專(zhuān)題112正弦定理與余弦定理的應(yīng)用（4類(lèi)必考點(diǎn)）（2019）（原卷版）

專(zhuān)題11.2正弦定理與余弦定理的應(yīng)用TOC\o"13"\t"正文,1"\h【考點(diǎn)一：距離測(cè)量問(wèn)題】 1【考點(diǎn)二：高度測(cè)量問(wèn)題】 3【考點(diǎn)三：角度測(cè)量問(wèn)題】 7【考點(diǎn)四：其他應(yīng)用問(wèn)題】 12【考點(diǎn)一：距離測(cè)量問(wèn)題】【知識(shí)點(diǎn)：距離測(cè)量問(wèn)題】[方法技巧]處理距離問(wèn)題的策略(1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理．1．（2023春·寧夏·高一六盤(pán)山高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在鐵路建設(shè)中需要確定隧道的長(zhǎng)度，已測(cè)得隧道兩端的兩點(diǎn)A,B到某一點(diǎn)C的距離分別是3km，1km及∠ACB=60°，則A．7km B．13km C．7km2．（2023春·廣東東莞·高一校考階段練習(xí)）如圖，為了測(cè)定河兩岸點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離，在點(diǎn)B同側(cè)的河岸選定點(diǎn)A，測(cè)得∠CAB=45°，∠CBA=75°，AB=120m，則點(diǎn)B與點(diǎn)C3．（2023春·北京·高一北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知兩燈塔A和B與海洋觀測(cè)站C的距離都為100km，燈塔A在觀測(cè)站C的北偏東20°方向上，燈塔B在觀測(cè)站C的南偏東40°方向上，則燈塔A與燈塔B的距離為_(kāi)________km4．（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中學(xué)?？计谀┮凰逸喆凑毡逼珫|40°方向，以18海里/小時(shí)的速度直線航行，一座燈塔原來(lái)在輪船的南偏東20°方向上，經(jīng)過(guò)20分鐘的航行，輪船與燈塔的距離為2195．（2023春·陜西西安·高一西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，某林場(chǎng)為了及時(shí)發(fā)現(xiàn)火情，設(shè)立了兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)B和C，在B點(diǎn)處觀測(cè)到C的方位角為155°，B點(diǎn)和C點(diǎn)相距25千米．某日兩個(gè)觀測(cè)站都觀測(cè)到了A處出現(xiàn)火情，在B點(diǎn)處觀測(cè)到A的方位角為125°．在C點(diǎn)處，觀測(cè)到A的方位角為80°，則觀測(cè)站C與火情A之間的距離為_(kāi)_______．6．（2023春·陜西西安·高一校考階段練習(xí)）一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東70°的方向航行3?1nmile后到達(dá)海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東10°的方向航行2(1)求AC的長(zhǎng)；(2)如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C，應(yīng)沿什么方向航行多少n?mile？7．（2023春·上海浦東新·高三上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，A、B、C三地在以O(shè)為圓心的圓形區(qū)域邊界上，AB=30公里，AC=10公里，∠BAC=60°，D是圓形區(qū)域外一景點(diǎn)，∠DBC=90°，∠DCB=60°.(1)O、A相距多少公里？（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）(2)若一汽車(chē)從A處出發(fā)，以每小時(shí)50公里的速度沿公路AD行駛到D處.需要多少小時(shí)？（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）【考點(diǎn)二：高度測(cè)量問(wèn)題】【知識(shí)點(diǎn)：高度測(cè)量問(wèn)題】[方法技巧]求解高度問(wèn)題應(yīng)注意的問(wèn)題(1)理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)等的定義．(2)在實(shí)際問(wèn)題中，可能會(huì)遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問(wèn)題，這時(shí)最好畫(huà)兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形，一個(gè)平面圖形，這樣處理起來(lái)既清楚又不容易搞錯(cuò)．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題．