專題02超幾何分布(典型例題題型歸類練)

專題02超幾何分布(典型例題+題型歸類練)目錄一、必備秘籍二、典型例題類型一：超幾何分布的概率問題類型二：利用超幾何分布求分布列、期望和方差三、題型歸類練一、必備秘籍1、超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有件，其中有件次品．從件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件(不放回），用表示抽取的件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則的分布列為，其中，，，，，，，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．2、公式中個(gè)字母的含義—總體中的個(gè)體總數(shù)—總體中的特殊個(gè)體總數(shù)(如次品總數(shù))—樣本容量—樣本中的特殊個(gè)體數(shù)(如次品數(shù))注意：(1)“由較明顯的兩部分組成”:如“男生、女生”，“正品、次品”；(2)不放回抽樣；(3)注意分布列的表達(dá)式中，各個(gè)字母的含義及隨機(jī)變量的取值范圍.二、典型例題類型一：超幾何分布的概率問題例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）為發(fā)展業(yè)務(wù)，某調(diào)研組對(duì)，兩個(gè)公司的掃碼支付情況進(jìn)行調(diào)查，準(zhǔn)備從國內(nèi)個(gè)人口超過1000萬的超大城市和8個(gè)人口低于100萬的小城市中隨機(jī)抽取若干個(gè)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).若一次抽取2個(gè)城市，全是小城市的概率為.(1)求的值；(2)若一次抽取4個(gè)城市，①假設(shè)抽取出的小城市的個(gè)數(shù)為，求的可能值及相應(yīng)的概率；【答案】(1)；(2)①X的可能取值為0，1，2，3，4，相應(yīng)概率見解析；②.【詳解】（1）從個(gè)城市中一次抽取2個(gè)城市，有種情況，其中全是小城市的有種情況，則全是小城市的概率為，解得（負(fù)值舍去）.（2）①由題意可知，X的可能取值為0，1，2，3，4，相應(yīng)的概率分別記為，，，，，.感悟升華（核心秘籍）1、判斷一個(gè)實(shí)驗(yàn)是否服從超幾何分布的標(biāo)準(zhǔn)：試驗(yàn)對(duì)象由較明顯的兩部分組成；有時(shí)候有明顯的標(biāo)志：不放回.2、注意再求分布列時(shí)不漏，不重復(fù).例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）幸福農(nóng)場(chǎng)生產(chǎn)的某批次20件產(chǎn)品中含有件次品，從中一次任取10件，其中次品恰有件．(1)若，求取出的產(chǎn)品中次品不超過1件的概率；(2)記，則當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值．【答案】(1)(2)（1）記“取出的產(chǎn)品中次品不超過1件”為事件A，則.因?yàn)?，，所?則取出的產(chǎn)品中次品不超過1件的概率是.（2）因?yàn)?，則.若，解得∵則故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.感悟升華（核心秘籍）1、由題意可知隨機(jī)變量X服從超幾何分布，2、，利用作商法判斷的大小變化．當(dāng)遞增；當(dāng)遞減類型二：利用超幾何分布求分布列、期望和方差例題1．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）千百年來，我國勞動(dòng)人民在生產(chǎn)實(shí)踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化、總結(jié)了豐富的“看云識(shí)天氣”的經(jīng)驗(yàn)，并將這些經(jīng)驗(yàn)編成諺語，如“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”，“日落云里走，雨在半夜后”·····.某同學(xué)為了驗(yàn)證“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”的現(xiàn)象，在氣象局獲取了200天的天氣情況數(shù)據(jù)，得到如下2x2列聯(lián)表：天上鉤鉤云地上雨淋淋總計(jì)下雨未下雨出現(xiàn)60100未出現(xiàn)70總計(jì)附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)小概率值=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析出現(xiàn)“天上鉤鉤云”與次日的“地上雨淋淋”是否有關(guān).(2)按分層隨機(jī)抽樣的方式在該地區(qū)統(tǒng)計(jì)的“地上雨淋淋”中下雨的天數(shù)中隨機(jī)抽取9天，再從這9天中任意選取3天，記其中未出現(xiàn)“天上鉤鉤云”的天數(shù)為，求的分布列與期望.