易錯(cuò)易混集訓(xùn)：利用勾股定理求解四大易錯(cuò)（解析版）

專題15易錯(cuò)易混集訓(xùn)：利用勾股定理求解四大易錯(cuò)【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【易錯(cuò)一沒有明確斜邊或直角時(shí)，考慮不全面而漏解】 1【易錯(cuò)二三角形形狀不明時(shí)，考慮不全面而漏解】 3【易錯(cuò)三等腰三角形的腰和底不明時(shí)，考慮不全面而漏解】 9【易錯(cuò)四求立體圖形中兩點(diǎn)距離最短時(shí)無法找到正確的展開方式】 16【典型例題】【易錯(cuò)一沒有明確斜邊或直角時(shí)，考慮不全面而漏解】例題：（2023春·河南安陽·八年級校考期末）若三角形的兩邊長為4和5，要使其成為直角三角形，則第三邊的長為．【答案】3或/或3【分析】根據(jù)勾股定理逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形就是直角三角形，再分5為斜邊或第三邊為斜邊兩種情況考慮，即可求出第三邊．【詳解】解：當(dāng)較大的數(shù)5為斜邊時(shí)，第三邊，當(dāng)?shù)谌厼樾边厱r(shí)，第三邊，故答案為：3或．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形就是直角三角形，熟練掌握勾股定理的逆定理及分情況考慮是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙壭？茧A段練習(xí)）若一直角三角形兩邊的長為12和5，則第三邊的長為．【答案】13或【分析】已知直角三角形的兩邊長，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，因此兩條邊中的較長邊12既可以是直角邊，也可以是斜邊，所以求第三邊的長必須分類討論，即12是斜邊或直角邊的兩種情況，然后利用勾股定理求解．【詳解】解：當(dāng)12和5均為直角邊時(shí)，第三邊；當(dāng)12為斜邊，5為直角邊，則第三邊，故第三邊的長為13或．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．2．（2022秋·廣東梅州·八年級?？茧A段練習(xí)）若直角三角形的兩條邊長為，，且滿足，則該直角三角形的第三條邊長為_____．【答案】或【分析】先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a與b的長，再分兩種情況根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：由題意得，，，解得：，，當(dāng)為直角邊時(shí)，直角三角形的第三條邊長，當(dāng)為斜邊時(shí)，直角三角形的第三條邊長，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，分類討論是解答本題的關(guān)鍵．3．如圖，點(diǎn)M，N把線段AB分割成AM，MN和NB，若以AM，MN，NB為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M，N是線段AB的“勾股分割點(diǎn)”．已知點(diǎn)M，N是線段AB的“勾股分割點(diǎn)”，若AM＝3，MN＝4，則BN的長為______．【答案】5或##或【解析】【分析】分兩種情況討論：當(dāng)為直角邊時(shí)，當(dāng)為斜邊時(shí)，則為直角邊，再利用勾股定理可得答案.【詳解】解：當(dāng)為直角邊時(shí)，當(dāng)為斜邊時(shí)，則為直角邊，故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義情境下的勾股定理的應(yīng)用，理解新定義，再分類討論是解本題的關(guān)鍵.【易錯(cuò)二三角形形狀不明時(shí)，考慮不全面而漏解】例題：（2023春·湖北孝感·八年級?？茧A段練習(xí)）已知是的邊上的高，若，，，則的長為．【答案】或/或【分析】分是銳角三角形和是鈍角三角形兩種情況，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：當(dāng)是銳角三角形，如圖1，

，，由勾股定理得，，，，，當(dāng)是鈍角三角形，如圖2，

同理得：，，，則的長為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是，，斜邊長為，那么，解題關(guān)鍵是進(jìn)行分類討論求解．【變式訓(xùn)練】1．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）的高長為3，且，，則的周長是___________．【答案】或【分析】分情況利用勾股定理求出各邊的長，繼而根據(jù)三角形的周長公式計(jì)算即可．【詳解】解：如圖1：

