2024年高考數(shù)學高分秘籍平面解析幾何含解析

PAGE平面解析幾何已知直線l1:ax+2y-1=0,直線l2:8x+ay+2-a=0,若l1∥l2,則實數(shù)a的值為() A. B.-4 C.4 D.【答案】B解析:由-2×8=0,得a=±4.當a=4時,l1:4x+2y-1=0,l2:8x+4y-2=0,l1與l2重合.當a=-4時,l1:-4x+2y-1=0,l2:8x-4y+6=0,l1∥l2.綜上所述,a=-4.故選:B由兩直線平行或垂直求參數(shù)的值：在解這類問題時，肯定要“前思后想”.“前思”就是在解題前考慮斜率不存在的可能性，是否須要分狀況探討；“后想”就是在解題后，檢驗答案的正確性，看是否出現(xiàn)增解或漏解.2.過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2+y2﹣4y=0所截得的弦長為（） A．23 B．2 C．6 D．3【答案】A【解析】：依據(jù)題意：直線方程為：y=3x，∵圓x2+y2﹣4y=0，∴圓心為：（0，2），半徑為：2，圓心到直線的距離為：d=1，∴弦長為24-1=2故選：A．3．直線l過點（﹣4，0）且與圓（x+1）2+（y﹣2）2=25交于A、B兩點，假如|AB|=8，那么直線l的方程為（） A．5x+12y+20=0 B．5x﹣12y+20=0或x+4=0 C．5x﹣12y+20=0 D．5x+12y+20=0或x+4=0【答案】D解析：當切線的斜率不存在時，直線l的方程為x+4=0，經(jīng)檢驗，此直線和圓相切，滿意條件．當切線的斜率存在時，設直線l的方程為y﹣0=k（x+4），即kx﹣y+4k=0，則圓心（﹣1，2）到直線l的距離為d=|-k-2+4k|k2+1=|3k得|3k-2|k2+1即5x+12y+20=0．故選：D．1．涉及直線被圓截得的弦長問題，一般有兩種求解方法：一是利用半徑長r、弦心距d、弦長l的一半構成直角三角形，結合勾股定理求解；二是若斜率為k的直線l與圓C交于兩點，則.2．求兩圓公共弦長一般有兩種方法：一是聯(lián)立兩圓的方程求出交點坐標，再利用兩點間的距離公式求解；二是求出兩圓公共弦所在直線的方程，轉化為直線被圓截得的弦長問題.4．己知橢圓的右焦點為，過點作圓的切線，若兩條切線相互垂直，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【答案】D解析：如圖，由題意可得，，則，即，則，，即．故選：D．5．設橢圓的焦點為，，是橢圓上一點，且，若△的外接圓和內切圓的半徑分別為，，當時，橢圓的離心率為A． B． C． D．【答案】B【解析】：橢圓的焦點為，，，依據(jù)正弦定理可得，，．設，，則，由余弦定理得，，，，又，，即，故，解得：或（舍．故選：B．橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質，求橢圓的離心率（或離心率的取值范圍）有兩種方法：（1）求出a,c，代入公式.（2）只須要依據(jù)一個條件得到關于的齊次式，結合轉化為a,c的齊次式，然后等式（不6．已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．2【答案】A【解析】：雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則，所以該條漸近線方程為；所以，解得；所以，所以雙曲線的離心率為．故選：A．7．雙曲線的左右焦點分別為，，以為圓心，為半徑的圓與的公共點為，若△是直角三角形，則的離心率為A． B． C． D．【答案】C【解析】：由題意知，若△是直角三角形，則，且，又由雙曲線的定義，可得，可得，即，由，解得，故選：C．求雙曲線的離心率一般有兩種方法（1）由條件找尋滿意的等式或不等式，一般利用雙曲線中的關系將雙曲線的離心率公式變形，即，留意區(qū)分雙曲線中的關系與橢圓中的關系，在橢圓中，而在雙曲線中.（2）依據(jù)條件列含的齊次方程，利用雙曲線的離心率公式轉化為含或的方程，求解可得，留意依據(jù)雙曲線離心率的范圍對解進行取舍.8．