數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂導(dǎo)學(xué)導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、求最值【例1】某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品,已知該產(chǎn)品的月產(chǎn)量x(噸)與每噸產(chǎn)品的價(jià)格p(元/噸)之間的關(guān)系式為p=24200-x2,且生產(chǎn)x噸的成本為R=50000+200x元。問該廠每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤達(dá)到最大？解：每月生產(chǎn)x噸時(shí)的利潤為f（x)=（24200—x2）x-（50000+200x）=—x3+24000x—50000(x≥0)。由f′（x)=-x2+24000=0.解得x1=200,x2=-200(舍去）。因f（x)在［0，+∞)內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)x=200使f′(x）=0,故它就是最大值點(diǎn)，且最大值為f（200)=-（200）3+24000×200—50000=3150000.答：每月生產(chǎn)200噸產(chǎn)品時(shí)利潤達(dá)到最大，最大利潤為315萬元.溫馨提示用導(dǎo)數(shù)解應(yīng)用題，求值一般方法：求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)等于0，求y′=0的根,求出最值點(diǎn)，最后寫出解答.二、生活中的優(yōu)化問題【例2】已知某廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為c=25000+200x+x2（元）.（1)要使平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品?(2)若產(chǎn)品以每件500元售出，要使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？點(diǎn)撥：本題已經(jīng)直接給出了函數(shù)關(guān)系式，可用導(dǎo)數(shù)求最值的方法直接求解。解析:（1）設(shè)平均成本為y元，則令y′=0,得x1=1000，x2=—1000（舍去）.當(dāng)在x=1000附近左側(cè)時(shí),y′<0;在x=1000附近右側(cè)時(shí)，y′>0；故當(dāng)x=1000時(shí)，y取得極小值。由于函數(shù)只有一個(gè)點(diǎn)使y′=0，且函數(shù)在該點(diǎn)有極小值,那么函數(shù)在該點(diǎn)取得最小值，因此要使平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)1000件產(chǎn)品.（2)利潤函數(shù)為L=500x—（25000+200x+）=300x—25000—.∴L′=（300x—25000-）′=300—.令L′=0，得x=6000，當(dāng)x在6000附近左側(cè)時(shí),L′〉0；當(dāng)x在6000附近右側(cè)時(shí)L′〈0，故當(dāng)x=6000時(shí)，L取得極大值.由于函數(shù)只有一個(gè)使L′=0的點(diǎn)，且函數(shù)在該點(diǎn)有極大值，那么函數(shù)在該點(diǎn)取得最大值.因此，要使利潤最大,應(yīng)生產(chǎn)6000件產(chǎn)品.三、導(dǎo)數(shù)在生活中的應(yīng)用【例3】如圖所示，水渠橫斷面為等腰梯形.(1)若渠中流水的橫斷面積為S，水面的高為h，當(dāng)水渠側(cè)邊的傾斜角Φ為多大時(shí)，才能使橫斷面被水浸濕的周長為最??？(2）若被水浸濕的水渠側(cè)邊和水渠底面邊長都等于a,當(dāng)水渠側(cè)邊傾斜角Φ多大時(shí),水流的橫斷面積為最大?解：(1)依題意，側(cè)邊BC=h·（sinΦ）-1，設(shè)下底AB=x，則上底CD=x+2hcotΦ,又S=(2x+2hcotΦ）h=(x+hcotΦ）h，∴下底x=—hcotΦ,∴橫斷面被水浸濕周長l=（0〈Φ<)?！鄉(xiāng)′Φ=令l′Φ=0，解得cosΦ=，∴Φ=。根據(jù)實(shí)際問題的意義，當(dāng)Φ=時(shí),水渠橫斷面被水浸濕的周長最小。（2)設(shè)水渠高為h,水流橫斷面積為S,則S=（a+a+2acosΦ）·h=（2a+2acosΦ）·asinΦ=a2（1+cosΦ）·sinΦ（0〈Φ〈）.∴S′=a2［-sin2Φ+(1+cosΦ）cosΦ］=a2（2cosΦ—1）（cosΦ+1）。令S′=0，得cosΦ=或cosΦ=-1(舍），故在（0,)內(nèi)，當(dāng)Φ=時(shí)，水流橫斷面積最大,最大值為S=a2（1+cos)sin=a2。