2025版南方鳳凰臺5A教案基礎版物理第5章　萬有引力與宇宙航行含答案

2025版《南方鳳凰臺5A教案基礎版物理第5章萬有引力與宇宙航行第五章萬有引力與宇宙航行第1講萬有引力定律及其應用基礎梳理1．開普勒行星運動定律(1)所有行星圍繞太陽運動的軌道都是__橢圓__，太陽處在所有橢圓的一個__焦點__上．(2)對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內(nèi)掃過___相等__的面積．(3)所有行星的軌道的半長軸的__三次方__跟它的公轉(zhuǎn)周期的__二次方__的比值都相等．2．萬有引力定律自然界的__任何物體__都相互吸引，引力的大小與物體的質(zhì)量的乘積成正比，與它們之間距離的二次方成反比．公式F＝__Geq\f(m1m2,r2)__.__卡文迪什__用扭秤實驗測得引力常量．G＝____6.67×10-11__N·m2/kg2.3．萬有引力理論的主要成就(1)__發(fā)現(xiàn)未知天體__.(2)__計算天體的質(zhì)量__.4．把天體運動看成是標準的勻速圓周運動，這些天體做勻速圓周運動所需的向心力是它受到的萬有引力提供的．具體公式有Geq\f(mM,r2)＝__meq\f(v2,r)__＝__mω2r__＝__meq\f(4π2,T2)r__＝__m(2πf)2r__＝__man__.5．第一宇宙速度(1)第一宇宙速度又叫__環(huán)繞速度__.(2)第一宇宙速度是人造地球衛(wèi)星在__地面附近__環(huán)繞地球做勻速圓周運動時具有的速度．(3)第一宇宙速度是人造衛(wèi)星的__最大環(huán)繞__速度，也是人造地球衛(wèi)星的__最小發(fā)射__速度．(4)第一宇宙速度的計算方法．①由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(\f(GM,R)).②由mg＝meq\f(v2,R)得v＝eq\r(gR).6．第二宇宙速度和第三宇宙速度(1)第二宇宙速度(脫離速度)：v2＝__11.2__km/s，使物體掙脫__地球__引力束縛的最小發(fā)射速度．(2)第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝__16.7__km/s，使物體掙脫__太陽__引力束縛的最小發(fā)射速度．易錯辨析1.當兩物體間的距離趨近于零時，萬有引力趨近于無窮大．(×)2.地面上的物體所受地球的引力方向一定指向地心．(√)3.卡文迪什利用扭秤實驗裝置比較準確地測出了引力常量．(√)4.第一宇宙速度與地球的質(zhì)量有關．(√)5.地球同步衛(wèi)星的運行速度大于第一宇宙速度．(×)6.若物體的發(fā)射速度大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，則物體可以繞太陽運行．(√)對開普勒行星運動定律的理解1．行星繞太陽運動的軌道通常按圓軌道處理．2．由開普勒第二定律可得eq\f(1,2)Δl1r1＝eq\f(1,2)Δl2r2，eq\f(1,2)v1·Δt·r1＝eq\f(1,2)v2·Δt·r2，解得eq\f(v1,v2)＝eq\f(r2,r1)，即行星在兩個位置的速度之比與到太陽的距離成反比，近日點速度最大，遠日點速度最小．3．開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關，不同的中心天體k值不同，且該定律只能用在同一中心天體的兩星體之間．(2023·鎮(zhèn)江期初)北京冬奧會開幕式二十四節(jié)氣倒計時驚艷全球，如圖是地球沿橢圓軌道繞太陽運行所處不同位置對應的節(jié)氣，地球運行速度最小的節(jié)氣是(B)A．春分 B．夏至C．秋分 D．冬至解析：根據(jù)開普勒第二定律知：對太陽的每一個行星而言，太陽與行星的連線在相同時間內(nèi)掃過的面積相等，設地球到太陽中心的距離為r，根據(jù)扇形的面積公式可得S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)vtr，由此式可以判斷，當面積S和時間t相等時，r越小，v越大，故地球在近日點的速度最大，遠日點的速度最小，即地球運行速度最小的節(jié)氣是在夏至，故B正確．對萬有引力定律的理解1．萬有引力與重力的關系地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向，如圖所示．(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R.(2)在兩極上：Geq\f(Mm,R2)＝mg0.(3)在一般位置：萬有引力Geq\f(Mm,R2)等于重力mg與向心力F向的矢量和．越靠近兩極，向心力越小，g值越大．由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力較小，常認為萬有引力近似等于重力，即eq\f(GMm,R2)＝mg.2．星體表面及上空的重力加速度(以地球為例)(1)地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn))：mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝eq\f(GM,R2).(2)地球上空的重力加速度g′地球上空距離地球中心r＝R＋h處的重力加速度為g′，mg′＝eq\f(GMm,(R＋h)2)，得g′＝eq\f(GM,(R＋h)2).所以eq\f(g,g′)＝eq\f((R＋h)2,R2).3．星體內(nèi)部萬有引力的兩個推論(1)推論1：在勻質(zhì)球殼的空腔內(nèi)任意位置處，質(zhì)點受到球殼的萬有引力的合力為零，即∑F引＝0.(2)推論2：在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(m)受到的萬有引力等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體(M′)對它的萬有引力，即F＝Geq\f(M′m,r2).某類地天體可視為質(zhì)量分布均勻的球體，由于自轉(zhuǎn)的原因，其表面“赤道”處的重力加速度為g1，“極點”處的重力加速度為g2.若已知自轉(zhuǎn)周期為T，則該天體的半徑為(C)A．eq\f(4π2,g1T2) B．eq\f(4π2,g2T2)C．eq\f((g2－g1)T2,4π2) D．eq\f((g1＋g2)T2,4π2)解析：在“極點”處mg2＝eq\f(GMm,R2)，在其表面“赤道”處eq\f(GMm,R2)－mg1＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))eq\s\up12(2)R，解得R＝eq\f((g2－g1)T2,4π2)，故C正確．假設地球是一半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體．一礦井深度為d，已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，則礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為(A)A．1－eq\f(d,R) B．1＋eq\f(d,R)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R－d,R)))eq\s\up12(2) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R－d)))eq\s\up12(2)解析：如圖所示，根據(jù)題意，地面與礦井底部之間的環(huán)形部分對處于礦井底部的物體引力為零．設地面處的重力加速度為g，地球質(zhì)量為M，地球表面的物體m受到的重力近似等于萬有引力，故mg＝Geq\f(Mm,R2)，又M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，故g＝eq\f(4,3)πρGR；設礦井底部的重力加速度為g′，圖中陰影部分所示球體的半徑r＝R－d，則g′＝eq\f(4,3)πρG(R－d)，聯(lián)立解得eq\f(g′,g)＝1－eq\f(d,R)，A正確．