微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)-博弈論及應(yīng)用

第28章博弈論

博弈論關(guān)注的是對(duì)策略互動(dòng)的一般性分析。第十講博弈論及應(yīng)用28.1博弈的收益矩陣

對(duì)于雙人的簡(jiǎn)單博弈，我們用收益矩陣來(lái)描述博弈。此處的簡(jiǎn)單博弈指參與者的策略數(shù)量有限，且只進(jìn)行一次的博弈。

假設(shè)兩人進(jìn)行簡(jiǎn)單的博弈。參與人A有兩個(gè)策略：“上”或“下”。參與人B有兩個(gè)策略：“左”或“右”。當(dāng)兩個(gè)人同時(shí)行動(dòng)后，二人的收益情況由收益矩陣反映，該矩陣A、B完全了解。參與人B左右參與人A上1，20，1下2，11，0博弈的收益矩陣當(dāng)A上B左時(shí)，A得1B得2；當(dāng)A下B右時(shí)，A得1B得0。當(dāng)A下B左時(shí)，A得2B得1；當(dāng)A上B右時(shí)，A得0B得1；那么在A、B完全了解收益矩陣的情況下，A、B如何確定自己的策略呢？參與人B左右參與人A上1，20，1下2，11，0A的思路如下：如果B選左，我就選下（2>1)；如果B選右，我就選下(1>0)。因此，A的最優(yōu)策略“下”與B的策略并沒(méi)有關(guān)系，此時(shí)A的最優(yōu)策略為“下”。

B做同樣的思考：如果A選上，我就選左（2>1)；如果A選下，我就選左(1>0)。因此，B決定采取“左”。上述分析中，A的“下”、B的“左”被稱為占優(yōu)策略。占優(yōu)策略：不論對(duì)方采取什么策略，該策略總是最優(yōu)的。顯然，在博弈中，參與人如果有占優(yōu)策略，他一定選擇占優(yōu)策略。上述博弈中，A一定選擇下，B一定選左。該博弈的結(jié)果一定是（2，1）。

此時(shí)，我們定義一個(gè)占優(yōu)策略均衡，即雙方占優(yōu)策略的組合（下，左)。運(yùn)用該定義可以幫助我們尋找存在占優(yōu)策略博弈的結(jié)果。28.2納什均衡(NashEquilibrium)如果如下表所示，參與人不存在占優(yōu)策略，那么該如何預(yù)測(cè)博弈的結(jié)果呢？參與人B左右參與人A上2，10，0下0，01，2

A的思路如下：如果B選左，我就選上（2>0)；如果B選右，我就選下(1>0)。因此，A沒(méi)有占優(yōu)策略。同樣，B也沒(méi)有占優(yōu)策略。

如果參與人沒(méi)有占優(yōu)策略，那么我們需要借助納什均衡的概念尋找博弈的結(jié)果。

納什均衡(N.E.)：如果給定B的選擇，A的選擇是最優(yōu)的，并且給定A的選擇，B的選擇也是最優(yōu)的，這樣的策略組合稱為納什均衡。寡頭壟斷下，古諾均衡實(shí)際上就是納什均衡。即給定A廠商的產(chǎn)量，B實(shí)現(xiàn)了利潤(rùn)最大化；給定B廠商的產(chǎn)量，A實(shí)現(xiàn)了利潤(rùn)最大化。

在上面收益矩陣描述的博弈中，存在四個(gè)策略組合：（上，左）、（上，右）、（下，左）、（下，右）。參與人B左右參與人A上2，10，0下0，01，2根據(jù)N.E.的定義，請(qǐng)找出N.E.借助N.E.預(yù)測(cè)博弈的結(jié)果，往往會(huì)遇到兩個(gè)問(wèn)題：1、N.E.不止一個(gè)。2、一些博弈中不存在納什均衡。如下面收益矩陣描述的博弈：參與人B左右參與人A上0，00，-1下1，0-1，328.3混合策略而現(xiàn)實(shí)中，參與人完全可以隨機(jī)選擇策略，例如參與人采取拋硬幣的方法確定自己的策略——硬幣正面朝上就“上”，反面朝上就下。該策略實(shí)際就是以50%的概率選擇上，以50％的概率選擇下。這種隨機(jī)策略稱為混合策略。