【答案】(1)表格見解析，認(rèn)為該地區(qū)出現(xiàn)“天上鉤鉤云”與次日的“地上雨淋淋”有關(guān)；(2)分布列見解析，.【詳解】（1）零假設(shè)為：出現(xiàn)“天上鉤鉤云”與次日的“地上雨淋淋”無關(guān).根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表（表中數(shù)據(jù)單位：天），具體如下：天上鉤鉤云地上雨淋淋總計(jì)下雨未下雨出現(xiàn)6040100未出現(xiàn)3070100總計(jì)90110200所以：，容易判斷出：，所以根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為該地區(qū)出現(xiàn)“天上鉤鉤云”與次日的“地上雨淋淋”有關(guān).（2）依題意，在該地區(qū)統(tǒng)計(jì)的“地上雨淋淋”中下雨的天數(shù)中隨機(jī)抽取9天，出現(xiàn)“天上鉤鉤云”的天數(shù)天，未出現(xiàn)的天數(shù)有天，從中任意選取3天，的取值可能為0，1，2，3，則有：，，，．則的分布列為0123故.例題2．（2022·廣東·福田外國語高中高三階段練習(xí)）為了了解一個(gè)智力游戲是否與性別有關(guān)，從某地區(qū)抽取男女游戲玩家各名，其中游戲水平分為高級(jí)和非高級(jí)兩種．(1)根據(jù)題意完善下列列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為智力游戲水平高低與性別有關(guān)聯(lián)高級(jí)非高級(jí)合計(jì)女男合計(jì)(2)按照性別用分層抽樣的方法從這些人中抽取人，從這人中抽取人作為游戲參賽選手；(ⅰ)若甲入選了人名單，求甲成為參賽選手的概率；(ⅱ)設(shè)抽取的名選手中女生的人數(shù)為，求的分布列和期望．附：，．0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】(1)表格見解析，可以認(rèn)為H0成立，認(rèn)為“智力游戲水平高低與性別無關(guān)”(2)(ⅰ)(ⅱ)分布列見解析，（1）由題意得到如下的列聯(lián)表：高級(jí)非高級(jí)合計(jì)女男合計(jì)零假設(shè)：H0:智力游戲水平高低與性別無關(guān).由于．故依據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此可以認(rèn)為H0成立，認(rèn)為“智力游戲水平高低與性別無關(guān)”（2）(ⅰ)甲成為參賽選手的概率

(ⅱ)

根據(jù)分層抽樣的特征人中男女各人，女生的人數(shù)的所有取值為，，，，；

；

；隨機(jī)變量的分布列：．感悟升華（核心秘籍）1、判斷一個(gè)實(shí)驗(yàn)是否服從超幾何分布的標(biāo)準(zhǔn)：試驗(yàn)對(duì)象由較明顯的兩部分組成；有時(shí)候有明顯的標(biāo)志：不放回.2、判斷模型屬于超幾何分布的概率模型后，可以根據(jù)超幾何概率模型請(qǐng)求分布列數(shù)學(xué)期望和方差.三、題型歸類練1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）北京某高校有20名志愿者報(bào)名參加2022年北京冬奧會(huì)服務(wù)工作，其中有2名老師，18名學(xué)生.若從中隨機(jī)抽取名志愿者，用X表示所抽取的n名志愿者中老師的人數(shù).(1)若，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)當(dāng)n為何值時(shí)，的概率取得最大值?最大值是多少?【答案】(1)分布列見解析，(2)時(shí)，取得最大值（1）當(dāng)時(shí)，X的所有可能取值為0，1，2，則，，，所以X的分布列為X012P.（2）的概率為，，且.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，的概率取最大值，最大值是.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）研究表明，過量的碳排放會(huì)導(dǎo)致全球氣候變暖等環(huán)境問題，減少碳排放具有深遠(yuǎn)的意義．中國明確提出節(jié)能減排的目標(biāo)與各項(xiàng)措施，在公路交通運(yùn)輸領(lǐng)域，新能源汽車逐步取代燃油車是措施之一．中國某地區(qū)從2015年至2021年每年汽車總銷量如圖，每年新能源汽車銷量占比如表．（注：汽車總銷量指新能源汽車銷量與非新能源汽車銷量之和）年份2015201620172018201920202021新能源汽車銷量占比(1)從2015年至2021年中隨機(jī)選取一年，求這一年該地區(qū)汽車總銷量不小于5.5萬輛的概率；(2)從2015年至2021年中隨機(jī)選取兩年，設(shè)X表示新能源汽車銷量超過0.5萬輛的年份的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見解析，（1）由汽車銷量圖得7年中有6年汽車總銷量不小于5.5萬輛，則隨機(jī)選取一年，這一年該地區(qū)汽車總銷量不小丁5.5萬輛的概率為．