考點05初速度為零的勻變速直線運動常用的結論

02勻變速直線運動的研究[考點05]初速度為零的勻變速直線運動常用的結論初速度為零的勻加速直線運動的比例式1．初速度為0的勻加速直線運動，按時間等分(設相等的時間間隔為T)，則：(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬時速度之比為：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.(2)T內、2T內、3T內、…、nT內的位移之比為：x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2.(3)第1個T內、第2個T內、第3個T內、…、第n個T內的位移之比為：x1′∶x2′∶x3′∶…∶xn′＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．2．按位移等分(設相等的位移為x)的比例式(1)通過前x、前2x、前3x、…、前nx的位移時的瞬時速度之比為：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)∶…∶eq\r(n).(2)通過前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用時間之比為：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)∶…∶eq\r(n).(3)通過連續(xù)相同的位移所用時間之比為：t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(eq\r(2)－1)∶(eq\r(3)－eq\r(2))∶…∶(eq\r(n)－eq\r(n－1))．逆向思維法勻減速直線運動可看成逆向的勻加速直線運動．特別是對于末速度為零的勻減速直線運動，采用逆向思維法后，速度時間關系式和位移時間關系式變?yōu)関＝at，x＝eq\f(1,2)at2，計算更為簡便．典例(2022·江蘇省揚州中學月考)如圖所示，光滑斜面AE被分為四個相等的部分，一物體從A點由靜止釋放，它沿斜面向下做勻加速運動，依次通過B、C、D點，最后到達底端E點．下列說法正確的是()A．物體通過各點的瞬時速度之比為vB∶vC∶vD∶vE＝1∶2∶3∶4B．通過各段所用的時間之比為tAB∶tBC∶tCD∶tDE＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)∶2C．物體由A點到各點所經(jīng)歷的時間之比為tB∶tC∶tD∶tE＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)∶2D．下滑全程的平均速度eq\x\to(v)＝vC答案C解析物體做初速度為零的勻加速直線運動．由v2＝2ax得v∝eq\r(x)，A錯誤；通過各段所用時間之比為tAB∶tBC∶tCD∶tDE＝1∶(eq\r(2)－1)∶(eq\r(3)－eq\r(2))∶(2－eq\r(3))，B錯誤；由v＝at知tB∶tC∶tD∶tE＝vB∶vC∶vD∶vE＝1∶eq\r(2)∶eq\r(3)∶2，C正確；因tB∶tE＝1∶2，即tAB＝tBE，vB為AE段的中間時刻的速度，故eq\x\to(v)＝vB，D錯誤．1．(多選)一物體由靜止開始做勻加速直線運動，第4s內的位移是14m，下列說法中正確的是()A．第5s內的位移為18mB．前4s內的位移為32mC．物體的加速度為4m/s2D．