天體質(zhì)量和密度的計算1．重力加速度法利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R.(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg得天體質(zhì)量M＝eq\f(gR2,G).(2)天體密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR).2．天體環(huán)繞法測出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的周期T和半徑r.(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得天體的質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2).(2)若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3).(3)若衛(wèi)星繞天體表面運行，可認為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，可見，只要測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的周期T，就可估算出中心天體的密度．(2024·無錫高三上期中)中國空間站是我國自主建成的太空實驗室．已知“空間站”繞地球做勻速圓周運動，經(jīng)過時間t，運動的弧長為s，與地球中心連線掃過的角度為θ(弧度制)，引力常量為G，求：(1)“空間站”的環(huán)繞周期T.答案：eq\f(2πt,θ)解析：“空間站”做勻速圓周運動的角速度ω＝eq\f(θ,t)“空間站”的環(huán)繞周期T＝eq\f(2π,ω)所以T＝eq\f(2πt,θ)(2)地球的質(zhì)量M.答案：eq\f(s3,Gθt2)解析：“空間站”的軌道半徑r＝eq\f(s,θ)“空間站”做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力Geq\f(Mm,r2)＝mω2r所以地球質(zhì)量M＝eq\f(s3,Gθt2)衛(wèi)星運行參量的比較與計算1．衛(wèi)星的各物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律規(guī)律eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(G\f(Mm,r2)＝,（r＝R地＋h）)\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3),ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2))),mg＝\f(GMm,R2地)（近地時）→GM＝gR2地))eq\a\vs4\al(越高越慢,)2．同步衛(wèi)星的六個“一定”3．宇宙速度與運動軌跡的關系(1)v發(fā)＝7.9km/s時，衛(wèi)星繞地球表面做勻速圓周運動．(2)7.9km/s＜v發(fā)＜11.2km/s，衛(wèi)星繞地球運動的軌跡為橢圓．(3)11.2km/s≤v發(fā)＜16.7km/s，衛(wèi)星繞太陽做橢圓運動．(4)v發(fā)≥16.7km/s，衛(wèi)星將掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系以外的空間．(2021·江蘇卷)我國航天人發(fā)揚“兩彈一星”精神砥礪前行，從“東方紅一號”到“北斗”不斷創(chuàng)造奇跡．“北斗”第49顆衛(wèi)星的發(fā)射邁出組網(wǎng)的關鍵一步．該衛(wèi)星繞地球做圓周運動，運動周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，軌道平面與地球赤道平面成一定夾角．該衛(wèi)星(B)A．運動速度大于第一宇宙速度B．運動速度小于第一宇宙速度C．軌道半徑大于“靜止”在赤道上空的同步衛(wèi)星D．軌道半徑小于“靜止”在赤道上空的同步衛(wèi)星解析：第一宇宙速度是指繞地球表面做圓周運動的速度，是環(huán)繞地球做圓周運動的所有衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，該衛(wèi)星的運轉(zhuǎn)半徑遠大于地球的半徑，可知運行線速度小于第一宇宙速度，A錯誤，B正確；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r可知r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))，因為該衛(wèi)星的運動周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，等于“靜止”在赤道上空的同步衛(wèi)星的周期，可知該衛(wèi)星的軌道半徑等于“靜止”在赤道上空的同步衛(wèi)星的軌道半徑，C、D錯誤．(2023·前黃中學考前模擬)如圖所示，“羲和號”是我國首顆可24小時全天候?qū)μ栠M行觀測的試驗衛(wèi)星，該衛(wèi)星繞地球可視為勻速圓周運動，軌道平面與赤道平面垂直．衛(wèi)星每天在相同時刻，沿相同方向經(jīng)過地球表面A點正上方，恰好繞地球運行n圈(n>1).已知地球半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T，地球表面重力加速度為g，則“羲和號”衛(wèi)星運行的(C)A．線速度大于第一宇宙速度B．角速度小于地球同步衛(wèi)星C．向心加速度大于地球同步衛(wèi)星D．軌道距地面高度為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(gR2T2,4π2)))eq\s\up6(\f(1,3))－R解析：第一宇宙速度是以地球半徑為軌道半徑的衛(wèi)星的運行速度，是最大的環(huán)繞速度，故A錯誤；衛(wèi)星每天在相同時刻，沿相同方向經(jīng)過地球表面A點正上方，恰好繞地球運行n圈，則衛(wèi)星的周期為T星＝eq\f(T,n)，其中n>1，由ω＝eq\f(2π,T)，可知eq\f(ω星,ω地)＝n，即“羲和號”角速度大于地球同步衛(wèi)星，故B錯誤；“羲和號”衛(wèi)星的周期小于同步衛(wèi)星的周期，則軌道半徑小于同步衛(wèi)星的軌道半徑，由eq\f(GMm,r2)＝ma，可得a星>a同，即“羲和號”向心加速度大于地球同步衛(wèi)星，故C正確；由eq\f(GMm,(R＋h)2)＝meq\f(4π2,Teq\o\al(2,星))(R＋h)，eq\f(GMm′,R2)＝m′g，T星＝eq\f(T,n)，聯(lián)立可得軌道距地面高度為h＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(gR2T2,4π2n2)))eq\s\up6(\f(1,3))－R，故D錯誤．1.(2023·江蘇卷)設想將來發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，能在月球繞地球運動的軌道上穩(wěn)定運行，該軌道可視為圓軌道．該衛(wèi)星與月球相比，一定相等的是(C)A．質(zhì)量B．向心力大小C．向心加速度大小D．受到地球的萬有引力大小解析：根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝ma，可得a＝eq\f(GM,r2)，因該衛(wèi)星與月球的軌道半徑相同，可知向心加速度大小相同；因該衛(wèi)星的質(zhì)量與月球質(zhì)量不同，則向心力大小以及受地球的萬有引力大小均不相同，故選C.2.(2023·山東卷)牛頓認為物體落地是由于地球?qū)ξ矬w的吸引，這種吸引力可能與天體間(如地球與月球)的引力具有相同的性質(zhì)、且都滿足F∝eq\f(Mm,r2).已知地月之間的距離r大約是地球半徑的60倍，地球表面的重力加速度為g，根據(jù)牛頓的猜想，月球繞地球公轉(zhuǎn)的周期為(C)A．30πeq\r(\f(r,g)) B.30πeq\r(\f(g,r))C．