如圖，拋物線的頂點在坐標原點，焦點為F，過拋物線上一點A（3，y）作準線l作垂線，垂直為B，若△ABF為等邊三角形，則拋物線的標準方程是（）A．y2=12x B．y2＝x C．y2＝2x D．y2＝【答案】D【解析】：設直線l交x軸于點C∵AB⊥l，l⊥x軸，∴AB∥x軸，可得∠BFC＝∠ABF＝60°，Rt△BCF中，|CF|＝|BF|cos60°＝p，解得|BF|＝2p，由AB⊥y軸，可得3+p2=∴p＝2，∴拋物線的標準方程是y2＝4x．故選：D．9．已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，點P(a,（1）求拋物線C的方程；（2）過焦點F，且斜率為1的直線l與拋物線C交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線l'交拋物線C于M，N兩點，求四邊形AMBN的面積【解析】（1）將P(a,4)代入拋物線的方程y2=2因為PF=5，所以8p+解得p=2或p當p=2時，P(4,4)當p=8時，P(1,4)，所以拋物線C的方程為y2（2）因為l的方程為x=y+1，代入C：y設A(x1則y1+y故AB的中點為D(3AB=又因為l'的斜率為-1，所以l'的方程為y-2=-(x將上式代入C：y2=4x設M(x3,y3)故MN=所以四邊形AMBN的面積S=用待定系數(shù)法求拋物線標準方程的步驟：若無法確定拋物線的位置，則需分類探討.特殊地，已知拋物線上一點的坐標，一般有兩種標準方程.1．已知直線l1：x?sinα+y﹣1=0，直線l2：x﹣3y?cosα+1=0，若l1⊥l2，則sin2α=（） A．23 B． C．﹣35 D．【答案】D【解析】：因為l1⊥l2，所以sinα﹣3cosα=0，所以tanα=3，所以sin2α=2sinαcosα=2sinαcosαsin2α+cos故選：D．兩條直線的位置關系斜截式一般式與相交與垂直與平行且或與重合且2．圓x2+y2-4x=0在點P(1,3)處的切線方程為()A.x+3y-2=0 B.x+3y-4=0C.x-3y+4=0 D.x-3y+2=0【答案】D【解析】:∵點P(1,3)在圓x2+y2-4x=0上,∴點P為切點.從而圓心與點P的連線應與切線垂直.又∵圓心為(2,0),設切線斜率為k,∴0-32-1·∴切線方程為x-3y+2=0.故選:D3.若直線與圓相切，則等于A．1或 B．或 C．1或3 D．或3【答案】A【解析】：依據(jù)題意，圓的圓心為，半徑，若直線與圓相切，則圓心到直線的距離，即，解可得：或，故選：A．1．求過圓上的一點的切線方程：先求切點與圓心連線的斜率k，若k不存在，則由圖形可寫出切線方程為;若,則由圖形可寫出切線方程為;若k存在且k≠0，則由垂直關系知切線的斜率為，由點斜式方程可求切線方程.2．求過圓外一點的圓的切線方程：（1）幾何方法當斜率存在時，設為k，則切線方程為，即.由圓心到直線的距離等于半徑長，即可得出切線方程.（2）代數(shù)方法當斜率存在時，設為k，則切線方程為，即,代入圓的方程，得到一個關于x的一元二次方程，由,求得k,切線方程即可求出.3．在求過肯定點的圓的切線方程時，應首先推斷定點與圓的位置關系，若點在圓上，則該點為切點，切線只有一條；若點在圓外，切線有兩條；若點在圓內，則切線不存在．4．已知雙曲線的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線與雙曲線C的右支相交于P，若，則雙曲線C的漸近線方程為A． B．C． D．【答案】C【解析】由，解得P2a,依據(jù)雙曲線的定義有PF1-故PF2=即4e2-4故ba所以ba即雙曲線的漸近線方程為y=±故選C．對于雙曲線的漸近線，有下面兩種考查方式：（1）已知雙曲線的方程求其漸近線方程;（2）給出雙曲線的漸近線方程求雙曲線方程，由漸近線方程可確定a,b的關系，結合已知條件可解.4．已知橢圓E:與y軸的正半軸相交于點M,點F1,F2為橢圓的焦點,且是邊長為2的等邊三角形,若直線l:y=kx+23與橢圓E交于不同的兩點A,B.