物體在前2s內的平均速度為2m/s答案ABC解析物體做初速度為零的勻加速直線運動，x1∶x2∶x3∶x4∶x5＝1∶3∶5∶7∶9，x5＝eq\f(9,7)x4＝18m，故A正確；x1＝eq\f(1,7)x4＝2m，x1＝eq\f(1,2)at12，解得a＝4m/s2，故C正確；同理，x2＝6m，x3＝10m，前4s內位移x＝x1＋x2＋x3＋x4＝32m，故B正確；物體在前2s內的平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(x1＋x2,t2)＝eq\f(2＋6,2)m/s＝4m/s，故D錯誤．2．(多選)物體從靜止開始做勻加速直線運動，第3s內通過的位移是3m，則()A．第3s內的平均速度是3m/sB．第1s內的位移是0.6mC．前3s內的位移是6mD．第2s內的平均速度是1.8m/s答案ABD解析第3s內的平均速度為：eq\x\to(v)3＝eq\f(3,1)m/s＝3m/s，故A正確；由比例式關系xⅠ∶xⅡ∶xⅢ＝1∶3∶5，xⅢ＝3m．則xⅠ＝0.6m，xⅡ＝1.8m，前3s內的位移x3＝xⅠ＋xⅡ＋xⅢ＝5.4m，故B正確，C錯誤；第2s內的平均速度eq\x\to(v)2＝eq\f(xⅡ,t)＝1.8m/s，故D正確．3．(2022·牡丹江一中高一階段練習)如下圖所示，在冰壺比賽中，一冰壺以速度v垂直進入四個相同矩形區(qū)域沿虛線做勻減速直線運動，且剛要離開第四個矩形區(qū)域邊緣的E點時速度恰好為零，冰壺通過前三個矩形的時間為t，則冰壺通過第一個矩形區(qū)域所需要的時間為()A．t B．(eq\r(3)－eq\r(2))tC．(2－eq\r(3))t D.eq\r(3)t答案C解析冰壺做勻減速運動至速度為零，運用逆向思維，把冰壺看作從E到A的初速度為零的勻加速直線運動，根據(jù)比例式關系可知，冰壺從開始通過連續(xù)相等時間內的位移比為1∶3，可知，從E到D的時間和從D到A的時間相等即為t，因為初速度為零的勻加速直線運動中通過連續(xù)四段相等位移的時間之比為1∶(eq\r(2)－1)∶(eq\r(3)－eq\r(2))∶(2－eq\r(3))，因此eq\f(tAB,tDE)＝2－eq\r(3)，tDE＝t，則冰壺通過第一個矩形的時間為(2－eq\r(3))t，故選C.4．質點從O點由靜止開始做勻加速直線運動，依次通過A、B、C三點，已知通過OA、AB、BC所用時間之比為1∶2∶3，則OA、AB、BC的距離之比為()A．1∶4∶9 B．1∶3∶5C．1∶8∶27 D．1∶2∶3答案C解析初速度為0的勻加速直線運動，第1個T、第2個T、第3個T、…、第6個T內的位移之比為1∶3∶5∶7∶9∶11，所以xOA∶xAB∶xBC＝1∶(3＋5)∶(7＋9＋11)＝1∶8∶27，故C正確．5.(2020·廣東化州市第一中學高一階段練習)一個物體做初速度為零的勻加速直線運動，比較它在開始運動后第1s內、第2s內、第3s內的運動，下列說法中錯誤的是()A．第1s、第2s、第3s各段時間內最大速度之比是1∶2∶3B．第1s、第2s、第3s各段時間經(jīng)歷的位移大小之比是1∶3∶5C．第1s、第2s、第3s各段時間的平均速度之比是1∶3∶5D．第1s、第2s、第3s各段時間中間時刻的瞬時速度之比是1∶2∶3答案D解析由于物體做初速度為零的勻加速直線運動，所以其在第1s、第2s、第3s各段時間內最大速度之比即為第1s末、第2s末、第3s末的瞬時速度之比，根據(jù)勻變速直線運動的速度公式：v＝v0＋at，可得第1s末、第2s末、第3s末的瞬時速度，即末速度之比為1∶2∶3，A說法正確，不符合題意；根據(jù)勻變速直線運動的位移公式：x＝v0t＋eq\f(1,2)at2，得第1s內、前2s內、前3s內位移之比為1∶4∶9，則第1s內、第2s內、第3s內的位移之比為1∶3∶5，B說法正確，不符合題意；根據(jù)勻變速直線運動的平均速度公式：eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)＝，可得第1s、第2s、第3s各段時間的平均速度之比等于各時間段內的位移之比，也是各時間段中間時刻的瞬時速度之比，由B中分析可知比值為1∶3∶5，C說法正確，不符合題意，D說法錯誤，符合題意．