1．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）小明同學(xué)為了估算位于哈爾濱的索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為153?1m，在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B，M，D三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂A，教堂頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為30°，則小明估算索菲亞教堂的高度為（A．20m B．30m C．203m D．303m2．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）塔是一種在亞洲常見(jiàn)的，有著特定的形式和風(fēng)格的中國(guó)傳統(tǒng)建筑．最初是供奉或收藏佛骨、佛像、佛經(jīng)、僧人遺體等的高聳型點(diǎn)式建筑，稱“佛塔”．如圖，為測(cè)量某塔的總高度AB，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得∠BCD=30°，∠BDC=45°，CD=30米，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角為60°，則塔的總高度約為（

）（參考數(shù)據(jù)：2≈1.4，3A．13米 B．24米 C．39米 D．45米3．（2023春·湖南·高一衡陽(yáng)市八中校聯(lián)考階段練習(xí)）泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列為“世界文化遺產(chǎn)”．秦姬陵是印度古代皇帝為了紀(jì)念他的皇妃建造的，于1631年開(kāi)始建造，用時(shí)22年，距今已有366年歷史．如圖所示，為了估算泰姬陵的高度，現(xiàn)在泰姬陵的正東方向找一參照物AB，高約為50m，在它們之間的地面上的點(diǎn)Q（B，Q，D三點(diǎn)共線）處測(cè)得A處、泰姬陵頂端C處的仰角分別是45°和60°，在A處測(cè)得泰姬陵頂端C處的仰角為15°，則估算泰姬陵的高度CD為（

）A．75m B．502m C．256m4．（2023春·陜西西安·高二西安中學(xué)校考期中）如圖，在離地面高200m的熱氣球M上，觀察到山頂C處的仰角為15°，山腳A處的俯角為45°，已知∠BAC=60°5．（2023·甘肅蘭州·?？寄M預(yù)測(cè)）蘭州黃河樓，位于黃河蘭州段大拐彎處，是一座講述黃河故事的人文地標(biāo)，是傳承和記錄蘭州文化的精神產(chǎn)物，展現(xiàn)了甘肅濃厚的歷史文化底蘊(yùn)及黃河文化的獨(dú)特魅力．某同學(xué)為了估算該樓的高度，采用了如圖所示的方式來(lái)進(jìn)行測(cè)量：在地面選取相距90米的C、D兩觀測(cè)點(diǎn)，且C、D與黃河樓底部B在同一水平面上，在C、D兩觀測(cè)點(diǎn)處測(cè)得黃河樓頂部A的仰角分別為45°,30°，并測(cè)得∠BCD=120°，則黃河樓AB的估計(jì)高度為_(kāi)____________米．6．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）小軍在校園內(nèi)測(cè)對(duì)岸廣電大廈樓頂無(wú)線塔AB的高度，他在校園水平面上選取兩點(diǎn)C,D，測(cè)得CD=l，測(cè)得∠ACB=θ，∠ACD=α1，∠BCD=α2，(1)求AC；(2)求無(wú)線塔AB的高度.7．（2023·江蘇·高一專(zhuān)題練習(xí)）文筆塔，又稱慈云塔，位于保山市隆陽(yáng)區(qū)太保山麓，古塔建設(shè)于唐代南詔時(shí)期．2007年4月在原址拆除重建后的文筆塔新塔與廣大市民見(jiàn)面．如圖，某同學(xué)在測(cè)量塔高AB時(shí)，選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C和D．測(cè)得∠BCD=α,∠BDC=β，在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A仰角為θ，已知sinα=45,?cos(1)求sin∠CBD(2)求塔高AB（結(jié)果保留整數(shù)）．【考點(diǎn)三：角度測(cè)量問(wèn)題】【知識(shí)點(diǎn)：角度測(cè)量問(wèn)題】[方法技巧]解決角度問(wèn)題的注意事項(xiàng)(1)測(cè)量角度時(shí)，首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義．(2)求角的大小時(shí)，先在三角形中求出其正弦或余弦值．(3)在解應(yīng)用題時(shí)，要根據(jù)題意正確畫(huà)出示意圖，通過(guò)這一步可將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題，解題中也要注意體會(huì)正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點(diǎn)．1．