2025年中考數(shù)學(xué)思想方法復(fù)習(xí)系列 【猜想歸納】數(shù)式規(guī)律中的猜想歸納思想（原卷版）

數(shù)式規(guī)律中的猜想歸納思想知識(shí)方法精講規(guī)律型：數(shù)字的變化類探究題是近幾年中考命題的亮點(diǎn)，尤其是與數(shù)列有關(guān)的命題更是層出不窮，形式多樣，它要求在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上去探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律．（1）探尋數(shù)列規(guī)律：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法，通常將數(shù)字與序號(hào)建立數(shù)量關(guān)系或者與前后數(shù)字進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算，從而得出通項(xiàng)公式．（2）利用方程解決問題．當(dāng)問題中有多個(gè)未知數(shù)時(shí)，可先設(shè)出其中一個(gè)為x，再利用它們之間的關(guān)系，設(shè)出其他未知數(shù)，然后列方程．2.猜想歸納思想歸納猜想類問題也是探索規(guī)律型問題，這類問題一般給出一組具有某種有規(guī)律的數(shù)、式、圖形，或是給出與圖形有關(guān)的操作變化過程，或某一具體的問題情境，通過認(rèn)真觀察、分析推理，探究其中蘊(yùn)含的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論。考查學(xué)生的歸納、概括、類比能力。有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和創(chuàng)造性。

解決歸納猜想類問題的基本思路是“觀察→歸納→猜想→證明(驗(yàn)證)”，具體做法：

（1）認(rèn)真觀察所給的一組數(shù)、式、圖等，發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系；

（2）根據(jù)它們之間的關(guān)系分析、概括，歸納它們的共性和蘊(yùn)含的變化規(guī)律，猜想得出一個(gè)一般性的結(jié)論；

（3）結(jié)合題目所給的材料情景證明或驗(yàn)證結(jié)論的正確性。歸納猜想類問題可以分成四大類：

（1）數(shù)式歸納猜想題

這類題通常是先給出一組數(shù)或式子，通過觀察、歸納這組數(shù)或式子的共性規(guī)律，寫出一個(gè)一般性的結(jié)論。找出題目中規(guī)律，即不變的和變化的，變化的部分與序號(hào)的關(guān)系是解這類題的關(guān)鍵。

（2）圖形歸納猜想題

此類題通常給出一組圖形的排列(或操作得到一系列的圖形)探求圖形的變化規(guī)律，以圖形為載體考查圖形所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系。其解題關(guān)鍵是找出相鄰兩個(gè)圖形之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系。（3）結(jié)論歸納猜想題

結(jié)論歸納猜想題?？紨?shù)值結(jié)果、數(shù)量關(guān)系及變化情況。發(fā)現(xiàn)或歸納出周期性或規(guī)律性變化，是解題的關(guān)鍵。（4）類比歸納猜想題

