浙江省臺州市2025屆高三上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題 含解析

臺州市2025屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量評估試題數(shù)學(xué)2024.11命題：葉挺（三門縣教師發(fā)展中心）閆大貴（溫嶺中學(xué)）審題：鄔仁勇（玉環(huán)中學(xué)）本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．請考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上．選擇題部分（共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，再代入計算可得.【詳解】因為，所以.故選：D2.橢圓與橢圓的（）A.長軸長相等 B.短軸長相等C.離心率相等 D.焦距相等【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓的方程，得到a,b,c，即可判斷.【詳解】對于橢圓：，對于橢圓：，所以它們的長軸不相等，短軸不相等，離心率不相等，焦距相等.故選：D.3.若復(fù)數(shù)是方程的一個虛根，則（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)“方程的虛根成對出現(xiàn)，且互為共軛”，同時利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可得到答案.【詳解】因為方程的虛根成對出現(xiàn)，且互為共軛，所以一個根為時，另一個根必然為，所以由根與系數(shù)的關(guān)系，.故選：B.4.已知集合，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】求得集合，可得結(jié)論.【詳解】由，可得，所以，因為在上單調(diào)遞增，又，由，可得，所以B=xx<1，所以，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.已知變量與的成對樣本數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系，由一元線性回歸模型根據(jù)最小二乘法，計算得經(jīng)驗回歸方程為，若，，則（）A.6.6 B.5 C.1 D.14【答案】C【解析】【分析】根據(jù)樣本中心在回歸直線上求解.【詳解】因為經(jīng)驗回歸方程為，且，，所以，故選：C6.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（）A.3 B.2 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性求解.【詳解】根據(jù)題意，是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則.故選：B7.已知球的半徑為，是球表面上的定點，是球表面上的動點，且滿足，則線段軌跡的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】以球的球心為坐標(biāo)原點，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)題設(shè)可得，在線段取點，使，從而得線段軌跡為圓錐的側(cè)面，即可求解.【詳解】如圖，以球的球心為坐標(biāo)原點，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因為球的半徑為，則，設(shè)，則，，所以，又，，則，得到，如圖，在線段取點，使，所以線段軌跡為圓錐的側(cè)面，又，則，所以圓錐的側(cè)面積為，所以線段軌跡的面積為，故選：C.8.臺州某校為陽光體育設(shè)計了一種課間活動，四位同學(xué)（兩男兩女）隨機地站到44的方格場地中（每人站一格，每格至多一人），則兩個男生既不同行也不同列，同時兩個女生也既不同行也不同列的概率是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用排列法求得總的方法數(shù)為，利用間接法求得兩個男生既不同行也不同列，同時兩個女生也既不同行也不同列的方法數(shù)為，從而可求概率.【詳解】從16個格子中選4個排4個人有種排法，兩個男生既不同行也不同列的排法有種排法，兩個女生也既不同行也不同列的排法有種排法，兩名女生與兩名男生排在一起的排法有，兩名女生中有一名與男生排在一起的排法有，所以兩個男生既不同行也不同列，同時兩個女生也既不同行也不同列（每人一格）有種，所以兩個男生既不同行也不同列，同時兩個女生也既不同行也不同列的概率是:.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：重點在于求得4個各站一格且兩個男生既不同行也不同列，同時兩個女生也既不同行也不同列的方法數(shù)，適用間接法.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列選項正確的是（）A.若隨機變量，則B.若隨機變量，則C.若隨機變量服從分布，且，則D.若隨機變量滿足，則【答案】ABD【解析】【分析】A.由隨機變量服從二項分布求解；B.由隨機變量服從正態(tài)分布求解；C.由隨機變量服從分布求解；D.由隨機變量服從超幾何分布求解；【詳解】A.若隨機變量，則，故正確；B.若隨機變量，則，故正確；C.若隨機變量服從分布，且，則，故錯誤；D.由隨機變量滿足，則，所以，故正確；故選：ABD10.已知函數(shù)，且，則下列選項正確的是（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于直線對稱C.D.在上有兩個不同的零點【答案】BC【解析】【分析】計算可得，可判斷A；計算可得，可判斷B；分，，，四種情況討論可判斷C；結(jié)合C選項可知時，在上有一個不同的零點，可判斷D.【詳解】對于A，，，所以最小正周期不為，故A錯誤；對于B，，，所以，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；對于C，當(dāng)時，若，，所以，若，，所以，，所以，同理可得時，，當(dāng)時，若，，所以，若，，則，若，，則所以，同理可得時，，故C正確；對于D，當(dāng)時，又，所以，此時，，只有一個解，所以在上有一個不同的零點，故D錯誤；故選：BC.11.已知棱長為3的正四面體，則下列選項正確的是（）A.當(dāng)時，B.當(dāng)時，C.當(dāng)時，的最大值為D.當(dāng)時，則的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】選為空間內(nèi)的基底向量，可計算得，可判斷A；當(dāng)，，可判斷B；由已知可得，計算可判斷C；，結(jié)合，可求的最大值，可判斷D.【詳解】由正四面體，可知，選為空間內(nèi)的基底向量，當(dāng)，，，所以，故A正確；因為，當(dāng)，，故B錯誤；，又，所以，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，化簡得，解得，故C正確；，所以，由，所以，因為，所以，所以，所以，所以，所以，故D正確.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：考查空間向量的數(shù)量積的計算，運算量大，關(guān)鍵是用基底表示，再利用模的計算公式運算求得最值.非選擇題部分（共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.