(1)直線MA,MB的斜率之積是否為定值?若是,懇求出該定值,若不是,請說明理由;(2)求的面積的最大值.【解析】(1)因為是邊長為2的等邊三角形,所以2c=2,b=3c,a=2,所以a=2,b=3,所以橢圓E:x24+y23=1,點將直線l:y=kx+23代入橢圓E的方程,整理得(3+4k2)x2+163kx+36=0.(*)設A(x1,y1),B(x2,y2),則由(*)式可得Δ=(163k)2-4(3+4k2)×36=48(4k2-9)>0,所以k∈(-∞,-32)∪(32,+∞),x1+x2=,x1x2=.則直線MA,MB的斜率之積為kMA·kMB==k2+9-36k236=所以直線MA,MB的斜率之積是定值.(2)記直線l:y=kx+23與y軸的交點為N(0,23)，則S△ABM=|S△ANM-S△BNM|=12|MN|·|x2-x1|當且僅當4k2-9=12,即k=±∈(-∞,-32)∪(32,+∞)時等號成立所以的面積的最大值為.5．已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，直線y=4與y軸的交點為（1）求p的值；（2）已知點T(t,-2)為C上一點，M,N是C上異于點T的兩點，且滿意直線TM和直線TN的斜率之和為-8【解析】（1）設，由拋物線的定義，得，又，即，解得，將點代入拋物線方程，解得.（2）由（1）知的方程為，所以點的坐標為，設直線的方程為，點，由得，所以，所以，解得，所以直線MN的方程為x+1=m(定點、定值問題多以直線與圓錐曲線為背景，常與函數(shù)與方程、向量等學問交匯，形成了過定點、定值等問題的證明.解決此類問題的關鍵是引進參變量表示所求問題，依據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等找尋不受參數(shù)影響的量.可以先探討一下特殊狀況，找出定點或定值，再視詳細狀況進行探討.同時，也要駕馭奇妙利用特殊值解決相關的定點、定值問題，如將過焦點的弦特殊化，變成垂直于對稱軸的弦來探討等.1．與直線3x-2y=0平行，且過點-4,3的直線方程為?? A.y-3=-32 C.y-3=322．已知直線l：y=x+b與曲線C：y=3-4x-x2有公共點，則 A.-3,3 B.3,1+2 C.1-22,33．圓C:x-12+y2=25 A.103 B.921 C.104．若當方程x2+y2 A.3π4 B.π4 C.5．已知A（3，﹣1），B（5，﹣2），點P在直線x+y=0上，若使|PA|+|PB|取最小值，則點P的坐標是（） A．（1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（135，﹣135） D．（﹣2，6．已知過點M（﹣3，﹣3）的直線l被圓x2+y2+12x+4y+15=0截得的弦長為8，則直線l的方程為（） A．y=﹣3或4x﹣3y+3=0 B．y=﹣3或4x+3y+21=0 C．x=﹣3或4x﹣3y+3=0 D．x=﹣3或4x+3y+21=07．已知⊙C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣3=0，點M（﹣2，0）是⊙C外一點，則過點M的圓的切線的方程是（） A．x+2=0，7x﹣24y+14=0 B．y+2=0，7x+24y+14=0 C．x+2=0，7x+24y+14=0 D．y+2=0，7x﹣24y+14=08．平面內，已知點A為定圓O外的一個定點，點B為圓O上的一個動點，點A關于點B的對稱點為點C，若BD⊥AC且CD∥OB，則點D的軌跡是（） A．拋物線 B．雙曲線 C．橢圓 D．圓9．若直線l:ax-by=2(a>0,b>0)平分圓x2+yA．22 B．C．12(3+22)10．圓x2+(y+1)2=3繞直線kx-y-1=0旋轉一周所得的幾何體的表面積為()A.36π B.12π C.43π D.4π11．己知橢圓的右焦點為，過點作圓的切線，若兩條切線相互垂直，則橢圓的離心率為A． B． C． D．