如果將策略擴(kuò)展到混合策略，那么對(duì)于簡(jiǎn)單博弈而言，混合策略納什均衡總是存在的。

迄今為止，參與人的策略均為純策略。純策略指參與人以100％概率選擇的策略。28.4囚徒困境

本節(jié)通過(guò)一個(gè)例子說(shuō)明納什均衡并不一定會(huì)導(dǎo)致帕累托有效率的結(jié)果。

囚徒困境：合伙犯罪的兩個(gè)囚徒被分別關(guān)在兩個(gè)房間接受審訊。每個(gè)囚徒可以選擇坦白，也可以選擇抵賴。如果只有一人坦白，坦白者免刑，抵賴者入獄6個(gè)月；如果兩人同時(shí)坦白，兩人將被判入獄3個(gè)月；如果兩個(gè)人都抵賴，證據(jù)不足，兩人被判入獄1個(gè)月。囚徒B：坦白也是B的占優(yōu)策略。囚徒A：如果B坦白，我最好坦白（-3>-6)；如果B抵賴，我最好坦白(0>-1)。因此，不論B做什么，A的最優(yōu)選擇就是坦白。實(shí)際上，此處坦白是A的占優(yōu)策略。參與人B坦白抵賴參與人A坦白-3，-30，-6抵賴-6，0-1，-1囚徒困境

現(xiàn)實(shí)中囚徒困境的例子很多，例如冷戰(zhàn)中的美蘇爭(zhēng)霸。當(dāng)參與人具有占優(yōu)策略時(shí)，博弈存在占優(yōu)策略均衡，此處為（坦白、坦白），博弈結(jié)果為（-3,-3）。

該結(jié)果有帕累托改進(jìn)的可能，如果雙方達(dá)成共識(shí)，互相信任，同時(shí)抵賴，大家的境況都可以改善。28.5重復(fù)博弈

上節(jié)中囚徒無(wú)法擺脫困境，很大程度上源于假定雙方是一錘子買(mǎi)賣(mài)，如果雙方今后還要合作，即雙方進(jìn)行的是重復(fù)博弈，那么結(jié)果可能會(huì)有所改變。重復(fù)博弈分為有限重復(fù)博弈和無(wú)限重復(fù)博弈。

我們從最后一次博弈開(kāi)始分析，第10次博弈大家將面臨永遠(yuǎn)不再合作的局面，那么A、B均會(huì)毫不猶豫地選擇坦白，因?yàn)檫@是一次囚徒博弈中的占優(yōu)策略。

第9次博弈會(huì)出現(xiàn)什么情況呢？A清楚地知道對(duì)方最后一次肯定選擇坦白。如果本次我選抵賴，對(duì)方可以選坦白而獲利。既然下一次已經(jīng)沒(méi)有合作的可能，為避免單獨(dú)入獄6個(gè)月的不幸發(fā)生，A決定第9次也選擇坦白。當(dāng)然B也會(huì)這樣推理，進(jìn)而選擇坦白。有限博弈：如果囚徒博弈進(jìn)行10次，那么結(jié)果會(huì)怎樣呢？

第8、7….1次博弈中，第9次的故事反復(fù)發(fā)生。所以只要博弈重復(fù)有限次，囚徒依然無(wú)法擺脫困境。

如果，囚徒博弈重復(fù)無(wú)數(shù)次，結(jié)果會(huì)怎樣呢？

當(dāng)博弈沒(méi)有最后一次時(shí)，雙方均意識(shí)到無(wú)休止地坦白非明智之舉。

經(jīng)濟(jì)學(xué)家證明：“針?shù)h相對(duì)”的策略可以使博弈雙方境況得到改善。

“針?shù)h相對(duì)”的策略：第一局選擇抵賴（即表明愿意與對(duì)方合作），從第二局開(kāi)始采用對(duì)方上一局的策略。例如，如果對(duì)方第一局抵賴，那么我第二局依然抵賴；如果對(duì)方第一坦白，那么我第二局坦白。如果對(duì)方第二局抵賴，那么我第三局選擇抵賴，如此等等。

該策略相當(dāng)靈活，既可以對(duì)對(duì)方的背信進(jìn)行及時(shí)懲罰，又體現(xiàn)了寬恕的一面，即對(duì)每次背信僅處罰一次。28.7序貫博弈

