數(shù)學學案：課堂導學求函數(shù)零點近似解的一種計算方法-二分法

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導學三點剖析一、函數(shù)零點的性質(zhì)【例1】函數(shù)f（x)=x3-2x2+3x—6在區(qū)間［—2,4］上的零點必定在（）A.［-2,1］內(nèi)B.［,4]內(nèi)C.［1，］內(nèi)D。[，］內(nèi)解析：由于f（-2)=-8-8—6—6=-28〈0,f（4）=64-32+12-6=38〉0，且f（)=f（1)=1—2+3-6=—4〈0,∴零點在區(qū)間［1,4］內(nèi)。又f()=f（)=+—6=—11〉0,∴零點在區(qū)間［1，］內(nèi).又f()=f()<0，∴零點在區(qū)間[，]內(nèi).∴選D。答案：D二、求方程的近似解【例2】求方程2x3+3x-3=0的一個實數(shù)解,精確到0.01.思路分析：考查函數(shù)f(x）=2x3+3x—3,從一個兩端函數(shù)值反號的區(qū)間開始,應用二分法逐步縮小方程實數(shù)解所在的區(qū)間。解：經(jīng)試算，f（0）=—3<0,f(2）=19〉0,所以函數(shù)f(x）=2x3+3x-3在［0，2］內(nèi)存在零點，即方程2x3+3x—3=0在［0,2］內(nèi)有解.?。?,2］的中點1，經(jīng)計算f（1）=2>0，又f（0)〈0，所以方程2x3+3x—3=0在[0,1］內(nèi)有解。如此下去，得到方程2x3+3x-3=0實數(shù)解所在區(qū)間如下表所示。左端點右端點第1次02第2次01第3次0.51第4次0.50。75第5次0。6250.75第6次0.68750。75第7次0。718750。75第8次0.7343750。75第9次0.7343750。7421875∵0.7421875-0.734375=0.0078125<0.01?！鄕10==0。73828125≈0。74為方程2x3+3x-3=0精確到0.01的一個實數(shù)解.三、函數(shù)零點的應用【例3】已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c.(1）若a>b>c且f（1）=0,證明f(x)必有兩個零點;(2)若對x1、x2∈R且x1〈x2,f（x1）≠f（x2)，方程f（x）=［f(x1)+f（x2）］有兩個不等實根，證明必有一實根屬于（x1,x2）。證明:(1）∵f(1)=0，∴a+b+c=0。又∵a〉b〉c,∴a>0,c<0，即ac〈0.∴Δ=b2-4ac>0.∴方程ax2+bx+c=0有兩個不等實根.故函數(shù)f(x）有兩個零點.（2）令g(x）=f（x)[f（x1)+f（x2)],則g（x1)=f(x1）［f(x1)+f（x2)］=,g(x2）=f(x2）［f(x1)+f（x2）］=?！鄃(x1)·g(x2)=[f（x1）—f（x2)］2?！遞(x1)≠f(x2)，∴g(x1)·g（x2）〈0.∴g(x）=0在(x1，x2)內(nèi)必有一實根。故f(x）=［f（x1）+f（x2）]在（x1,x2）內(nèi)必有一實根.各個擊破類題演練1函數(shù)y=lgx的零點所在的大致區(qū)間是…(）A.（6,7)B。(7，8)C。(8，9）D.（9，10)解析：代入驗證，可知f(9）=lg9-1<0,f(10)=1〉0。∴f(9)·f（10)<0。答案:D變式提升1下列各圖中函數(shù)圖象與x軸均有公共點，但不能用二分法求公共點橫坐標的是(）解析：用二分法只能求變號零點的近似值,而B中的零點是不變號零點，故選B.答案：B類題演練2求方程x3-4x+1=0的一個正數(shù)的零點.（精確到0.1)解析：設(shè)f（x）=x3-4x+1,由于f(1)=—2<0,f(2)=1〉0,故可取區(qū)間[1，2］作為計算的初始區(qū)間。用二分法逐次計算，列表如下:端點（中點）坐標計算中點的函數(shù)值取區(qū)間f（1)=-2〈0x1==1。5x2==1.75x3==1.875x4=1。813x5=1。844ff（2）=1〉0f（1。5）=-1。625〈0f(1.75)=-0.641〈0f（1.875）=0。092f(1。813）=—0。296f（1。844）=-0.107［1,2］[1.5,2］［1.75，2］［1.75，1。875]［1。813,1.875]由上表計算可知區(qū)間［1.813,1.875］的長度小于0.1，∴這個區(qū)間的中點1.8437為所求函數(shù)的一個正實數(shù)零點近似值.變式提升2先用求根公式求出方程2x2—3x—1=0的解，用二分法求出這個方程的近似解.（精確到0。1）解析：方程的兩個解分別為x1=,x2=。取區(qū)間（1.775，1.8)和(—0.3，—0。275）。令f(x)=2x2-3x—1在區(qū)間(1.775,1。8)內(nèi)，用計算器可算得f（1。775)=-0。02375,f（1。8）=0.08.于是f(1。775)\5f(1。8)〈0?！喾匠淘趨^(qū)間(1.775，1。8)內(nèi)有一個解。又｜1。8-1.775｜=0.025〈0.1,此時區(qū)間（1.775，1。8）的兩個端點精確到0.1的近似值都是1。8，∴方程在區(qū)間(1。775，1.8）內(nèi)精確到0。1的近似解為1.8.同理，可得方程在區(qū)間（-0。3，-0。275)內(nèi)精確到0.1的近似解為—0。3.類題演練3x1與x2分別是實系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0和—ax2+bx+c=0的一個根，且x1≠x2，x1≠0，x2≠0.求證:方程x2+bx+c=0有且僅有一根介于x1與x2之間.證明:令f（x)=x2+bx+c.∵x1、x2分別是方程ax2+bx+c=0和-ax2+bx+c=0的一個根,∴ax12+bx1+c=0,—ax22+bx2+c=0.故bx1+c=—ax12,bx2+c=ax22,f(x1）=x12+bx1+c=x12-ax12=ax12，f（x2）=x22+bx2+c=x22+ax22=ax22?！鄁(x1）f（x2）=a2x12x22。∵a≠0，x1x2≠0，∴f（x1)·f（x2）<0.故方程x2+bx+c=0有且僅有一根介于x1與x2之間.變式提升3一塊電路板的線路AB之間有64個串聯(lián)的焊接點（如圖所示)，如果線路不通的原因是由于焊口脫落所致，要想檢驗出哪一處焊口脫落,問至多需要檢測的次數(shù)是多少？解析:對焊接點一一檢測很麻煩,當然也是不需要的.只需選線路AB的中點C，然后判斷出焊口脫落的點所在的線路為AC,還是BC,然后依次循環(huán)上述過程即可很快檢驗出焊點的位置，最多次數(shù)是6次.根據(jù)“二分法"的思想