12．橢圓的左右焦點分別為，，為橢圓上一動點（異于左右頂點），若△的周長為6且面積的最大值為，則橢圓的標準方程為A． B． C． D．13．已知橢圓的左、右頂點分別為、，點為橢圓上不同于、兩點的動點，若直線斜率的取值范圍是，，則直線斜率的取值范圍是A．， B．， C．， D．，14．已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離為A． B． C．3 D．515．已知雙曲線和橢圓有相同的焦點，則的最小值為A．2 B．4 C．6 D．916．已知雙曲線，點，點M是曲線上的一個動點，點滿意，則點到原點的最短距離為A．2 B． C． D．117．雙曲線的左右焦點分別為，，以為圓心，為半徑的圓與的公共點為，若△是直角三角形，則的離心率為A． B． C． D．18．設雙曲線，命題：雙曲線離心率，命題：雙曲線的漸近線相互垂直，則是的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件19．已知點是拋物線的焦點，點為拋物線上的隨意一點，為平面上點，則的最小值為A．3 B．2 C．4 D．20.若直線l過拋物線y2=4x的焦點，與拋物線交于A，B兩點，且線段AB中點的橫坐標為2，則弦AB A.2 B.4 C.6 D.821.已知A，B為拋物線C：y2＝4x上的不同兩點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，若AB→=5FBA．252 B．10 C．254 D22.已知橢圓x2+2y2=4，則以（1，1）為中點的弦的長度是（） A．32 B．23 C．30323．已知圓C1:x2+y2-6x-7=0與圓C2:x2+y2-6y-27=0相交于A,B兩點,則直線AB的方程是.

24．已知動圓與圓及圓都內切，則動圓圓心的軌跡方程為．25．與曲線共焦點，而與曲線共漸近線的雙曲線方程為在橢圓x216+y24=1內以點P（﹣27．過橢圓C：x225+y29=1右焦點F的直線l交C于兩點A（x1，y1），B（x（Ⅰ）求|y1y2|的最大值；（Ⅱ）若|AF||FB|=128．已知雙曲線的中心在原點，對稱軸為坐標軸，一條漸近線為y=3x，右焦點F4,0，左右頂點分別為A1，A2，P為雙曲線上一點（不同于A1，A2），直線A1P（1）求雙曲線的方程；（2）求證：FM?29．已知雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0的離心率e=23（1）求雙曲線的方程；（2）過點B作直線m交雙曲線于M、N兩點，若OM?ON=-2330．已知橢圓E的方程是x24+y23=1，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，在橢圓E上有一動點A，過A，F(xiàn)1作一個平行四邊形，使頂點 （1）推斷四邊形ABCD能否為菱形，并說明理由．（2）當四邊形ABCD的面積取到最大值時，推斷四邊形ABCD的形態(tài)，并求出其最大值．【答案】C 【解析】因為所求直線與直線3x-2y=0的斜率相等，即為k=32，直線經(jīng)過點-4,3，所以2.【答案】C 3.【答案】C 【解析】提示：最長弦為過點P的直徑，最短弦經(jīng)過點P且與CP垂直.4.【答案】A 【解析】方程x2+y2+kx+2y+k2=0表示的圓的半徑r=4-3k25.【答案】C【解析】：如下圖所示：點A（3，﹣1），關于直線l：x+y=0的對稱點為C（1，﹣3）點，由BC的方程為：x-14=y+31，即x﹣可得直線BC與直線l的交點坐標為：（135，﹣13即P點坐標為：（135，﹣135）時，|PA|+|PB故選：C．6.【答案】C【解析】：圓x2+y2+12x+4y+15=0的圓心C（﹣6，﹣2），半徑r=5，若過點M（﹣3，﹣3）的直線l被圓x2+y2+12x+4y+15=0截得的弦長為8，則圓心C到直線l的距離d=3，由直線l過點M（﹣3，﹣3），當直線斜率不存在時，直線l的方程為x=﹣3滿意要求；當直線斜率存在時，設直線l的方程為y+3=k（x+3），即kx﹣y+3k﹣3=0，則|-6k+2+3k-3|k2+1=3，解得：故直線l的方程為43x﹣y+1=0，即4x﹣3y+故選：C．