6.(多選)一顆子彈沿水平直線垂直穿過緊挨在一起的三塊木板后速度剛好為零，設木板固定在地面上，子彈運動的加速度大小恒定，則下列說法正確的是()A．若子彈穿過每塊木板的時間相等，則三塊木板厚度之比為1∶2∶3B．若子彈穿過每塊木板的時間相等，則三塊木板厚度之比為5∶3∶1C．若三塊木板厚度相等，則子彈穿過每塊木板的時間之比為1∶1∶1D．若三塊木板厚度相等，則子彈穿過每塊木板的時間之比為(eq\r(3)－eq\r(2))∶(eq\r(2)－1)∶1答案BD解析將子彈的運動看成沿相反方向的初速度為0的勻加速直線運動，則位移公式x＝eq\f(1,2)at2，若子彈穿過每塊木板時間相等，三塊木板厚度之比為5∶3∶1，故A項錯誤，B項正確；若三塊木板厚度相等，由位移公式x＝eq\f(1,2)at2，穿過三塊、后邊兩塊、最后一塊的時間之比為eq\r(3)∶eq\r(2)∶1，則子彈穿過每塊木板時間之比為(eq\r(3)－eq\r(2))∶(eq\r(2)－1)∶1，故C項錯誤，D項正確．7.(2021·贛州市贛縣第三中學高一期中)在2021年全國跳水冠軍賽10米臺的比賽中，張家齊和陳芋汐順利奪冠．若將她們入水后向下的運動視為勻減速直線運動，該運動過程的時間為t.張家齊入水后第一個eq\f(t,4)時間內的位移為x1，最后一個eq\f(t,4)時間內的位移為x2，則eq\f(x1,x2)等于()A．1∶7B．7∶1C．3∶1D．8∶1答案B解析將運動員入水后的運動逆過來可看作初速度為零的勻加速直線運動，根據(jù)初速度等于零的勻加速直線運動規(guī)律可知，連續(xù)相等時間間隔內的位移之比為1∶3∶5∶7…，所以有eq\f(x1,x2)＝7∶1，故A、C、D錯誤，B正確．8.(多選)(2023·廣安高一·期末)水球可以擋住高速運動的子彈．實驗證實：如圖所示，用極薄的塑料膜片制成三個完全相同的水球緊挨在一起水平排列，子彈在水球中沿水平方向做勻變速直線運動，恰好能穿出第三個水球，則可以判定(忽略薄塑料膜片對子彈的作用)()A．子彈在每個水球中運動時間之比為t1∶t2∶t3＝1∶1∶1B．子彈穿過每個水球的時間之比t1∶t2∶t3＝(eq\r(3)－eq\r(2))∶(eq\r(2)－1)∶1C．子彈在穿入每個水球時的速度之比為v1∶v2∶v3＝3∶2∶1D．子彈在穿入每個水球時的速度之比為v1∶v2∶v3＝eq\r(3)∶eq\r(2)∶1答案BD解析把子彈的運動看作逆向的初速度為零的勻加速直線運動．子彈由右向左依次“穿出”3個水球的速度之比為1∶eq\r(2)∶eq\r(3).則子彈實際運動依次穿入每個水球時的速度之比v1∶v2∶v3＝eq\r(3)∶eq\r(2)∶1，故C錯誤，D正確．子彈從右向左，通過每個水球的時間之比為1∶(eq\r(2)－1)∶(eq\r(3)－eq\r(2))，則子彈實際運動穿過每個水球的時間之比為t1∶t2∶t3＝(eq\r(3)－eq\r(2))∶(eq\r(2)－1)∶1，故B正確，A錯誤．9．一個物體從靜止開始做勻加速直線運動，它在第1s內與第2s內的位移之比為x1∶x2，在走完第1m時與走完第2m時的速度之比為v1∶v2.以下說法正確的是()A．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2B．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶eq\r(2)C．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶eq\r(2)答案B解析由初速度為零的勻變速直線運動的比例關系知x1∶x2＝1∶3，由x＝eq\f(1,2)at2知，走完1m與走完2m所用時間之比為t1∶t2＝1∶eq\r(2)，又v＝at，可得v1∶v2＝1∶eq\r(2)，B正確．