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高等數(shù)學（第二版）未定式的定值法——洛必達法則微分中值定理及導數(shù)的應用三、其他未定式的定值法一、未定式的定值法二、未定式的定值法一、未定式的定值法定理1設函數(shù)與滿足條件：（1）；（2）在點的某個鄰域內（點可除外）可導，且；（3）（或）；則必有（或）。定理說明：（1） 如果，則；如果，則；但如果不存在，卻不能斷定不存在，只是說明洛必達法則失效，此時需用其他方法判斷未定式的極限。（2） 如果還是未定式，且函數(shù)與仍然滿足定理1的三個條件，則繼續(xù)使用洛必達法則，最后確定，即（或）（3）當時，該法則仍然成立。例1

求（未定式）解：例2

求（為任何實數(shù)）（未定式）解：例3

求（未定式）解：此例表明，分子分母求導后要進行化簡（設法約去公因子），然后再取極限。此外，如果有極限存在的乘積因子也要及時分離出來取極限，以便簡化極限的運算。例4

求解：由于當時，，振蕩無極限，所以此題不能使用洛必達法求解。事實上，經過適當改寫后，用其他方法仍能求得它的極限。則必有（或）。定理2設函數(shù)與滿足條件：注：當時，該法則仍然成立。二、未定式的定值法（3）（或）；（2）在點的某鄰域內（點可除外）可導，且；（1）；例5

求（未定式）解：例6

求（未定式）解：此題洛必達法則也失效，然而，稍加化簡即可得三、其他未定式的定值法洛必達法則不僅可以用來求解型和未定式的極限，還可以用來求解其它未定式，例如、、、、等型的極限。只要經過適當?shù)淖儞Q和改寫，將它們化為或型未定式的極限。例7

求（型未定式）解：當時，此為型的未定式，可以將其轉化為型的未定式求極限。根據洛必達法則，有例8

求（未定式）解：當時，此為型的未定式，可以將其轉化為型的未定式求極限。根據洛必達法則，有因為當時，～，所以原式例9

求（未定式）解：記，則故

例10

求

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