7.【答案】C【解析】：⊙C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣3=0，即（x﹣2）2+（y﹣3）2=16，故圓心是（2，3），半徑是4，點M（﹣2，0）是⊙C外一點，明顯x+2=0是過點M的圓的一條切線，設另一條切線和圓相切于P（a，b），則MP的斜率是ba+2直線直線MP的方程是：bx﹣（a+2）y+2b=0，故&3解得：&a=-故切線方程是7x+24y+14=0，故選：C．8.【答案】B【解析】：如圖：延長DC，交直線OA與A′，因為點A關于點B的對稱點為點C，若BD⊥AC且CD∥OB，所以OB∥CA′，BC=12CD=DA，所以DA′﹣DA=CA′=2OB定值．2OB＜AA′，所求的D軌跡是雙曲線．故選：B．9．【答案】C【解析】將x2+y因為直線l:ax-by=2平分圓x2所以a+2b=2，又a>0,b>0，則1a當且僅當2ba=ab故選C．【名師點睛】本題考查直線和圓的位置關系、基本不等式等學問，意在考查學生的邏輯思維實力和基本運算實力．10.【答案】B【解析】由題意,圓心為(0,-1).又直線kx-y-1=0恒過點(0,-1),所以旋轉一周所得的幾何體為球,球心即為圓心,球的半徑即是圓的半徑,所以S=4π(3)2=12π.故選：B．11.【答案】D【解答】：如圖，由題意可得，，則，即，則，，即．故選：D．12.【答案】A【解答】：由橢圓的定義可得，所以①，當在上（或下）頂點時，△的面積取得最大值，即最大值為②，由①②及聯(lián)立求得，，，可得橢圓方程為，故選：A．13.【答案】D【解答】：設橢圓的左右頂點分別為，，，為橢圓上不同于，的隨意一點，則，，，由在橢圓上，得，則．由橢圓，得，，，，．故選：D．14.【答案】B【解析】：拋物線的焦點坐標為，依題意，，．雙曲線的方程為：，其漸近線方程為：，雙曲線的一個焦點到其漸近線的距離等于．故選：B．15.【答案】D【解析】：橢圓是焦點在軸上的橢圓，且．雙曲線和橢圓有相同的焦點，，．當且僅當，即，時取等號．的最小值為9．故選：D．16.【答案】B【解析】：由，得點的軌跡是以為直徑的圓，設，為的中點，，則點到原點的最短距離為，故選：B．17.【答案】C【解析】：由題意知，若△是直角三角形，則，且，又由雙曲線的定義，可得，可得，即，由，解得，故選：C．18.【答案】C【解析】：雙曲線的漸近線方程為，離心率為，由，可得，即有，可得，即有漸近線方程為，可得兩漸近線垂直；若兩漸近線垂直，可得，可得，即有是的充要條件，故選：C．19.【答案】A【解析】：拋物線標準方程，，焦點，準線方程為．設到準線的距離為，（即垂直于準線，為垂足），則，（當且僅當、、共線時取等號），故選：A．20.【答案】C 【解析】因為拋物線為y2=4x，所以設A，B兩點橫坐標分別為x1，x因為線段AB中點的橫坐標為2，則x1+x故∣AB∣=x故選：C21.【答案】C【解析】：設A（x1，y1），B（x2，y2），則|AB|＝（x2﹣x1，y2﹣y1），又F（1，0），∴FB→=(x2-1，y2)，∴x2﹣x1＝5x2∴x1=5-4x2y∴|AB|=x故選：C．22.【答案】C【解析】：設弦的兩端的端點為（a，b）和（2﹣a，2﹣b）列方程組&解得a=1+63，b=1﹣66或a=1﹣63兩端點的坐標為（1﹣63，1+66）和（1+63，1弦長為[(1-63故選：C．23.【答案】:3x-3y-10=0解析:兩圓的方程相減得-6x+6y+20=0,即3x-3y-10=0.24.【答案】.【解析】：設圓的圓心，半徑；圓的圓心，半徑．設動圓的圓心，半徑．動圓與圓及圓都內切，，．，因此動點的軌跡是橢圓，設其標準方程為：．則，，解得，，．因此動圓圓心的軌跡方程是．故答案為：．25.【答案】【解析】：由題意得，曲線是焦點在軸上的橢圓，且，所以雙曲線焦點的坐標是、、，因為雙曲線與曲線共漸近線，所以設雙曲線