，，，所以三角形的周長；如圖2：

，，，所以三角形的周長；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，分情況討論．2．（2022·北京·101中學(xué)八年級期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5．點(diǎn)P在直線AC上，且BP＝6，則線段AP的長為__________．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)題意，作出圖形，分類討論，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，∠ACB＝90°，AC＝4，AB＝5在中，或故答案為：或【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，根據(jù)題意作出圖形，分類討論是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·四川綿陽·八年級東辰國際學(xué)校?？计谥校┰谥校沁吷系母?，，，，則的面積為______．【答案】30或18/18或30【分析】分兩種情況求解，首先利用勾股定理即可求得的長，再利用三角形的面積公式，即可求解．【詳解】解：分兩種情況：（1）如圖，當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，是邊上的高，，在中，，在中，，，，（2）如圖，當(dāng)在的外部時(shí)，是邊上的高，，在中，，在中，，，，故答案為：30或18．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及三角形的面積公式，注意分類討論求得的長是解決本題的關(guān)鍵．4．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·八年級?？茧A段練習(xí)）已知等邊的邊長為6，為的中點(diǎn)，如果點(diǎn)是射線上的一點(diǎn)，且，那么的長為．【答案】或/或【分析】分兩種情況，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：等邊的邊長為6，為的中點(diǎn)則，平分，∴，∴由題意可得：當(dāng)點(diǎn)在的內(nèi)部時(shí)，如圖1，由勾股定理可得：∴當(dāng)點(diǎn)在的外部時(shí)，如圖2，由勾股定理可得：∴

故答案為：或【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)，學(xué)會(huì)分類討論的思想求解問題．5．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在中，，線段的垂直平分線分別交，直線于點(diǎn)，，若，則線段的長為．【答案】或【分析】分兩種情況，是銳角三角形，是鈍角三角形，作出簡圖，由垂直平分線的性質(zhì)可得，由勾股定理可求得的長度，即可求．【詳解】解：當(dāng)是銳角三角形時(shí)，如圖，∵是的垂直平分線，，∴，，∵，∴，∴；當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，如圖，∵是的垂直平分線，，∴，，，∴，∴；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直平分線的性質(zhì)，解答關(guān)鍵是熟記垂直平分線的性質(zhì)．【易錯(cuò)三等腰三角形的腰和底不明時(shí)，考慮不全面而漏解】例題：（2023春·遼寧撫順·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線以的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，等于．

【答案】或或【分析】根據(jù)為等腰三角形進(jìn)行分類討論，分別求出的長，即可求出t．【詳解】解：在中，，由勾股定理得：（cm），由題意可知共三種情況，如下：①時(shí)，，則，

∴，解得；②當(dāng)時(shí)，，

所以，③當(dāng)時(shí)，即，

所以，綜上所述，當(dāng)t的值為或或；故答案為：或或【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的勾股定理以及等腰三角形的分類討論思想，能夠正確地分類是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·江西萍鄉(xiāng)·八年級統(tǒng)考期中）如果等腰三角形的兩邊長為分別為和，那么等腰三角形的周長為．【答案】或/13或11【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：等腰三角形的兩邊長為分別為和，∴①邊長分別為，，，∵，即，能構(gòu)成等腰三角形，∴該等腰三角形的周長為：；②邊長分別為，，，∵，即，能構(gòu)成等腰三角形，∴該等腰三角形的周長為：；故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形三邊關(guān)系，掌握構(gòu)成三角形三邊大小關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的值為．【答案】13或24或【分析】當(dāng)為等腰三角形時(shí)，分三種情況：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)；③當(dāng)時(shí)，分別求出的長度，繼而可求得的值．【詳解】解：，，，．①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，，；③當(dāng)時(shí)，，，，在中，，即，解得．綜上，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，或24或．故答案為：13或24或．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．3．（2023·江西新余·統(tǒng)考一模）在中，，，，、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)將沿直線翻折，使點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上若是等腰三角形，則的長是．【答案】或或【分析】分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，是等腰三角形；當(dāng)時(shí)，是等腰三角形；當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可得到的值．【詳解】解：，，，，，分三種情況討論：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，

，，，，即是等腰三角形，此時(shí)，；如圖所示，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，

，由折疊可得，，，又，是等腰直角三角形，設(shè)，則，中，，解得，舍去，；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，

，，即是等腰三角形，此時(shí)，綜上所述，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的值是或或．故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊問題，等腰三角形的性質(zhì)，解一元二次方程以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是依據(jù)是等腰三角形，畫出圖形進(jìn)行分類討論，解題時(shí)注意方程思想的運(yùn)用．4．（2023春·江西九江·八年級統(tǒng)考期中）如圖是一張長方形紙片，已知，現(xiàn)要剪下一張等腰三角形紙片（），則等腰三角形的底邊長是．

