2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古包頭市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)（含解析）

2024-2025學(xué)年內(nèi)蒙古包頭市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．如圖，空間四邊形中，，點(diǎn)在上，且滿足，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（）A． B．C． D．3．已知兩條直線，若與平行，則實(shí)數(shù)（

）A． B．3 C．或3 D．1或4．如圖，在正方體中，，分別為棱和的中點(diǎn)，則和所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．5．與圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程是（

）A． B．C． D．6．在四棱錐中，底面，底面是正方形，.則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．7．已知，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C．5 D．108．已知球的表面積為，若球與正四面體的六條棱均相切，則此四面體的體積為（

）A． B． C． D．8二、多選題（本大題共3小題）9．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是、，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)且，則下列關(guān)于橢圓的結(jié)論正確的有（

）A．離心率為 B．長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8C．的周長(zhǎng)為18 D．的面積為910．已知圓，直線，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，直線，分別切圓C于點(diǎn)A，B.則下列說(shuō)法正確的是（

）A．四邊形的面積最小值為B．M為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，則最小值為C．最短時(shí)，弦直線方程為D．最短時(shí)，弦長(zhǎng)為11．已知圓和圓.設(shè)為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過(guò)點(diǎn)的無(wú)數(shù)對(duì)互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等，下列所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)有（

）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．一動(dòng)圓與圓：內(nèi)切，且與圓：外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是．13．在空間直角坐標(biāo)系中，若一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且以向量為方向向量，則這條直線可以用方程來(lái)表示，已知直線的方程為，則點(diǎn)到直線的距離為.14．已知橢圓，點(diǎn)，，為其長(zhǎng)軸上從左到右的3個(gè)四等分點(diǎn)，分別過(guò)這三點(diǎn)作斜率為的一組平行線，交橢圓于，，，，，，則6條直線，，，…的斜率乘積為.四、解答題（本大題共5小題）15．的三個(gè)頂點(diǎn)是，，，求：(1)邊上的高所在直線的方程；(2)邊的垂直平分線的方程；(3)外接圓的方程.16．已知圓，直線.(1)求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)；(2)直線被圓截得的弦何時(shí)最短？并求截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)的值以及最短弦長(zhǎng)；(3)在（2）的條件下，求以短弦長(zhǎng)為直徑的圓的方程.17．已知橢圓的上頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為、，半焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的直線距離為.(1)求橢圓的離心率；(2)過(guò)且垂直于的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，，求的周長(zhǎng).18．如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，D，E分別是線段，的中點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)的射影為.(1)求證：平面BDE；(2)若點(diǎn)F為棱的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面BDE的距離；(3)若點(diǎn)F為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），求平面FBD與平面BDE夾角的余弦值的取值范圍.19．“曲線”：由半橢圓與半橢圓組成，其中，.如圖，設(shè)點(diǎn)是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，和分別是“曲線”與軸的交點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).(1)若等邊三角形的重心坐標(biāo)為，求“曲線”的方程；(2)設(shè)是“曲線”的半橢圓上任意的一點(diǎn).求證：當(dāng)取得最小值時(shí)，在點(diǎn)或處；(3)作垂直于軸的直線與“曲線”交于兩點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程.

答案1．【正確答案】D【詳解】由直線得其斜率為，設(shè)直線的傾斜角為（），則，所以，所以直線的傾斜角為，故選：D2．【正確答案】B【詳解】由題意，又，.故選：B3．【正確答案】A【詳解】直線平行，則，所以.故選：A4．【正確答案】B【詳解】分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，，，，，，所以和所成角的余弦值為，故選：B．

5．【正確答案】C【詳解】解：設(shè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，解得，故對(duì)稱圓的圓心為，對(duì)稱圓的半徑和原來(lái)的圓一樣，故對(duì)稱圓的方程為；故選：C．6．【正確答案】A【詳解】在四棱錐中，平面，且四邊形為正方形，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，為，，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

則B1,0,0，D0,1,0，P0,0,1從而，PD=0,1,?1，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，令，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則.故選：A7．【正確答案】C【詳解】直線過(guò)定點(diǎn)，直線，即過(guò)定點(diǎn)，又，即直線與直線垂直，因此，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為5.故選：C8．【正確答案】B【詳解】由球的表面積為，得，球半徑，以正四面體的棱為正方體的面對(duì)角線，將該正四面體放到正方體中，則正方體的內(nèi)切球即與正四面體的六條棱均相切，正方體的棱長(zhǎng)為，所以此四面體的體積為.故選：B9．【正確答案】ACD【詳解】由橢圓方程可知：，所以，所以：離心率，所以選項(xiàng)A正確；長(zhǎng)軸，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由橢圓的定義可知：，所以的周長(zhǎng)為，所以選項(xiàng)C正確；設(shè)，所以，因?yàn)?，所以由勾股定理可得：，即：，化?jiǎn)得：，解之得：或，即：或，所以的面積為：，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.10．【正確答案】ACD【分析】根據(jù)已知，結(jié)合圖形，利用直角三角形、圓的性質(zhì)、直線方程以及點(diǎn)到直線的距離公式、勾股定理計(jì)算求解.【詳解】對(duì)于A，由切線長(zhǎng)定理可得，又因?yàn)?，所以，所以四邊形的面積，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，取最小值，且，所以四邊形的面積的最小值為，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以最小值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意可知點(diǎn)，，在以為直徑的圓上，設(shè)，其圓的方程為：，化簡(jiǎn)為，與方程相減可得：，則直線的方程為，當(dāng)最短時(shí)，，則，解得，故直線的方程為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)最短時(shí)，圓心C到直線的距離，所以弦長(zhǎng)為，故D正確.故選：ACD.

