13集合的基本運(yùn)算（原卷版）

1.3集合的基本運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：集合的運(yùn)算1.并集一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：A∪B讀作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}Venn圖表示：知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）“xA，或xB”包含三種情況：“”；“”；“”．（2）兩個(gè)集合求并集，結(jié)果還是一個(gè)集合，是由集合A與B的所有元素組成的集合(重復(fù)元素只出現(xiàn)一次).2.交集一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集；記作：A∩B，讀作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；交集的Venn圖表示：知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）并不是任何兩個(gè)集合都有公共元素，當(dāng)集合A與B沒有公共元素時(shí)，不能說A與B沒有交集，而是．（2）概念中的“所有”兩字的含義是，不僅“A∩B中的任意元素都是A與B的公共元素”，同時(shí)“A與B的公共元素都屬于A∩B”．（3）兩個(gè)集合求交集，結(jié)果還是一個(gè)集合，是由集合A與B的所有公共元素組成的集合.3.補(bǔ)集全集：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，通常記作U.補(bǔ)集：對(duì)于全集U的一個(gè)子集A，由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集(plementaryset)，簡(jiǎn)稱為集合A的補(bǔ)集，記作：，即補(bǔ)集的Venn圖表示：知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）理解補(bǔ)集概念時(shí)，應(yīng)注意補(bǔ)集是對(duì)給定的集合和相對(duì)而言的一個(gè)概念，一個(gè)確定的集合，對(duì)于不同的集合U，補(bǔ)集不同．（2）全集是相對(duì)于研究的問題而言的，如我們只在整數(shù)范圍內(nèi)研究問題，則為全集；而當(dāng)問題擴(kuò)展到實(shí)數(shù)集時(shí)，則為全集，這時(shí)就不是全集．（3）表示U為全集時(shí)的補(bǔ)集，如果全集換成其他集合（如）時(shí)，則記號(hào)中“U”也必須換成相應(yīng)的集合（即）．4.集合基本運(yùn)算的一些結(jié)論，若A∩B=A，則，反之也成立若A∪B=B，則，反之也成立若x(A∩B)，則xA且xB若x(A∪B)，則xA，或xB求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問題時(shí)，常常從這兩個(gè)字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法.【題型歸納目錄】題型一：集合的交集運(yùn)算題型二：并集運(yùn)算題型三：補(bǔ)集運(yùn)算題型四：集合的交集、并集與補(bǔ)集的混合運(yùn)算題型五：已知集合的交集、并集求參數(shù)題型六：韋恩圖在集合運(yùn)算中的應(yīng)用【典型例題】題型一：集合的交集運(yùn)算例1.（2022·云南·高二期末（文））已知集合，，則（

）A． B． C． D．例2．（2022·青海玉樹·高三階段練習(xí)（理））設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．例3．（2022·浙江·杭州市余杭高級(jí)中學(xué)高二學(xué)業(yè)考試）已知集合，則（

）A． B． C． D．例4．（2022·福建·廈門一中模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，，，則的元素個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5例5．（2022·北京·東北師范大學(xué)附屬中學(xué)朝陽學(xué)校高一階段練習(xí)）若集合，，則（

）A． B．C． D．【技巧總結(jié)】求集合A∩B的步驟與注意點(diǎn)(1)步驟：①弄清兩個(gè)集合的屬性及代表元素;②把所求交集的集合用集合符號(hào)表示出來，寫成“A∩B”的形式;③把化簡(jiǎn)后的集合A，B的所有公共元素都寫出來即可(相同元素只寫一個(gè)).(2)注意:若A，B是無限連續(xù)的數(shù)集，可以利用數(shù)軸來求解.但要注意，利用數(shù)軸表示不等式時(shí)，含有端點(diǎn)的值用實(shí)點(diǎn)表示，不含有端點(diǎn)的值用空心點(diǎn)表示.題型二：并集運(yùn)算例6.（2022·云南德宏·高一期末）已知集合，則（