類比歸納猜想題通常是指由兩類對(duì)象的具有某些相同或相似的性質(zhì)，和其中一類對(duì)象的某些已知的性質(zhì)，推斷出另一類對(duì)象也具有這些性質(zhì)的一種題型，有時(shí)也指兩個(gè)對(duì)象在研究方法、學(xué)習(xí)過程上類比，考查類比歸納推理能力。一．選擇題（共8小題）1．（2021秋?天橋區(qū)期末）已知，，則的值為A． B． C．1010 D．10112．（2021秋?遷安市期末）如圖，某“學(xué)子餐廳”把密碼做成了數(shù)學(xué)題．小紅在餐廳就餐時(shí)，思索了一會(huì)，輸入密碼，順利地連接到了餐廳網(wǎng)絡(luò)．則他輸入的密碼A．28140 B．110908 C．280930 D．2809083．（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）有依次排列的3個(gè)數(shù)：2，9，7，對(duì)任意相鄰的兩個(gè)數(shù)，都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，所得之差寫在這兩個(gè)數(shù)之間，可產(chǎn)生一個(gè)新數(shù)串：2，7，9，，7，這稱為第1次操作；做第2次同樣的操作后也可產(chǎn)生一個(gè)新數(shù)串：2，5，7，2，9，，，9，7，繼續(xù)操作下去，從數(shù)串2，9，7開始操作第2022以后所產(chǎn)生的那個(gè)新數(shù)串的所有數(shù)之和是A．20228 B．10128 C．5018 D．25094．（2021秋?長(zhǎng)壽區(qū)期末）觀察：世界上著名的萊布尼茨三角形，如圖所示：請(qǐng)仔細(xì)觀察排列規(guī)律，則排在第10行從左邊數(shù)第3個(gè)位置上的數(shù)是A． B． C． D．5．（2021秋?嵩縣期末）計(jì)算的值為A．1 B．0 C．2021 D．6．（2021秋?費(fèi)縣期末）已知，，，都是不等于0的有理數(shù)，若，則等于1或；若，則等于2或或0；若，則所有可能等于的值的絕對(duì)值之和等于A．0 B．110 C．210 D．2207．（2021?云南模擬）組按規(guī)律排列的多項(xiàng)式：，，，，，其中第個(gè)式子是A． B． C． D．8．（2021?任城區(qū)二模）記，令，則為，，，，這列數(shù)的“凱森和”．已知，，的“凱森和”為2004，那么18，，，的“凱森和”為A．2018 B．2019 C．2020 D．2021二．填空題（共14小題）9．（2021秋?邵陽(yáng)縣期末）如圖是一個(gè)運(yùn)算程序的示意圖，若開始輸入的值為50，我們發(fā)現(xiàn)第1次輸出的結(jié)果為25，第2次輸出的結(jié)果為32，，則第2022次輸出的結(jié)果為．10．（2021秋?青神縣期末）根據(jù)下列各式的規(guī)律，在橫線處填空：，，，，．11．（2021秋?魯?shù)榭h期末）一列關(guān)于的單項(xiàng)式：，，，，，按上述規(guī)律，第個(gè)單項(xiàng)式為．12．（2021秋?石景山區(qū)期末）一組按規(guī)律排列的代數(shù)式：，，，，，則第5個(gè)式子是；第2022個(gè)式子是．13．（2021秋?新邵縣期末）如圖所示，在這個(gè)數(shù)據(jù)運(yùn)算程序中，若開始輸入的的值為2，結(jié)果輸出的是1，返回進(jìn)行第2次運(yùn)算則輸出的結(jié)果是6，第3次運(yùn)算則輸出的結(jié)果是3，，則第2021次輸出的結(jié)果是．14．（2021秋?成都期末）小海在學(xué)習(xí)之余喜歡做智力闖關(guān)游戲，如圖所示的游戲中，各正方形中的四個(gè)數(shù)之間都具有同一種規(guī)律，按此規(guī)律得出的值為．15．（2021秋?泗洪縣期末）為了保密，許多情況下都要采用密碼進(jìn)行交流，這時(shí)就要有破譯密碼的“鑰匙”．英語(yǔ)字母表中字母順序是按以下順序排列的：，如果規(guī)定又接在的后面，使26個(gè)字母排成一個(gè)圈．代數(shù)式“”代表把一個(gè)字母換成字母圈中從它開始逆時(shí)針移動(dòng)2位的字母，例如：密碼“”表示“”，翻譯成漢語(yǔ)就是“我”，又如密碼“”表示“”，翻譯成漢語(yǔ)就是“鋼筆”，此時(shí)代數(shù)式“”就是破譯此密碼的“鑰匙”，如果密碼“”的鑰匙是“”，則此密碼翻譯成漢語(yǔ)就是．16．（2021秋?房山區(qū)期末）如圖，階梯圖的每個(gè)臺(tái)階上都標(biāo)著一個(gè)數(shù)，從下到上的第1個(gè)至第4個(gè)臺(tái)階上依次標(biāo)著，，，0，且任意相鄰4個(gè)臺(tái)階上數(shù)的和都相等．（1）第5個(gè)臺(tái)階上的數(shù)是；（2）若第個(gè)出現(xiàn)在第2022個(gè)臺(tái)階上，則的值為．17．（2021秋?海珠區(qū)期末）觀察下面三行數(shù)：1，，9，，25，，；，，7，，23，，；，8，，32，，72，；那么取每行數(shù)的第10個(gè)數(shù)，則這三個(gè)數(shù)的和為．18．（2021秋?成華區(qū)期末）已知，，，，，（即當(dāng)為大于1的奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為大于1的偶數(shù)時(shí)，，按此規(guī)律，．19．（2021秋?汕尾期末）在2022年迎新聯(lián)歡會(huì)上，數(shù)學(xué)老師和同學(xué)們做了一個(gè)游戲．