難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的難點(diǎn)在于C的判斷，解答時(shí)要注意結(jié)合圓的公共弦方程的求解，求出直線AB方程，然后利用垂徑定理求出弦長(zhǎng).11．【正確答案】AB【詳解】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)數(shù)對(duì)互相垂直的直線和，得一定有無(wú)數(shù)對(duì)直線和的斜率存在，設(shè)直線的方程分別為，即：，由直線被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等，又兩圓半徑相等，得圓心到直線與圓心到直線的距離相等，，化簡(jiǎn)得，或，關(guān)于的方程有無(wú)窮多解，則或，解得或，所以點(diǎn)坐標(biāo)為或.故選：AB12．【正確答案】由圓與圓的位置關(guān)系可得，再由橢圓的定義即可得解.【詳解】由題意，圓：的圓心為，半徑為，圓：的圓心為，半徑為，設(shè)動(dòng)圓的圓心，半徑為，動(dòng)圓與圓：內(nèi)切，與圓：外切，所以，，所以，所以的軌跡是以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且，，所以，橢圓的方程為.故．13．【正確答案】【分析】由題設(shè)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且為一個(gè)方向向量，易得，應(yīng)用點(diǎn)線距離的向量求法求點(diǎn)到直線的距離.【詳解】由題設(shè)，直線為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且為一個(gè)方向向量，所以，故到直線的距離為.故214．【正確答案】【詳解】不妨設(shè)左右頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，為其長(zhǎng)軸上從左到右的3個(gè)四等分點(diǎn)，故與原點(diǎn)重合，設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為Px0,y0，且P則，所以，則，由對(duì)稱性可知，，故，同理可得，所以6條直線，，，…的斜率乘積為.故答案為.15．【正確答案】(1)；(2)；(3).【詳解】（1）直線的斜率，所以邊上的高所在直線的方程，即.（2）直線的斜率，線段的中點(diǎn)，所以邊的垂直平分線的方程為，即.（3）線段的中點(diǎn)，則邊的垂直平分線的方程為，即，由，解得，因此外接圓的圓心為，半徑，所以外接圓的方程為.16．【正確答案】(1)證明見解析；(2)當(dāng)?shù)姆匠虨闀r(shí)最短；，最短弦長(zhǎng)為；(3)【詳解】（1）直線的方程可化為，由，解得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn).（2）圓的圓心，半徑，令點(diǎn)，當(dāng)直線時(shí)，直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短，直線的斜率為，由得直線的斜率為，解得此時(shí)的方程為，即，圓心到直線的距離為，最短弦長(zhǎng)為所以當(dāng)?shù)姆匠虨闀r(shí)最短；，最短弦長(zhǎng)為.（3）由（2）知，以短弦長(zhǎng)為直徑的圓的圓心為，半徑為，所以以短弦長(zhǎng)為直徑的圓的方程.17．【正確答案】(1)；(2)13.【詳解】（1）依題意，不妨令，，則，又是直角三角形，于是，解得，所以橢圓的離心率.（2）由（1）知，，，橢圓的方程為，如圖所示，，，即為正三角形，又過(guò)且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，則為線段的垂直平分線，直線的斜率為，直線的方程：，由消去并整理得：，，，解得，得，由垂直平分線段，得，因此的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為.18．【正確答案】(1)證明過(guò)程見解析(2)(3)【詳解】（1）連接，因?yàn)樵谄矫鍭BC內(nèi)的射影為，所以⊥平面，因?yàn)槠矫妫浴?，⊥，因?yàn)闉檫呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，D是線段的中點(diǎn)，所以⊥，因?yàn)椋矫?，所以⊥平面，因?yàn)槠矫妫浴?，因?yàn)?，四邊形為平行四邊形，所以平行四邊形為菱形，故⊥，因?yàn)镈，E分別是線段，的中點(diǎn)，所以，故⊥，因?yàn)?，平面，所以⊥平面；?）由（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椤?，D是線段的中點(diǎn)，所以由三線合一可得，又，故為等邊三角形，，由（1）知，⊥平面；故平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)到平面BDE的距離；（3）點(diǎn)F為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），設(shè)，，則，故，故，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則，故，又平面的一個(gè)法向量為，故，令