迄今為止，我們考察的博弈均是兩個(gè)人同時(shí)采取行動(dòng)。本節(jié)我們學(xué)習(xí)一個(gè)人首先行動(dòng)，然后，另一個(gè)人再作出反應(yīng)。第27章描述的斯塔克伯格模型就是這樣的例子。

一個(gè)序貫博弈的例子：第一階段，參與人A選擇“上”或“下”。參與人B觀察到A的選擇，再選擇“左”或“右”，該博弈的收益矩陣如下所示：參與人B左右參與人A上1，91，9下0，02，1

此處介紹一種尋找納什均衡的簡(jiǎn)便方法——畫(huà)線法：前者縱向比，大者下面畫(huà)線；后者橫向比，大者下面畫(huà)線；出現(xiàn)兩條線者即納什均衡。我們對(duì)收益矩陣畫(huà)線，得到兩個(gè)納什均衡：（上，左）（下，右）原因在于收益矩陣在描述序貫博弈時(shí)，無(wú)法體現(xiàn)參與雙方的策略是序貫做出的，因此描述序貫博弈我們采用博弈樹(shù)或博弈的擴(kuò)展形式來(lái)描述。

而實(shí)際上，這兩個(gè)納什均衡中有一個(gè)是不合理。AB上B左左右右下1，91，90，02，1博弈的擴(kuò)展形式參與人B左右參與人A上1，91，9下0，02，1AB上B左左右右下1，91，90，02，1序貫博弈中，先行者需要分析跟隨者的反應(yīng)，因此，分析博弈樹(shù)是由后往前推算。首先考慮B的選擇：如果A選“下”，如果A選“上”，那么B選“左”或“右”無(wú)差異；那么B選“右”比較明智（1>0）。A上1，9下2，1經(jīng)過(guò)上述分析，博弈樹(shù)可變成如下形式：然后考慮A的選擇，A上1，9下2，1如果選“上”，得1；如果選“下”，可得2。因此A的最優(yōu)選擇是“下”。當(dāng)先行者A選“下”，B的最優(yōu)選擇是“右”，因此該序貫博弈的均衡為（下，右）在該序貫博弈中，我們依據(jù)收益矩陣找到的N.E.（上，左）并不是合理的均衡，因?yàn)锳選擇“上”是愚蠢的。

從博弈的結(jié)果看，B非常不幸，最終他只能得到1而非9。面臨巨大落差，B極有可能威脅A，聲稱如果A選“下”，那他就選“左”，讓大家一無(wú)所獲。AB上B左左右右下1，91，90，02，1

A對(duì)B的威脅不予理睬，因?yàn)锳一旦選“下”，B就考慮自己的利益，明智地選“右”而非“左”。針對(duì)B的威脅，A會(huì)如何反應(yīng)？B為了改善自己的境況，就必須讓A相信自己的威脅。

B可以跟第三方簽一個(gè)合約，規(guī)定如果A選“下”，B若選“右”，B支付第三方2。右AB上左右1，91，9B左下0，02，1-2=-1若A知道B簽了類似合約，就知道如果自己選“下”，B一定選“左”（0>-1），那么為避免一無(wú)所獲，A就會(huì)選“上”。本章小結(jié)1、納什均衡的概念及應(yīng)用2、納什均衡應(yīng)用中的問(wèn)題（不唯一、不存在、無(wú)效率）3、序貫博弈求解應(yīng)用逆向歸納法。第29章博弈論的應(yīng)用

本章我們考察博弈論中4個(gè)非常重要的問(wèn)題——合作問(wèn)題、競(jìng)爭(zhēng)問(wèn)題、共存問(wèn)題和承諾問(wèn)題。