）A． B． C． D．例7．（2022·青?！ずＤ喜刈遄灾沃莞呒?jí)中學(xué)高一期末）已知集合，，則（

）A． B． C． D．例8．（2022·安徽省六安中學(xué)高一期中）對(duì)于非空集合P，Q，定義集合間的一種運(yùn)算“★”：且．如果，則（

）A． B．或C．或 D．或例9．（2018·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）當(dāng)時(shí)，若，且，則稱為的一個(gè)“孤立元素”，由的所有孤立元素組成的集合稱為的“孤星集”，若集合的孤星集為，集合的孤星集為，則()A． B．C． D．【技巧總結(jié)】求集合并集的兩個(gè)方法(1)若集合元素個(gè)數(shù)有限，可根據(jù)定義直接寫出并集.(2)若集合元素個(gè)數(shù)無限，可借助于數(shù)軸分析，求出并集，但應(yīng)注意端點(diǎn)是否能取得.題型三：補(bǔ)集運(yùn)算例10．（2022·四川·寧南中學(xué)高一階段練習(xí)（理））已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．例11．（2022·陜西·武功縣普集高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．例12．（2022·四川甘孜·高一期末）已知集合，，，則（

）A．{6，8} B．{2，3，6，8} C．{2} D．{2，6，8}例13．（2022·河北·石家莊市藁城區(qū)第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知全集，集合，，則（

）A．{1，2，3，4} B．{1，2，4，5} C．{1，4} D．{2}【技巧總結(jié)】補(bǔ)集的求解步驟及方法(1)步驟:①確定全集:在進(jìn)行補(bǔ)集的簡(jiǎn)單運(yùn)算時(shí)，應(yīng)首先明確全集;②緊扣定義求解補(bǔ)集.(2)方法:①借助Venn圖或數(shù)軸求解;②借助補(bǔ)集性質(zhì)求解.題型四：集合的交集、并集與補(bǔ)集的混合運(yùn)算例14.（多選題）（2022·湖南·永州市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）圖中的陰影表示的集合是（

）A． B．C． D．例15．（2022·天津·油田三中高一階段練習(xí)）已知全集，，，則______．例16．（2022·陜西·西安高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）若{|是小于9的正整數(shù)}，{|是奇數(shù)}，{|是3的倍數(shù)}，則______例17．（2022·北京市十一學(xué)校高一期中）設(shè)集合，則________.例18．（2020·內(nèi)蒙古·包頭市第四中學(xué)高一期中）已知全集U=R，，，P={x|x≤0或}，求(1)(2)【技巧總結(jié)】求解與不等式有關(guān)的集合問題的方法解決與不等式有關(guān)的集合問題時(shí)，畫數(shù)軸(這也是集合的圖形語言的常用表示方式)可以使問題變得形象直觀，要注意求解時(shí)端點(diǎn)的值是否能取到.題型五：已知集合的交集、并集求參數(shù)例19．（2022·廣東·梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高一階段練習(xí)）已知集合A＝{x|2≤x≤8}，B＝{x|1<x<6}，C＝{x|x>a}，U＝R.(1)求A∪B，；(2)若A∩C≠?，求a的取值范圍.例20．（2022·湖北·車城高中高一階段練習(xí)）已知集合，.(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例21．（2022·福建省德化第一中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)全集，集合(1)求；(2)若集合，且，求a的取值范圍．例22．（2022·江蘇省江陰市第一中學(xué)高一期中）已知集合，，且.(1)求集合的所有非空子集；(2)求實(shí)數(shù)的值組成的集合.例23．（2022·遼寧·大連市第十五中學(xué)高一階段練習(xí)）已知集合，，若，求實(shí)數(shù)的取值集合.例24．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)R為全集，，，且，求的取值范圍．例25．（2022·浙江湖州·高一期末）已知集合，．(1)當(dāng)時(shí)，求；(2)若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．例26．（2022·廣西·高一階段練習(xí)）設(shè)全集，，且，求實(shí)數(shù)p的值．【技巧總結(jié)】利用集合交集、并集的性質(zhì)解題的方法及關(guān)注點(diǎn)(1)方法:利用集合的交集、并集性質(zhì)解題時(shí)，常常遇到A∪B=B，A∩B=A等這類問題，解答時(shí)常借助交集、并集的定義及已知集合間的關(guān)系去轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系求解，如A∩B=A?A?B，A∪B=B?A?B.(2)關(guān)注點(diǎn):當(dāng)集合A?B時(shí)，若集合A不確定，運(yùn)算時(shí)要考慮A=?的情況，否則易漏解.題型六：韋恩圖在集合運(yùn)算中的應(yīng)用例27．（2022·江蘇·徐州市第七中學(xué)高一期中）學(xué)校舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì)時(shí)，高一（1）班共有28名同學(xué)參加比賽，有15人參加游泳比賽，有8人參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時(shí)參加游泳比賽和田徑比賽的有3人，同時(shí)參加游泳比賽和球類比賽的有3人，沒有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽，同時(shí)參加由徑和球類比賽的有___________人?只參加游泳一項(xiàng)比賽的有___________人?例28．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）市場(chǎng)調(diào)查公司為了解某市市民在閱讀報(bào)紙（日?qǐng)?bào)和晚報(bào)）方面的取向，抽樣調(diào)查了500個(gè)市民，調(diào)查結(jié)果顯示：訂閱日?qǐng)?bào)的有334人，訂閱晚報(bào)的有297人，其中兩種都訂的有150人．試問：(1)只訂日?qǐng)?bào)不訂晚報(bào)的有多少人？(2)只訂晚報(bào)不訂日?qǐng)?bào)的有多少人？(3)至少訂一種報(bào)紙的有多少人？(4)有多少人不訂報(bào)紙？例29．（2020·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)全集，若，，，則__________．【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·青海玉樹·高三階段練習(xí)（文））已知集合，則（