120πeq\r(\f(r,g)) D.120πeq\r(\f(g,r))解析：設地球半徑為R，由題知，地球表面的重力加速度為g，則有mg＝Geq\f(M地m,R2)，月球繞地球公轉(zhuǎn)有Geq\f(M地m月,r2)＝m月eq\f(4π2,T2)r，r＝60R，聯(lián)立有T＝120πeq\r(\f(r,g))，故選C.3.(2024·無錫高三上期中)若想檢驗“使月球繞地球運動的力”與“使蘋果落地的力”遵循同樣的規(guī)律，在已知月地距離約為地球半徑60倍的情況下，需要驗證(B)A．地球吸引月球的力約為地球吸引蘋果的力的eq\f(1,602)B．月球公轉(zhuǎn)的加速度約為蘋果落向地面加速度的eq\f(1,602)C．自由落體在月球表面的加速度約為地球表面的eq\f(1,60)D．蘋果在月球表面受到的引力約為在地球表面的eq\f(1,60)解析：設月球的質(zhì)量為M0，地球的質(zhì)量為M，蘋果的質(zhì)量為m，地球的半徑為R，月球半徑為r，地球吸引月球的力為F0＝eq\f(GM0M,(60R)2)，蘋果受到的萬有引力為F＝eq\f(GMm,R2).由于月球質(zhì)量和蘋果質(zhì)量之間的關系未知，故二者之間萬有引力的關系無法確定，故A錯誤；由萬有引力提供向心力可得，月球公轉(zhuǎn)的加速度約為a0＝eq\f(GM,(60R)2)，蘋果落向地面加速度g＝eq\f(GM,R2)，整理可知a0＝eq\f(1,602)g，故B正確；由萬有引力等于重力，在地球表面有eq\f(GM0m,R2)＝mg，在月球表面有eq\f(GMm,r2)＝mg0，由于地球、月球本身的半徑大小、質(zhì)量大小關系未知，故無法求出月球表面和地面表面重力加速度的關系，故C錯誤；由C可知，無法求出月球表面和地面表面重力加速度的關系，故無法求出蘋果在月球表面受到的引力與地球表面引力之間的關系，故D錯誤．4．(2023·泰州期末)2022年11月30日，我國“神舟十五號”飛船通過加速與“天宮”號空間站交會對接，乘組人員入駐中國人的“太空家園”．設對接前飛船與空間站均在軌做圓周運動，運行情形如圖所示．下列說法中正確的是(A)A．圖中A是飛船，B是空間站B．對接前空間站運行周期比飛船運行周期小C．飛船通過向前方噴氣后才能與空間站完成交會對接D．對接后飛船的機械能與在原軌運行時的機械能相等解析：飛船通過加速后做離心運動軌道升高，才能與空間站交會對接，則可知道圖中A是飛船，B是空間站，故A正確；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，對接前空間站軌道半徑大，則運行周期大，故B錯誤；飛船通過向后方噴氣后才能獲得向前的反沖力，實現(xiàn)加速，故C錯誤；對接過程飛船因噴氣加速了，機械能比在原軌運行時的機械能大，故D錯誤．配套精練1．開普勒關于行星運動的描述，下列說法中正確的是(C)A．所有的行星軌道的半長軸的二次方跟公轉(zhuǎn)周期的三次方的比值都相等B．所有的行星繞太陽運動的軌道都是圓，太陽處在圓心上C．所有的行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上D．行星繞太陽運動的速度大小不變解析：由開普勒第三定律知所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等，A錯誤；所有行星都沿橢圓軌道繞太陽運動，太陽處于橢圓的一個焦點上，B錯誤，C正確；在不同的位置行星繞太陽運動的速度大小不一定相同，D錯誤．2．(2024·常州高三上期中)“神舟十七號”飛船于2023年10月26號從酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，對接中國空間站核心艙前向端口，形成三艙三船組合體，對接后空間站的運動可看作勻速圓周運動．對接后空間站在運行過程中(A)A．角速度不變B．線速度不變C．向心加速度不變D．受到的萬有引力不變解析：對接后空間站在運行過程中角速度不變；線速度大小不變，方向時刻發(fā)生變化；向心加速度大小不變，方向時刻發(fā)生變化；受到的萬有引力大小不變，方向時刻發(fā)生變化，故選A.3．(2023·連云港期末)2023年5月10日“天舟六號”貨運飛船發(fā)射升空，進入預定軌道擇機與空間站進行對接．如圖所示，對接前飛船與空間站均做勻速圓周運動，下列說法中正確的是(B)A．飛船內(nèi)部的貨物不受萬有引力B．飛船的加速度大于空間站的加速度C．飛船運行的周期大于空間站的周期D．飛船運行的速度大于第一宇宙速度解析：飛船內(nèi)部的貨物受萬有引力作用，作為其做勻速圓周運動的向心力，故A錯誤；由萬有引力提供向心力可得Geq\f(Mm,r2)＝ma＝mreq\f(4π2,T2)，解得a＝Geq\f(M,r2)，T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，飛船的軌道半徑較小，可知飛船的加速度大于空間站的加速度，飛船運行的周期小于空間站的周期，故B正確，C錯誤；第一宇宙速度為衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的最大速度，飛船運行的速度小于第一宇宙速度，故D錯誤．4．(2023·常州期末)我國未來將建立月球基地，并在繞月軌道上建造空間站．如圖所示，關閉發(fā)動機的航天飛機在月球引力作用下沿橢圓軌道向月球靠近，并將在橢圓軌道的近月點B處進入空間站軌道，準備與空間站對接．已知空間站繞月軌道半徑為r，周期為T，萬有引力常量為G.下列說法中正確的是(C)A．航天飛機在由A處飛向B處時做減速運動B．航天飛機到達B處由橢圓軌道進入空間站軌道時必須加速C．月球的質(zhì)量為M＝eq\f(4π2r3,GT2)D．月球的第一宇宙速度為v＝eq\f(2πr,T)解析：航天飛機在月球引力作用下沿橢圓軌道向月球靠近，引力做正功，速度增加，A錯誤；航天飛機到達B處由橢圓軌道進入空間站圓軌道時必須減速制動，B錯誤；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得月球的質(zhì)量M＝eq\f(4π2r3,GT2)，C正確；空間站的線速度為v＝eq\f(2πr,T)，因空間站軌道半徑大于月球的半徑，則月球的第一宇宙速度大于eq\f(2πr,T)，D錯誤．5．(2024·如皋期中質(zhì)量調(diào)研)2023年10月26日“神舟十七號”載人飛船成功發(fā)射．對接前，飛船運動到比空間站低的軌道，對接后可近似認為組合體做勻速圓周運動，下列說法中正確的是(A)A．對接前，飛船需要加速才能與空間站對接B．對接后，組合體做圓周運動的周期小于1hC．對接后，組合體的線速度大于11.2km/sD．在組合體的實驗艙內(nèi)由靜止釋放一個小球，小球?qū)⒆鲎杂陕潴w運動解析：對接前，飛船運動到比空間站低的軌道，若要飛到高軌道與空間站對接，需要進行加速做離心運動，故A正確；以第一宇宙速度繞地球做勻速圓周運動的周期為T＝eq\f(2πR,v1)＝eq\f(2π×6.4×106,7.9×103)s＝5090s≈1.4h，故組合體做圓周運動的周期大于1.4h，故B錯誤；根據(jù)第一宇宙速度等于衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，所以組合體的線速度小于第一宇宙速度7.9km/s，故C錯誤；在組合體的實驗艙內(nèi)由靜止釋放一個小球，小球不會自由落體，因為萬有引力全部用來提供向心力，小球處于完全失重狀態(tài)，故D錯誤．6．(2023·連云港考前模擬)2023年4月16日，“長征四號乙遙五十一”運載火箭將我國首顆降水測量專用衛(wèi)星“風云三號G星”送入高度407km、傾角50°的傾斜預定軌道，成功填補了我國南北緯50°范圍內(nèi)的降水監(jiān)測資料．衛(wèi)星軌道可看作圓，地表重力加速度為g，下列說法中正確的是(A)A．衛(wèi)星的向心加速度小于gB．衛(wèi)星的軌道與赤道平面重合C．衛(wèi)星運行速度大于第一宇宙速度D．