首先了解一個(gè)重要的分析工具——最優(yōu)反應(yīng)曲線（反應(yīng)函數(shù)的圖像）。29.1最優(yōu)反應(yīng)曲線

考慮一個(gè)雙人博弈，假定你是其中的一個(gè)參與人。對(duì)另外一人的任何選擇，你的最優(yōu)反應(yīng)就是使你的收益最大化。B的選擇：左A的選擇：上列參與人B左右行參與人A上2，10，0下0，01，2A的最優(yōu)反應(yīng)：上B的最優(yōu)反應(yīng)：左B的選擇：右A的最優(yōu)反應(yīng)：下B的最優(yōu)反應(yīng)：右A的選擇：下如果行參與人A的可能選擇r1（上）,r2（下）,…….，列參與人B的可能選擇c1（左）,c2（右）…….。對(duì)于行參與人A的每一個(gè)選擇r，列參與人B的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)為：對(duì)于行參與人B的每一個(gè)選擇c，行參與人A的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)為：在上例中，列參與人B的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)：行參與人A的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)：列參與人B左右行參與人A上2，10，0下0，01，2納什均衡是使得以下兩個(gè)式子成立的一個(gè)策略組合上例中納什均衡為（上，左）（下，右），這兩個(gè)組合滿足：納什均衡一旦實(shí)現(xiàn)，A、B均滿意，無(wú)人愿意偏離該狀態(tài)。最優(yōu)反應(yīng)曲線（函數(shù)）提供了一種相對(duì)簡(jiǎn)單的求解納什均衡的方法。在第27章求解古諾均衡時(shí)，實(shí)際就是最優(yōu)反應(yīng)曲線的應(yīng)用：兩個(gè)廠商的反應(yīng)函數(shù)如下：聯(lián)立上述反應(yīng)函數(shù)，得到古諾均衡（也是納什均衡）。29.2混合策略本節(jié)利用最優(yōu)反應(yīng)曲線來(lái)尋求混合策略納什均衡和純策略納什均衡。列參與人B左c右(1-c)行參與人A上r2，10，0下(1-r)0，01，2

我們令A(yù)選擇上的概率為r，那么(1-r)就表示選下的概率。c表示B選擇左的概率，那么(1-c)就表示選右的概率。當(dāng)r為0時(shí)，表示A選下；c為0時(shí)，表示B選右。參與人面臨的是不確定下的選擇，因此我們利用期望效用最大化分析雙方的選擇。A的期望收益＝2rc+(1-r)(1-c)=3rc-r-c+1A的邊際期望收益(MR=dR/dr)＝3c-1列參與人B左c右(1-c)行參與人A上r2，10，0下(1-r)0，01，2c>1/3，MR>0，提高r可以使收益增大，r最大為1。根據(jù)以上特點(diǎn)可以畫(huà)出A的最優(yōu)反應(yīng)曲線：rc1/301A的最優(yōu)反應(yīng)曲線A的邊際期望收益(MR=dR/dr)＝3c-1c=1/3，MR=0，期望收益達(dá)到最大值，r為[0，1]任意值;c<1/3，MR<0，降低r可以使收益增大，r最小為0；1列參與人B左c右(1-c)行參與人A上r2，10，0下(1-r)0，01，2B的期望收益＝1rc+2(1-r)(1-c)=3rc-2r-2c+2B的邊際期望收益(MR=dR/dc)＝3r-2根據(jù)以上特點(diǎn)可以畫(huà)出B的最優(yōu)反應(yīng)曲線：102/3B的最優(yōu)反應(yīng)曲線B的邊際期望收益(MR=dR/dc)＝3r-2r=2/3，MR=0，期望收益達(dá)到最大值，c為[0，1]任意值;r<2/3，MR<0，降低c可以使收益增大，c最小為0；r>1/3，MR>0，提高c可以使收益增大，c最大為1。rc將A、B的最優(yōu)反應(yīng)曲線放在一個(gè)象限中：1/311c0r三個(gè)交點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)純策略納什均衡（下，右）、(上，左)和一個(gè)混合策略納什均衡（A以2/3的概率選上，B以1/3的概率選左）。2/3列參與人B左c右(1-c)行參與人A上r2，10，0下(1-r)0，01，2兩條最優(yōu)曲線有三個(gè)交點(diǎn)：（0,0）,（1,1）,（2/3,1/3）29.3合作博弈

