2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3.1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系學(xué)案含解析北師大版必修4

PAGE1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系考綱定位重難突破1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanα.2.會(huì)利用這兩個(gè)公式求三角函數(shù)式的值，化簡(jiǎn)三角函數(shù)式或證明三角恒等式.重點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系．難點(diǎn)：利用基本關(guān)系式化簡(jiǎn)，求值，證明.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第57頁(yè)[自主梳理]同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式[雙基自測(cè)]1．下列各項(xiàng)中可能成立的一項(xiàng)是()A．sinα＝eq\f(1,2)且cosα＝eq\f(1,2)B．sinα＝0且cosα＝－1C．tanα＝1且cosα＝－1D．α在其次象限時(shí)，tanα＝－eq\f(sinα,cosα)答案：B2．已知cosα＝eq\f(4,5)，且α是第四象限角，則sinα等于()A.eq\f(4,3) B.eq\f(3,5)C．－eq\f(4,5) D．－eq\f(3,5)解析：∵cosα＝eq\f(4,5)，且α為第四象限角，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\r(1－\f(4,5)2)＝－eq\f(3,5).答案：D3．已知sinx＝eq\f(m－3,m＋5)，cosx＝eq\f(4－2m,m＋5)，且x∈(eq\f(3π,2)，2π)，則m＝________.解析：由sin2x＋cos2x＝1，得(eq\f(m－3,m＋5))2＋(eq\f(4－2m,m＋5))2＝1，解得m＝0或8.因?yàn)閤∈(eq\f(3π,2)，2π)，所以sinx＜0，cosx＞0，當(dāng)m＝0時(shí)，sinx＝－eq\f(3,5)，cosx＝eq\f(4,5)，符合題意；當(dāng)m＝8時(shí)，sinx＝eq\f(5,13)，cosx＝－eq\f(12,13)，不符合題意．所以m＝0.答案：0授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第57頁(yè)探究一利用同角三角函數(shù)關(guān)系求值[典例1](1)若sinα＝－eq\f(4,5)，且α是第三象限角，求cosα，tanα的值；(2)已知tanα＝2，求eq\f(2sinα－2cosα,4sinα－9cosα)的值．[解析](1)∵sinα＝－eq\f(4,5)，α是第三象限角，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\r(1－－\f(4,5)2)＝－eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(4,5)×(－eq\f(5,3))＝eq\f(4,3).(2)解法一∵tanα＝2，∴eq\f(2sinα－2cosα,4sinα－9cosα)＝eq\f(2tanα－2,4tanα－9)＝eq\f(2×2－2,4×2－9)＝－2.解法二∵tanα＝2，∴sinα＝2cosα.∴eq\f(2sinα－2cosα,4sinα－9cosα)＝eq\f(4cosα－2cosα,8cosα－9cosα)＝－2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系最基本的應(yīng)用是“知一求二”，要留意這個(gè)角所在的象限，由此來(lái)確定所求是一解還是兩解，同時(shí)應(yīng)體會(huì)方程思想的運(yùn)用．1．在△ABC中，tanA＝eq\f(\r(2),3)，求sinA和cosA的值．解析：由tanA＝eq\f(\r(2),3)＝eq\f(sinA,cosA)得sinA＝eq\f(\r(2),3)cosA，①又sin2A＋cos2A＝1.②由①②得cos2A＝eq\f(9,11).又∵A∈(0，π)且tanA＝eq\f(\r(2),3)＞0.∴A為銳角．∴cosA＝eq\f(3\r(11),11)代入①得sinA＝eq\f(\r(22),11).探究二三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)[典例2]化簡(jiǎn)tanαeq\r(\f(1,sin2α)－1)，其中α是其次象限角．[解析]因?yàn)棣潦瞧浯蜗笙藿?，所以sinα＞0，cosα＜0.故tanαeq\r(\f(1,sin2α)－1)＝tanαeq\r(\f(1－sin2α,sin2α))＝tanαeq\r(\f(cos2α,sin2α))＝eq\f(sinα,cosα)·|eq\f(cosα,sinα)|＝eq\f(sinα,cosα)·eq\f(－cosα,sinα)＝－1.