【答案】或或5【分析】分情況討論：①當(dāng)時(shí)，則是等腰直角三角形，得出底邊即可；②當(dāng)時(shí)，求出，由勾股定理求出，再由勾股定理求出等邊即可；③當(dāng)時(shí)，底邊；即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示：

①當(dāng)時(shí)，∵，∴是等腰直角三角形，∴底邊；②當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴底邊；③當(dāng)時(shí)，底邊；綜上所述：等腰三角形的底邊長為或或5；故答案為：或或5．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理；熟練掌握矩形的性質(zhì)和等腰三角形的判定，進(jìn)行分類討論是解決問題的關(guān)鍵．5．（2023春·福建寧德·八年級校聯(lián)考期中）定義：如果三角形有兩個(gè)內(nèi)角的差為，那么這樣的三角形叫做“準(zhǔn)等邊三角形”．【理解概念】（1）頂角為的等腰三角形“準(zhǔn)等邊三角形”．（填“是”或“不是”）【鞏固新知】（2）已知是“準(zhǔn)等邊三角形”，其中，．求的度數(shù)．【解決問題】（3）如圖，在中，，，，點(diǎn)D在邊上，若是“準(zhǔn)等邊三角形”，求的長．

【答案】（1）不是（2）的度數(shù)為或（3）的長為或【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求得三角形的內(nèi)角，再根據(jù)“準(zhǔn)等邊三角形”即可求解；（2）分兩種情況求解，或，分別求解即可；（3）是“準(zhǔn)等邊三角形”，分兩種情況，或，分別求解即可．【詳解】解：（1）∵等腰三角形的頂角為，∴等腰三角形的兩個(gè)底角度數(shù)分別為，，∴頂角為的等腰三角形不是“準(zhǔn)等邊三角形”；（2）∵是“準(zhǔn)等邊三角形”，，，∴分兩種情況：當(dāng)時(shí)，∴，∴；當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴°，∴；

………．綜上所述：的度數(shù)為或；（3）∵，，，∴，，∵是“準(zhǔn)等邊三角形”，∴分兩種情況：當(dāng)時(shí)，∴，∴，∵，∴，解得：或（舍去），∴；當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)D作，垂足為E，

∵，∴，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，設(shè)，在中，，∴，∵，∴，解得：，∴，∴；綜上所述：的長為或．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含30度直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)，利用分類討論的思想求解問題．【易錯(cuò)四求立體圖形中兩點(diǎn)距離最短時(shí)無法找到正確的展開方式】例題：（2023秋·廣東揭陽·八年級惠來縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，長方體盒子的長寬高分別為，，，在中點(diǎn)處有一滴蜜糖，有一只小蟲從點(diǎn)爬到處去吃，有很多種走法，求出最短路線長為．【答案】【分析】要求長方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長方體的側(cè)面展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．【詳解】解：①如圖，連接，在中，，，由勾股定理得：，此時(shí)；②如圖，連接，在中，，，由勾股定理得：；∵，∴從處爬到處的最短路程是．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開最短路徑問題，關(guān)鍵是畫出圖形知道求出哪一條線段的長，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目，切記要進(jìn)行分類討論．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江西上饒·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖是一個(gè)二級臺階，每一級臺階的長、寬、高分別為、、．和是這個(gè)臺階兩個(gè)相對的端點(diǎn)，在點(diǎn)有一只螞蟻，想到點(diǎn)去受食，那么它爬行的最短路程是．【答案】【分析】將臺階展開，得到一直角邊長為，另一直角邊為的直角三角形，求其斜邊即可．【詳解】將臺階展開，得到一直角邊長為，另一直角邊為的直角三角形，所以最短距離為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的展開圖，勾股定理，熟練掌握展開圖，勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，這是一個(gè)供滑板愛好者使用的U形池，該U形池可以看作是一個(gè)長方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是半徑為的半圓，其邊緣，點(diǎn)E在上，，一滑板愛好者從U形池內(nèi)側(cè)的點(diǎn)A滑到點(diǎn)E，則他滑行的最短距離約為m．（取3）

【答案】【分析】要求滑行的最短距離，需將該U形池的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得出結(jié)論．【詳解】解：U形池的側(cè)面展開圖如圖：

由題意，，，在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了最短路徑問題，把U形池的側(cè)面展開矩形，化曲面為平面是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·四川成都·八年級?？茧A段練習(xí)）長方體的長為，寬為，高為，點(diǎn)B離點(diǎn)C，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是．