（2）由圖表得新能源汽車20152021年的銷量如下表：年份2015201620172018201920202021新能源汽年銷量0.06250.1120.1680.2750.4560.541.16新能源汽車銷量超過0.5萬輛的年份有2個(gè)，不超過0.5萬輛的年份有5個(gè)，則隨機(jī)變量X可能取值為0，1，2，，，，所以X的分布列為所以．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）北京時(shí)間2022年7月25日3時(shí)13分，問天實(shí)驗(yàn)艙成功對(duì)接于天和核心艙前向端口，2022年7月25日10時(shí)03分，神舟十四號(hào)航天員乘組成功開啟問天實(shí)驗(yàn)艙艙門，順利進(jìn)入問天實(shí)驗(yàn)艙.8月，中國空間站第2個(gè)實(shí)驗(yàn)艙段——夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙已運(yùn)抵文昌航天發(fā)射場(chǎng)，計(jì)劃10月發(fā)射.中國空間站“天宮”即將正式完成在軌建造任務(wù)，成為長期有人照料的國家級(jí)太空實(shí)驗(yàn)室，支持開展大規(guī)模、多學(xué)科交叉的空間科學(xué)實(shí)驗(yàn).為普及空間站相關(guān)知識(shí)，某部門門組織了空間站模擬編程闖關(guān)活動(dòng)，它是由太空發(fā)射、自定義漫游、全尺寸太陽能、空間運(yùn)輸?shù)?0個(gè)相互獨(dú)立的程序題目組成.規(guī)則是：編寫程序能夠正常運(yùn)行即為程序正確.每位參賽者從10個(gè)不同的題目中隨機(jī)選擇3個(gè)進(jìn)行編程，全部結(jié)束后提交評(píng)委測(cè)試，若其中2個(gè)及以上程序正確即為闖關(guān)成功.現(xiàn)已知10個(gè)程序中，甲只能正確完成其中6個(gè)，乙正確完成每個(gè)程序的概率為0.6，每位選手每次編程都互不影響.(1)求乙闖關(guān)成功的概率；(2)求甲編寫程序正確的個(gè)數(shù)X的分布列和期望，并判斷甲和乙誰闖關(guān)成功的可能性更大.【答案】(1)(2)分布列見解析，，甲（1）乙正確完成2個(gè)程序或者3個(gè)程序則闖關(guān)成功，記乙闖關(guān)成功為事件A，則.（2）由題意知隨機(jī)變量X所有可能取值為0，1，2，3，，，，，故X的分布列為X0123P所以.所以甲闖關(guān)成功的概率為，因?yàn)?，所以甲比乙闖關(guān)成功的可能性大.4．（2022·新疆·烏市八中高三階段練習(xí)（理））《中國制造2025》是經(jīng)國務(wù)院總理李克強(qiáng)簽批，由國務(wù)院于2015年5月印發(fā)的部署全面推進(jìn)實(shí)施制造強(qiáng)國的戰(zhàn)略文件，是中國實(shí)施制造強(qiáng)國戰(zhàn)略第一個(gè)十年的行動(dòng)綱領(lǐng).制造業(yè)是國民經(jīng)濟(jì)的主體，是立國之本、興國之器、強(qiáng)國之基.發(fā)展制造業(yè)的基本方針為質(zhì)量為先，堅(jiān)持把質(zhì)量作為建設(shè)制造強(qiáng)國的生命線某制造企業(yè)根據(jù)長期檢測(cè)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量與生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)的質(zhì)量差都服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品為優(yōu)等品，質(zhì)量差在內(nèi)的產(chǎn)品為一等品，其余范圍內(nèi)的產(chǎn)品作為廢品處理優(yōu)等品與一等品統(tǒng)稱為正品現(xiàn)分別從該企業(yè)生產(chǎn)的正品中隨機(jī)抽取1000件，測(cè)得產(chǎn)品質(zhì)量差的樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)(2)根據(jù)大量的產(chǎn)品檢測(cè)數(shù)據(jù)，檢查樣本數(shù)據(jù)的方差的近似值為100，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，求該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率.（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）[參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則：，，].(3)假如企業(yè)包裝時(shí)要求把3件優(yōu)等品球和6件一等品裝在同一個(gè)箱子中，質(zhì)檢員每次從箱子中摸出三件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，記摸出三件產(chǎn)品中優(yōu)等品球的件數(shù)為，求的分布列以及期望值.