）A． B． C． D．2．（2022·貴州·凱里一中高一期中）已知且，若集合，，則（

）A． B． C． D．3．（2022·湖北·模擬預(yù)測(cè)）非空集合A、B滿足，，，則（

）A． B．R C．A D．B4．（2022·江蘇省天一中學(xué)高二期中）已知集合，則（

）A． B． C． D．5．（2022·陜西·西安中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，全集，集合，集合，則陰影部分表示集合（

）A． B．C． D．6．（2022·浙江·杭師大附中模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則（

）A． B．C．或 D．7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））已知集合，滿足，，全集，則下列說法中不可能正確的有（

）A．沒有最大元素，有一個(gè)最小元素 B．有一個(gè)最大元素，沒有最小元素C．有一個(gè)最大元素，有一個(gè)最小元素 D．沒有最大元素，也沒有最小元素8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)的值不可以是（）A．0 B． C． D．2二、多選題9．（2022·遼寧·遼師大附中高二階段練習(xí)）集合，且，實(shí)數(shù)a的值為（

）A．0 B．1 C． D．210．（2022·浙江·杭州市富陽區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知集合，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．11．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）(多選)已知集合，．若，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A．0 B．1C．3 D．312．（2022·全國(guó)·高一期末）在整數(shù)集中被除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為，即，????.則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．“整數(shù)?屬于同一類”的充要條件是“”三、填空題13．（2022·山西運(yùn)城·高二階段練習(xí)）設(shè)集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為____．14．（2022·上海市復(fù)興高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）若全集，集合，，則___________.15．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）某校有17名學(xué)生，每人至少參加全國(guó)數(shù)學(xué)?物理?化學(xué)三科競(jìng)賽中的一科，已知其中參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有11人，參加物理競(jìng)賽的有7人，參加化學(xué)競(jìng)賽的有9人，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和物理競(jìng)賽的有4人，同時(shí)參加數(shù)學(xué)和化學(xué)競(jìng)賽的有5人，同時(shí)參加物理和化學(xué)競(jìng)賽的有3人，則三科競(jìng)賽都參加的有___________人.16．（2022·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末）設(shè)集合，對(duì)其子集引進(jìn)“勢(shì)”的概念；①空集的“勢(shì)”最??；②非空子集的元素越多，其“勢(shì)”越大；③若兩個(gè)子集的元素個(gè)數(shù)相同，則子集中最大的元素越大，子集的“勢(shì)”就越大.最大的元素相同，則第二大的元素越大，子集的“勢(shì)”就越大，以此類推.若將全部的子集按“勢(shì)”從小到大順序排列，則排在第位的子集是_________.四、解答題17．（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，，，求：(1)，，；(2)，，．18．（2022·廣西欽州·高一期末）已知全集，，集合．(1)求；(2)求．19．（