各個(gè)擊破類題演練1已知A、B兩地相距200千米,一只船從A地逆水到B地，水速為8千米/時(shí)，船在靜水中的速度為v千米/時(shí)（8〈v≤v0）。若船每小時(shí)的燃料費(fèi)與其在靜水中的速度的平方成正比，當(dāng)v=12千米/時(shí)時(shí),每小時(shí)的燃料費(fèi)為720元，為了使全程燃料費(fèi)最省，船的實(shí)際速度為多少？解:設(shè)每小時(shí)的燃料費(fèi)為y1，比例系數(shù)為k（k〉0)，則y1=kv2，當(dāng)v=12時(shí)，y1=720，∴720=k·122,得k=5.設(shè)全程燃料費(fèi)為y,由題意y=y1·∴y′=.令y′=0，∴v=16.∴當(dāng)v0≥16時(shí),v=16時(shí)全程燃料費(fèi)最??；當(dāng)v0<16時(shí)，即v∈（8,v0）時(shí)y′〈0，即y在（8，v0]上為減函數(shù)，∴當(dāng)v=v0時(shí)，ymin=綜上，當(dāng)v0≥16時(shí)，v=16千米/時(shí)全程燃料費(fèi)最省。當(dāng)v0<16時(shí)，則v=v0千米變式提升1求f(x)=在［—1，3］上的最大值和最小值.解：①求出所有導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，為此，解方程f′（x)=0,即f′（x)=即x2-2x—1=0得x1=1-與x2=1+且x1,x2∈［-1，3］相應(yīng)的函數(shù)值為:②計(jì)算f(x)在區(qū)間端點(diǎn)上的值為:f（-1）=0，f（3）=0③通過比較可以發(fā)現(xiàn)，f(x)在點(diǎn)x1=1—處取得最大值在x2=1+2處取得最小值.類題演練2用邊長為120cm的正方形鐵皮做一個(gè)無蓋水箱，先在四角分別截去一個(gè)小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角，再焊接成水箱.問：水箱底邊的長取多少時(shí)，水箱容積最大？最大容積是多少？解：設(shè)水箱底邊長為xcm，則水箱高為h=60-(cm).水箱容積V=V(x)=x2h=60x2—(0〈x〈120）(cm3）。V′（x）=120x—x2.令V′（x）=0，得x=0(舍)或x=80。當(dāng)x在(0，120）內(nèi)變化時(shí),導(dǎo)數(shù)V′(x)的正負(fù)如下表：x(0，80）80（80，120)V′（x)+0—因此在x=80處,函數(shù)V（x)取得極大值，并且這個(gè)極大值就是函數(shù)V（x）的最大值。將x=80代入V（x)，得最大容積V=802×60—=128000cm3.答:水箱底邊長取80cm時(shí)，容積最大.其最大容積為128000cm變式提升2鐵路上AB段的距離為100千米，工廠C到鐵路AB的距離BC=40千米,今要在AB之間設(shè)一轉(zhuǎn)運(yùn)站D.向工廠修一條公路,使從原料供應(yīng)站A運(yùn)貨到工廠C所用費(fèi)用最省.問D點(diǎn)應(yīng)設(shè)在何處？(已知每千米鐵路與公路運(yùn)費(fèi)之比為3∶5)解：設(shè)D與B間距離為x千米，則C與D間距離為千米。A與D間距離為(100-x）千米，設(shè)鐵路與公路運(yùn)費(fèi)的比例為k，則：y=k［3（100—x)+5](0≤x≤100）,y′=k［—3+］.令y′=0，解得x=30。因此，當(dāng)B、D距離30千米時(shí)，所用費(fèi)用最省。類題演練3如下圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長度為a米，高度為b米.已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積成反比。現(xiàn)有制箱材料60平方米，問當(dāng)a、b各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小（A、B孔的面積忽略不計(jì))？解：設(shè)y為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，則y=，其中k>0為比例系數(shù).依題意，即所求的a、b值使y值最小。根據(jù)題設(shè),有4b+2ab+2a=60（a>0,b得b=(0<a<30)，于是y=∵y′==0時(shí)，a=6或a=-10（舍去).由于本題只有一個(gè)極值點(diǎn)，故當(dāng)a=6時(shí)，b=3時(shí)為所求。變式提升3一報(bào)刊圖文應(yīng)占Scm2，上，下邊寬都是acm，左右邊均為bcm，若只注意節(jié)約用紙,問這報(bào)刊的長寬各為多少？分析：解有關(guān)實(shí)際問題的最大值、最小值時(shí),要注意以下幾點(diǎn)：①設(shè)出兩個(gè)變量,依據(jù)題意分析它們的關(guān)系,把變量轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系.②確定函數(shù)關(guān)系式中自變量的定義