若考慮稀薄大氣的阻力，衛(wèi)星的速度會越來越小解析：設衛(wèi)星到地面距離為h，根據(jù)Geq\f(Mm,R2)＝mg，Geq\f(Mm,(R＋h)2)＝ma，可得a＝eq\f(gR2,(R＋h)2)，該衛(wèi)星的向心加速度小于g，A正確；該衛(wèi)星軌道為傾角50°的傾斜預定軌道，衛(wèi)星的軌道與赤道平面不重合，B錯誤；由公式Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，可知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動時，半徑越小，速度越大，近地衛(wèi)星的運行速度，也就是第一宇宙速度，是最大的運行速度，該衛(wèi)星軌道高于近地衛(wèi)星，所以速度小于第一宇宙速度，C錯誤；由于稀薄大氣的影響，若不加干預，在運行一段時間后，衛(wèi)星的速度減小，引力大于向心力，做近心運動，半徑變小，引力做正功，其速度變大，D錯誤．7．(2023·無錫期終調(diào)研)2021年2月，我國首次火星探測任務探測器“天問一號”成功進入周期為T的大橢圓環(huán)火軌道.14天后，“天問一號”成功實施近火制動，經(jīng)過極軌轉(zhuǎn)移軌道(圖中未畫出)，進入近火點高度h、遠火點高度H、周期為eq\f(1,5)T的火星停泊軌道．已知火星半徑為R，則大橢圓軌道半長軸為(B)A．eq\r(3,\f(25,8))(h＋H) B．eq\r(3,\f(25,8))(h＋H＋2R)C．eq\f(25,2)eq\r(5)(H＋h) D．eq\f(25,2)eq\r(5)(H＋h＋2R)解析：根據(jù)開普勒第三定律可得eq\f((\f(h＋H＋2R,2))3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T,5)))\s\up12(2))＝eq\f(a3,T2)，解得a＝eq\r(3,\f(25,8))(h＋H＋2R)，故選B.8．(2024·淮安第一次調(diào)研)行星Cancrie被認為是一個“超級地球”，它是一個和地球一樣的巖石行星．半徑是地球的2倍，質(zhì)量是地球的8倍．由以上信息可知(C)A．該行星的密度小于地球的密度B．該行星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度C．該行星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度D．若在該行星表面發(fā)射緊貼表面運行的衛(wèi)星，其周期小于地球近地衛(wèi)星的周期解析：由題意可知，該行星的半徑是地球的2倍，質(zhì)量是地球的8倍．設地球的半徑為R，質(zhì)量為M，由密度公式可得地球的密度為ρ地＝eq\f(M,V地)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3M,4πR3)，該行星的密度為ρ行＝eq\f(8M,V行)＝eq\f(8M,\f(4,3)π(2R)3)＝eq\f(24M,32πR3)＝eq\f(3M,4πR3)，可知該行星的密度等于地球的密度，A錯誤；物體在地球表面的重力等于萬有引力，可得Geq\f(Mm,R2)＝mg地，可得g地＝eq\f(GM,R2)，同理可得該行星表面的重力加速度為g行＝eq\f(8GM,(2R)2)＝eq\f(2GM,R2)，可知該行星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度，B錯誤；在地球表面附近，由萬有引力提供向心力可得Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(veq\o\al(2,地),R)，解得v地＝eq\r(\f(GM,R))，同理，在該行星表面附近，可得v行＝eq\r(\f(8GM,2R))＝eq\r(\f(4GM,R))＝2eq\r(\f(GM,R))，可知該行星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度，C正確；對地球的近地衛(wèi)星，由萬有引力提供向心力，可得Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,Teq\o\al(2,地衛(wèi)))R，解得T地衛(wèi)＝2πeq\r(\f(R3,GM))，在該行星表面發(fā)射緊貼表面運行的衛(wèi)星周期為T行衛(wèi)＝2πeq\r(\f((2R)3,8GM))＝2πeq\r(\f(R3,GM))，可知在該行星表面發(fā)射緊貼表面運行的衛(wèi)星，其周期等于地球近地衛(wèi)星的周期，D錯誤．9．(2023·蘇北四市調(diào)研)2022年10月9日，我國太陽探測衛(wèi)星“夸父一號”成功發(fā)射，在距離地球表面約720千米低軌道上繞地心視作勻速圓周運動，該衛(wèi)星始終以相同的角度面對太陽，并保持在晨昏分界線上．與距離地球表面約為36000千米的地球同步衛(wèi)星相比，“夸父一號”的(B)A．軌道平面可能與地球同步衛(wèi)星軌道平面重合B．運行線速度比地球同步衛(wèi)星大C．運行角速度比地球同步衛(wèi)星小D．運行周期比地球同步衛(wèi)星大解析：根據(jù)常識可知地球同步衛(wèi)星的軌道一定在赤道的正上方，且環(huán)繞半徑約為地球半徑的6.6倍，晨昏線即晨昏圈，是指地球上晝半球和夜半球之間的分界線，“夸父一號”衛(wèi)星始終以相同的角度面對太陽，并保持在晨昏分界線上，所以不與地球同步衛(wèi)星軌道平面重合，故A錯誤；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)可知v＝eq\r(\f(GM,r))，“夸父一號”衛(wèi)星環(huán)繞半徑小，則運行線速度比地球同步衛(wèi)星大，故B正確；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝mω2r可知ω＝eq\r(\f(GM,r3))，“夸父一號”衛(wèi)星環(huán)繞半徑小，則運行角速度比地球同步衛(wèi)星大，故C錯誤；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2r,T2)可知T＝eq\r(\f(4π2r3,GM))，“夸父一號”衛(wèi)星環(huán)繞半徑小，則運行周期比地球同步衛(wèi)星小，故D錯誤．10．(2024·鹽城高三上期中)哈雷彗星的運動軌道是一個非常扁的橢圓，在近日點與太陽中心的距離為r1，在遠日點與太陽中心的距離為r2，若地球的公轉(zhuǎn)軌道可視為半徑為r的圓軌道，哈雷彗星的公轉(zhuǎn)周期為T.則哈雷彗星(D)A．質(zhì)量M＝eq\f(π2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r1＋r2))\s\up12(3),2GT2)B．公轉(zhuǎn)周期T＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1＋r2,r)))\s\up12(3))年C．在近日點與遠日點的速度大小之比為eq\r(\f(r2,r1))D．在近日點與遠日點的加速度大小之比為eq\f(req\o\al(2,2),req\o\al(2,1))解析：由萬有引力定律可以計算中心天體的質(zhì)量，依題意哈雷彗星是環(huán)繞天體，其質(zhì)量無法由萬有引力提供向心力模型計算，故A錯誤；由開普勒第三定律可得eq\f(r3,Teq\o\al(2,地球))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1＋r2,2)))\s\up12(3),T2)，其中T地球＝1年，解得T＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1＋r2,2r)))\s\up12(3))，故B錯誤；根據(jù)開普勒第二定律，取時間微元Δt，結(jié)合扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr，可得eq\f(1,2)v1Δtr1＝eq\f(1,2)v2Δtr2，解得eq\f(v1,v2)＝eq\f(r2,r1)，故C錯誤；在近日點時，由牛頓第二定律可得eq\f(GMm,req\o\al(2,1))＝ma1，在遠日點時，由牛頓第二定律可得eq\f(GMm,req\o\al(2,2))＝ma2，聯(lián)立解得eq\f(a1,a2)＝eq\f(req\o\al(2,2),req\o\al(2,1))，故D正確．