10．(2023·豫南·期末聯(lián)考)質點從靜止開始做勻加速直線運動，在第1個2s、第2個2s和第5個2s內三段位移之比為()A．1∶4∶25 B．2∶8∶7C．1∶3∶9 D．2∶2∶1答案C解析質點做初速度為零的勻加速直線運動，在連續(xù)相等的時間間隔內位移之比為1∶3∶5∶…∶(2n－1)，所以質點在第1個2s、第2個2s和第5個2s內的三段位移之比為1∶3∶9，因此選C.11．(多選)如圖所示，一個滑塊從斜面頂端A由靜止開始沿斜面向下做勻加速直線運動到達底端C，已知AB＝BC，則下列說法正確的是()A．滑塊到達B、C兩點的速度之比為1∶2B．滑塊到達B、C兩點的速度之比為1∶eq\r(2)C．滑塊通過AB、BC兩段的時間之比為1∶eq\r(2)D．滑塊通過AB、BC兩段的時間之比為(eq\r(2)＋1)∶1答案BD解析方法一根據(jù)勻變速直線運動的速度位移公式：v2＝2ax，解得：v＝eq\r(2ax)，因為經(jīng)過B、C兩點的位移比為1∶2，則通過B、C兩點的速度之比為1∶eq\r(2)，故B正確，A錯誤；設AB段、BC段的長度為L，所經(jīng)歷的時間分別為t1、t2，根據(jù)勻變速直線運動的位移時間公式：L＝eq\f(1,2)ateq\o\al(12,)和2L＝eq\f(1,2)a(t1＋t2)2，聯(lián)立可得：eq\f(t1,t2)＝eq\f(\r(2)＋1,1)，故D正確，C錯誤．方法二比例關系：初速度為零的勻變速直線運動通過連續(xù)相等的位移所用時間之比為1∶(eq\r(2)－1)∶(eq\r(3)－eq\r(2))∶…∶(eq\r(n)－eq\r(n－1))，所以滑塊通過AB、BC兩段的時間之比為1∶(eq\r(2)－1)＝(eq\r(2)＋1)∶1，D正確，C錯誤；通過前x、前2x、前3x、…、前nx的位移時的瞬時速度之比為1∶eq\r(2)∶eq\r(3)∶…∶eq\r(n)，A錯誤，B正確．12.(多選)(2021·莆田一中高一期中)如圖所示，港珠澳大橋上四段110m的等跨鋼箱連續(xù)梁橋，標記為a、b、c、d、e，若汽車從a點由靜止開始做勻加速直線運動，通過ab段的時間為t.()A．通過bc段的時間也為tB．通過ae段的時間為2tC．汽車通過b、c、d、e的速度之比為1∶2∶3∶4D．汽車通過b、c、d、e的速度之比為1∶eq\r(2)∶eq\r(3)∶2答案BD解析根據(jù)初速度為零的勻加速直線運動規(guī)律可知，通過連續(xù)相同的位移所用的時間之比為1)t，通過ae段的時間為tae＝t＋(eq\r(2)－1)t＋(eq\r(3)－eq\r(2))t＋(2－eq\r(3))t＝2t，故A錯誤，B正確；根據(jù)初速度為零的勻加速直線運動規(guī)律可知，汽車通過b、c、d、e的速度之比為1∶eq\r(2)∶eq\r(3)∶2，故C錯誤，D正確．13.(2022·麗水市高二期末)第24屆冬季奧林匹克運動會于2022年2月4日在北京開幕，其中滑雪是冬奧會中的一個比賽大項，如圖所示，某滑雪運動員以某一初速度沖上斜面做勻減速直線運動．到達頂端時的速度為零．已知運動員在前四分之三位移中的平均速度大小為v，則運動員整個過程的平均速度為()A.eq\f(v,2)B.eq\f(\r(2)v,2)C.eq\f(v,3)D.eq\f(2,3)v答案D解析將運動員的勻減速運動看作是反向的初速度為零且加速度大小不變的勻加速運動，根據(jù)初速度為零的勻加速直線運動的比例關系可知運動員在前四分之三位移和最后四分之一位移所經(jīng)歷的時間相等，均設為t，則由題意可知，v＝eq\f(\f(3,4)s,t)＝eq\f(3s,4t).運動員整個過程的平均速度為v′＝eq\f(s,2t)＝eq\f(2,3)v，故選D.14．