化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的一般要求：①函數(shù)種類(lèi)最少；②項(xiàng)數(shù)最少；③函數(shù)次數(shù)最低；④能求值的求出值；⑤盡量使分母不含三角函數(shù)；⑥盡量使分母不含根式．2．化簡(jiǎn)求值：(1)eq\r(\f(1－cos30°,1＋cos30°))＋eq\r(\f(1＋cos30°,1－cos30°))；(2)eq\f(sin165°＋\r(cos2165°),\r(1－2cos165°sin165°)).解析：(1)eq\r(\f(1－cos30°,1＋cos30°))＋eq\r(\f(1＋cos30°,1－cos30°))＝eq\r(\f(1－cos30°2,sin230°))＋eq\r(\f(1＋cos30°2,sin230°))＝eq\f(1－cos30°,sin30°)＋eq\f(1＋cos30°,sin30°)＝4.(2)eq\f(sin165°＋\r(cos2165°),\r(1－2cos165°sin165°))＝eq\f(sin165°－cos165°,\r(sin165°－cos165°2))＝eq\f(sin165°－cos165°,sin165°－cos165°)＝1.探究三三角恒等式的證明[典例3]求證：eq\f(tanα·sinα,tanα－sinα)＝eq\f(tanα＋sinα,tanα·sinα).[證明]證法一右邊＝eq\f(tan2α－sin2α,tanα－sina·tanαsinα)＝eq\f(tan2α－tan2αcos2α,tanα－sinα·tanαsinα)＝eq\f(tan2α1－cos2α,tanα－sinα·tanαsinα)＝eq\f(tan2αsin2α,tanα－sinαtanαsinα)＝eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝左邊．∴原等式成立．證法二左邊＝eq\f(tanα·sinα,tanα－tanαcosα)＝eq\f(sinα,1－cosα)，右邊＝eq\f(tanα＋tanαcosα,tanαsinα)＝eq\f(1＋cosα,sinα)＝eq\f(1－cos2α,sinα1－cosα)＝eq\f(sin2α,sinα1－cosα)＝eq\f(sinα,1－cosα).∴左邊＝右邊，原等式成立．證法三∵tanα－sinα≠0，tanα·sinα≠0，要證原等式成立，只要證tan2α·sin2α＝tan2α－sin2α成立，而tan2α·sin2α＝tan2α(1－cos2α)＝tan2α－(tanαcosα)2＝tan2α－sin2α，即tan2α·sin2α＝tan2α－sin2α成立，∴原等式成立．證明三角恒等式，可以從左向右證，也可以從右向左證，可以證明兩端等于同一個(gè)結(jié)果，對(duì)于含有分式的還可考慮應(yīng)用比例的性質(zhì)．同時(shí)還須要敏捷運(yùn)用“1”的代換及“切化弦”等解法技巧．3．求證：eq\f(tanαsinα,tanα－sinα)＝eq\f(1＋cosα,sinα).證明：左邊＝eq\f(\f(sin2α,cosα),\f(sinα,cosα)－sinα)＝eq\f(sin2α,sinα－sinαcosα)＝eq\f(1－cos2α,sinα1－cosα)＝eq\f(1＋cosα,sinα)＝右邊，所以等式成立．因忽視角的范圍致誤[典例]在△ABC中，已知sinA＋cosA＝eq\f(\r(2),2)，求tanA的值．[解析]解法一因?yàn)閟inA＋cosA＝eq\f(\r(2),2)，①所以(sinA＋cosA)2＝eq\f(1,2)，所以2sinAcosA＝－eq\f(1,2)，所以sinAcosA<0.又因?yàn)?<A<π，所以sinA>0，cosA<0，所以sinA－cosA＝eq\r(sinA－cosA2)＝eq\r(1－2sinAcosA)＝eq\f(\r(6),2).②由①②，得sinA＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，cosA＝eq\f(\r(2)－\r(6),4)，所以tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝－2－eq\r(3).解法二因?yàn)閟inA＋cosA＝eq\f(\r(2),2)，所以cosA＝eq\f(\r(2),2)－sinA.又因?yàn)閟in2A＋cos2A＝1， 所以sin2A＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)－sinA))2＝1.整理，得4sin2A－2eq\r(2)sinA－1＝0，解得sinA＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4)或sinA＝eq\f(\r(2)－\r(6),4).又因?yàn)?<A<π，所以sinA>0，所以sinA＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4)，cosA＝eq\f(\r(2),2)－sinA＝eq\f(\r(2)－\r(6),4)，所以tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝－2－eq\r(3).[錯(cuò)因與防范](1)本題易錯(cuò)解為