本節(jié)利用上節(jié)介紹的分析工具考察協(xié)調(diào)博弈。在該類博弈中，當(dāng)參與人能夠協(xié)調(diào)他們之間的策略時(shí)，他們的收益就會(huì)實(shí)現(xiàn)最大化。性別戰(zhàn)男女約會(huì)看電影，男喜歡動(dòng)作片，女喜歡文藝片，但他們寧愿看一部電影也不愿單獨(dú)行動(dòng)。他們的收益矩陣如下：女孩動(dòng)作片文藝片男孩動(dòng)作片2，10，0文藝片0，01，2我們已經(jīng)知道，該博弈有三個(gè)納什均衡：（動(dòng)作片，動(dòng)作片）、（文藝片，文藝片）、（男孩以2/3的概率選動(dòng)作片，女孩以1/3的概率選動(dòng)作片）這取決于有關(guān)該博弈的正式描述以外的因素，例如男孩事先已經(jīng)買(mǎi)好了動(dòng)作片的票，于是一起看動(dòng)作片將是最終的選擇。當(dāng)參與人完全有理由相信，其中的一個(gè)均衡相對(duì)于其他均衡更為“自然”時(shí)，這個(gè)均衡稱作博弈的聚點(diǎn)。例如，動(dòng)作片的主演是成龍，上述博弈的結(jié)果很有可能是大家不約而同的一起看動(dòng)作片。三個(gè)納什均衡到底哪個(gè)會(huì)發(fā)生呢？囚徒困境參與人B坦白抵賴參與人A坦白-3，-30，-6抵賴-6，0-1，-1囚徒困境也是一個(gè)協(xié)調(diào)博弈，雙方如果可以協(xié)調(diào)一致，共同抵賴，雙方的境況均有明顯改觀。問(wèn)題是大家在一次博弈中不會(huì)相互合作。1、無(wú)限重復(fù)博弈2、締結(jié)合約懲罰不合作的行為解決問(wèn)題的方式有兩種：保證博弈考慮20世紀(jì)50年代美蘇的軍事競(jìng)賽。兩個(gè)國(guó)家都可以選擇生產(chǎn)核彈，也可以選擇不生產(chǎn)。雙方都不生產(chǎn)的收益（4，4）；都生產(chǎn)的收益（2，2）；一方生產(chǎn)時(shí)，生產(chǎn)者得3，不生產(chǎn)者得1。收益矩陣如下：蘇聯(lián)不生產(chǎn)生產(chǎn)美國(guó)不生產(chǎn)4，41，3生產(chǎn)3，12，2畫(huà)線法可知這里有兩個(gè)純策略納什均衡：（不生產(chǎn)，不生產(chǎn)）、（生產(chǎn)，生產(chǎn)）如果一方保證不生產(chǎn)，并給予充分的證據(jù)說(shuō)明確實(shí)沒(méi)有生產(chǎn)的話，可以確信另一方也會(huì)停止生產(chǎn)。例如美國(guó)保證不生產(chǎn)，那么蘇聯(lián)也會(huì)選不生產(chǎn)（4>3）；如果蘇聯(lián)保證不生產(chǎn)，那么美國(guó)也會(huì)選不生產(chǎn)（3>2）。顯然（不生產(chǎn)，不生產(chǎn)）對(duì)雙方均是較好的選擇。問(wèn)題是任何一方均不知道對(duì)方的實(shí)際選擇。斗雞博弈兩個(gè)年輕人分別從一條街的兩頭，駕車(chē)駛向?qū)Ψ?。先躲避的顏面盡失；如果沒(méi)人躲避，雙方車(chē)毀人亡，收益矩陣如下：參與人B轉(zhuǎn)向不轉(zhuǎn)向參與人A轉(zhuǎn)向0，0-1，1不轉(zhuǎn)向1，-1-2，-2畫(huà)線法可知這里有兩個(gè)純策略納什均衡：（A不轉(zhuǎn)向，B轉(zhuǎn)向），（A轉(zhuǎn)向，B不轉(zhuǎn)向）。問(wèn)題是哪個(gè)純策略納什均衡會(huì)發(fā)生呢？如果A事先將方向盤(pán)鎖住，并且讓B知道，那么B很可能就選擇轉(zhuǎn)向了，畢竟車(chē)毀人亡太瘋狂了。如何協(xié)調(diào)通過(guò)以上的分析，在保證博弈、性別戰(zhàn)和斗雞博弈中某參與人可以事先采取行動(dòng)，并承諾選擇某個(gè)策略來(lái)實(shí)現(xiàn)合作共贏。