11．(2024·海安期初質(zhì)量監(jiān)測)設想從地球赤道平面內(nèi)架設一垂直于地面延伸到太空的電梯，電梯的箱體可以將人從地面運送到地球同步軌道的空間站．已知地球表面兩極處的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)周期為T，地球半徑為R，萬有引力常量為G.求：(1)同步軌道空間站距地面的高度h.答案：eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))－R解析：由萬有引力提供向心力Geq\f(Mm,(R＋h)2)＝m(R＋h)eq\f(4π2,T2)在地球表面兩極處有Geq\f(Mm,R2)＝mg聯(lián)立可得，同步軌道空間站距地面的高度為h＝eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))－R(2)太空電梯的箱體停在距地面R高處時，箱體對質(zhì)量為m的乘客的作用力F.答案：eq\f(mgT2－32π2mR,4T2)，方向為背離地心解析：太空電梯的箱體停在距地面R高處時，乘客受到的萬有引力為F萬＝eq\f(GMm,4R2)＝eq\f(mg,4)太空電梯的箱體停在距地面R高處時，乘客所需要的向心力為Fn＝m·2Req\f(4π2,T2)＝eq\f(8π2mR,T2)所以，箱體對質(zhì)量為m的乘客的作用力為F＝F萬－Fn＝eq\f(mg,4)－eq\f(8π2mR,T2)＝eq\f(mgT2－32π2mR,4T2)方向為背離地心．補不足、提能力，老師可增加訓練：《抓分題·基礎天天練》《一年好卷》。微專題6天體運動中的“三類”熱點問題_近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星和赤道上物體的運行問題如圖所示，a為近地衛(wèi)星，半徑為r1；b為地球同步衛(wèi)星，半徑為r2；c為赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體，半徑為r3.近地衛(wèi)星(r1、ω1、v1、a1)同步衛(wèi)星(r2、ω2、v2、a2)赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體(r3、ω3、v3、a3)向心力萬有引力萬有引力萬有引力的一個分力軌道半徑r2>r3＝r1角速度由eq\f(GMm,r2)＝mω2r得ω＝eq\r(\f(GM,r3))故ω1>ω2同步衛(wèi)星的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同，故ω2＝ω3ω1>ω2＝ω3線速度由eq\f(GMm,r2)＝eq\f(mv2,r)得v＝eq\r(\f(GM,r))故v1>v2由v＝rω得v2>v3v1>v2>v3向心加速度由eq\f(GMm,r2)＝ma得a＝eq\f(GM,r2)故a1>a2由a＝ω2r得a2>a3a1>a2>a3已知地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的線速度大小為v1，向心加速度大小為a1，近地衛(wèi)星速度大小為v2，向心加速度大小為a2，地球同步衛(wèi)星線速度大小為v3，向心加速度大小為a3.設近地衛(wèi)星距地面高度不計，同步衛(wèi)星距地面高度約為地球半徑的6倍，則下列說法中正確的是(C)A．eq\f(v2,v3)＝eq\f(7,1) B．eq\f(v1,v3)＝eq\f(1,\r(7))C．eq\f(a1,a2)＝eq\f(1,73) D．eq\f(a2,a3)＝eq\f(1,49)解析：根據(jù)萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得衛(wèi)星的線速度v＝eq\r(\f(GM,r))，近地衛(wèi)星距地面高度不計，同步衛(wèi)星距地面高度約為地球半徑的6倍，則近地衛(wèi)星的半徑為r2＝R，同步衛(wèi)星的半徑為r3＝R＋6R＝7R，則eq\f(v2,v3)＝eq\r(\f(7,1))，A錯誤；由于同步衛(wèi)星與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同，根據(jù)v＝ωr有eq\f(v1,v3)＝eq\f(1,7)，B錯誤；由于同步衛(wèi)星與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同，根據(jù)a＝ω2r有eq\f(a1,a3)＝eq\f(1,7)，根據(jù)萬有引力提供向心力得Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝eq\f(GM,r2)，兩衛(wèi)星的軌道半徑之比為1∶7，可得eq\f(a2,a3)＝eq\f(49,1)，聯(lián)立可得eq\f(a1,a2)＝eq\f(1,73)，C正確，D錯誤．類題固法11．“北斗指路，國之夙愿”.2020年我國發(fā)射了北斗導航系統(tǒng)最后一顆衛(wèi)星，從此北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)形成全球覆蓋能力．如圖所示是北斗導航系統(tǒng)中部分衛(wèi)星的軌道示意圖，已知P、Q、M三顆衛(wèi)星均做勻速圓周運動，虛線圓是P、Q衛(wèi)星軌道的包圍圓，其中P是地球同步衛(wèi)星，則這三顆衛(wèi)星(A)A．運行的周期TP＝TQ>TMB．線速度大小vQ＜vP＜vMC．受到的引力FM>FP＝FQD．具有的機械能EP＝EQ＞EM解析：根據(jù)eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，因為rP＝rQ>rM，則運行的周期TP＝TQ>TM，A正確；根據(jù)eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，因此線速度大小vQ＝vP<vM，B錯誤；三個衛(wèi)星的質(zhì)量關系不確定，無法確定引力關系以及機械能大小關系，C、D錯誤．2．(2024·南京三校期中)如圖所示，A是靜止在赤道上的物體，B、C是同一平面內(nèi)兩顆人造衛(wèi)星．B為繞地球表面的近地衛(wèi)星，C是地球同步衛(wèi)星．下列說法中正確的是(D)A．衛(wèi)星B的速度大于地球的第一宇宙速度B．A、B的線速度大小關系為vA>vBC．周期大小關系為TC>TB>TAD．若衛(wèi)星B要靠近C所在軌道，需要先加速解析：衛(wèi)星B的運行速度大小等于地球的第一宇宙速度，第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，故A錯誤；對于繞地球表面的近地衛(wèi)星B和地球同步衛(wèi)星C，根據(jù)萬有引力提供向心力，得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，得v＝eq\r(\f(GM,r))，則知衛(wèi)星C的運行速度大小小于衛(wèi)星B的運行速度大小，地球同步衛(wèi)星C和靜止在赤道上的物體A是同步的，角速度相等，根據(jù)v＝rω，rA＜rC，知vA＜vC，則vA＜vB，故B錯誤；地球同步衛(wèi)星C和地球赤道上的物體A的角速度相等，周期TC＝TA，繞地球表面的近地衛(wèi)星B和地球同步衛(wèi)星C，根據(jù)開普勒第三定律可知TC＞TB，故C錯誤；若衛(wèi)星B要靠近C所在軌道，需要先加速，做離心運動，故D正確．衛(wèi)星變軌和能量問題1．變軌原理及過程人造衛(wèi)星的發(fā)射過程要經(jīng)過多次變軌方可到達預定軌道，如圖所示．(1)在A點點火加速，由于速度變大，Geq\f(Mm,r2)<meq\f(v2,r)，萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星做離心運動進入橢圓軌道Ⅱ.在B點(遠地點)再次點火加速進入圓形軌道Ⅲ.