（2023春·安徽·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）一艘輪船航行到A處時(shí)看燈塔B在A的北偏東75°，距離126海里，燈塔C在A的北偏西30°，距離為123海里，該輪船由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時(shí)再看燈塔B在其南偏東60°方向，則2．（2023春·安徽銅陵·高一銅陵一中?？茧A段練習(xí)）如圖，為測(cè)塔高，在塔底所在的水平面內(nèi)取一點(diǎn)C，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫棣龋蒀向塔前進(jìn)30米后到點(diǎn)D，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?θ，再由D向塔前進(jìn)103米后到點(diǎn)E，測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?θ，則θ3．（2022秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）一艘客船在A處測(cè)得燈塔B在它的北偏東75°,在A處測(cè)得燈塔C在它的北偏西30°,距離為182nmile.客船由A處向正北航行126nmile到達(dá)D處,再看燈塔B在它的南偏東60°,則AB=______nmile;設(shè)燈塔C在D4．（2023春·陜西西安·高一?？茧A段練習(xí)）一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東70°的方向航行3?1nmile后到達(dá)海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東10°的方向航行2(1)求AC的長(zhǎng)；(2)如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C，應(yīng)沿什么方向航行多少n?mile？5．（2021春·廣東東莞·高一東莞高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12千米，漁船乙以10千米/時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時(shí)在C處追上.(1)請(qǐng)根據(jù)已知條件，在指定區(qū)域規(guī)范畫(huà)出示意圖（標(biāo)明點(diǎn)A、B、C）；(2)求漁船甲的航行速度和sinα6．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追起漁船乙，剛好用2小時(shí)追上，此時(shí)到達(dá)C處．(1)求漁船甲的速度；(2)求sinα(3)求角α．7．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，一輛汽車(chē)在水平的公路上向正西直線行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山項(xiàng)D（D在水平面上的射影為點(diǎn)C）在西偏北30°的方向上，仰角為30°，行駛1km后到達(dá)B處，測(cè)得山頂在西偏北45°的方向上．(1)求此山的高度（單位km，精確到0.01km）：(2)求汽車(chē)行駛過(guò)程中仰望山頂D的仰角θ的最大值（精確到1°）8．（2021秋·河南信陽(yáng)·高二?？茧A段練習(xí)）信陽(yáng)南灣湖以源遠(yuǎn)流長(zhǎng)的歷史遺產(chǎn)，濃郁豐厚的民俗風(fēng)情而著稱；以幽、樸、秀、奇的獨(dú)特風(fēng)格，山、水、林、島的完美和諧而聞名，是融自然景觀、人文景觀、森林生態(tài)環(huán)境、森林保健功能于一體，是河南省著名的省級(jí)風(fēng)景區(qū).如圖，為迎接第九屆開(kāi)漁節(jié)，某漁船在湖面上A處捕魚(yú)時(shí)，天氣預(yù)報(bào)幾小時(shí)后會(huì)有惡劣天氣，該漁船的東偏北θ方向上有一個(gè)小島C可躲避惡劣天氣，在小島C的正北方向有一航標(biāo)燈D距離小島25海里，漁船向小島行駛50海里后到達(dá)B處，測(cè)得∠DBC=45°，(1)求A處距離航標(biāo)燈D的距離AD；(2)求cosθ(3)為保護(hù)南灣湖水源自然環(huán)境，請(qǐng)寫(xiě)出兩條建議（言之有物即可）.【考點(diǎn)四：其他應(yīng)用問(wèn)題】【知識(shí)點(diǎn)：其他應(yīng)用問(wèn)題】1．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）據(jù)氣象部門(mén)報(bào)道某臺(tái)風(fēng)影響我國(guó)東南沿海一帶，測(cè)定臺(tái)風(fēng)中心位于某市南偏東60°，距離該市400千米的位置，臺(tái)風(fēng)中心以40千米/時(shí)的速度向正北方向移動(dòng)，距離臺(tái)風(fēng)中心350千米的范圍都會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，則該市從受到臺(tái)風(fēng)影響到影響結(jié)束，持續(xù)的時(shí)間為_(kāi)________小時(shí)．