囚徒困境中的參與人如果想達(dá)成合作，除了事先做出承諾外，關(guān)鍵在于對(duì)雙方行動(dòng)的制約，例如簽定懲罰合約。29.4競(jìng)爭(zhēng)博弈

與協(xié)調(diào)相對(duì)應(yīng)的是競(jìng)爭(zhēng)博弈，也稱為零和博弈，即在博弈中，一方的收益即另一方的損失。

實(shí)際上，大多數(shù)競(jìng)技體育項(xiàng)目都是零和博弈。我們通過(guò)足球比賽中的罰點(diǎn)球來(lái)分析零和博弈。行參與人罰點(diǎn)球，列參與人守門(mén)。行參與人可以踢向球門(mén)的左方或右方，守門(mén)員可能撲向左方或右方。A踢向左方，B撲向右方，進(jìn)球概率為80％，

B撲向左方，進(jìn)球概率為50％；A踢向右方，B撲向左方，進(jìn)球概率為90％，

B撲向右方，進(jìn)球概率為20％。收益矩陣如下：守門(mén)員B左右罰球者A左50，-5080，-80右90，-9020，-20每一方格中的總收益為0，這顯示參與人的得分完全相反。

在該博弈中，如果守門(mén)員能夠知道罰球者的踢球方向，進(jìn)球的概率大大降低。罰球者為使守門(mén)員猜不透自己的意圖，很可能有時(shí)踢向擅長(zhǎng)的一方，有時(shí)踢向不擅長(zhǎng)的一方，即采取混合策略。

如果罰球者選擇踢向左方的概率為p，那么B撲向左方時(shí)，A的期望收益=50p+90(1-p)=90-40p；當(dāng)B撲向右方時(shí)，A的期望收益=80p+20(1-p)=20+60p。守門(mén)員B左右罰球者A左p50，-5080，-80右(1-p)90，-9020，-20當(dāng)B撲向左方時(shí)，A的期望收益＝50×0.5＋90×0.5＝70當(dāng)B撲向右方時(shí)，A的期望收益＝80×0.5＋20×0.5＝50

以上推理過(guò)程守門(mén)員一清二楚，如果罰球者踢向左方的概率為0.5，那守門(mén)員會(huì)毫不猶豫地?fù)湎蛴曳剑驗(yàn)檫@樣罰球者的期望收益最小。守門(mén)員B左右罰球者A左0.550，-5080，-80右0.590，-9020，-20

舉例來(lái)說(shuō)，假定罰球者踢向左方的概率為0.5。罰球者A該如何確定自己的策略呢？罰球者知道，守門(mén)員總是試圖最小化他的期望收益。守門(mén)員撲向左還是右，取決于罰球者的選擇（踢向左的概率p）。給定p，如果90-40p>20+60p（即罰球者在守門(mén)員撲向左時(shí)期望收益較大），那么守門(mén)員一定撲向右，結(jié)果罰球者期望收益為20+60p。否則，罰球者期望收益為90-40p。pA的收益01905090-40p208020+60p紅色折線即罰球者的期望收益線。