【答案】(1)70(2)0.8186(3)分布列見解析，1（1）由頻率分布直方圖可知，.（2）由題意可知，樣本方差，故，所以，該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為正品的概率：.（3）X所有可能值為0，1，2，3.，，，.所以的分布列為數(shù)學(xué)期望.5．（2022·福建·寧德市高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）第七次全國人口普查是對(duì)中國特色社會(huì)主義進(jìn)入新時(shí)代開展的重大國情國力調(diào)查.某地區(qū)通過在市民中隨機(jī)抽取了300戶進(jìn)行詢查，在選擇自主填報(bào)或入戶登記的戶數(shù)與戶主年齡段（45歲以上和45歲及以下）分布如下列聯(lián)表所示：現(xiàn)統(tǒng)計(jì)得出樣本中自主填報(bào)的人數(shù)占樣本總數(shù)的50%.45歲以上（含45歲）的樣本占樣本總數(shù)的，45歲以下且入戶登記的樣本有120戶.入戶登記自主填報(bào)合計(jì)戶主45歲及以上戶主45歲以下120合計(jì)(1)將題中列聯(lián)表補(bǔ)充完整：通過計(jì)算判斷，有沒有99%的把握認(rèn)為戶主選擇自主填報(bào)與年齡段有關(guān)系？(2)根據(jù)（1）中列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，在自主填報(bào)的戶數(shù)中按照戶主年齡段用分層抽樣的方法抽取了6戶.若從這6戶中隨機(jī)抽取3戶進(jìn)行進(jìn)一步復(fù)核，記所抽取的3戶中“戶主45歲以下”的戶數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附表及公式：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635其中，.【答案】(1)表格見解析，有；(2)分布列見解析，2.（1）由樣本中自主填報(bào)的人數(shù)占樣本總數(shù)的50%，所以自主自主填報(bào)的人數(shù)為人，所以由表可得戶主45歲及以上入戶登記的人數(shù)有30人，又因?yàn)?5歲以上（含45歲）的樣本占樣本總數(shù)的，所以45歲以上（含45歲）的人數(shù)有人，所以補(bǔ)充后的列聯(lián)表為：入戶登記自主填報(bào)合計(jì)戶主45歲及以上305080戶主45歲以下120100220合計(jì)150150300，所以有99%的把握認(rèn)為戶主選擇自主填報(bào)與年齡段有關(guān)系.（2）這6戶中戶主45歲以上2戶，45歲及以下4戶，則的可能值為1，2，3，則，，．的分布列為123P所以，的數(shù)學(xué)期望．6．（2022·廣西南寧·高三階段練習(xí)（理））廣西新高考改革方案已正式公布，根據(jù)改革方案，將采用“3+2+1”的高考模式．其中，“3”為語文、數(shù)學(xué)、外語3門參加全國統(tǒng)一考試．選擇性考試科目為政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門．由考生根據(jù)報(bào)考高校以及專業(yè)要求，結(jié)合自身實(shí)際情況，首先在物理和歷史中選擇1門，再從政治、地理、化學(xué)、生物中選擇2門，形成自己的“高考選考組合”．(1)由于物理和歷史兩科必須選擇1科，某校想了解高一新生選科的需求，隨機(jī)選取100名高一新生進(jìn)行調(diào)查，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，判斷是否有的把握認(rèn)為“選科與性別有關(guān)”？選擇物理選擇歷史合計(jì)男生4050女生合計(jì)30100(2)該校將從參與調(diào)查的學(xué)生中抽取2人進(jìn)行訪談，設(shè)選到“選擇歷史”的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：．0.100.050.0250.010.0052.7063.8415.0246.6357.879【答案】(1)有的把握認(rèn)為“選科與性別有關(guān)”；(2)分布列見解析，期望為.（1）將列聯(lián)表補(bǔ)充完整得，選擇物理選擇歷史合計(jì)男生401050女生302050合計(jì)7030100由獨(dú)立性檢驗(yàn)得所以有的把握認(rèn)為“選科與性別有關(guān)”（2）由題意，的取值為.，則的分布列為7．（2022·河南安陽·高三階段練習(xí)（理））某地出現(xiàn)新冠肺炎疫情，這次疫情持續(xù)了6周，根據(jù)每周統(tǒng)計(jì)的新增病例的情況，得到下面的統(tǒng)計(jì)表：第周123456新增病例數(shù)10255540155(1)有人從該地的人口數(shù)據(jù)電子信息表中，隨機(jī)抽取了6000人，結(jié)果發(fā)現(xiàn)里面有2人是這次疫情新增的病