2．（2022秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱七十三中校考階段練習(xí)）如圖，某濕地為拓展旅游業(yè)務(wù)，現(xiàn)準(zhǔn)備在濕地內(nèi)建造一個(gè)觀景臺(tái)D，已知射線AB，AC為濕地兩邊夾角為π3的公路（長(zhǎng)度均超過(guò)4千米），在兩條公路AB，AC上分別設(shè)立游客接送點(diǎn)E，F(xiàn)，且AE=AF=3千米，若要求觀景臺(tái)D與兩接送點(diǎn)所成角∠EDF與∠BAC互補(bǔ)且觀景臺(tái)D在EF的右側(cè)，并在觀景臺(tái)D與接送點(diǎn)E，F(xiàn)之間建造兩條觀光線路DE與3．（2023·云南昆明·統(tǒng)考一模）“不以規(guī)矩，不能成方圓”，出自《孟子·離婁章句上》．“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長(zhǎng)短兩條直尺構(gòu)成的角尺，是用來(lái)測(cè)量、畫(huà)圓和方形圖案的工具。有一塊圓形木板，以“矩”量之，較長(zhǎng)邊為10cm，較短邊為5cm，如圖所示，將這塊圓形木板截出一塊三角形木塊，三角形頂點(diǎn)A,B,C都在圓周上，角A,B,C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足c=4(1)求sinC(2)若△ABC的面積為8cm2，且a>c，求4．（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）如圖，某廣場(chǎng)有一塊不規(guī)則的綠地，城建部門(mén)欲在該地上建造一個(gè)底座為三角形的環(huán)境標(biāo)志，小李、小王設(shè)計(jì)的底座形狀分別為△ABC、△ABD，經(jīng)測(cè)量AD=BD=7m，BC=5m，AC=8m(1)求AB的長(zhǎng)度；(2)若環(huán)境標(biāo)志的底座每平方米造價(jià)為5000元，不考慮其他因素，小李、小王誰(shuí)的設(shè)計(jì)使建造費(fèi)用較低（請(qǐng)說(shuō)明理由）？較低造價(jià)為多少？5．（2022秋·湖北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，經(jīng)過(guò)村莊A有兩條夾角為60°的公路AB,AC，根據(jù)規(guī)劃在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)M，N（異于村莊A），要求(1)當(dāng)∠AMN=30°時(shí)，求線段(2)問(wèn)如何設(shè)計(jì)，使得工廠產(chǎn)生的噪音對(duì)居民的影響最??？（即工廠與村莊的距離最遠(yuǎn)）6．（2023春·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）在某海濱城市O東偏南θcosθ=2(1)海濱城市O是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，說(shuō)明理由；(2)如果海濱城市O會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，持續(xù)時(shí)間有多長(zhǎng)．7．（2022秋·云南·高二云南省下關(guān)第一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，為方便市民游覽市民中心附近的“網(wǎng)紅橋”，現(xiàn)準(zhǔn)備在河岸一側(cè)建造一個(gè)觀景臺(tái)P，已知射線AB，AC為兩邊夾角為120°的公路（長(zhǎng)度均超過(guò)3千米），在兩條公路AB，AC上分別設(shè)立游客上下點(diǎn)M，N，從觀景臺(tái)P到M，N建造兩條觀光線路PM，PN，測(cè)得AM=3千米，AN=(1)求線段MN的長(zhǎng)度；(2)若∠MPN=60°，求兩條觀光線路PM與PN所圍成△PMN的面積的最大值.8．（2023春·上海金山·高一華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）為打贏打好脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，某村加大旅游業(yè)投入，準(zhǔn)備將如圖扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉觀賞區(qū)，分別種植玫瑰花、郁金香和菊花，已知扇形的半徑為100米，圓心角為23π，點(diǎn)P在扇形的弧上，點(diǎn)Q在OB上，且(1)當(dāng)Q是OB的中點(diǎn)時(shí)，求PQ的長(zhǎng)；(2)已知種植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分別為30元/平方米、50元/平方米、20元/平方米，要使郁金香種植區(qū)△OPQ的面積盡可能的大，求△OPQ面積的最大值，并求此時(shí)扇形區(qū)域AOB種植花卉的總成本．9．（2022春·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）四月的某一天，N