(多選)(2022·高郵市臨澤中學月考)水球可以擋住高速運動的子彈．中央電視臺《國家地理頻道》實驗證實：如圖所示，用極薄的塑料膜片制成三個完全相同的水球緊挨在一起水平排列，子彈可視為在水球中沿水平方向做勻變速直線運動，恰好能穿出第三個水球，則可以判定(忽略薄塑料膜片對子彈的作用)()A．子彈在每個水球中運動的時間之比為t1∶t2∶t3＝1∶1∶1B．子彈在每個水球中運動的時間之比為t1∶t2∶t3＝(eq\r(3)－eq\r(2))∶(eq\r(2)－1)∶1C．子彈在穿入每個水球時的速度之比為v1∶v2∶v3＝3∶2∶1D．子彈在穿入每個水球時的速度之比為v1∶v2∶v3＝eq\r(3)∶eq\r(2)∶1答案BD解析把子彈的運動看作逆向的初速度為零的勻加速直線運動．子彈由右向左依次“穿出”3個水球的速度之比為1∶eq\r(2)∶eq\r(3)，則子彈實際運動依次穿入每個水球時的速度之比為v1∶v2∶v3＝eq\r(3)∶eq\r(2)∶1，故C錯誤，D正確．子彈從右向左通過每個水球的時間之比為1∶(eq\r(2)－1)∶(eq\r(3)－eq\r(2))，則子彈實際運動穿過每個水球的時間之比為t1∶t2∶t3＝(eq\r(3)－eq\r(2))∶(eq\r(2)－1)∶1，故B正確，A錯誤．15．(2021·渭南市瑞泉中學高一期中)如圖所示，木塊A、B、C并排固定在水平地面上，三木塊的厚度比為5∶3∶1，子彈以300m/s的水平速度射入木塊A，子彈在木塊中運動時加速度恒定，子彈可視為質點且剛好射穿木塊C.下列說法正確的是()A．子彈剛好射出木塊A時的速度為100m/sB．子彈在木塊A中的運動時間大于在木塊B中的運動時間C．子彈在木塊B和C中的運動時間相等D．子彈在木塊A中的平均速度是在木塊C中平均速度的2倍答案C解析子彈的末速度為0，把正方向的勻減速運動看成反方向加速度不變的勻加速運動，則在相等時間內的位移比為1∶3∶5，故子彈在三個木塊中的運動時間相等，則由v＝at，可得子彈射出木塊A時的速度與子彈的初速度之比為2∶3，故子彈射出木塊A時的速度為200m/s，故A、B錯誤，C正確；根據(jù)eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)，子彈在木塊A中的平均速度是子彈在木塊C中平均速度的5倍，故D錯誤．16．一觀察者站在第一節(jié)車廂前端保持靜止，當列車從靜止開始做勻加速運動時()A．每節(jié)車廂末端經(jīng)過觀察者的速度之比是1∶eq\r(2)∶eq\r(3)∶…∶eq\r(n)B．每節(jié)車廂經(jīng)過觀察者的時間之比是1∶3∶5∶…∶nC．在相等時間內經(jīng)過觀察者的車廂數(shù)之比是1∶22∶32∶…∶n2D．在相等時間內經(jīng)過觀察者的車廂數(shù)之比是1∶2∶3∶…∶n答案A解析設一節(jié)車廂的長度為L，列車的加速度為a，一節(jié)車廂通過有v12＝2aL，n節(jié)車廂通過有vn2＝2anL，解得vn＝eq\r(n)v1；則每節(jié)車廂末端經(jīng)過觀察者的速度之比是1∶eq\r(2)∶eq\r(3)∶…∶eq\r(n)，A項正確；由公式x＝eq\f(1,2)at2知，n節(jié)車廂經(jīng)過觀察者的時間tn＝eq\r(\f(2nL,a))＝eq\r(n)·eq\r(\f(2L,a))，(n－1)節(jié)車廂經(jīng)過觀察者的時間tn－1＝eq\r(\f(2n－1L,a))＝eq\r(n－1)·eq\r(\f(2L,a))，則第n節(jié)車廂通過的時間為tn－tn－1＝(eq\r(n)－eq\r(n－1))eq\r(\f(2L,a))，故每節(jié)車廂經(jīng)過觀察者的時間之比是1∶(eq\r(2)－1)∶(eq\r(3)－eq\r(2))∶…∶(eq\r(n)－eq\r