(2)當衛(wèi)星的速率突然減小時，Geq\f(Mm,r2)>meq\f(v2,r)，即萬有引力大于所需要的向心力，衛(wèi)星將做近心運動，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變小，當衛(wèi)星進入新的圓軌道穩(wěn)定運行時由v＝eq\r(\f(GM,r))可知，其運行速率比原軌道時增大．衛(wèi)星的發(fā)射和回收就是利用這一原理．2．三個運行物理量的大小比較(1)速度：設衛(wèi)星在圓軌道Ⅰ和Ⅲ上運行時的速率分別為v1、v3，在軌道Ⅱ上過A點和B點速率分別為vA、vB.在A點加速，則vA＞v1，在B點加速，則v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB.(2)加速度：因為在A點，衛(wèi)星只受到萬有引力作用，故不論從軌道Ⅰ還是軌道Ⅱ上經(jīng)過A點，衛(wèi)星的加速度都相同，同理，經(jīng)過B點加速度也相同．(3)周期：設衛(wèi)星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ軌道上運行周期分別為T1、T2、T3，軌道半徑分別為r1、r2(半長軸)、r3，由開普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k可知T1＜T2＜T3.3．衛(wèi)星運動中的機械能(1)只在萬有引力作用下衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運動和沿橢圓軌道運動，機械能均守恒，這里的機械能包括衛(wèi)星的動能、衛(wèi)星(與中心天體)的引力勢能．(2)質(zhì)量相同的衛(wèi)星，圓軌道半徑越大，動能越小，勢能越大，機械能越大．(2023·南京學情調(diào)研)2022年4月16日，“神舟十三號”飛船完成與“天宮”空間站對接任務后成功返回地球．如圖所示，圓形軌道2為“天宮”空間站運行軌道，橢圓軌道1為載人飛船運行軌道，兩軌道相切于P點，Q點是軌道1的近地點，在地面附近．則下列說法中正確的是(A)A．飛船在軌道1上某處的速率可能等于空間站在軌道2上的速率B．飛船在軌道1上P點的加速度小于空間站在軌道2上P點的加速度C．飛船在軌道1上的運行周期大于在軌道2上的運行周期D．飛船從Q點向P點運動過程中，機械能減小解析：根據(jù)萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，可知飛船在軌道越低的地方速度越大，即飛船在Q點的速度大于在軌道2上做圓周運動的速度，飛船在軌道1上從Q到P速度逐漸減小，到達P點時運行速度小于空間站在軌道2上的運行速度，所以飛船在軌道1上某處的速率可能等于空間站在軌道2上的速率，故A正確；根據(jù)萬有引力提供向心力有Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝Geq\f(M,r2)，可知，飛船在軌道1上P點的加速度等于空間站在軌道2上P點的加速度，故B錯誤；根據(jù)開普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k，由圖可知，飛船在軌道2上的軌道半徑大于在軌道1上的軌道半長軸，所以飛船在軌道1上的運行周期小于在軌道2上的運行周期，故C錯誤；載人飛船從Q點向P點運動過程中，只有萬有引力對飛船做功，所以機械能守恒，故D錯誤．類題固法21．(2023·南京、鹽城二模)2023年1月21日，“神舟十五號”3名航天員在400km高的空間站向祖國人民送上新春祝福．空間站的運行軌道可近似看作圓形軌道Ⅰ，設地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，橢圓軌道Ⅱ為載人飛船運行軌道，兩軌道相切于A點．下列說法中正確的是(C)A．在A點時“神舟十五號”經(jīng)過點火加速才能從軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ返回B．飛船在A點的加速度小于空間站在A點的加速度C．空間站在圓軌道Ⅰ上運行的速度小于eq\r(gR)D．軌道Ⅰ上的飛船想與前方的空間站對接，只需要沿運動方向加速即可解析：載人飛船若要從軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ，做近心運動，需要在A點減速，故A錯誤；載人飛船在軌道Ⅰ上通過A點時受到的萬有引力等于在軌道Ⅱ上運行時通過A點時的萬有引力，由牛頓第二定律可知，它們的加速度相等，故B錯誤；根據(jù)萬有引力提供向心力有eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)，地球表面萬有引力等于重力有eq\f(GMm,R2)＝meq\f(veq\o\al(2,1),R)＝mg，可知v<v1＝eq\r(gR)，則空間站在軌道Ⅰ上的速度小于eq\r(gR)，故C正確；軌道Ⅰ上的飛船想與前方的空間站對接，若加速會做離心運動，軌道半徑會變大，所以需要先減速到低軌道上，再加速運動才能完成與空間站的對接，故D錯誤．2．(2023·如皋期初調(diào)研)2020年7月，我國用長征運載火箭將“天問一號”探測器發(fā)射升空，探測器在星箭分離后，進入地火轉(zhuǎn)移軌道，如圖所示，2021年5月在火星烏托邦平原著陸．則探測器(B)A．與火箭分離時的速度大于16.7km/sB．繞火星運行時三個軌道中，在探測軌道上的運行周期最小C．繞火星運行時三個軌道中，每次經(jīng)過P點時的動能相等D．繞火星運行時在不同軌道上與火星的連線每秒掃過的面積相等解析：探測器沒有脫離太陽系，故其發(fā)射速度小于16.7km/s，與火箭分離時的速度小于16.7km/s，故A錯誤；由圖可得，繞火星運行時在探測軌道上的軌道半徑最小，則由開普勒第三定律知在探測軌道上的周期最小，故B正確；捕獲軌道、停泊軌道、探測軌道經(jīng)過P點的速度分別為v1、v2、v3，從捕獲軌道到停泊軌道再到探測軌道探測器在做近心運動，經(jīng)過P點時減速，所以三者速度關系v1>v2>v3，故C錯誤；由開普勒第二定律可知，繞火星運行時在同一軌道上與火星的連線每秒掃過的面積相等，故D錯誤．3．如圖為同一平面內(nèi)繞地球的三個衛(wèi)星軌道示意圖，Ⅰ、Ⅲ為圓軌道，Ⅱ為橢圓軌道，Ⅲ的半徑與Ⅱ的半長軸相等，且Ⅲ與Ⅱ相交于M點，Ⅰ與Ⅱ相切于N點．三顆不同的衛(wèi)星A、B、C正沿軌道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ穩(wěn)定運行，則(B)A．A、B經(jīng)過N點時的向心力一定相同B．A、B在圖中位置的速度可能等大C．B、C在M點的向心加速度大小相等D．B、C與地心的連線在任意相等時間內(nèi)掃過的面積相等解析：由于A、B的質(zhì)量關系未知，則向心力不一定相同，A錯誤；根據(jù)橢圓軌道的速度變化可知，從B到N速度增大，若衛(wèi)星從N點進入軌道Ⅰ時，要減速，則A、B的速度可能等大，B正確；由于在橢圓軌道時萬有引力不是全部提供向心力，B、C經(jīng)過M點時的向心加速度不相同，C錯誤；根據(jù)開普勒第二定律可知，B、C與地心的連線在任意相等時間內(nèi)掃過的面積不一定相等，D錯誤．雙星或多星模型1．雙星模型(1)模型構(gòu)建：繞公共圓心轉(zhuǎn)動的兩個星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)，如圖所示．(2)特點：①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即eq\f(Gm1m2,L2)＝m1ωeq\o\al(2,1)r1，eq\f(Gm1m2,L2)＝m2ωeq\o\al(2,2)r2.②兩顆星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.③兩顆星的軌道半徑與它們之間的距離關系為r1＋r2＝L.2．多星模型(1)模型構(gòu)建：所研究星體的萬有引力的合力提供做圓周運動的向心力，除中央星體外，各星體的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三顆星體位于同一直線上．兩顆質(zhì)量相等的環(huán)繞星圍繞中央星在同一半徑為R的圓形軌道上運行(如圖甲所示).