顯然，紅色線段的最高點(diǎn)位于兩條直線的交點(diǎn)處。50p+90(1-p)=80p+20(1-p)解得p=0.7

當(dāng)罰球者以70％的概率踢向左方時(shí)，此時(shí)的期望收益=50*0.7+90*0.3=62。pA的收益01905090-40p208020+60p0.762守門(mén)員B左q右(1-q)罰球者A左50，-5080，-80右90，-9020，-20守門(mén)員B該如何確定撲向左的概率q？當(dāng)A踢向左時(shí)，A的期望收益＝50q+80(1-q)=80-30q；當(dāng)A踢向右時(shí)，A的期望收益＝90q+20(1-q)=20+70q。qA的收益01209020+70q805080-30q給定q，如果80-30q>20+70p（即罰球者踢向左時(shí)期望收益較大），那么A一定踢向左，結(jié)果罰球者期望收益為80-30q。否則，罰球者期望收益為20+70q。A的期望收益線顯然，下式成立時(shí)藍(lán)色線段達(dá)到最低點(diǎn)。50q+80(1-q)=90q+20(1-q)解得q=0.6。至此，我們已經(jīng)計(jì)算出了均衡策略組合：（0.7、0.6）即：（罰球者以0.7的概率踢向左方，守門(mén)員以0.6的概率撲向左方）守門(mén)員通過(guò)選擇q使罰球者的期望收益最小（自己的期望收益最大）反應(yīng)曲線法求均衡守門(mén)員撲向左方的收益＝p(-50)+(1-p)(-90)=40p-90＝-62；守門(mén)員撲向右方的收益＝p(-80)+(1-p)（-20）=-20-60p＝-62，守門(mén)員的最優(yōu)反應(yīng)q=[0,1]守門(mén)員左q右罰球者左p50，-5080，-80右90，-9020，-20當(dāng)罰球者踢向左方的概率p＝0.7時(shí)，守門(mén)員的最優(yōu)反應(yīng)q=1(撲向左)。同理，當(dāng)罰球者踢向左方的概率p<0.7時(shí)，守門(mén)員的最優(yōu)反應(yīng)q=0（撲向右）。守門(mén)員左q右罰球者左p50，-5080，-80右90，-9020，-20當(dāng)罰球者踢向左方的概率p>0.7時(shí)，守門(mén)員撲向左方的收益＝p(-50)+(1-p)(-90)=40p-90>-62；守門(mén)員撲向右方的收益＝p(-80)+(1-p)（-20）=-20-60p<-62;0.7守門(mén)員的最優(yōu)反應(yīng)曲線P<0.7q=0P=0.7q=[0,1]P>0.7q=1pq罰球者踢向左的概率守門(mén)員撲向左的概率綜上：1罰球者的最優(yōu)反應(yīng)曲線10.6q>0.6p=0q=0.6p=[0,1]q<0.6p=1類似地：pq罰球者踢向左的概率守門(mén)員撲向左的概率將兩條最優(yōu)反應(yīng)曲線放在一起：0.61qp0.7混合策略納什均衡守門(mén)員的最優(yōu)反應(yīng)曲線罰球員的最優(yōu)反應(yīng)曲線29.5共存博弈

博弈論可以用來(lái)解釋動(dòng)物進(jìn)化行為。有關(guān)動(dòng)物互動(dòng)的一個(gè)著名例子是鷹－鴿博弈。

考慮兩只豺狗同時(shí)遇到一塊食物，它們決定是爭(zhēng)斗還是分享食物。這個(gè)博弈的收益矩陣如下：B鷹派鴿派A鷹派-2，-24，0鴿派0，42，2畫(huà)線法確定純策略納什均衡。B鷹派p鴿派1-pA鷹派p-2，-24，0鴿派1-p0，42，2

此處的混合納什均衡需要確定是鴿派與鷹派在豺狗中的穩(wěn)定比例。假定鷹派的比例為p，鴿派的比例為(1-p)。該博弈還存在混合策略納什均衡鷹派的期望收益H＝-2p+4(1-p)鴿派的期望收益D＝0p+2(1-p)=2(1-p)假定具有較高收益的類型繁殖速度更快，并且它會(huì)將其采取的策略遺傳下去。那么，當(dāng)H>D時(shí)，鷹派越來(lái)越多；當(dāng)H<D時(shí)，鴿派越來(lái)越多。B鷹派p鴿派1-pA鷹派p-2，-24，0鴿派1-p0，42，2種群處于均衡狀態(tài)的唯一途徑就是H=D。H=-2p+4(1-p)=2(1-p)=Dp=1/2均衡的穩(wěn)定性討論0.5P>0.5，H<D，鷹派減少，p下降。P(鷹派比例)期望收益4鷹派收益H=4-6p2鴿派收益D=2(1-p)1P<0.5，H>D，鷹派增加，p上升；鷹鴿各占一半是進(jìn)化的結(jié)果，相當(dāng)穩(wěn)定。29.6承諾博弈本節(jié)我們轉(zhuǎn)向序貫博弈。此類博弈的一個(gè)重要策略問(wèn)題是承諾，例如斗雞博弈中，如果一人能夠強(qiáng)迫自己直線駕駛，那么另一人的最優(yōu)選擇就是轉(zhuǎn)向。注意：承諾要取得預(yù)期效果，不可撤銷性和可觀察性是至關(guān)重要的。青蛙蝎子背不背