如圖的形狀出現(xiàn)存南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最一上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……，設(shè)從上至下各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列則___________.（填數(shù)字）【答案】【解析】【分析】根據(jù)題中給出的圖形，結(jié)合題意找到各層球的數(shù)列與層數(shù)的關(guān)系，得到，即可得解．【詳解】解：由題意可知，，，，，，故，所以，故答案為：13.若在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的最大值為_______．【答案】##【解析】【分析】由題意可知在上恒成立，分離參數(shù)，令，由基本不等式求出的最小值，即可得出答案.【詳解】因為在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上恒成立，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以，故實數(shù)的最大值為.故答案為：.14.已知圓，其中，若圓上僅有一個點到直線距離為1，則的值為_______；圓的半徑取值可能為_______（請寫出一個可能的半徑取值）．【答案】①.②.（滿足即可，答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)題意，圓過原點且原點到直線的距離為1，則在直線上，且與相切，與無交點，可解問題.【詳解】根據(jù)題意，與直線的距離為1的點都在直線和上，又圓過原點且原點到直線直線的距離為1，則在直線上，且與相切，所以，又因為圓與無交點，所以，如圖.故答案為：；（滿足即可，答案不唯一）【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)題意，發(fā)現(xiàn)圓過原點且原點到直線的距離為1是解題關(guān)鍵.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且．（1）求角；（2）若的面積為，為的中點，求長度的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦化簡求解.（2）由（1）的結(jié)論，利用余弦定理及基本不等式求解即得.【小問1詳解】在中，由及正弦定理得，則，而，則，又，所以.【小問2詳解】依題意，，由（1）知，得，在中，由余弦定理得，當(dāng)時取到等號，所以的最小值為.16.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形，．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由已知條件，結(jié)合勾股定理，可以判定，根據(jù)面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論；（2）以中點為原點，所在直線為軸，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量，即可求得線面所成角的正弦值.【小問1詳解】不妨設(shè)正方形邊長為2，則，由，得，再由，，平面??，得平面，因為平面，所以平面平面．【小問2詳解】取中點，連結(jié)，則，由（1）可知，平面平面ABCD，平面平面，所以平面，以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，設(shè)平面的法向量為，則取，記與平面所成角為，則．17.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，由求解；（2）設(shè)，由得到，再分和求解.【小問1詳解】解：的定義域為，，令，解得，由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是．【小問2詳解】記，，因為，所以，得，令，解得或，當(dāng)時，，在上恒成立，因此，在上單調(diào)遞減，得，即對任意恒成立．當(dāng)時，對任意，，因此，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，不滿足題意．綜上，．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問關(guān)鍵是由得到降低了難度，然后根據(jù)兩根或的大小，分和而得解.18.已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，雙曲線的左焦點為T．（1）求的方程和雙曲線的漸近線方程；（2）設(shè)為拋物線和雙曲線的一個公共點，求證：直線與拋物線相切；（3）設(shè)為上的動點，且直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，直線與拋物線交于不同的兩點，判斷是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】（1）準(zhǔn)線的方程為，雙曲線的漸近線方程為（2）證明見解析（3）是，．【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程及雙曲線的漸近線方程即可求解；（2）結(jié)合題意聯(lián)立方程組和，化簡即可求解；（3）由題意得，設(shè)，聯(lián)立方程組和，利用韋達定理表示和AB，化簡即可證明.【小問1詳解】準(zhǔn)線的方程為，雙曲線的漸近線方程為．【小問2詳解】聯(lián)立方程組，消去得，解得（舍負），由對稱性，不妨取，又由，求得直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去得，因為，所以直線與拋物線相切．【小問3詳解】因為，得準(zhǔn)線為線段的中垂線，則直線與直線的傾斜角互補，即，設(shè)，由條件知，聯(lián)立方程組，消去得，則，聯(lián)立方程組，消去得，則，所以，故為定值．【點睛】方法點睛：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的定點、定值、最值問題，一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元二次方程，再把要求解的目標(biāo)代數(shù)式化為關(guān)于兩個的交點橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式，該關(guān)系中含有，或，最后利用韋達定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程（或函數(shù)），從而可求定點、定值、最值問題.19.對于無窮數(shù)列和如下的兩條性質(zhì)：：存在實數(shù)，使得且，都有；：任意且，都存在，使得．（1）若，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)，并說明理由；（2）若，且數(shù)列滿足任意，則稱為數(shù)列的一個子數(shù)列．設(shè)數(shù)列同時滿足性質(zhì)和性質(zhì)．①若，求的取值范圍；②求證：存在的子數(shù)列為等差數(shù)列．【答案】（1）滿足，理由見解析（2）①；②證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)性質(zhì)的條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)求解；（2）①由條件可得是單調(diào)遞增數(shù)列，且存在，使得．進而可得，，結(jié)合，可得出結(jié)果；②依題意可得單調(diào)遞增，設(shè)，由性質(zhì)可推得，當(dāng)時