她在，，三個(gè)盤子里分別放了一些小球，小球數(shù)依次為，，，記為，，．游戲規(guī)則如下：三個(gè)盤子中的小球數(shù)，則從小球最多的一個(gè)盤子中拿出兩個(gè)，給另外兩個(gè)盤子各放一個(gè)，記為一次操作；次操作后的小球數(shù)記為，，．若，5，，則，．20．（2021秋?慶陽(yáng)期末）觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，按照以上規(guī)律，寫出第個(gè)等式：．（用含的代數(shù)式表示）21．（2021秋?七星關(guān)區(qū)期末）觀察下列等式：①；②；③．計(jì)算：的結(jié)果為．22．（2021秋?唐縣期末）我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了為非負(fù)整數(shù)）展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律：楊輝三角兩腰上的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)為它的上方（左右）兩數(shù)之和．例如：，它有兩項(xiàng)，系數(shù)分別為1，1，系數(shù)和為2；，它有三項(xiàng)，中間項(xiàng)系數(shù)2等于上方數(shù)字1加1，系數(shù)分別為1，2，1，系數(shù)和為4；，它有四項(xiàng)，中間項(xiàng)系數(shù)3等于上方數(shù)字1加2，系數(shù)分別為1，3，3，1，系數(shù)和為8；．則的展開式中系數(shù)和為．三．解答題（共8小題）23．（2021秋?思明區(qū)校級(jí)期末）觀察下面等式：；；；；根據(jù)你觀察到的規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第個(gè)等式，并證明；（2）計(jì)算：．24．（2021秋?中山市期末）仔細(xì)觀察下列三組數(shù)：第一組：1，，9，，25，第二組：0，，8，，24，第三組：0，10，，34，，根據(jù)它們的規(guī)律，解答下列問題：（1）取每組數(shù)的第10個(gè)數(shù)，計(jì)算它們的和；（2）取每組數(shù)的第個(gè)數(shù)，它們的和能否是，說明理由．25．（2021秋?任城區(qū)期末）觀察下列等式，探究其中的規(guī)律并回答問題：，，，．（1）第4個(gè)等式中正整數(shù)的值是；（2）第5個(gè)等式是：；（3）第個(gè)等式是：．（其中是正整數(shù)）26．（2021秋?蘇州期末）觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：請(qǐng)解答下列問題：（1）按以上規(guī)律寫出：第個(gè)等式為正整數(shù)）；（2）求的值；（3）探究計(jì)算：．27．（2021?安徽模擬）觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第4個(gè)等式：；（2）寫出你猜想的第個(gè)等式：（用含的式子表示），并證明；（3）應(yīng)用：計(jì)算的值．28．（2021?德州模擬）閱讀下面的材料：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．排在第一位的數(shù)稱為第一項(xiàng)，記為，排在第二位的數(shù)稱為第二項(xiàng)，記為，依次類推，排在第位的數(shù)稱為第項(xiàng)，記為．所以，數(shù)列的一般形式可以寫成：，，，，，．一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用表示．如：數(shù)列1，3，5，7，為等差數(shù)列，其中，，公差為．根據(jù)以上材料，解答下列問題：（1）等差數(shù)列5，10，15，的公差為，第5項(xiàng)是．（2）如果一個(gè)數(shù)列，，，，，是等差數(shù)列，且公差為，那么根據(jù)定義可得到：，，，，，．所以，，，由此，請(qǐng)你填空完成等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：．（3）是不是等差數(shù)列，，的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？（4）如果一個(gè)數(shù)列，，，，，是等差數(shù)列，且公差為，前項(xiàng)的和記為，請(qǐng)用含，，的代數(shù)式表示，．29．（2021秋?石景山區(qū)期末）小石根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗(yàn)，想通過“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的運(yùn)算規(guī)律．下面是小石的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）具體運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律．特例，特例，特例，特例，特例（填寫運(yùn)算結(jié)果）．（2）觀察、歸納，得出猜想．如果為正整數(shù)，用含的式子表示上述的運(yùn)算規(guī)律為：．（3）證明你的猜想．（4）應(yīng)用運(yùn)算規(guī)律．①化簡(jiǎn)：；②若，均為正整數(shù)），則的值為．30．（2020?海