②三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點上(如圖乙所示). 甲 乙 丙 丁(3)四星模型：①其中一種是四顆質(zhì)量相等的星體位于正方形的四個頂點上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運動(如圖丙所示).②另一種是三顆質(zhì)量相等的星體始終位于正三角形的三個頂點上，另一顆位于中心O，外圍三顆星繞O做勻速圓周運動(如圖丁所示).如圖所示，“食雙星”是兩顆相距為d的恒星A、B，只在相互引力作用下繞連線上O點做勻速圓周運動，彼此掩食(像月亮擋住太陽)而造成亮度發(fā)生周期性變化的兩顆恒星．觀察者在地球上通過望遠鏡觀察“食雙星”，視線與雙星軌道共面．觀測發(fā)現(xiàn)每隔時間T兩顆恒星與望遠鏡共線一次，已知萬有引力常量為G，則(C)A．恒星A、B運動的周期為TB．恒星A質(zhì)量小于B的質(zhì)量C．恒星A、B的總質(zhì)量為eq\f(π2d3,GT2)D．恒星A的線速度大于B的線速度解析：每隔時間T兩顆恒星與望遠鏡共線一次，則兩恒星的運動周期為T′＝2T，故A錯誤；根據(jù)萬有引力等于向心力Geq\f(mAmB,d2)＝mAeq\f(4π2,(2T)2)rA＝mBeq\f(4π2,(2T)2)rB，因為rA<rB，則mA>mB，故B錯誤；兩恒星總質(zhì)量為M＝mA＋mB＝eq\f(π2d3,GT2)，故C正確；根據(jù)v＝ωr，兩恒星角速度相等，則vA<vB，故D錯誤．宇宙中存在一些離其他恒星較遠的三星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用，三星質(zhì)量也相同．現(xiàn)已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星做圓周運動，如圖甲所示；另一種是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行，如圖乙所示．設兩種系統(tǒng)中三個星體的質(zhì)量均為m，且兩種系統(tǒng)中各星體間的距離已在圖中標出，引力常量為G，則下列說法中正確的是(D) 甲 乙A．直線三星系統(tǒng)中星體做圓周運動的線速度大小為eq\r(\f(Gm,L))B．直線三星系統(tǒng)中星體做圓周運動的周期為2πeq\r(\f(L3,5Gm))C．三角形三星系統(tǒng)中每顆星做圓周運動的角速度為2eq\r(\f(L3,3Gm))D．三角形三星系統(tǒng)中每顆星做圓周運動的加速度大小為eq\f(\r(3)Gm,L2)解析：在直線三星系統(tǒng)中，星體做圓周運動的向心力由其他兩星對它的萬有引力的合力提供，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律，有Geq\f(m2,L2)＋Geq\f(m2,(2L)2)＝meq\f(v2,L)，解得v＝eq\f(1,2)eq\r(\f(5Gm,L))，A錯誤；由周期T＝eq\f(2πr,v)知，直線三星系統(tǒng)中星體做圓周運動的周期為T＝4πeq\r(\f(L3,5Gm))，B錯誤；同理，對三角形三星系統(tǒng)中做圓周運動的星體，有2Geq\f(m2,L2)cos30°＝mω2·eq\f(L,2cos30°)，解得ω＝eq\r(\f(3Gm,L3))，C錯誤；由2Geq\f(m2,L2)cos30°＝ma得a＝eq\f(\r(3)Gm,L2)，D正確．類題固法31.(2023·連云港調(diào)研)如圖所示，某雙星系統(tǒng)中質(zhì)量較大的A星球正在“吸食”質(zhì)量較小的B星球的表面物質(zhì)，從而實現(xiàn)質(zhì)量轉(zhuǎn)移．若“吸食”過程中A、B球心間距離不變，運動軌道均視為圓周，則在“吸食”的最初階段，下列說法中正確的是(D)A．A、B運動的周期變大B．A、B之間的萬有引力保持不變C．A星球做圓周運動的軌道半徑變大D．B星球做圓周運動的線速度變大解析：穩(wěn)定的雙星系統(tǒng)兩星球角速度大小相等，根據(jù)萬有引力提供向心力，對A星球有Geq\f(Mm,r2)＝Mω2rA，同理對B星球有Geq\f(Mm,r2)＝mω2rB，r＝rA＋rB，聯(lián)立可得Geq\f((M＋m),r2)＝ω2r，則ω＝eq\r(\f(G(M＋m),r3))，由于質(zhì)量在兩星球間轉(zhuǎn)移，故總質(zhì)量不變，則角速度大小不變，由ω＝eq\f(2π,T)，可得周期T不變，故A錯誤；由萬有引力定律F＝Geq\f(Mm,r2)，若M增大，則m減小，則Mm乘積要變化，可知萬有引力變化，故B錯誤；由eq\f(GMm,r2)＝Mω2rA得rA＝eq\f(Gm,ω2r2)，由于m變小，所以rA變小，同理rB變大，由于角速度大小不變，故A星球線速度變小，B星球線速度變大，C錯誤，D正確．2.(2024·海安期初質(zhì)量監(jiān)測)如圖所示，A、B、C三顆星體分別位于等邊三角形的三個頂點上，在相互之間的萬有引力作用下，繞圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做勻速圓周運動，rBO＝rCO＝2rAO.忽略其他星體對它們的作用，則下列關系中正確的是(B)A．星體的線速度vA＝2vBB．星體的加速度2aA＝aBC．星體所受合力FA＝FBD．星體的質(zhì)量mA＝mB解析：三星系統(tǒng)是三顆星都繞同一圓心O做勻速圓周運動，由此它們轉(zhuǎn)動的角速度相同，由線速度與角速度的關系公式v＝ωr，可知星體的線速度vA＝eq\f(1,2)vB，A錯誤；由向心加速度公式a＝ω2r，可得星體的加速度aA＝ω2rAO，aB＝ω2rBO＝2ω2rAO，則有2aA＝aB，B正確；三顆星都繞同一圓心O做勻速圓周運動，因此可得星體A、B受力如圖所示，由圖可知，A、B間的萬有引力大小等于A、C間的萬有引力大小，B、C間的萬有引力大小小于A、B間的萬有引力大小，分力的夾角相等，因此FA>FB，C錯誤；由圖可知，A、B間的萬有引力大小等于A、C間的萬有引力大小，可知mB＝mC，B、C間的萬有引力大小小于A、B間的萬有引力大小，可知mA>mC，則有mA>mB，D錯誤．配套精練1．(2023·南外、金陵、海安三校聯(lián)考)2022年10月9日，中國首顆綜合性太陽探測衛(wèi)星“夸父一號”成功發(fā)射，開啟中國綜合性太陽觀測新時代．“夸父一號”衛(wèi)星采用的是離地高度720千米左右、周期約99分鐘的太陽同步晨昏軌道．下列說法中正確的是(A)A．“夸父一號”的向心加速度比地球同步衛(wèi)星大B．“夸父一號”受到地球的萬有引力比地球同步衛(wèi)星大C．“夸父一號”的角速度比靜止在赤道上的物體小D．“夸父一號”的運行速度大于第一宇宙速度解析：根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝eq\f(GM,r2)，“夸父一號”的半徑小，所以“夸父一號”的向心加速度比地球同步衛(wèi)星大，A正確；根據(jù)萬有引力公式F＝Geq\f(Mm,r2)，由于不知道衛(wèi)星的質(zhì)量，所以無法比較萬有引力的大小，B錯誤；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝mω2r，解得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，可知“夸父一號”的角速度大于同步衛(wèi)星，而同步衛(wèi)星的角速度與赤道上的物體相等，所以“夸父一號”的角速度比靜止在赤道上的物體大，C錯誤；第一宇宙速度叫作最大環(huán)繞速度，“夸父一號”的運行速度小于第一宇宙速度，D錯誤．2．(2023·海安期初質(zhì)量監(jiān)測)如圖所示，兩顆衛(wèi)星繞地球分別在圓軌道Ⅰ和橢圓軌道Ⅱ上運行，衛(wèi)星在軌道Ⅰ上經(jīng)過P點的速度為v，加速度為a，P、Q為軌道的近地點和遠地點，則軌道Ⅱ上的衛(wèi)星(A)A．P點的速度大于vB．Q點的速度大于vC．P點的加速度大于aD．