安徽省合肥市2025屆高三上學(xué)期第二次教學(xué)檢測數(shù)學(xué)試卷（含解析）

合肥2024~2025學(xué)年度高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（考試時間：120分鐘滿分：150分）注意事項：1．答題前，務(wù)必在答題卡和答題卷規(guī)定的地方填寫自己的姓名、準考證號和座位號后兩位．2．答題時，每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．3．答題時，必須使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卷上書寫，要求字體工整、筆跡清晰．作圖題可先用鉛筆在答題卷規(guī)定的位置繪出，確認后再用0.5毫米的黑色墨水簽字筆描清楚．必須在題號所指示的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上答題無效．4．考試結(jié)束，務(wù)必將答題卡和答題卷一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1．已知集合，，則圖中陰影部分所表示的集合是（）A． B．C． D．2．命題“，使”的否定是（）A．，使 B．不存在，使C．，使 D．，使3．函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．4．“曲線恒在直線的下方”的一個充分不必要條件是（）A． B． C． D．5．當陽光射入海水后，海水中的光照強度隨著深度增加而減弱，可用表示其總衰減規(guī)律，其中是消光系數(shù)，（單位：米）是海水深度，（單位：坎德拉）和（單位：坎德拉）分別表示在深度處和海面的光強．已知某海域6米深處的光強是海面光強的，則該海域消光系數(shù)的值約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A．0.2 B．0.18 C．0.15 D．0.146．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，，則外接圓的面積為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且在上沒有最小值，則的值為（）A． B．4 C． D．8．已知是內(nèi)一點，且，點在內(nèi)（不含邊界），若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9．已知平面向量，，且，則（）A． B． C． D．10．已知，若對任意的，不等式恒成立，則（）A． B．C．的最小值為32 D．的最小值為11．已知函數(shù)的定義域為，函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)的一個對稱中心為B．C．函數(shù)為周期函數(shù)，且一個周期為4D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知，則______．13．已知函數(shù)，方程有四個不同根，，，，且滿足，則的最大值為______．14．定義表示實數(shù)，中的較大者，若，，是正實數(shù)，則的最小值是______．四、解答題：本題共5小題，第15題滿分13分，第16題、第17題滿分15分，第18題、第19題滿分17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知．（1）若，，求的面積；（2）若角為鈍角，求的取值范圍．16．（15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當時，關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．17．（15分）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色．如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為120m，轉(zhuǎn)盤直徑為110m，設(shè)置有48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，轉(zhuǎn)一周大約需要30min．（1）游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動后距離地面的高度為，求在轉(zhuǎn)動一周的過程中，關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）若甲、乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差（單位：m）關(guān)于的函數(shù)解析式，并求高度差的最大值（精確到0.1m）．參考公式：．參考數(shù)據(jù)：，．18．（17分）已知函數(shù)．（1）當時，，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求證：；（3）若，，為正實數(shù)，且，求證：．19．（17分）已知實數(shù)集，定義：（與可以相同）．記為集合中的元素個數(shù)．（1）若，請直接給出和；（2）若均為正數(shù)，且，求的最小值；（3）若，求證：．合肥2024~2025學(xué)年度高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)參考試卷1．A【詳解】，所以陰影部分．故選：A．2．D【詳解】命題“，使”的否定是，使．故選：D．3．A【詳解】易知函數(shù)的定義域為，故可排除C，D；又，，所以可排除B，故選：A．4．C【詳解】由曲線恒在直線下方，可得，恒成立，即所以“曲線恒在直線的下方”的充要條件是，故選：C．5．C【詳解】依題意得，，化成對數(shù)式，，解得，．故選：C．6．C【詳解】因為，且，所以，由正弦定理，可得，即，所以，又因，所以，所以外接圓的半徑為．．故選：C．7．A【詳解】由的圖象關(guān)于直線對稱可得，，解得或，，由于在上沒有最小值，所以，所以，故選：A．8．C【詳解】因為內(nèi)一點，，所以為的重心，又在內(nèi)（不含邊界），且當與重合時，最小，此時所以，即，當與重合時，最大，此時，所以，，即，因為在內(nèi)且不含邊界，所以取開區(qū)間，即，故選：C．二．多選題9．ACD【詳解】由，，可得，，由，可得，解得，故A正確；由，可得，故D正確；又，則，，故B錯誤，C正確．故選：ACD．10．ABD【詳解】因為，即恒成立，又因為，，所以當時，，當時，，因為對任意的，不等式恒成立，所以當時，，當時，，所以對于函數(shù)，必有，單調(diào)遞減，且零點為，所以，所以，所以A正確，B正確；對于C，因為，所以，所以，當且僅當，即時取等號，與條件不符，所以C錯誤；對于D，，令，則，當且僅當時，等號成立．則原式，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得的最小值為，此時，，所以D正確，故選：ABD．11．ABD【詳解】對于A，因為為奇函數(shù)，所以，即，所以，所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以A正確，對于B，在中，令，得，得，因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，所以，所以，令，則，所以，得，所以B正確，對于C，因為函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，，所以，所以，所以4不是的周期，所以C錯誤，對于D，在中令，則，令，則，因為，所以，因為，所以，所以D正確，故選：ABD．三．填空題（共1小題）12．．【詳解】因為，所以，可得，則．故答案為：．13．．【詳解】作出函數(shù)圖像可得，從而得，且，從而得，原式，令，，，令，則，，在單調(diào)遞增，，最大值為．14．【詳解】按和分類：記，當時，，當且僅當，，時，等號成立；當時，，當且僅當，，時，等號成立．綜上所述，的最小值是．四．解答題15．（13分）【詳解】（1）由和正弦定理得，，因，則有，因，，則，又，故．由余弦定理，，代入得，，因，則有，即得，故的面積．（2）由正弦定理，可得，因，代入化簡得：．因為鈍角，故由可得，則，，即，故的取值范圍是．16．（15分）【詳解】（Ⅰ）當時，，，由，，故可列表：130，關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不相等的實數(shù)根時；（Ⅱ），由得．①當，即時，，在上為增函數(shù)，；②當，即時，在上，為減函數(shù)，在上，為增函數(shù)，；③當，即時，，在上為減函數(shù)，．綜上所述，．17．【詳解】如圖，設(shè)座艙距離地面最近的位置為點，以軸心為原點，與地面平行的直線為軸建立直角坐標系．（1）設(shè)時，游客甲位于點，以為終邊的角為；根據(jù)摩天輪轉(zhuǎn)一周大約需要30min，可知座艙轉(zhuǎn)動的角速度約，由題意可得，．（2）如圖，甲、乙兩人的位置分別用點，表示，則．經(jīng)過后甲距離地面的高度為，點相對于點始終落后，此時乙距離地面的高度為．則甲、乙距離地面的高度差，利用，可得，．當（或），即（或22.8）時，的最大值為．所以，甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值約為7.2m．18．（17分）【詳解】（1）首先，，故，設(shè)，則，，由，可知當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，滿足；當時，由在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，，故存在，使得，且時，，單調(diào)遞減，此時，，與題設(shè)矛盾．綜上所述，實數(shù)的取值范圍．（2）由，可知，即故只要證設(shè)，，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，即，，故原不等式成立．（3）一方面，由于，故可令，其中，，結(jié)合第（2）問的結(jié)論，，另一方面，，綜上可得，．19．（17分）【詳解】（1），；（2）一方面，積有個，另一方面，積有個，故，當中所有元素互素時，等號成立．要使得時，最小，可令中所有元素互素，此時，，解得