【答案】【分析】畫出長方體的幾種側(cè)面展開圖，根據(jù)勾股定理求出的長即可．【詳解】解：只要把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如圖1：

長方體的寬為，高為，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是，，，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：；只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如圖2：

長方體的寬為，高為，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是，，，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：；只要把長方體的上表面剪開與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長方形，如圖3：

長方體的寬為，高為，點(diǎn)離點(diǎn)的距離是，，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理得：；螞蟻爬行的最短距離是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是平面展開最短路徑問題，根據(jù)題意畫出長方體的側(cè)面展開圖，根據(jù)勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．4．（2023秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，圓柱形容器的高為120cm，底面周長為100cm，在容器內(nèi)壁離容器底部40cm的點(diǎn)B處有一蚊子，此時(shí)一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿40cm與蚊子相對的點(diǎn)A處，求壁虎捕捉蚊子的最短距離．【答案】130cm【分析】將容器側(cè)面展開，建立A關(guān)于EC的對稱點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知B的長度即為所求．【詳解】解：如圖，將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于EC的對稱點(diǎn)，連接B交EC于F，則B即為最短距離．∵高為120cm，底面周長為100cm，在容器內(nèi)壁離容器底部40cm的點(diǎn)B處有一蚊子，此時(shí)一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿40cm與蚊子相對的點(diǎn)A處，∴D＝50cm，BD＝120cm，∴在直角△DB中，B＝＝130（cm）．故壁虎捕捉蚊子的最短距離為130cm．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開﹣﹣﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．5．（2023春·湖北孝感·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，圓柱形容器高12cm，底面周長24cm，在杯口點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)螞蟻在杯外壁底部與蜂蜜相對的A處，(1)求螞蟻從A到B處吃到蜂蜜最短距離；(2)若螞蟻剛出發(fā)時(shí)發(fā)現(xiàn)B處的蜂蜜正以每秒鐘1cm沿杯內(nèi)壁下滑，4秒鐘后螞蟻吃到了蜂蜜，求螞蟻的平均速度至少是多少？

【答案】(1)螞蟻要吃到食物所走的最短路線長度是cm；(2)螞蟻的平均速度是5米/秒【分析】（1）先將圓柱的側(cè)面展開，再根據(jù)勾股定理求解即可；（2）作點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理得到螞蟻所走的路程，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖所示，

∵圓柱形玻璃容器，高12cm，底面周長為24cm，∴，∴．答：螞蟻要吃到食物所走的最短路線長度是cm；（2）解：4秒鐘后蜂蜜下滑了4cm到點(diǎn)E，

作點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)B的對稱點(diǎn)，∴螞蟻所走的最短路程就是，∵，，∴螞蟻所走的路程，∴螞蟻的平均速度（米/秒）．答：螞蟻的平均速度為5米/秒．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，將圖形展開，利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期中）如圖，一個(gè)長方體形的木柜放在墻角處（與墻面和地面均沒有縫隙），有一只螞蟻從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角C1處．小明認(rèn)為螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的路徑AC1，小王認(rèn)為螞蟻能夠最快到達(dá)目的地的路徑AC1′．已知AB=4，BC=4，CC1=5時(shí)，請你幫忙他們求出螞蟻爬過的最短路徑長．【答案】最短路徑長是．【分析】根據(jù)題意，先將長方體展開，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短．【詳解】解：螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段BB1到C1'，爬過的路徑的長是AC1′；螞蟻沿著木柜表面經(jīng)線段A1B1到C1，爬過的路徑的長是AC1．因?yàn)椋篈C1′＞AC1，所以最短路徑長是．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，本題是一道趣味題，將長方體展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，運(yùn)用勾股定理解答即可．7．（2023秋·全國·八年級專題練習(xí)）如圖是長、寬、高的長方體容器．(1)求底面矩形的對角線的長；(2)長方體容器內(nèi)可完全放入的棍子最長是多少？(3)一只螞蟻從D點(diǎn)爬到E點(diǎn)最短路徑是多少？【答案】(1)底面矩形的對角線的長為(2)長方體容器內(nèi)可完全放入的棍子最長是(3)螞蟻從D點(diǎn)爬到E點(diǎn)最短路徑【分析】（1）根據(jù)題意運(yùn)用勾股定理即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)題意連接、，兩次運(yùn)用勾股定理即可得出結(jié)果;（3）分別求出三種情