Q點的加速度大于a解析：從軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ需要在P點加速，可知衛(wèi)星在軌道Ⅱ上的P點的速度大于v，A正確；根據(jù)Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，可知v＝eq\r(\f(GM,r))，若經(jīng)過Q點以圓軌道Ⅲ做勻速圓周運動，則在圓軌道Ⅲ上的速度vⅢ<v，而由軌道Ⅱ上的Q點要進入軌道Ⅲ需要加速，可知在軌道Ⅱ上Q點的速度小于v，B錯誤；根據(jù)a＝eq\f(GM,r2)，可知在軌道Ⅱ上P點的加速度仍然等于a，C錯誤；根據(jù)a＝eq\f(GM,r2)，可知在軌道Ⅱ上Q點的加速度小于a，D錯誤．3．(2023·淮安模擬)人類首次發(fā)現(xiàn)的引力波來源于距地球之外13億光年的兩個黑洞互相繞轉(zhuǎn)最后合并的過程．設兩個黑洞A、B繞其連線上的O點做勻速圓周運動，如圖所示，黑洞A的軌道半徑大于黑洞B的軌道半徑，兩個黑洞的總質(zhì)量為M，兩個黑洞中心間的距離為L，則(C)A．黑洞A的質(zhì)量一定大于黑洞B的質(zhì)量B．黑洞A的線速度一定小于黑洞B的線速度C．其運動周期T＝eq\r(\f(4π2L3,GM))D．兩個黑洞的總質(zhì)量M一定，L越大，角速度越大解析：設兩個黑洞質(zhì)量分別為mA、mB，軌道半徑分別為RA、RB，角速度為ω，則由萬有引力定律可知eq\f(GmAmB,L2)＝mAω2RA，eq\f(GmAmB,L2)＝mBω2RB，RA＋RB＝L，聯(lián)立可以得到eq\f(mA,mB)＝eq\f(RB,RA)，而RA>RB，所以mA<mB，故A錯誤；由于二者角速度相等，則線速度分別為vA＝ωRA，vB＝ωRB，則vA>vB，故B錯誤；聯(lián)立eq\f(GmAmB,L2)＝mAω2RA，eq\f(GmAmB,L2)＝mBω2RB，RA＋RB＝L，解得M＝mA＋mB＝eq\f(ω2L3,G)，而且T＝eq\f(2π,ω)，整理可以得到T＝eq\r(\f(4π2L3,GM))，可知當總質(zhì)量M一定，L越大，則T越大，角速度越小，故C正確，D錯誤．4．(2024·儀征中學期初)格林童話《杰克與豌豆》中的神奇豌豆一直向天空生長，長得很高很高．如果長在地球赤道上的這棵豆秧上有與赤道共面且隨地球一起自轉(zhuǎn)的三顆果實，其中果實2在地球同步軌道上．下列說法中正確的是(B)A．果實3的向心加速度最大B．果實2成熟自然脫離豆秧后仍與果實1和果實3保持相對靜止在原軌道運行C．果實2的運動周期大于果3的運動周期D．果實1成熟自然脫離豆秧后，將做近心運動解析：三顆果實隨地球一起自轉(zhuǎn)，角速度相等，根據(jù)a＝ω2r，可知果實1的向心加速度最大，故A錯誤；果實2在地球同步軌道上，可知果實2受到的萬有引力等于隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力，故果實2成熟自然脫離豆秧后仍與果實1和果實3保持相對靜止在原軌道運行，故B正確；三顆果實隨地球一起自轉(zhuǎn)，角速度相等，根據(jù)T＝eq\f(2π,ω)，可知果實2的運動周期等于果實3的運動周期，故C錯誤；對于果實1有Geq\f(Mm1,req\o\al(2,1))<m1ω2r1，可知果實1受到的萬有引力不足以提供果實1隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力，故將做離心運動，故D錯誤．5．(2024·南京期中)如圖所示為“天問一號”探測器圍繞火星多次變軌的簡化圖景．軌道Ⅰ、Ⅲ為橢圓，軌道Ⅱ為圓，O點是這三個軌道的相切點，O、Q分別是遠火星點和近火星點，O、P、Q三點連線經(jīng)過火星中心，已知火星的半徑為R，OQ＝4R，探測器在軌道Ⅱ上經(jīng)過O點時的速度為v.下列說法中正確的是(B)A．在多次變軌過程中，探測器與火星中心的連線經(jīng)過相等時間掃過的面積都相等B．探測器在軌道Ⅱ上運動時，經(jīng)過O點的加速度等于eq\f(v2,3R)C．探測器在軌道Ⅰ上運動時，經(jīng)過O點的速度小于vD．探測器在軌道Ⅱ和Ⅲ上運動的周期之比是3∶2解析：根據(jù)開普勒第二定律，在同一軌道上探測器與火星中心的連線經(jīng)過相等時間掃過的面積都相等，在不同軌道上，不具備上述關系，故在多次變軌過程中，探測器與火星中心的連線經(jīng)過相等時間掃過的面積不相等，故A錯誤；根據(jù)幾何關系，探測器在軌道Ⅱ上運動時的軌道半徑為r＝OQ－R＝3R，根據(jù)牛頓第二定律Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)＝ma，經(jīng)過O點的加速度等于a＝eq\f(v2,3R)，故B正確；根據(jù)變軌原理，探測器在軌道Ⅱ上O需點火加速變軌到軌道Ⅰ上，故探測器在軌道Ⅰ上運動時，經(jīng)過O點的速度大于v，故C錯誤；根據(jù)開普勒第三定律eq\f(r3,Teq\o\al(2,Ⅱ))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(OQ,2)))\s\up12(3),Teq\o\al(2,Ⅲ))，探測器在軌道Ⅱ和Ⅲ上運動的周期之比是eq\f(TⅡ,TⅢ)＝eq\f(\r(27),\r(8))＝eq\f(3\r(6),4)，故D錯誤．6．(2023·南京三模)2022年10月31日，搭載“夢天”實驗艙的“長征五號B遙四”運載火箭發(fā)射取得圓滿成功．實驗艙發(fā)射可簡化為三個軌道，如圖所示，先由近地圓軌道1進入橢圓軌道2，再調(diào)整至圓軌道3.軌道上A、B、C三點與地球中心在同一直線上，A、C兩點分別為軌道2的遠地點與近地點．下列說法中正確的是(A)A．衛(wèi)星在軌道2上C點的速度大于第一宇宙速度B．衛(wèi)星在軌道2上運行的周期小于在軌道1上運行的周期C．衛(wèi)星在軌道2上的A點和軌道3上B點受到的萬有引力相同D．衛(wèi)星在軌道2上C點的速度小于在軌道3上B點的速度解析：軌道1為近地圓軌道，衛(wèi)星運行的速度為第一宇宙速度，衛(wèi)星由1軌道變到2軌道，要做離心運動，因此在C點應該加速，所以在2軌道上C點的速度大于1軌道上C點的速度，即衛(wèi)星在軌道2上C點的速度大于第一宇宙速度，故A正確；根據(jù)開普勒第三定律eq\f(R3,T2)＝k，可知軌道半徑越大，周期越大，所以衛(wèi)星在軌道2上運行的周期大于在軌道1上運行的周期，故B錯誤；根據(jù)萬有引力公式F＝Geq\f(Mm,r2)，可知衛(wèi)星在軌道2上的A點和軌道3上B點受到的萬有引力大小相同，方向不同，故C錯誤；根據(jù)萬有引力提供向心力Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，可知衛(wèi)星在1軌道上運行的速度大于衛(wèi)星在3軌道上的速度，而衛(wèi)星在軌道2上C點的速度大于衛(wèi)星在軌道1上C點的速度，所以衛(wèi)星在軌道2上C點的速度大于在軌道3上B點的速度，故D錯誤．7．宇宙間存在一些離其他恒星較遠的三星系統(tǒng)，其中有一種三星系統(tǒng)如圖所示．三顆質(zhì)量均為m的星球位于邊長為R的等邊三角形的三個頂點上，并繞其中心O做勻速圓周運動．忽略其他星球?qū)λ鼈兊囊ψ饔?，引力常量為G.關于該三星系統(tǒng)，下列說法中錯誤的是(B)A．每顆星球做圓周運動的半徑都為eq\f(\r(3),3)RB．每顆星球做圓周運動的加速度都與三顆星球的質(zhì)量無關C．每顆星球做圓周運動的周期都為2πReq\r(\f(R,3Gm))D．若距離R和m均增大為原來的3倍，則每顆星球的線速度大小不變解析：由幾何關系知每顆星球做圓周運動的半徑r＝eq\f(\r(3),3)R，故A正確；任意兩顆星之間的萬有引力為F＝eq\f(Gm2,R2)，一顆星受到的合力F1＝eq\r(3)F，合力提供它們的向心力eq\f(\r(3)Gm2,R2)＝ma，解得a＝eq\f(\r(3)Gm,R2)，與三顆星球的質(zhì)量m成正比，故B錯誤；合力提供它們的向心力eq\f(\r(3)Gm2,R2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得T＝2πReq\r(\f(R,3Gm))，故C正確；合力提供它們的向心力，eq\f(\r(3)Gm2,R2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(Gm,R)