，二面角A﹣B1B﹣C為30°．（1）求證：AC⊥平面BB1C1C；（2）求AB1與平面BB1C1C所成角的正切值．【變23】．如圖，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D﹣ABC，如圖所示．（1）求證：BC⊥平面ACD；（2）求BD與平面ABC所成角θ的正弦值．考點3二面角計算問題【例3】．已知Rt△ABC，斜邊BC?α，點A?α，AO⊥α，O為垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，則二面角A﹣BC﹣O的大小為．變式訓練【變31】．在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥AC，AB⊥平面PAD，底面ABCD為正方形，且CD+PD＝3．若四棱錐P﹣ABCD的每個頂點都在球O的球面上，則球O的表面積的最小值為；當四棱錐P﹣ABCD的體積取得最大值時，二面角A﹣PC﹣D的正切值為．【變32】．若四棱錐P﹣ABCD的側面PAB內有一動點Q，已知Q到底面ABCD的距離與Q到點P的距離之比為正常數(shù)k，且動點Q的軌跡是拋物線，則當二面角P﹣AB﹣C平面角的大小為30°時，k的值為．【變33】．如圖，在四面體D﹣ABC中，AD＝BD＝AC＝BC＝5，AB＝DC＝6．若M為線段AB上的動點（不包含端點），則二面角D﹣MC﹣B的余弦值取值范圍是．【變34】．如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2，E是線段AB上的點，且EB＝1，則二面角C﹣DE﹣C1的正切值為．【變35】．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝，四邊形ACFE為矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，且AD＝CD＝CF＝1．（1）求證：EF⊥平面BCF；（2）求平面FAB與平面FCB夾角的余弦值．【變36】．如圖，圓柱OQ的上，下底面圓的圓心分別為Q，O，四邊形ABCD是圓柱QQ的軸截面，點P在圓柱OQ的下底面圓周上，G是DP的中點，圓柱OQ的底面圓的直徑AB＝4，母線AD＝AP＝2．（1）求證：AG⊥BD；（2）求銳二面角P﹣AG﹣B的平面角的余弦值．實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練1．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M為側面ABB1A1的中心，N為側面ACC1A1的中心，P為BC的中點，則直線MN與直線AP所成的角為（）A．0° B．45° C．60° D．90°2．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，底面ABCD為邊長為2的正方形，E為BC的中點，則異面直線BD與PE所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．3．三棱錐P﹣ABC的六條棱長都相等，M是棱AB上一點，若直線PM與直線BC所成角的余弦值為，則＝（）A． B． C． D．4．如圖1，圓形紙片的圓心為O，半徑為6cm，該紙片上的正方形ABCD的中心為O．點E，F(xiàn)，G，H為圓O上的點，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分別是以AB，BC，CD，DA為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以AB，BC，CD，DA為折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F(xiàn)，G，H重合得到一個四棱錐P﹣ABCD（如圖2）．當四棱錐P﹣ABCD的側面積是底面積的2倍時，異面直線PB與CD所成角的余弦值為（）A． B． C． D．5．如圖，銳二面角α﹣l﹣β的棱上有A，B兩點，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于AB．已知AB＝4，AC＝BD＝6，，則銳二面角α﹣l﹣β的平面角的余弦值是．6．將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，則二面角A﹣BC﹣D的余弦值是．7．已知二面角α﹣l﹣β的大小為120°，在半平面α內，PA⊥l于A，在半平面β內，QB⊥l于B，PA＝AB＝QB＝1，則直線PQ與AB所成角的大小為．8．如圖，長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝2，則二面角A1﹣BD﹣C1的余弦值為．9．已知三棱錐A﹣BCD的所有棱長都相等，若AB與平面α所成的角為，則平面ACD與平面α所成角的正弦值的取值范圍是．10．棱長均相等的四面體A﹣BCD中，P為BC中點，Q為直線BD上一點，則平面APQ與平面ACD所成二面角的正弦值的取值范圍是．11．邊長為2的正方形ABCD的頂點均在表面積為28π的球O的球面上，O1為正方形ABCD的中心，△O1AB繞AB旋轉，其頂點O1接觸到球面時設為E，則二面角E﹣AB﹣D的大小為．12．如圖，已知二面角α﹣l﹣β的棱l上有A，B兩點，C∈α，AC⊥l，D∈β，BD⊥l，若AC＝AB＝BD＝2，，有以下結論：（1）直線AB與CD所成角的大小為45°；（2）二面角α﹣l﹣β的大小為60°；（3）三棱錐A﹣BCD的體積為；（4）直線CD與平面β所成角的正弦值為．則正確結論的序號為．13．如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB＝1，D1D＝．（1）求直線D1B與平面ABCD所成角的大??；（2）求證：AC⊥平面BB1D1D．14．如圖，在三棱錐D﹣ABC中，平面ADC⊥平面ABC，△ADC和△ABC都是等腰直角三角形，AD＝DC，AC＝BC．（Ⅰ）證明：AD⊥平面BCD；（Ⅱ）若棱AC的中點為M，求二面角B﹣DM﹣C的余弦值．15．如圖，PA⊥平面ABC，AB⊥BC．AD垂直于PB于D，AE垂直于PC于E．，AB＝BC＝1．（1）求證：PC⊥平面ADE；（2）求AB與平面ADE所成的角；16．如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，E為BC的中點，把△ABE和△CDE分別沿AE，DE折起，使點B與點C重合于點P．（1